2009年全國1高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

2009年全國1高考理科數(shù)學(xué)試題及答案第Ⅰ卷考生注意： 1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚，并貼好條形碼．請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目． 2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效． 3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式 如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑一、選擇題(1)設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（A）（A）3個（B）4個（C）5個（D）6個解：，故選A。也可用摩根律：（2）已知=2+i,則復(fù)數(shù)z=（B）（A）-1+3i(B)1-3i(C)3+i(D)3-i解：故選B。(3)不等式＜1的解集為（D）（A）｛x(B)（C）(D)解：驗x=-1即可。(4)設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于(C)（A）（B）2（C）（D）解：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又解得:.(5)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有(D)（A）150種（B）180種（C）300種(D)345種解:分兩類(1)甲組中選出一名女生有種選法(2)乙組中選出一名女生有種選法.故共有345種選法.選D（6）設(shè)、、是單位向量，且·＝0，則的最小值為(D)（A）（B）（C）(D)解:是單位向量故選D.（7）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（D）（A）（B）（C）(D)解：設(shè)的中點(diǎn)為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D（8）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為（A）（B）（C）(D)解:函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱由此易得.故選A(9)已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為(B)(A)1(B)2(C)-1(D)-2解:設(shè)切點(diǎn)，則,又.故答案選B（10）已知二面角為，動點(diǎn)P、Q分別在面α、β內(nèi)，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（C）(A)(B)2(C)(D)4解:如圖分別作，連，又當(dāng)且僅當(dāng)，即重合時取最小值。故答案選C。（11）函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則(D)(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)(D)是奇函數(shù)解:與都是奇函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為，點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，若,則=(A)(a).(b).2(C).(D).3解:過點(diǎn)B作于M,并設(shè)右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為N，易知FN=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選A第II卷二、填空題：13.的展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于。解:14.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則=。解:是等差數(shù)列,由,得.15.直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為.16.若，則函數(shù)的最大值為。解:令,三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、、，已知，且求b分析:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1),左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,。所以…………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練。18．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，,，點(diǎn)M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點(diǎn)（II）求二面角的大小。解法一：（I）作∥交于點(diǎn)E，則∥，平面SAD連接AE，則四邊形ABME為直角梯形作，垂足為F，則AFME為矩形設(shè)，則，由解得即，從而所以為側(cè)棱的中點(diǎn)（Ⅱ），又,所以為等邊三角形，又由（Ⅰ）知M為SC中點(diǎn)，故取AM中點(diǎn)G，連結(jié)BG，取SA中點(diǎn)H，連結(jié)GH，則,由此知為二面角的平面角連接，在中，所以二面角的大小為解法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyz設(shè)，則（Ⅰ）設(shè),則又故即解得，即所以M為側(cè)棱SC的中點(diǎn)（II）由，得AM的中點(diǎn)又所以因此等于二面角的平面角所以二面角的大小為總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。19．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前2局中，甲、乙各勝1局。（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（II）設(shè)表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。分析：本題較常規(guī)，比08年的概率統(tǒng)計題要容易。需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題。另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。解：記表示事件：第i局甲獲勝，i=3,4,5表示事件：第j局乙獲勝，j=3,4（Ⅰ）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故==0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（II）的可能取值為2，3由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以===0.6×0.6+0.4×0.4=0.52=1.0.52=0.48的分布列為23P0.520.48=2×0.52+3×0.48=2.4820．（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式（II）求數(shù)列的前項和解：（I）由已知得，且即從而……于是=又故所求的通項公式（II）由（I）知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=評析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。21（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個點(diǎn)。（I）求得取值范圍；（II）當(dāng)四邊形的面積最大時，求對角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)分析：（I）這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）拋物線與圓相交于、、、四個點(diǎn)的充要條件是：方程（＊）有兩個不相等的正根即可.由此得解得又所以考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以．（II）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的方法處理本小題是一個較好的切入點(diǎn)。設(shè)與的四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：、、、。則直線的方程分別為解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)，由及（I）知由于四邊形為等腰梯形，因而其面積則將代入上式，并令，得求導(dǎo)數(shù)令，解得（舍去）當(dāng)時，；時，；時，故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，即四邊形的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為22.本小題滿分12分。（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)函數(shù)在兩個極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的