概率論第3講第三章-隨機事件的概率說課講解

2025/5/11概率論第3講第三章隨機事件的概率2025/5/12隨機事件雖然有偶然性的一面,即它在一次試驗中,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生;但是在大量重復試驗中,人們還是可以發(fā)現(xiàn)它是有內在規(guī)律性的,即它出現(xiàn)的可能性的大小是可以"度量"的.隨機事件的概率就是用來計量隨機事件出現(xiàn)的可能性大小的一個數(shù)字,它是概率論中最基本的概念之一.2025/5/13第一節(jié)古典概型概率的古典定義2025/5/14討論一類簡單的隨機試驗,其特征是:

(1)可能的試驗結果的個數(shù)是有限的.把這些試驗結果記作e1,e2,...,en,其全體記作U={e1,e2,...,en};

(2)兩兩互斥的諸基本事件{e1},{e2},...,{en}出現(xiàn)的可能性相等.

這時,稱所討論的問題是古典概型的.2025/5/16對于古典概型的情形,設所有可能的試驗結果的全體為U={e1,e2,...,en},

事件其中k1,k2,...,kr為1,2,...,n中指定的r個不同的數(shù),則定義事件A的概率為概率的這種定義,稱為概率的古典定義2025/5/17例1

從一批由90件正品,3件次品組成的產(chǎn)品中,任取一件產(chǎn)品,求取得正品的概率.2025/5/18解設想把這些產(chǎn)品進行編號.比如,把90件正品編為1#,2#,...,90#,把3件次品依次編成91#,92#,93#.則所有可能的試驗結果的全體為U={1,2,...,93},其中i表示"取得編號為i的一件產(chǎn)品"(i=1,2,...,93),是兩兩互斥的,出現(xiàn)的可能性相等.取得正品就是事件A={1,2,...,90}出現(xiàn),所以取得正品的概率為2025/5/19例2

從例1的這批產(chǎn)品中,接連抽取兩件產(chǎn)品,第一次抽出后的產(chǎn)品并不放回去,求第一次取得次品且第二次取得正品的概率.2025/5/110解設想將這些產(chǎn)品按例1的辦法編號,抽到的結果可用一對有序數(shù)組(i,j)表示,i,j表示第一,第二次取得的產(chǎn)品的號數(shù).所有試驗結果可由所有這種數(shù)組的全體表示,共有9392種.事件A表示"第一次取得次品且第二次取得正品",可由i取91到93且j取1到90的數(shù)組表示,共有390種.因此2025/5/111為了計算各種復雜事件的概率,同時為了揭露概率的本質,在古典概型的情形下,證明如下定理.

定理兩個互斥事件A與B的和事件的概率,等于事件A與事件B的概率之和,即

P(A+B)=P(A)+P(B)2025/5/112證設U={e1,e2,...,en},因此按互斥性,A與B沒有共同元素,所以從而2025/5/113例3

對于例2中的試驗,求"取得兩件產(chǎn)品為一件正品,一件次品"的概率.2025/5/114解設事件A為"取得兩件產(chǎn)品為一件正品,一件次品";事件A1為"第一次取得正品,而且第二次取得次品,事件A2為"第一次取得次品且第二次取得正品".則A1,A2互斥,且A=A1+A2.因此2025/5/115例4

從0,1,2,3這四個數(shù)字中任取三個進行排列.求"取得的三個數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)"的概率.2025/5/116解事件A表示"排成的數(shù)是三位數(shù)且是偶數(shù)";事件A0表示"排成的數(shù)是末位為0的三位數(shù)";事件A2表示"排成的數(shù)是末位為2的三位數(shù)".由于三位數(shù)的首位數(shù)不能為零,所以顯然,A0,A2互斥.由上述定理得2025/5/117第二節(jié)幾何概率2025/5/118對于試驗的可能結果有無窮多個的情形,概率的古典定義顯然是不適用了.為了克服這個局限性,我們仍以等可能性為基礎把這個定義作必要的推廣,使得推廣后的定義能適用于有無窮多個不同試驗結果且各個基本事件具有等可能性的情形.2025/5/119例如,在一個均勻陀螺的圓周上均勻地刻上區(qū)間[0,3)上的諸數(shù)字,旋轉這陀螺.要合理地規(guī)定"陀螺停下時其圓周與桌率,由于陀螺及刻度的均勻性,它停下時其圓周上各點與桌面接觸的可能性相等,即接觸點的刻度位于在[0,3)內的一個區(qū)間上的可能性與這區(qū)間的長度成比例.2025/5/120于是,所要的概率可規(guī)定為2025/5/121又如,設一個粒子位于容積為V的容器內各點處的可能性相等,即位于容器內的任何部分的可能性與這部分的容積成比例.于是,這粒子位于這容器內體積為v的一個部分區(qū)域D內的概率可規(guī)定為2025/5/122以上兩個例子中,都以等可能性為基礎,借助于幾何上的度量(長度,面積,體積或容積等)來合理地規(guī)定概率,用這種方法規(guī)定的概率稱為幾何概率.2025/5/123例5

