2025屆八省部分重點中學高三年級下冊3月聯(lián)合測評（T8第2次聯(lián)考）數(shù)學試題 （學生版+解析版）

2025屆高三部分重點中學3月聯(lián)合測評（T8第2次聯(lián)考）

數(shù)學試題

考試時間：2025年3月27日

試卷滿分：150分考試用時：120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時.選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1已知復數(shù)z滿足z+2i=zi,則忖=（）

A.75B.2C.72D.同

53

1_X

2.已知集合尸={My=ln(l-2x)},Q=<yy=~^~則PnQ=()

a〃+租

3.已知實數(shù)。<匕，則“m>0”是“一<---”的（）

bb+m

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.2025年蛇年春晚武漢分會場地點設在黃鶴樓，樓的外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層.為營造春節(jié)的喜

慶氣氛，主辦方?jīng)Q定在黃鶴樓的外部用燈籠進行裝飾.這五層樓預計共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一

層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，則最中間一層需要掛燈籠的數(shù)量為（）

A.12盞B.24盞C.36盞D.48盞

5.若coscr+cos，=g,cos（i—尸）=一；，其中。兀），則sina+sin〃=（

AV5RV6n2

2X.D.X—Z.\j,

2242

6.設N為正整數(shù)，在平面直角坐標系。孫中，若CQ：2+c3y2=l（O<7〃<N,O<〃<N,且帆〃eZ）

恰好能表示出12個不同的橢圓方程，則N的一個可能取值為（）

A.12B.8C.7D.5

7.在研究性學習活動中，某位學生收集了兩個變量x與>之間幾組數(shù)據(jù)如下表：

X1234

y0235

根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得經(jīng)驗回歸方程為$=+6.該同學又收集了兩組數(shù)據(jù)％=5,y=4和x=6,y=5,利

用這六組數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為$=則以下結論正確的是（）

n

￡x》_nxy

參考公式：經(jīng)驗回歸方程為$=%+其中另=號----------，a=y-bx.

-me-

i=l

A.b>bf,d>afB.b<b\a>a,

C.b<b\a<a'D.g>//,d<ar

8.已知A（Xp弘）,5（%2,%）是圓,：（%-1）?+y2=4上的動點，且（玉—］）（九2—1）+%%=—§,當點Af滿

足麗=3祝5，點尸在橢圓石：土+乙=1上運動時，加的最大值為（）

9811

A.3+8B.4+72

C4+73D.5+72

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分

9.如圖，圓錐SO的底面半徑為1,側面積為4兀，△S4B是圓錐的一個軸截面，則（）

s

B.圓錐SO的側面展開圖的圓心角為——

3

C.由A點出發(fā)繞圓錐側面一周，又回到A點的細繩長度的最小值為

D.該圓錐內(nèi)部可容納的球的最大半徑為巫

5

10.己知。力均為正實數(shù)，且過點的直線與拋物線丁2=_2〃％(〃>0)相切于點雙1-2,￡|,下列

說法正確的是()

A.a+3b=2B.”2+匕2的最小值為g

C.—I-----的最小值為3D.--------1--------的最小值為一

a3btz+lb+29

11.設曲線C:f(x—y)=2,下列說法正確的是()

A.曲線。的圖象僅在第一、三象限內(nèi)

B.曲線c的漸近線為直線丁=%和y軸

C.曲線C與曲線E：/(y—x)=2沒有交點

D.曲線。與圓。：/+：/=2交于A,3兩點，直線A3斜率大于0+1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(1-依)6(aw0)展開式的各二項式系數(shù)的和是其系數(shù)和的64倍，則實數(shù)。的值為.

13.已知函數(shù)/(司=5425-《卜1(?！?)在區(qū)間［0,可上恰有兩個零點，則。的取值范圍是

14.若函數(shù)y=/(x)滿足：對任意的正實數(shù)加,"，有++恒成立，則稱函數(shù)

y=/(x)為“「函數(shù)”.若函數(shù)/(x)=ln(x+l)+G：2是“「函數(shù)，，，則實數(shù)a的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

15.在VA8C中，內(nèi)角AB,。所對的邊分別為a,b,c,且bcosC=g〃+ccos3.

