2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十七章 勾股定理與幾何輔助線壓軸題30道（原卷版）

第十七章勾股定理與幾何輔助線壓軸題精選30道

【人教版】

一.選擇題（共10小題）

1.已知，如圖在三角形48c中，AC=4,ZA=30°,ZABC=15°,延長(zhǎng)/C到點(diǎn)D,使得DC=/C,

則BD的長(zhǎng)為（）

A.5B.3百

2.四邊形/3C。的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線NC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△N8C為等腰三角形

時(shí)，△48C的面積為（）

A.3V32B.3V7D.15

3.如圖，在△N8C中，AB=AC,￡是邊上一點(diǎn)，連接CE,在8c的左側(cè)作8尸〃NC,且8尸=，￡,連

接CF.若NC=26,BC=20,則四邊形班FC的面積為（）

A.120B.240

4.如圖，△/8C中，ZC=90°,的垂直平分線分別交/8、NC于點(diǎn)。、E,若BC=返，AE-.EC=3：

2,則48的長(zhǎng)為（）

A.V41B.V30c.V10D.3

5.如圖，在中，斜邊48=6,以4C為邊向△45C外作等邊三角形/CD,以5C為腰作等腰RtA

BCE,連結(jié)?！耆?C為Q,BC為b,DE為c,則下列關(guān)系式成立的是（

A.ab+S=c2B.a2+b2=2c2D.ab+36=c2

6.如圖，在△45C和△45。中，AB=AC=AD,ACLAD,于點(diǎn)E,的反向延長(zhǎng)線與她交于

點(diǎn)R連結(jié)CD,則線段5RDF,CD三者之間的關(guān)系為（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2=CD2D.2BF-2DF=CD

7.如圖，△45C與△4CQ均為直角三角形,且N4c5=NG4Z)=90°,AD=2BC=12,AB：BC=5：3,

點(diǎn)E是5。的中點(diǎn)，則ZE的長(zhǎng)為（）

A.3B.5C.4D.6

8.如圖，四邊形4BCD中，對(duì)角線NCLHD,點(diǎn)F為8上一點(diǎn)，連接/尸交3。于點(diǎn)E,AFLAB,DE

DF,/BAG=/ABC=45°,BC+4G=20VLAE=2EF,則/尸=()

A.12B.8V2C.10。?理

9.如圖，在△NBC中，NO_L5C于點(diǎn)D,BF平分NABC交AD與點(diǎn)、E,交/C于點(diǎn)尸，AC=\3,AD=12,

8c=14,則的長(zhǎng)等于（）

9

A.-B.5

10.如圖，△4BC中，NC=90°,AC=BC=g,將△NBC繞點(diǎn)/順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°至！的位置,

連接CB,則CB的長(zhǎng)為（）

A.2-V2B.亨

二.填空題（共10小題）

11.如圖，在△48C中，AB^AC,點(diǎn)。在邊/C上，且4D=AD,過(guò)點(diǎn)/作交8。的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)￡,若/E=6,BC=2近0,則3。的長(zhǎng)為

A

--------------C

12.如圖，在△ABC中，8DLNC,點(diǎn)E是NB的中點(diǎn)，BD于CE交于F點(diǎn)、,MFB=FC,ZC=￡C=10時(shí),

則BC的長(zhǎng)是.

13.如圖，四邊形/BCD中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>90°,ACLBC,若N8=2,AD=近,則

BD的長(zhǎng)為.

14.如圖，在△/BC中，NB=90°，點(diǎn)。在線段2C上，點(diǎn)E在線段4。上，ZBAC=ZDEC=~ZADB,

CD=6,AB=12五,則線段8。的長(zhǎng)為.

15.如圖，Rt4/BC中，ZACB=90°,AC=BC,BC上有一點(diǎn)。，連接4D,作且/￡=/￡>,

連接BE交AC于點(diǎn)F,使EF=V26CF,當(dāng)CD=6時(shí)，則CF=.

16.如圖，在四邊形/BCD中和，AB=BC=6,ZABC=60°,ZADC=9Q°.對(duì)角線NC與8。相交于點(diǎn)

E,若BE=3DE,則磯）

17.如圖，在△4BC中，AD是/C邊上的中線，AE1是△48。中2。邊上的中線，若/CAD=60°,ZAEB

=150°,BD=4,則N8=.

18.如圖，△N8C中，BC=8,AC-AB=3,。是△48C外一點(diǎn)，且N/CD+N/AD=180°,CD=BD.若

ADLCD,則△BCD的面積是.

19.如圖，在等腰△/8C中，4B=/C=10,3c=12,4D為△/8C的中線，F(xiàn)E1垂直平分48交/。于點(diǎn)

20.如圖，在△/8C中，AB=AC,BC=12百，CD=20,NADB=30。，^CAD=3^BAD,則8。的長(zhǎng)

為.

三.解答題(共10小題)

21.在△A8C和△/￡>￡中，點(diǎn)。在BC邊上，/BAC=NDAE=cc,AD=AE.

