2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第六節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第六節(jié)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)2024考綱考題考情1．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。(2)幾種常見(jiàn)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a＞0，且a≠1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10lgN自然對(duì)數(shù)底數(shù)為elnN2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)。②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)。(2)對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零，且不等于1，N>0)。②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad。(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN。②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN。③logaMn＝nlogaM(n∈R)。④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R)。3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.y＝ax與y＝logax(a＞0，a≠1)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)。1．指數(shù)與對(duì)數(shù)的等價(jià)關(guān)系：ax＝N?x＝logaN。2．換底公式的三個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad。3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)。故0<c<d<1<a<b。由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)漸漸增大。一、走進(jìn)教材1．(必修1P75A組T11改編)(log29)·(log3A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4。故選D。答案D2．(必修1P73練習(xí)T3改編)已知a＝2eq\s\up15(－eq\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>b>a D．c>a>b解析因?yàn)?<a<1，b<0，c＝logeq\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23>1。所以c>a>b。故選D。答案D二、走近高考3．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)解析y＝lnx圖象上的點(diǎn)P(1,0)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是它本身，則點(diǎn)P在y＝lnx圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的圖象上，結(jié)合選項(xiàng)可知，B項(xiàng)正確。故選B。解析：設(shè)Q(x，y)是所求函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則其關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(2－x，y)在函數(shù)y＝lnx圖象上，所以y＝ln(2－x)。故選B。答案B4．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，則a＝________。解析依據(jù)題意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7。答案－7三、走出誤區(qū)微提示：①對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)不熟致誤；②對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征不熟致誤；③忽視對(duì)底數(shù)的探討致誤。5．有下列結(jié)論：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，則x＝10；④若log22＝x，則x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，則n解析①lg10＝1，則lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的對(duì)數(shù)等于1，則x＝10；④底的對(duì)數(shù)等于1；⑤logmn＝eq\f(lgn,lgm)，log3m＝eq\f(lgm,lg3)，則eq\f(lgn,lg3)＝2，即log3n＝2，故n＝9。答案①②③④⑤6．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1，c>1 B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1，c>1 D．0<a<1,0<c<1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1。又當(dāng)x＝0時(shí)，y>0，即logac>0，所以0<c<1。故選D。答案D7．函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________。解析分兩種狀況探討：①當(dāng)a>1時(shí)，有l(wèi)oga4－loga2＝1，解得a＝2；②當(dāng)0<a<1時(shí)，有l(wèi)oga2－loga4＝1，解得a＝eq\f(1,2)。所以a＝2或eq\f(1,2)。答案2或eq\f(1,2)考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例1】(1)已知2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，則eq\f(M,N)的值為_(kāi)_______。(2)已知2a＝5b＝10，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(2,b)))eq\s\up15(eq\f(3,2))＝________。解析(1)由題知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M－2N>0，,M>0，,N>0，))所以M>2N>0。由2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，得loga(M－2N)2＝loga(MN)，所以(M－2N)2＝MN，所以M2－5MN＋4N2＝0，即(M－4N)(M－N)＝0，所以M＝4N或M＝N(舍去)，所以eq\f(M,N)＝4。(2)由2a＝5b＝10可得a＝eq\f(1,lg2)，b＝eq\f(1,lg5)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝2(lg2＋lg5)＝2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(2,b)))eq\s\up15(eq\f(3,2))＝2eq\r(2)。答案(1)4(2)2eq\r(2)1．對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的狀況下進(jìn)行的，因此常常會(huì)用到換底公式及其推論，在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，必需保證恒等變形。2．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需留意真數(shù)大于0?！咀兪接?xùn)練】(1)求值：eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)＝________。(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋9x，則f(log32)＝________。解析(1)原式＝＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2)。答案(1)eq\f(3,2)(2)6考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)若函數(shù)y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()ABCD(2)設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c分別滿意2a3＋a＝2，blog2b＝1，clog5c＝1，則a，b，A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b解析(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，所以a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B。(2)令f(x)＝2x3＋x－2，則f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(0)·f(1)＝－2×1＝－2<0，即a∈(0,1)。在同一坐標(biāo)系中作出y＝eq\f(1,x)，y＝log2x，y＝log5x的圖象，由圖象得1<b<c，故c>b>a。故選C。答案(1)B(2)C1．在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要擅長(zhǎng)利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)解除不符合要求的選項(xiàng)。2．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解?！咀兪接?xùn)練】(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為()(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解析(1)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫(huà)出x>0時(shí)，g(x)的圖象，然后依據(jù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)出x<0時(shí)g(x)的圖象，最終由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個(gè)單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A。(2)問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a>1。答案(1)A(2)(1，＋∞)考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用微點(diǎn)小專(zhuān)題方向1：比較對(duì)數(shù)值的大小【例3】(2024·天津高考)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up15(eq\f(1,3))，c＝logeq\s\up15(eq\f(1,3))eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,5)＝log3－15－1＝log35，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x為增函數(shù)，所以log35>log3eq\f(7,2)>log33＝1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x為減函數(shù)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up15(eq\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))0＝1，故c>a>b。