(1)求證：tanB=4tanC；

⑵若c=非,sinC=g，求VA3C的面積.

16.如圖，在長方體ABC?！校珹B=AD=1,朋=2,M,N分別為棱。4,3C上的動點

(含端點).

(1)當點“在什么位置時，有4。，平面MAC；

DMBN

(2)當動點"，N滿足時，求點A到平面距離的取值范圍.

L)L)]￡>C

17.函數(shù)/(x)=e"'-Inx+a.

⑴若。=1,求/(x)的極值點個數(shù)；

(2)是否存在整數(shù)。，使得函數(shù)/(力的圖象與y=(2—a)x+a的圖象在區(qū)間。,+")上有兩個交點？若

存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由.

22

18.如圖，已知雙曲線C：J—方=1(?！?,6〉0)的離心率為線段44,3避2分別為。的實軸與

虛軸，四邊形4月4紇的面積為8.

yt

AT/

FjA\IA\F2X

/r\

(1)求C的標準方程；

(2)若直線/與C的左、右兩支分別交于M,N兩點，且總有&與平分NM&N.

①求證：直線/恒過定點，并求出定點坐標；

②若直線&〃，&N與直線x=g分別交于P,Q兩點，求與△&PQ面積之和的最小值.

19.在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的乘積，形成一個新數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列

的一次“J延拓”.如數(shù)列1,2第一次“J延拓”后得到數(shù)列1,2,2,第二次“J延拓”后得到數(shù)列1,2,2,4,

2.將數(shù)列a,4c經(jīng)過幾次“J延拓”后所得數(shù)列的項數(shù)記為只，所有項的乘積記為Q”.

(1)給定數(shù)列一1,2,1,回答下列問題：

①求EQ；

②若屏+21>22025,求正整數(shù)”的最小值.

(2)已知數(shù)列a,。,c,其中a,4ce{-3,—2,—LI,2,3},求該數(shù)列經(jīng)過3次“J延拓”.后，2能被48整除

的概率.

2025屆高三部分重點中學3月聯(lián)合測評(T8第2次聯(lián)考)

數(shù)學試題

考試時間：2025年3月27日

試卷滿分：150分考試用時：120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時.選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知復數(shù)z滿足z+2i=zi,則忖=()

A.亞B.&C.V2D.顯

53

【答案】C

【解析】

【分析】由復數(shù)的四則運算，及模長公式即可求解.

【詳解】???(1—i)z=-2i,

-2i1.

..z—------1—1f

1-i

故忖=A/2.

故選：C

2.已知集合尸={x|y=ln(l-2x)},Q=<yy=^—則PP|Q=()

【答案】A

【解析】

【分析】先求對數(shù)型函數(shù)的定義域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求集合Q中函數(shù)的值域，最后求兩集合的交集即

可.

【詳解】對于集合P，由1—2x＞0,得x＜g,所以P=1—8,；|；

對于集合Q,由e*＞0,得匕《＜，，所以Q=（一”，]],

22I2J

則PcQ=1_”,g].

故選：A.

＜7n+m

3.已知實數(shù)。＜匕，則“機＞0”是“一＜-----”的（）

bb+m

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

a（]+ma"+

【分析】利用特殊值代入判斷m＞0不能推出——，且——也不能推出機＞0,再用充分必要

bb+mbb+m

條件的定義判斷即可.

a〃+租

【詳解】已知實數(shù)若冽＞0,例如〃=一2,b=-l,m=2,得一〉-----，

bb+m

?7/7+m

???“加＞0”不是“；＜7一”的充分條件；

bb+m

n（1ni

若一＜-----，例如a=0,b=l,切=—2符合此不等式，但是加＜0,

bb+m

n〃+n7

??."m＞0”不是"一＜---”的必要條件.

bb+m

HnTri

???“加＞0”是“一＜---”的既不充分也不必要條件.

bb+m

故選：D.

4.2025年蛇年春晚的武漢分會場地點設在黃鶴樓，樓的外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層.為營造春節(jié)的喜

慶氣氛，主辦方?jīng)Q定在黃鶴樓的外部用燈籠進行裝飾.這五層樓預計共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一

層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，則最中間一層需要掛燈籠的數(shù)量為（）

A.12盞B.24盞C.36盞D.48盞

【答案】B

【解析】

【分析】各層樓的燈籠數(shù)從上至下依次成等比數(shù)列，依據(jù)公比和前5項和可求得首項，即可求最中間一層的

燈籠數(shù)量.

