2025年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)三角形綜合考前沖刺訓(xùn)練

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)三角形綜合考前沖刺訓(xùn)練一、單選題1．如圖，在中，．以為邊向右側(cè)作正方形，過點作交于點，連接，則的周長是（

）A．6 B．7 C．8 D．102．如圖，在等邊三角形中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，點D在的延長線上，且，與的平分線交于點E，連接，．若，，則的值為（

）A．2 B． C．4 D．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，D為上一點，其坐標(biāo)為，將等腰直角三角形繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)2025秒后點D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．如圖，平行四邊形中，對角線、相交于點，，、、分別是、、的中點，下列結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤四邊形是菱形．其中正確的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在中，，平分交于點，平分交于點，與交于點．則下列說法正確的個數(shù)為（

）①；②；③若，則；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題7．如圖，點在線段外，且．求證：點在線段的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時，三位同學(xué)輔助線的作法如下：甲：作的平分線交于點；乙：過點作，垂足為；丙：作邊上的中線交于點C．三位同學(xué)都需要證明，甲證明三角形全等的方法是，乙證明三角形全等的方法是，丙證明三角形全等的方法是．（每空寫一種方法即可）8．如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片折疊，使點與點重合，則折痕的長為．9．如圖，在四邊形中，，點C是邊上一點，且，取的三等分點F，連接，過點C作交于點G，延長交于點H，若，則的長為．10．如圖，在紙片中，，，且，為上一點，將紙片沿剪開，并將、分別沿、向外翻折至、，連接，則面積的最小值為．11．如圖，在中，，，為的中點，，垂足為，過點作，交的延長線于點，連接、，如下結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，正確的有（填寫序號）．12．如圖，等邊三角形中，，D為的中點，連接，點E是線段上的動點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．三、解答題13．在正方形中，O為對角線的中點，點E是對角線上的動點，連接，點F在直線上（點F不與點D重合），連接，．(1)如圖1，當(dāng)E在線段上時，求證：；(2)如圖2，若，當(dāng)E在線段上，且時，求的長．14．已知，，．(1)如圖1，證明：；(2)如圖2，，點，分別在，上，連接，過點作，連接，，恰好滿足平分．請猜想線段，，間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．(3)如圖3，，的面積為8，延長，交于點，連接；若，的面積為2，請直接寫出點到的距離．15．如圖，四邊形的對角線，交于點，．(1)如圖，若，求證：．(2)如圖，過點作于點，作，交的延長線于點，若垂直平分，與交于點．①求證：．②若，，求的值．16．已知，在中，，，D為直線上一點，連接．(1)如圖，過點B作交延長線于點E，連接，過點C作交AD于點F，求證：．(2)如圖，若D在線段上，延長至點G，使得，取中點M，連接并延長交延長線于點H，連接，求證：．(3)若時，延長至點G，使得，取中點M，連接并延長交延長線于點H，連接，求線段的長．17．如圖1，在正方形中，點E是的中點，點F是邊上的一點，且，連接、．(1)求證：；(2)如圖2，將沿翻折，得到，其中，點G是點A的對應(yīng)點．①連接，求證：C、G、F三點在同一條直線上；②如圖3，連接，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．18．如圖，在中，是邊上的一點，是邊上的一點，連接，，，．(1)如圖1，若，與交于點，，平分．①求證：．②若是的中點，求證：．(2)如圖2，若四邊形是菱形，平分，，交于點，，，求的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)三角形綜合考前沖刺訓(xùn)練》參考答案題號123456答案CBBBCC1．C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．如圖所示，過點作于點，四邊形為矩形，，，，，，，，由的周長為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，∵，∴四邊形為矩形，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴四邊形為矩形，是對角線，∴，∴，∴，∴的周長為，故選：C．2．B3．B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，過點E作與點P，過點E作交的延長線與點Q，先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再得出和是等腰直角三角形，進(jìn)而可得出，，再證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】解：過點E作與點P，過點E作交的延長線與點Q，如下圖：∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，由勾股定理可得出：，，∴，，∵平分，∴，又∵，，∴，∴，∴，故選：B．4．