江西省九江市2025屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

九江市2025年第二次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試題卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分不必要條件判斷即可.【詳解】由得或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法及共軛復(fù)數(shù)概念和虛部的概念得到答案.【詳解】的虛部為，故選：C.3.等差數(shù)列中，已知，則的前10項(xiàng)和等于（）A.36 B.30 C.20 D.18【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式求解，即可得到答案.【詳解】由等差數(shù)列得，故，即，故選：B.4.植物的根是吸收水分和礦物養(yǎng)分的主要器官.已知在一定范圍內(nèi)，小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有線性相關(guān)關(guān)系.某盆栽小麥實(shí)驗(yàn)中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對(duì)穩(wěn)定的情況下，統(tǒng)計(jì)了根長(zhǎng)度（單位：）與氮元素吸收量（單位：天）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.10.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得及線性回歸方程為，則（）A.B.變量與的相關(guān)系數(shù)C.在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加D.若對(duì)小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則對(duì)應(yīng)回歸方程不變【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本中心在方程上可求解A，進(jìn)而可判斷B，根據(jù)回歸方程的含義即可求解CD.【詳解】由線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)知，，故A錯(cuò)誤；小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有正相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)，故B錯(cuò)誤；由線性回歸方程可得，在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正確；若研究小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)關(guān)系，回歸方程可能發(fā)生改變，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上.若最大值等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合題意，由橢圓的性質(zhì)結(jié)合橢圓中的關(guān)系和離心率的定義計(jì)算即可.【詳解】，，，，所以，.故選：D.6.已知是定義在上周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)周期得出，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)值即可.【詳解】，且在[0，1]上單調(diào)遞減，因，所以，故選:B.7.已知球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，記平面截球所得截面的面積為，球的表面積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)榍蚺c正三棱柱各面均相切，所以正三棱柱高是球直徑，底面正三角形內(nèi)切圓半徑是球半徑，由此確定正三棱柱底面邊長(zhǎng).

求球心到平面距離時(shí)，找到相關(guān)點(diǎn)連線，利用正三棱柱上下底面中心與高的關(guān)系得到，再在直角三角形中求，進(jìn)而得出球心到平面距離.

根據(jù)勾股定理求截面圓半徑，再用圓面積公式得截面圓面積.