【詳解】由題意知，各層樓的燈籠數(shù)從上至下依次成等比數(shù)列，記為數(shù)列{4},

第5層樓所掛燈籠數(shù)為0，公比q=2.

由“°")=186,解得q=6.

1—4

則最中間一層的燈籠數(shù)為%==24.

故選：B

5.若coso+cos/=g,cos（i-￡）=-；,其中。兀），則sina+sin〃=（）

A.近53

D.---------C.一D.-

2242

【答案】A

【解析】

【分析】由（sina+sin尸了，（cosa+cos尸y相加即可求解.

【詳解】令sin^z+sin/7=^(^>0)①，

?/coscr+cos夕=g②，

二.由①2+②2,得2+2cos(a—/)=r+：,

又cos(a—/?)=—4，故又t>G，:.t=.

故選：A

6.設N為正整數(shù)，在平面直角坐標系。孫中，若C?/+C3y2=I（O<7〃<N,O<〃<N,且帆〃eZ）

恰好能表示出12個不同的橢圓方程，則N的一個可能取值為（）

A.12B.8C.7D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知加力〃，分類討論當N為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況時c%,C。的取值情況，進而由橢圓個數(shù)

求出N的值，即可得解.

【詳解】由C?=cr'"知，當N為偶數(shù)時，，,C3均有g+l個不同的取值.由方程是橢圓的方程知，

(N\N(N\N

，豐故方程可表示的不同的橢圓方程的個數(shù)為萬+1?萬，令了+1'5=12,解得N=6.

N+lN+lN-1

當N為奇數(shù)時，C；,C3均有三一個不同的取值.故方程可表示的不同的橢圓方程的個數(shù)為方———

N+lN-1

令-----------=12,解得N=7.

22

綜上所述，N=6或7.

故選：C.

7.在研究性學習活動中，某位學生收集了兩個變量X與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：

X1234

y0235

根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得經(jīng)驗回歸方程為亍=%+6.該同學又收集了兩組數(shù)據(jù)X=5,y=4和x=6,y=5,利

用這六組數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為夕=//%+",則以下結論正確的是()

?/一"孫

參考公式：經(jīng)驗回歸方程為$=%+其中b=上;

----------,a=y-t

L1-rix2

1=1

A-b>b',a>a'I工b<b\a>ar

C-b<b',a<a'[>b>br,a<a'

【答案】D

【解析】

【分析】利用線性回歸系數(shù)公式計算如&4,//即可.

-5

【詳解】該同學收集了四組數(shù)據(jù)，由表中數(shù)據(jù)知x

2

,(1x0+2x2+3x3+4x5)-4x-x-8

：.B=------------------------------------————=—八=-5-5X-8=-3.

(f225'.

+22+3+4)-4X^J2252

7-19

又收集了兩組數(shù)據(jù)(5,4)和(6,5)后，新的平均數(shù)為P

:.b>bf?a<ar?

故選：D.

8.已知人（石,％）,5（入2，%）是圓。：（％-1）2+〉2=4上的動點，且（玉一1）（九2一1）+%%=—1，當點”滿

22..

足麗=3庇，點尸在橢圓石：土+匕=1上運動時，加的最大值為（）

9811

A.3+43B.4+72

C.4+73D.5+0

【答案】B

【解析】

【分析】本題先根據(jù)圓上點的坐標得到向量石、CB，利用已知條件算出至鼠而和向量模長.再由

麗=3加推出心而與瓦、區(qū)的關系，進而求出|由確定動點河的軌跡是個圓.接著根據(jù)三角形三

邊關系得到I前百與|定|的不等式.因為圓心C是橢圓右焦點，可求出IPCI最大值，最后得出|秘|的最大

值.