甲,乙兩人相約在0到T這段時間內,在預定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲,乙兩人能會面的概率.2025/5/124解以x,y分別表示甲乙兩人到達的時刻,那末 0

x

T,0y

T.

若以x,y表示平面上點的坐標,則所有基本事件可以用一正方形內所有點表示,兩人能會面的條件是|x-y|tyOtTxx-y=ty-x=ttTA2025/5/125所以所求概率為OtTxx-y=ty-x=ttTA2025/5/126第三節(jié)隨機事件的頻率概率的統(tǒng)計定義2025/5/127設隨機事件A在n次試驗中出現(xiàn)了r次,則稱比值r/n為這n次試驗中事件A出現(xiàn)的頻率,記作W(A),即顯然,任何隨機事件在n次試驗中出現(xiàn)的頻率總是介于0與1之間的一個數(shù): 0

W(A)1必然事件出現(xiàn)的頻率總等于1,不可能事件出現(xiàn)的頻率總等于0.2025/5/128下表是拋擲錢幣的試驗結果,n表示拋擲的次數(shù),r為徽花向上的次數(shù),W=r/n表示徽花向上的頻率2025/5/129經(jīng)驗表明,只要試驗是在相同條件下進行的,則隨機事件出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)p,這個數(shù)字p是事件本身的一種屬性.這種屬性是可以對事件出現(xiàn)的可能性大小進行度量的客觀基礎.因此,在一般情形下,引進下面的概率定義.2025/5/130如果隨著試驗次數(shù)的增大,事件A出現(xiàn)的頻率r/n在區(qū)間[0,1]上的某個數(shù)字p附近擺動,則定義事件A的概率為

P(A)=p.

概率的這種定義,稱為概率的統(tǒng)計定義.2025/5/131由概率的統(tǒng)計定義可以得到概率的下列性質.

(1)對任一事件A,有

0

P(A)1.

(2)P(U)=1,P()=0.

(3)對于兩兩互斥的有限個隨機事件A1,A2,...,An有

P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An).2025/5/132第四節(jié)概率的公理化體系2025/5/133公理1

對于任一隨機事件A,有

0

P(A)1.

公理2

P(U)=1,P()=0.

公理3

對于兩兩互斥的可數(shù)多個隨機事件A1,A2,...,有

P(A1+A2+...)=P(A1)+P(A2)+....

定義設函數(shù)P(A)的定義域為所有隨機事件組成的集合,且滿足公理1,2,3,則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率.2025/5/134性質1

設有限多個事件A1,A2,...,An兩兩互斥,則

P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

證在公理3中,令An+1=An+2=...=,由P()=0得

P(A1+A2+...+An)=P(A1+A2+...+An+An+1+...)

=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+0+...

=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

習慣上,統(tǒng)稱定理3及性質1為加法定理.2025/5/135性質2

設A為任一事件,則

P(

A)=1-P(A)

證由于A與

A互斥,由性質1得

P(A+A)=P(A)+P(A)

但 A+A=U,P(U)=1,

所以 P(A)+P(A)=1

即 P(

A)=1-P(A)2025/5/136性質3

如果A

B,則

P(B-A)=P(B)-P(A).

證當A

B時,A(B-A)=,所以

B=A+(B-A).

由性質1得

P(B)=P(A)+P(B-A)

即

P(B-A)=P(B)-P(A).

因為P(B-A)0,所以由性質3立即推得

當A

B時,P(A)P(B)2025/5/137性質4

設A,B為任意兩個隨機事件,則

P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)BA2025/5/138證先把A

B表達成兩個互斥事件A及(B-AB)的和(見上圖),即

A

B=A+(B-AB)

由性質1得

P(A

B)=P(A)+P(B-AB).

而AB

B,由性質3得

P(B-AB)=P(B)-P(AB)

從而

P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)2025/5/139P(A

B)=P(A)+P(B)-P(AB)

習慣上,稱性質4為廣義加法定理.

由于P(AB)0,所以由性質4得

P(A

B)P(A)+P(B)2