(1)AB—AC.

z)如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，連接EC,猜想并求線段。8,DC,DE之間的數(shù)量關(guān)系；

ii)如圖2,當(dāng)a=60°時(shí)，過(guò)點(diǎn)/作的垂線，交8c邊于點(diǎn)尸，若8c=8,BD=2,求線段CF的長(zhǎng)；

(2)如圖3,已知a=90°,過(guò)點(diǎn)/作。￡的垂線，交BC邊于點(diǎn)、F,若力B=4而，AC=2近,當(dāng)CF=

1時(shí)，則線段8。的長(zhǎng)為.

22.已知△/BC是等腰直角三角形，ZACB=90°.

(1)如圖1,點(diǎn)M在斜邊N8上，且NC=1+打，K4=VL則線段兒必=,MC

(2)如圖2,點(diǎn)M在△48C外，MA=2,MC=5,ZAMC=45°,求A/&

(3)如圖3,點(diǎn)〃在△48C外，M4=3,MB=3近,MC=6,求NC.

M

圖3

23.已知△NBC中，/BAC=9Q°,AB=4C.

(1)如圖1,當(dāng)8、C、M、N在同一直線上，且/M4N=45°,BM=\,CN=2時(shí),MN：

(直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果)

(2)如圖2,當(dāng)2、C、M、N在同一直線上，且/〃NN=135°時(shí)，寫(xiě)出線段8M、CN、MV之間的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明;

(3)如圖3,當(dāng)BML4B于點(diǎn)B,CN_L4C于點(diǎn)C,BM=CN=2?且NM4N=135°時(shí)，直接寫(xiě)出線

段的值.

圖2圖3

24.(1)如圖1,在RtZ\48C和RtZXADE1中，/B4C=/D4E=9Q°,AB^AC,AD=AE,且點(diǎn)。在5c

邊上滑動(dòng)(點(diǎn)。不與點(diǎn)8,C重合)，連接EC.求證：B?+CD2=2AD2；

［拓展延伸］

(2)如圖2,在四邊形/BCD中，/ABC=/ACB=NADC=45°.若BD=17cm,CD=8cm,求40

的長(zhǎng)；

(3)如圖3,把斜邊長(zhǎng)都為18c加的一副三角板的斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間

的是巨離48長(zhǎng)為cm.

25.如圖，等腰△/8C和等腰AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a.

(1)如圖1,a=60°,//OC=30°,40=6,CD=8,求線段2。的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,a=120°,點(diǎn)M、N在線段8c上，ZMAN=60°,BM=MN,求證：MN=CN；

(3)如圖3,a=90°,連接BE和CD,若NC=6,ND=4,BE=5,直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)

為.

26.學(xué)完勾股定理后，小宇碰到了一道題：如圖1,在四邊形中，ACLBD,垂足為。，若AB=5,

CD=4,BC=6,則4D的長(zhǎng)為.

他不會(huì)做，去問(wèn)同桌小軒，小軒通過(guò)思考后，耐心地對(duì)小宇講道：“因?yàn)镹CLBO,垂足為O,那么在

四邊形/3CD中有四個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得/〃2=0/2+002,BC2=OB2+OC2,AB-=

OA2+OB2,CD2^OC2+OD2-"小軒話沒(méi)講完，小宇就講道：“我知道了，原來(lái)/￡>2+8C2與/32+CD2

之間有某種數(shù)量關(guān)系.”并對(duì)小軒表示感謝.

(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

(2)如圖2,分別在△/2C的邊BC和邊N8上向外作等腰RtZkBCQ和等腰RtA43P,連接PC,PQ.

①若/C=4,BC=8,連接/Q,交PC于點(diǎn)、D,當(dāng)N/C8=9(T時(shí)，求P。的長(zhǎng)；

②如圖3,若48=10,BC=8,PC=8百，當(dāng)/NC3W90°時(shí)，求△48C的面積.

27.如圖，點(diǎn)。為等邊△NBC邊NC上一點(diǎn)，點(diǎn)￡為射線8c上一點(diǎn)

(1)若點(diǎn)￡在邊2C上且CE=4D,求證：/BFE=6Q°；

(2)若點(diǎn)E在線段5c的延長(zhǎng)線上，連接力￡交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,當(dāng)8G=8C時(shí)，求證：BD=

AD+CE；

(3)在(2)的條件下，若CD=5,BE=T2,則48=

28.已知△/C2是等腰直角三角形，CA=CB,

(1)如圖1,△CDE是等腰直角三角形，點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上，CD=CE,連接2D,求證：BEL

AB-,

(2)如圖2,點(diǎn)/是斜邊上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是N8延長(zhǎng)線上動(dòng)點(diǎn)，總有NPC8=NCGR探究NFGF,

2G的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,點(diǎn)〃是/C一點(diǎn)，連接EH,若/HFC=45°,AF=m,BF=n,直接寫(xiě)出△CHF的面積

為(用小，n表示).

29.在等腰△N8C中，AB=AC,。為8c上一點(diǎn)，￡為/。上一點(diǎn)，連接BE,CE,NBAC=/CED=2/

BED—2x.

(1)如圖1,若x=45°,求證：CE=2AE；