【詳解】4（%,%），5（%2，%）是圓。：（％-1）2+丁2=4上的動點，圓心。（1,0）,

=

（玉-l）（x2-1）+J1J2CACB=,且|CA卜|cfi|=2,

__,_____.3—?1―.

由BM=3W1，得CM=：CA+：CB，

44

22

???動點〃在圓心為c（l,o）,半徑為夜的圓上運動，點P在橢圓三+餐=1上運動，

貝/阿〈西+H

22

又c(i,o)為橢圓%---J----1=1的右焦點,??.|PC|的最大值為3+1=4,

9----8

此時P為橢圓的左頂點，點河的坐標為(1+后,0卜

旃|的最大值為4+a.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分

9.如圖，圓錐SO的底面半徑為1,側面積為4兀，△S4B是圓錐的一個軸截面，則()

A.圓錐的母線長為4

B.圓錐SO的側面展開圖的圓心角為生

3

C.由A點出發(fā)繞圓錐側面一周，又回到A點的細繩長度的最小值為4正

該圓錐內(nèi)部可容納的球的最大半徑為巫

D.

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)側面積公式即可求解A,根據(jù)弧長公式即可求解B,根據(jù)展開圖即可求解C,根據(jù)等面積法或

者利用相似即可求解D.

【詳解】圓錐的側面展開圖如圖所示.

設圓錐的母線長為/,底面半徑為尺，圓錐SO的側面積為兀凡=4兀，，/=4,..?選項A正確；

圓錐SO的側面展開圖的圓心角。=旦='，..?選項B錯誤；

I2

如上圖，由A點出發(fā)繞圓錐側面一周，又回到A點的細繩長度最小值為圓錐側面的展開圖得到的扇形的圓

心角所對的弦長AA，

AA'=J5/=4A歷,「?選項C正確；

球與圓錐內(nèi)切時，球的半徑最大，此時球心在軸SO上，且內(nèi)切球的大圓內(nèi)切于圓錐的軸截面.

._____1,-1

設內(nèi)切球的半徑為一，圓錐的高為J/2_[2=岳,由等面積法得“鉆=5*2、屑=5*(4+4+2)氏，

解得「=巫，

5

或者作出圓錐軸截面圖象，

設圓錐內(nèi)部最大球即與圓錐相切的球的半徑為廣，由于△SO8~ASCO一則生=里，

OBSB

可得二=正=，解得「=巫.

145

故選：ACD

10.已知。力均為正實數(shù)，且過點3的直線與拋物線9=-2px(p>0)相切于點2,g],下列

說法正確的是()

A.a+3b=2B.1+/的最小值為

C.—的最小值為3D.--------1--—的最小值為辛

a3ba+1b+29

【答案】ACD

【解析】

【分析】由切線方程得到。+36=2,再結合消元，利用二次函數(shù)和基本不等式求最值逐項判斷即可.

（41164

【詳解】由N1—2,在拋物線上，可得：4p=—,得P=§

8

由拋物線方程/=—gx,得到y(tǒng)=±X

-9-

1

當y20時y求導得:

當x=—2時，可得以點N1—2,gj為切點的切線斜率為：—g,

切線方程為y—：=—；（x+2）即x+3y—2=0.又切線過點（。涉），故。+3。=2,...選項A正確;

2

,.,Q+3Z?=2,:.a=2-3b,又a力均正實數(shù)，:.Q<b<—.

3

a2+Z?2=（2-3Z?）2+&2=10&2-12/7+4=io[》—g]+|?

3?

當b=y時，/+〃取得最小值，最小值為彳，.?.選項B錯誤;

2aa+3ba3ba、，13ba

—+——=-------+——=14+——+——>1+2J--------

a3ba3ba3b\a3b

Q7

當且僅當吆=烏，即a=3〃=1時取等，，選項C正確;

a3b

???K3〃=2,-M+l)+33+2)=9,++=>+

19>1(10+279)=^

----1--7----r

a+13伍+2)93口野

30+2)9(?+1)9

當且僅當即a+l=/?+2=—時取等號，，選項D正確.

6Z+130+2)'4

故選：ACD

11.設曲線C：f（x—y）=2,下列說法正確的是（）

A.曲線C圖象僅在第一、三象限內(nèi)

B.曲線c的漸近線為直線丁=%和y軸

C.曲線C與曲線E:y2(y—x)=2沒有交點

D.曲線。與圓。：/+;/=2交于48兩點，直線A3的斜率大于0+1

【答案】BCD

【解析】

【分析】代入即可求解A,根據(jù)九-y)=0,即可求解B,根據(jù)對稱即可求解C,根據(jù)兩點斜率公式可

得E+干土7，結合不等式即可求解.