B【分析】本題考查了點的坐標(biāo)規(guī)律變化、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，令旋轉(zhuǎn)1秒后點的對應(yīng)點為，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，得出，同理可得，旋轉(zhuǎn)2秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)3秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)4秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)5秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，由此可見，點旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標(biāo)按，，，循環(huán)出現(xiàn)，結(jié)合即可得解，正確找到規(guī)律是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，令旋轉(zhuǎn)1秒后點的對應(yīng)點為，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，的坐標(biāo)為，，，，同理旋轉(zhuǎn)2秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)3秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)4秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，旋轉(zhuǎn)5秒后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，點旋轉(zhuǎn)后按，，，的順序四次一個循環(huán)出現(xiàn)，，旋轉(zhuǎn)2025秒后點D的坐標(biāo)為，故選：B．5．C【分析】證明是等腰三角形即可證明①正確；由，可證②成立；由中點的性質(zhì)可得出，且，結(jié)合平行即可證得③結(jié)論成立；由三線合一可證明④成立；無法證明⑤成立；此題得解．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴,∵E為中點，∴，故①成立；∵，G是中點，∴，∵E、F分別是的中點，∴，且，∵四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，∴，故②成立；∵，∴,∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在和中，∵，∴，即③成立；∵,∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵，∴即平分故④正確，若四邊形是菱形∴，∴與題意不符合故⑤錯誤故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、中位線定理以及平行線的性質(zhì)定理，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義可判定①；根據(jù)三角形中線平分三角形面積可判定②；根據(jù)三角形的三線合一可判定③；作的角平分線，可證，得到，同理可證，得到，由此可判定④．【詳解】解：在中，，∴，∵平分交于點，平分交于點，∴，∴，在中，，故①正確；當(dāng)是的中線時，，設(shè)點到的距離（高）為，此時，，則，∵題目中缺少條件是的中線，∴的面積不一定相等，故②錯誤；當(dāng)時，則，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到是中線，∴，故③正確；如圖所示，作的角平分線交于點，由①正確可得，，，∵平分交于點，平分交于點，∴，在和中，，∴，∴，同理，，∴，∵，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，共3個，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．7．或或或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．由等邊對等角可知，，再根據(jù)三位同學(xué)的作法，結(jié)合全等三角形的判定定理分析即可．【詳解】解：，則，甲同學(xué)的作法可知，，，，，則證明的方法是，，，，則證明的方法是，乙同學(xué)的作法可知，，，，則證明的方法是，，，，則證明的方法是，丙同學(xué)的作法可知，，，，，則證明的方法是，，，，則證明的方法是，故答案為：或；或；或．8．【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運用，掌握矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，，，設(shè)，則，運用勾股定理得到，則，再證，得到，，如圖所示，過點作于點，在中運用勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵折疊，∴，，，設(shè)，則，在中，，∴，解得，，∴，則，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，如圖所示，過點作于點，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，故答案為：．9．【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．過點E作交的延長線于點M，先證明，再求出，根據(jù)點為的三等分點，可得，再利用平行線分線段成比例求解即可．【詳解】如解圖①，過點E作交的延長線于點M．∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵是等腰直角三角形，∴．∵F是的三等分點，且，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．10．【分析】本題考查了三角形的折疊問題、全等三角形的性質(zhì)和三角形的最小面積，解題的關(guān)鍵是弄清楚什么時候三角形的面積最小．先利用翻折的性質(zhì)，得出，，，再利用兩角的和結(jié)合，證得，然后根據(jù)三角形面積公式，得到面積，當(dāng)取最小值時面積的最小，先求出，再求出面積的最小值．【詳解】解：∵、分別沿、向外翻折至、，∴，，∴，，，∵，∴，∴，當(dāng)取最小值時的面積最小，在中，當(dāng)垂直時，最小，此時，，，解得：，∴的最小值為：．11．①②④⑤【分析】由題意易得是等腰直角三角形，然后通過證明，則有，進(jìn)而根據(jù)三角形的中線、勾股定理可進(jìn)行求解【詳解】解：∵，，為的中點，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；故①正確．∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，故②正確．∵，∴是的中線，如果是角平分線，則，但，顯然矛盾，故③錯誤．④正確．在中，，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴垂直平分，∴，故④正確．∵，∴，∴，∵，∴，故⑤正確．綜上所述：正確的有①②④⑤；故答案為①②④⑤．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．12．