用球表面積公式求球表面積，最后算兩者面積比值.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為球與正三棱柱的各個(gè)面均相切正三棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為.設(shè)正三棱柱上，下底面的中心分別是是的中點(diǎn)，連接交于，則到平面的距離.又.所得截面圓半徑，故選：A.8.窗花是中國傳統(tǒng)剪紙藝術(shù)的重要分支，主要用于節(jié)日或喜慶場(chǎng)合的窗戶裝飾，尤以春節(jié)最為常見，它以紅紙為材料，通過剪、刻等技法創(chuàng)作出精美圖案，圖案講究構(gòu)圖對(duì)稱、虛實(shí)相生.2025年春節(jié)，小明同學(xué)利用軟件為家里制作了一幅窗花圖案（如圖），其外輪廓為方程所表示的曲線.設(shè)圖案的中心為為曲線上的最高點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將曲線放入平面直角坐標(biāo)系中，確定的坐標(biāo)，再利用判別式法求出的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)為原點(diǎn)，我們可以把放入平面直角坐標(biāo)系中，連接，再利用曲線的對(duì)稱性，我們不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，我們把視為以為主元的一元二次方程，故，解得，即，代入，解得，此時(shí)，此時(shí)由兩點(diǎn)間距離公式得，故D正確.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)對(duì)任意的，都有，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.為奇函數(shù)D.的最小正周期為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)最小值求得，判定A；利用兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的單調(diào)性研究，從而判定B；利用余弦函數(shù)的奇偶性判定C；利用二倍角余弦公式化簡(jiǎn)，利用余弦函數(shù)的周期性分析，得到周期，從而判定D.【詳解】依題意知，是的最小值，故，解得，故A正確；由，得.由，得在[上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：AD.10.若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)積等于數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.是等比數(shù)列B.等比數(shù)列C.是遞減數(shù)列D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，即可證明；對(duì)B：根據(jù)A中證，求得，再利用逐差法即可求得；對(duì)C，先求得，再求得，再根據(jù)其通項(xiàng)公式，判斷其單調(diào)性即可；對(duì)D：利用作差法判斷的大小，再根據(jù)C中所求的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】對(duì)A：由，得，且，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故A正確；對(duì)B：由上可知，，即，故是等比數(shù)列，B正確；對(duì)C：設(shè)的前項(xiàng)積為的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，，故D正確.故選：ABD.11.如圖，三棱錐中，平面，為其表面上一點(diǎn)，與四個(gè)頂點(diǎn)的距離分別為，則下列命題正確的是（）A.若，則點(diǎn)不存在B.若，則點(diǎn)存在且唯一C.若，則的最小值為1D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A若存在則必在過的外心且與平面垂直的直線上，再分類討論；B找出線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點(diǎn)即可；C根據(jù)可得的軌跡在空間中為橢球面，判斷在橢球內(nèi)，在橢球外，則可知橢球面與的交點(diǎn)處取最小值；D建立空間坐標(biāo)系，分點(diǎn)平面或平面兩種情況求最小值.【詳解】設(shè)的外心為，因，則若點(diǎn)存在，則必在過且與平面垂直的直線上，而該直線與三棱錐表面交于點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)重合時(shí)，，不滿足題意.故點(diǎn)不存在，故A正確；因，則為線段的中垂面與線段的中垂面的交線與表面的交點(diǎn)，如圖，有兩個(gè)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若點(diǎn)在面上，，故點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上，即.而，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在空間中將該橢圓繞旋轉(zhuǎn)一周得到橢球面，則橢球面上任一點(diǎn)都，而，故點(diǎn)在橢球面外，因此與橢球面必有交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段距離最短，故的最小值為1，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.①若點(diǎn)在坐標(biāo)平面上，由對(duì)稱性，不妨設(shè)平面，則，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；②若點(diǎn)平面，平面的法向量為，由得，且，消去整理得因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).綜上，，故D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令可得.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中第4項(xiàng)系數(shù)是.故答案為：.13.如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為為上兩點(diǎn)，軸，為正三角形，則__________.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程可得，即可利用焦點(diǎn)弦公式求解，或者利用拋物線焦半徑的公式求解.【詳解】延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn).解法一：由題意得，則直線，聯(lián)立方程組整理得，解得.，.解法二：，由拋物線的對(duì)稱性得，.故答案為：214.已知函數(shù)恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】解法一：先通過等價(jià)變形將函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；再根據(jù)奇函數(shù)的定義得出函數(shù)是上的奇函數(shù)，進(jìn)一步將條件轉(zhuǎn)化為在上有一個(gè)零點(diǎn)；最后求出，分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)和零點(diǎn)存在性定理判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可求解.解法二：先根據(jù)，為上偶函數(shù)，將題目條件轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn)；再利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)性，求出函數(shù)值域，即可求解.解法三：先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，，與都是上的奇函數(shù)，將題目條件問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上恰有一個(gè)交點(diǎn)；再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】解法一：.，的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn).又函數(shù)定義域?yàn)椋沂巧系钠婧瘮?shù)，只需要考慮在上有一個(gè)零點(diǎn)即可.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的值域是.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，，無零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在性定理知，必存在唯一的正數(shù)，使.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；又，，，，在上存在唯一零點(diǎn)，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.解法二：，是的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得，令，.函數(shù)定義域?yàn)?，為上偶函?shù).則問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有一個(gè)交點(diǎn).由，可得，設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.又，，在上的值域?yàn)?，故，即，故?shí)數(shù)的取值范圍是.解法三：令，得，設(shè).，.函數(shù)的定義域?yàn)?，且；函?shù)的定義域?yàn)椋?，與都是上的奇函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上恰有一個(gè)交點(diǎn).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，.又，，單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)與直線的圖象，，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲、乙、丙三人各自獨(dú)立投籃，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.（1）請(qǐng)問三人中哪一位投籃水平較高？并說明理由；（2）現(xiàn)將投籃水平較低的兩人組成一組（記為），與投籃水平較高的人（記為組）進(jìn)行投籃比賽，甲、乙、丙各自獨(dú)立投籃次，且每次投籃的結(jié)果互不影響，投中次數(shù)較多的一組獲勝，求組獲勝的概率.【答案】（1）丙投籃水平較高，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙、丙三人各自獨(dú)立投籃投中的概率分別為、、，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)概率的值，比較大小后可得出結(jié)論；（2）記組投中次數(shù)為，組投中次數(shù)為，由（1）知，，若組獲勝，則，或，或，，再結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得組獲勝的概率.【小問1詳解】丙投籃水平較高，理由如下：設(shè)甲、乙、丙三人各自獨(dú)立投籃投中的概率分別為、、.依題意，得，解得，因?yàn)?，所以，丙投籃水平較高.【小問2詳解】記組投中次數(shù)為，組投中次數(shù)為，由（1）知，，若組獲勝，則，或，或，，所以，，，.故組獲勝的概率為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面平面，且.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的外接球半徑為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作，先由面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，再由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，代入空間二面角的余弦公式可得.【小問1詳解】證明：過點(diǎn)作，垂足為平面平面，平面平面平面，又平面平面平面.又平面平面.【小問2詳解】平面，又平面，三棱錐的外接球球心為中點(diǎn)，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，故易得平面的一個(gè)法向量為，則故二面角的余弦值為.17.如圖，中，角所對(duì)的邊分別為為邊上一點(diǎn)，，記.（1）若，求證：；（2）若，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用余弦定理可求解；（2）利用正弦定理求解.【小問1詳解】，又為等腰直角三角形，，在中，由余弦定理得，又.【小問2詳解】，又在中，由正弦定理，得，即即，，解得，18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在常數(shù)，使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值集合.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由定義域及的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可求，進(jìn)而，解方程可得到；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，利用分類討論的方法即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】的定義域是，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意的成立，即，化簡(jiǎn)整理得，解得.即存在，使的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.【小問3詳解】設(shè)，則.在上單調(diào)遞增，對(duì)任意的恒成立，即，且.①當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，.由，得.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，設(shè)，易知在上單調(diào)遞減.存在唯一的，使.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減存在唯一的，使.令，