【詳解】易知點(1,—1)在曲線C上，，選項A錯誤；

令12(x—y)=o,則直線y=x和y軸為曲線。的漸近線，事實上，曲線。的圖象如下圖所示，，選項B

正確;

2

曲線(x—y)=2與曲線￡：y2(y—6=2關于y=x對稱.又d(尤—丁)=2化為y=x—-r<x,z.

X

曲線c在直線y=x下方，由對稱知曲線E：y2(y—x)=2在直線y=x上方，.?.曲線C與曲線E沒有交點,

選項c正確；

設B(x2,y2),結合圖象分析，當曲線。與圓。：必+儼=2交于A3兩點時，玉>0,X2>0,

22

石------％

此時直線AB的斜率k==___寸__[_2學--_--=-1+2(西+：2)〉1+3,I----=-1+4

3

占一々七一々(占%)?(西馬)2J(X.X2}

X；+y；=2,①

又《故①+②得x；+x；+y；+￡=4那么x；+x；W4,故2再々<x^+xf<4,即

%+犬=2,②'

X%2<2,從而左>1+0,選項D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若（1-oc）6（a/0）展開式的各二項式系數(shù)的和是其系數(shù)和的64倍，則實數(shù)。的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出（1—公）6（aNO）的展開式中二項式系數(shù)和與系數(shù)和，可得26=64（l—a『，解方程即可得

出答案.

【詳解】（1—公『（a彳0）的展開式中二項式系數(shù)和為26,系數(shù)和為（1—of,

?:26=64（1—=（2—2a）6,/.2=±（2-2a）,

又〃wO,故2=2〃—2,解得a=2.

故答案為：2.

13.己知函數(shù)/（x）=sin12°x—《卜1（?！?）在區(qū)間［0,可上恰有兩個零點，則。的取值范圍是

【答案】

【解析】

7T7171

【分析】換元/=20x—-,由sin/=l在區(qū)間-二,2兀刃一二上恰有兩個實數(shù)根，即可求解.

666

TTJTTT

【詳解】由OWxW兀得一一<2?x——<2兀。一一.

666

令/(%)=。,貝Usin|2ox—E=1在區(qū)間［0,可上恰有兩個實數(shù)根.

令t=2a）x7-1則sim=l在區(qū)間-2,2兀0一$上恰有兩個實數(shù)根.

666

97T47

—,解得一—.

233

14.若函數(shù)y=/(x)滿足：對任意的正實數(shù)加，"，有/'(相+7。>/'(")+/(〃)恒成立，則稱函數(shù)

y=/(x)為“「函數(shù)”.若函數(shù)/(x)=ln(x+l)+ax2是"「函數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】；,+8

【解析】

【分析】代入可得2?/nra+ln(m+ra+l)-ln(m+l)-ln(77+l)>0恒成立，構造函數(shù)

^(x)=2?/zx+ln(x+w+l)-ln(x+l)-ln(M+l),求導，對a分類討論，即可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解最

值得解.

【詳解】由題可知，Vm,ne(0,+co),有111(m+〃+1)+0(7%+〃)->111(m+1)+卬％2+111(〃+1)+812恒

成立，

即2a/〃〃+ln(m+〃+l)-ln(m+l)-ln(〃+l)>0恒成立.

令姒%)=2anx+ln(x+〃+l)-ln(x+l)-ln(〃+l),x>0,n>0.

(p'(x\=2an-\-------------------

x+n+1x+1

令，…("小尸(^^+般〉。

.??。(尤)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增.

r

①當a2工時，(p(X)>n-\-------------------=nJ+-八〉°恒成立，故。(％)在區(qū)間[0,+“)

2X+7?+1x+1I~I-A11~v~fL~I-AI

上單調(diào)遞增.

?.,加>0,...0(>O(0)=0成立，符合題意;

②當a?0時,0'(x)<O恒成立，在區(qū)間［0,+s)上單調(diào)遞減.?.?加>。，”(m)<0(O)=O,與

題意矛盾;

I〃

③當0<a<一時，e'(0)=2a〃-=--n---\2a---,當時，0'(0)<0.

