河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附答案）

河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題（每小題5分，共計(jì)40分）1．已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．2．已知向量，則（

）A． B．C． D．3．某檢測(cè)箱中有10袋食品，其中有2袋符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)檢員從中任取1袋食品進(jìn)行檢測(cè)，則它符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的概率為（

）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．8．在中，是的中點(diǎn)，，若，則的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，多選題（每小題6分共計(jì)18分）9．下列選項(xiàng)中，值為的有（

）A． B．C． D．10．如圖是函數(shù)的部分圖象，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的周期是B．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)11．如圖，一個(gè)半徑為米的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)圈，筒車(chē)的軸心距離水面的高度為米.設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，則與時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)秒就可到達(dá)最低點(diǎn) D．盛水筒在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過(guò)程中，在水中的時(shí)間為秒三、填空題（每小題5分，共計(jì)15分）12．已知，，是表面積為的球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則球心到平面的距離為．13．若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則.14．如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（，交兩點(diǎn)不重合）.若，（），則的最小值為.四、解答題15．（13分）.已知，．(1)求的值；(2)若，且，求的值16.（15分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)求的取值范圍．17.（15分）已知復(fù)數(shù)，，其中．(1)若，且為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)；(2)若為虛數(shù)，為實(shí)數(shù)，且，求實(shí)部的取值范圍18.（17分）已知點(diǎn).（1）求的坐標(biāo)及；（2）若，求及的坐標(biāo)；（3）求（17分）高一年級(jí)舉辦立體幾何模型制作大賽，某同學(xué)想制作一個(gè)頂部是正四棱錐、底部是正四棱柱的模型，并畫(huà)出了如圖所示的直觀圖.其中正四棱柱.的高是正四棱錐.的高的4倍.(1)若；(i)求該模型的體積；(ii)求頂部正四棱錐的側(cè)面積；(2)若頂部正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6，當(dāng)為多少時(shí)，底部正四棱柱的側(cè)面積S最大?并求出S的最大值數(shù)學(xué)答案1．C【分析】由投影向量計(jì)算公式，可得答案.【詳解】在上的投影向量.故選：C.2．C【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，可得答案.【詳解】由題意可得.故選：C.3．B【分析】根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)，質(zhì)檢員從中任取1袋食品進(jìn)行檢測(cè)，則它符合國(guó)家衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)的概率為.故選：B.4．B【分析】將復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解出來(lái)，即可得出虛部.【詳解】由題意，得，所以的虛部為，故選：B．5．B【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù).因?yàn)?，則.由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B6．B【分析】利用兩個(gè)向量的垂直關(guān)系以及數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，再代入投影向量的公式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，設(shè)的夾角為，所以在上的投影向量為.故選：B.7．D【分析】根據(jù)已知得，再由正弦邊角關(guān)系即可得比值.【詳解】由，且，則，所以.故選：D8．B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量基本定理計(jì)算求值即可.【詳解】如圖，因?yàn)椋渣c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則有,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.所以，.故選：B.9．ABD【分析】由三角恒等變換以及誘導(dǎo)公式逐一驗(yàn)算即可求解.【詳解】A選項(xiàng)：；B選項(xiàng)：；C選項(xiàng)：；D選項(xiàng)：因?yàn)?，可得；故選：ABD.10．AB【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出、，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】由圖可得，所以，則，解得，即函數(shù)的最小正周期是，故A正確；又，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B正確；因?yàn)椋灾本€不是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，顯然為非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．ABD【分析】根據(jù)的最大值為，最小值為可求得的值，可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)時(shí)可得選項(xiàng)B正確；令求出的值可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由求出的范圍可得選項(xiàng)D正確.【詳解】由題意得，的最大值為，最小值為，∴，解得，選項(xiàng)A正確.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)圈可得，故，∴，∵時(shí)，，∴，∵，∴，選項(xiàng)B正確.由B得，，令，得，故，∴，故，令得，，故盛水筒出水后至少經(jīng)過(guò)秒可到達(dá)最低點(diǎn)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由，得，得，∴，解得，∴盛水筒在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過(guò)程中，在水中的時(shí)間為秒，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．【分析】根據(jù)題意可得球的半徑為和的外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，由題意可知：是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，其外接圓半徑，所以球心到平面的距離為.故答案為.13．【分析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在時(shí)取得最值，所以，結(jié)合輔助角公式得：，即，整理得：，解得.故14．.【分析】先用表示，利用已知代入表達(dá)式，結(jié)合D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得，然后妙用“1”可解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，，所以，所以，因?yàn)镈，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，結(jié)合已知可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，取等號(hào)；即的最小值為，故15．(1)；(2)．【分析】（1）利用二倍角余弦公式和商數(shù)關(guān)系弦化切，求得；（2）根據(jù)條件，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，利用兩角和的正切公式求出得解.【詳解】（1）由即，解得，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，且，所以，所以，所以，又，，所以，所以?6．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】（1）由條件得，

由余弦定理得，

因?yàn)?，所以?/p>

得，即，

因?yàn)椋裕?/p>

又，所以．（2）．

因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且，所以．

所以，即的取值范圍是．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義來(lái)確定復(fù)數(shù)；（2）先設(shè)出的表達(dá)式，再根據(jù)為實(shí)數(shù)得出相關(guān)等式，最后結(jié)合的取值范圍求出實(shí)部的取值范圍．【詳解】（1）已知，則．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則展開(kāi)可得：，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義，可得．解得．所以．（2）設(shè)（，且）．則．可得：．所以．因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以虛部為，即．因?yàn)?，可得，即．此時(shí)．又因?yàn)?，即，可得?8．（1）（2），（3）【分析】（1）由，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算得出的坐標(biāo)，再由模長(zhǎng)公式得出；（2）由坐標(biāo)運(yùn)算，即可得出答案；（3）根據(jù)數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）依題意，所以.（2）（3）本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及了模長(zhǎng)公式，數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題19．(1)（i）312；（ii）；(2)，.【分析】（1）（i）利用棱錐、棱柱的體積公式計(jì)算即得；（ii）求出棱