3【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、利用軸對稱求最短距離等知識，得到點F的運動路線是解答的關(guān)鍵．如圖，連接，證明得到，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得到，則點F在垂直于的直線上運動，作點A關(guān)于直線的對稱點，連接、，則，當(dāng)、F、D共線時取等號，此時的最小值為的長；連接交直線于K，則，，證明得到，在中，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，∵是等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴，∵D為的中點，∴，，，∴，∴點F在垂直于的直線上運動，作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，則，，∴，當(dāng)、F、D共線時取等號，此時的最小值為的長，連接交直線于K，則，，∴，∴，又，，∴，∴，在中，，∴，即的最小值為3，故答案為：3．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點作于點，于點，證明四邊形是正方形，得到，再根據(jù)“”證明，得到，最后通過角的等量代換得到即可證明；（2）連接，過E作于H．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，從而得到，進(jìn)而得到，利用勾股定理得出設(shè)，再利用勾股定理，根據(jù)得出，求解后代入可得到的值，最后用即可求得．【詳解】（1）解：如圖1，過點作于點，于點．四邊形是正方形，，又點E是對角線上的點，，，．和都是等腰直角三角形，即，，，四邊形是正方形．在和中，，，，．，，即，．（2）解：如圖2，連接，過E作于H．∵四邊形為正方形，點E是對角線上的點，，，，，又∵，∴是等腰直角三角形，∴．又∵，∴，∴是等腰三角形，∴．在中，設(shè)，在中，則，，∴，，，．14．(1)證明見詳解(2)，證明見詳解(3)【分析】（1）由題意可得，再利用證明即可；（2）在上截取，連接、，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，證明，出，，證明，得出，從而求出，再證明，得出，即可推出，即可得證；（3）證明，得出，，，求出，求出，作于，交的延長線于，于，證明，得出，由角平分線的判定定理可得平分，推出，即可得出、均為等腰直角三角形，設(shè)，，則，求出，，結(jié)合，得出，再由，，得出，從而求出，即可得解．【詳解】（1）證明:，，即，又，，．（2）解：，證明如下：在上截取，連接、，，∵，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）解：，，即，又，，，∴，，，∵的面積為8，，，∴，，∴，∵，∴，如圖，作于，交的延長線于，于，，∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，∴，∴、均為等腰直角三角形，∵，∴設(shè)，，則，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即點到的距離為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．15．(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②【分析】（1）由兩角對應(yīng)相等推得，由相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）①由垂直平分線性質(zhì)得，，通過“邊邊邊”證明，由全等三角形的性質(zhì)推得，結(jié)合角平分線性質(zhì)證明四邊形是正方形，推得，由“角邊角”證明即可證；②延長到，使，連接，由等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推得，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得，結(jié)合解直角三角形、勾股定理可得；通過“邊角邊”證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，結(jié)合等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形計算可得．【詳解】（1）證明：，，，，．（2）①證明：垂直平分，，，在和中，，，，，，，，又，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，．②（解法不唯一）如圖，延長到，使，連接，，，，，，，，，又，，，，在中，，，，，，四邊形內(nèi)角和為，，，，在和中，，，，，，，即，，，，，，．【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．16．(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）利用圖中互余的角證明，，進(jìn)而可證明，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意先證，垂直平分，進(jìn)而可證得，得，再證，可得，則，進(jìn)而可知為等腰直角三角形，得，過點作，交延長線于，則為等腰直角三角形，得，，再證，得，根據(jù)，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況：當(dāng)在線段上時，當(dāng)在的延長線上時，證明為等腰直角三角形，則也為等腰直角三角形，利用等面積法求得，的長度即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，則，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，點為的中點，∴，則垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，則，∵，則，∴，則，∴為等腰直角三角形，∴，過點作，交延長線于，則為等腰直角三角形，∴，，則，∵，∴，又∵，∴，∴，則，即：；（3）當(dāng)在線段上時，由（2）可知垂直平分，為等腰直角三角形，則也為等腰直角三角形，∴∵，，，∴，∵，即，∴，∴；當(dāng)在的延長線上時，∵，點為的中點，∴，垂直平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，則∵，∴，即，∴為等腰直角三角形，則也為等腰直角三角形，同上可知，，，∴；綜上，線段的長度為或．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，垂直平分線的判定及性質(zhì)，勾股定理等知識點，理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)