2n+1Vn+1

又。(九)在區(qū)間［0,+")上單調(diào)遞增，且9,—-1|=2tznJ>2an(l-2a^>0,

2aJ

一+〃

2a

使得0'(Xo)=O,當xw[O,Xo)時，(p'(x)<Q,

0（x）在區(qū)間［0,九0）上單調(diào)遞減.，67ZG（O,Xo）時，使得0（m）<0⑼=0,矛盾.

綜上所述，a>-.

2

故答案為：—,+CO^

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

15.在VABC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為Q,b,c,且灰x）sC=gi+ccosB.

（1）求證：tanB=4tanC；

⑵若c=底sinC=手，求VA3C的面積.

【答案】（1）證明見解析

（2）5

【解析】

3

【分析】（1）由8cosC=ja+ccosB,利用正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角化簡整理得到

sinBcosC=4cosBsinC證明；

（2）由tanB=4tanC,結合sinC=^^，得到tanC='，tanB=2,從而siaB=35，邊上的

525

高/z=c?sinB=2,由SVABC=；3C,/z求解.

【小問1詳解】

3

證明：已知bcosC~~a+ccos5,

33

由正弦定理得sinBcosC=—sinA+sinCcosB=—sin（B+C）+sinCcosB,

整理得sinBcosC=4cosBsinC.

若cosC=0,貝Icos5=0,這與氏。為VABC的內(nèi)角矛盾，

「.cosCwO,同理，cosBwO,

兩邊同除以cos5cosC,得tanB=4tanC.

【小問2詳解】

由tanB=4tanC可知5cG|0,g|.

又sinC=^^，，tanC='，tanB=2,

52

??n一2君

..SIILD—--------?

5

如圖所示：

設邊上的高為/?,貝!J/z=c-sinB=2.

h/z22廠

BC=------1-----=—F丁—5

又tanBtanC2￡?

2

S^=-BC-h=-x5x2=5.

△ADRUr22

16.如圖，在長方體ABC?！狝BC12中，AB=AD=\,A\=2,M,N分別為棱上的動點

（含端點）.

BNC

（1）當點“在什么位置時，有4。，平面M4C；

DMBN

（2）當動點Af,N滿足；3丁=三廠時，求點A到平面距禺的取值范圍.

nC

【答案】（1）〃是棱。，上靠近點。的四等分點

2.

(2)—,2

3

【解析】

【分析】（1）以A為坐標原點，以A3,AD,A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標坐標系，由空間位置關系的向量法求解即可;

(2)由點到面距離的向量法求解即可.

【小問1詳解】

如圖，以A為坐標原點，以A3,AD，A4所在直線分別為了軸、，軸、z軸，建立如圖所示的空間直

角坐標坐標系.

設加=/1間，2e[0,l],則A（0,0,0）,4（1,0,2）,C（l,l,0）,D（0,1,0）,〃（0,1,2）,

M（0,1,22）,

..麗=（-1,1,-2）,AC=（1,1,0）,AM=（0,1,22）,

B1）AC=Q,

要使4。，平面MAC,需滿足〈二_______.

BQAM=Q,

—..1

由=4X=0,解得4=—.

4

.-.當“是棱?！ㄉ峡拷cD的四等分點時，有BQ1平面MAC.

【小問2詳解】

DMBNc「I/、/、——?/、?/、

設而=超=2'幾目°』，則M（0,l,24）,N（l,40）,=（0,0,2）,AM=（0,1,22）,

A2V=（1,2,0）.

設平面AW的法向量為為=(%,%,Zo),

AM?為=%+22z=0,、

一n令z0=l,得到毛=2萬，%=-24,

AN?為二/+2yo=0,

得為=(2抗-241)為平面AAW的一個法向量.

22

點A到平面ANM的距離d=—聞一

，（2疔+（—24）2+12%+1'

2

易知d=——在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減,

2A+1

2

最大值為2,最小值為；，

3

/.d€一,2.

3

17.函數(shù)=Inx+a.