故選D。答案D對(duì)數(shù)值的大小比較方法：①化為同底的對(duì)數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性比較；②利用作差或作商法比較；③利用中間值(0或1)比較；④化為同真數(shù)的對(duì)數(shù)后利用圖象比較。方向2：解不等式【例4】(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝log3x，則滿意不等式f(x)>0的x的取值范圍是________。(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0，))若f(a)<f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解析(1)由題意知y＝f(x)的圖象如圖所示，所以滿意f(x)>0的x的取值范圍是(－1，0)∪(1，＋∞)。答案(1)(－1,0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0,1)解此類(lèi)不等式的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào)“f”，變?cè)瘮?shù)不等式為對(duì)數(shù)不等式，再把對(duì)數(shù)不等式化為同底的對(duì)數(shù)不等式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解。方向3：對(duì)數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例5】已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)。(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由。解(1)因?yàn)閒(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，這時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)。由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)。令g(x)＝－x2＋2x＋3，則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減。又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)。(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－1,a)＝1，))解得a＝eq\f(1,2)。故存在實(shí)數(shù)a＝eq\f(1,2)，使f(x)的最小值為0。利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必需弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，全部問(wèn)題都必需在定義域內(nèi)探討；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1．(方向1)設(shè)a＝log2eq\f(1,3)，b＝eeq\s\up15(－eq\f(1,2))，c＝lnπ，則()A．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c解析易知a<0,0<b<1，c>1。故a<b<c。故選C。答案C2．(方向2)若logaeq\f(2,3)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________。解析當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以logaeq\f(2,3)<logaa＝1總成立。當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由logaeq\f(2,3)<logaa得a<eq\f(2,3)，所以0<a<eq\f(2,3)。綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)。答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)3．(方向3)已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(2,3))(x2－2x－3)，規(guī)定區(qū)間E，對(duì)隨意x1，x2∈E，當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)，則下列區(qū)間可作為E的是()A．(3,6) B．(－1,0)C．(1,2) D．(－3，－1)解析由題意，得函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(2,3))(x2－2x－3)在區(qū)間E上單調(diào)遞增，由x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，若x<－1時(shí)，當(dāng)x增大時(shí)，x2－2x－3減小，f(x)＝logeq\s\do8(\f(2,3))(x2－2x－3)增大，即(－∞，－1)為函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(\f(2,3))(x2－2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間，而(－3，－1)?(－∞，－1)，所以(－3，－1)可作為E。故選D。答案Deq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例2運(yùn)用)函數(shù)y＝lncosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<\f(π,2)))的大致圖象是()解析在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，t＝cosx是減函數(shù)，則y＝lncosx是減函數(shù)，且函數(shù)值y<0，故解除B，C；又因?yàn)閥＝lncosx是偶函數(shù)，解除D。故選A。答案A2．(協(xié)作例2運(yùn)用)已知函數(shù)f(x)＝x2－logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______。解析要使函數(shù)f(x)＝x2－logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒有f(x)<0成立，則有x2<logmx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，則有0<m<1。在同一坐標(biāo)系中作出y＝x2和y＝logmx的圖象(如圖所示)。因?yàn)楫?dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝x2＝eq\f(1,4)，所以只需y＝logmeq\f(1,2)≥eq\f(1,4)＝logmmeq\s\up15(eq\f(1,4))，所以eq\f(1,2)≤meq\s\up15(eq\f(1,4))，即eq\f(1,16)≤m，又因?yàn)?<m<1，所以eq\f(1,16)≤m<1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\f(1,16)≤m<1。答案eq\f(1,16)≤m<13．(協(xié)作例3運(yùn)用)設(shè)a＝，b＝log2017eq\r(2018)，c＝log2018eq\f(1,2017)，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c解析因?yàn)閍＝>20170＝1,0<b＝log2017eq\r(2018)<log20172017＝1，c＝log2018eq\f(1,2017)<log20181＝0，所以a>b>c。故選D。答案D4．(協(xié)作例4運(yùn)用)若loga(a2＋1)<loga2a<0，則aA．(0,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)∪(1，＋∞)解析由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時(shí)2a>1，所以a>eq\f(1,2)。綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))。故選C。答案C5．(協(xié)作例4運(yùn)用)已知函數(shù)f(x)＝ln(ax＋b)(a>0且a≠1)是R上的奇函數(shù)，則不等式f(x)>alna的解集是()A．(a，＋∞)B．(－∞，a)C．當(dāng)a>1時(shí)，解集是(a，＋∞)，當(dāng)0<a<1時(shí)，解集是(－∞，a)D．當(dāng)a>1時(shí)，解集是(－∞，a)，當(dāng)0<a<1時(shí)，解集是(a，＋∞)解析依題意，f(0)＝ln(1＋b)＝0，解得b＝0，于是f(x)＝lnax＝xlna。所以f(x)>alna?xlna>alna。當(dāng)a>1時(shí)，x>a；當(dāng)0<a<1時(shí)，x<a。故選C。答案C6．(協(xié)作例5運(yùn)用)已知π為圓周率，e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()A．πe<3e B．πl(wèi)og3e>3logπeC．3e－2π<3πe－2 D．logπe>log3e解析對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝xe是(0，＋∞)上的增函數(shù)，且π>3，所以πe>3e，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，πl(wèi)og3e>3logπe?eq\f(π,ln3)>eq\f(3,lnπ)?πl(wèi)nπ>3ln3?ππ>33，B項(xiàng)正確；對(duì)于C,3e－2π<3πe－2?3e－3<πe－3，而函數(shù)y＝xe－3是(0，＋∞)上的減函數(shù)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，logπe>log3e?eq\f(1,lnπ)>eq\f(1,ln3)?lnπ<ln3，而函數(shù)y＝lnx是(0，＋∞)上的增函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。答案B特例法和設(shè)元法巧解三元變量比較大小問(wèn)題比較大小時(shí)，若題設(shè)涉及三個(gè)指數(shù)式連等，或三個(gè)對(duì)數(shù)式連等，則可利用特例法求解，也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上，敏捷運(yùn)用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求解。【典例】設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>0，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系不行能是()A．eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5) B．eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5)C．eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5) D．eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)【解析】解法一：取x＝2，則由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此時(shí)易知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)，此時(shí)選項(xiàng)C正確；取x＝4，則由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此時(shí)易知eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)，此時(shí)選項(xiàng)A正確；取x＝eq\