(1)若a=l,求/(x)的極值點個數(shù);

(2)是否存在整數(shù)。，使得函數(shù)/(x)的圖象與y=(2—a)x+a的圖象在區(qū)間(1,+。)上有兩個交點？若

存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)極值點個數(shù)為L

(2)不存在整數(shù)a,理由見解析

【解析】

【分析】(1)對/(九)求導，討論/(%)的單調(diào)性結合極值點的定義即可得出答案;

(2)解法一：令g(x)=/(x)—(2—a)x—a,原命題等價于函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+“)上有兩個零點，討

論g(x)的單調(diào)性和最值即可得出答案；解法二三：假設e@—lnx+a=(2—a)x+a有兩解，令

h(x)=em+ax-(lux+2x),討論/i(x)的單調(diào)性和最值即可得出答案;

【小問1詳解】

當a=l時，/(%)=ex-liiY+1,x>0,/,(x)=ex--.

令/(x)=e」，.?.?*)=e'+J>。,即/'(%)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增.

XX

又/I6-2<0,/,(l)=e-l>0,

/1］，使得/'(%)=0.

/.3x0e

當彳式。,5)時，/'(X)</'(%)=0；當xe(%,+8)時，/'(%)>/'(%)=0.

???/(%)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(5,+8)上單調(diào)遞增,

x=x0是/(力的唯一極小值點，無極大值點.

???/(尤)的極值點個數(shù)為1.

小問2詳解】

解法一：令g(x)=/(X)_(2_Q)X_Q=e^-lwc-(2-a)xfX￡(l,+a).

.??原命題等價于函數(shù)g(X)在區(qū)間(1,+a)上有兩個零點.

,/g'(x)=ae^---(2-6z),

x

當〃《0時，g'(x)〈。恒成立，??.g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，g(x)至多有一個零點，

不合題意；

當〃>0時，令/Z(Q)=e〃一lnx-(2—”(a)=xe"+%>。，

???力(。)在區(qū)間(。,+“)上單調(diào)遞增.

又〃￡Z,.../?(〃)N/z(l)=e"-lnx-x.

令加(x)=e，-hix-x,x￡(l,+a).

/.〃(尤)=e*------1,易知加(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，mr(x)>mr(l)=e-2>0.

/.m(x)在區(qū)間(1,+。)上單調(diào)遞增，m(x)>m(l)=e-l>0.

從而且(工)=%(。)2加(%)>。恒成立，故g(x)在(1,+e)上無零點，不合題意.

綜上所述，不存在整數(shù)〃，使得/(力的圖象與y=(2—Q)X+Q的圖象在區(qū)間(1,+。)上有兩個交點.

解法二：依題意，假設e^—lnx+a=(2—Q)X+Q有兩解，方程e6+依一(lnx+2x)=0有兩解.

令+依一(lnx+2x),

當時，力(力為減函數(shù)，方程至多一個解，不合題意；

當時，易知e以之匕2%>lnx，ax>2x,/z(x)>0,方程無解；

當1=1時，/z(x)=ex-lnx-x,"(x)=e*-,一1為增函數(shù)，且磯1)=?-2>0,

x

???/?(%)在區(qū)間(L+e)上單調(diào)遞增，方程最多一個解，不合題意.

綜上所述，不存在整數(shù)Q,使得了(力的圖象與y=(2—〃卜+〃的圖象在區(qū)間(1,+。)上有兩個交點.

解法三：依題意，若方程e"'—lnx+Q=(2—Q)X+Q有兩解，即方程e,a+以—(hix+2x)=0有兩解.

令/z(x)=e④+依-(lnx+2x),

當aWO時，網(wǎng)力為減函數(shù)，方程至多一個解，不合題意;

當a>0時，轉(zhuǎn)化為eai'+ax-(ln(2x)+2x)+ln2=0有兩解.

設函數(shù)g?)=e'+。易知g⑺在R上單調(diào)遞增，二.g(詞-g(ln(2%))=-ln2v0,

這就要求g(公)<g(in(2%))在區(qū)間(1,+”)上有解.

/.ax<In(2A:),:,a<皿〃)

x

設函數(shù)網(wǎng)力=螞到，〃⑴JTnfx)

XX

令”(x)=0,得％='

當口《時,//(x)>0,人(%)單調(diào)遞增;

時,//(x