2025高考數(shù)學復習技巧：導數(shù)及其應用（九大題型）含答案解析

導數(shù)及其應用

CCC

【解密高考】總結?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】切線問題

【題型二】極值與極值點

【題型三】含參討論單調性

【題型四】恒成立求參

【題型五】能成立求參

【題型六】零點問題

【題型七】隱零點問題

【題型八】構造函數(shù)求參

【題型九】多變量問題

【誤區(qū)點撥】

易錯點1:①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；

②復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)，即％'=

易錯點2：使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，還需要對這些點左右兩

側導函數(shù)的符號進行判斷

解密高考

考情分析：導數(shù)在新結構試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數(shù)的壓軸題有所改變，但導數(shù)在高

考中的考察依然屬于重點，題型很多，結合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問題等都結合

著構造函數(shù)的思想.

備考策略|

：在處理含對數(shù)的等式、不等式時，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新

函數(shù)求導時，就不含對數(shù)了，從而避免了多次求導.這種讓對數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對

數(shù)單身狗”.

6勉型特訓提分--------------------------------------

【題型一】切線問題

【例1】已知函數(shù)已（力=1

⑴求曲線y=f（尤）在點（1,1）處的切線方程；

（2）求過點（-L-1）且與曲線y=相切的直線的切點坐標.

【答案】⑴3x-y-2=0

⑵品或（TT）

【分析】（1）求出廣⑴的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；

（2）設切點坐標為值r），利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出，的

值，即可得出所求切點的坐標.

【詳解】⑴因為/（力=鬻,求導得r（x）=3l,故［⑴=3,

因此，曲線在點（L1）處的切線方程為y-l=3（x-1）,即3元-〉-2=0.

（2）設切點坐標為（）），則曲線y"（x）在點（））處的切線的斜率為3產(chǎn),

故所求切線方程為y—戶=3/（X—。，

將點（-1,一1）的坐標代入切線方程得—1—戶=3/（—1T）,

整理可得2戶+3產(chǎn)-1=0,即（2，一1）。+1）2=0,解得/=］或=-［,

故所求切點的坐標為［；，.或

【例2】若直線>=去+匕是曲線“x）=ei的切線，也是曲線g（x）=e-2的切線，則心

【答案】2

【分析】設出兩切點A（x0,）和點8（芯,P-2）,求導，利用導數(shù)幾何意義得到玉=%-1,表達出〃力=尸

上點A（x°,e』T）處的切線方程，代入8點坐標，得到方程，聯(lián)立得到=2,x0=l+ln2,求出左=/瓜2T=2.

【詳解】設〃x）=ei上點A（x0,e-T）處的切線和g（x）=e=2在點5ad-2）處的切線相同，

/'（x）=e*T,g,（x）=er,

故e*T=e'i=左，故國=龍。-1,

〃力=/上點4伍戶-，處的切線方程為y—e&T=e%T（x-x0）,

顯然3（項,e'-2）在切線上，故8_2_e"=e"a_x。），

即e"-2—e"=e"（%—1一%），即e^1=2,

解得=l+ln2,

故左=3+["2T=2.

故答案為：2

【變式11已知曲線〃x)=lnx+加+2在點。(1,“功處的切線與直線x+4y+8=0垂直，則。的值為()

33

A.—B.—1C.1D.一

22

【答案】D

【分析】求/'(%),利用導數(shù)的幾何意義可求。的值.

【詳解】由題意得，函數(shù)/(x)的定義域為(0,+”),且:(句=：+2依，

團廣⑴=l+2a,

團曲線f(x)在點處的切線與直線x+4y+8=0垂直，

0/(1)=4,即l+2a=4,故"=

故選：D.

【變式2】過原點且與曲線〉=入也了相切的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】先求出導函數(shù)，再設切點，根據(jù)導函數(shù)得出切線斜率再應用兩點求斜率計算求參進而得出切線即

可.

【詳解】設切點(xgXoSiiUo),因為曲線/=筋m，所以y'=sin_￥+xcosx,

xnsinx0

所以」一^=sinx0+x0cosx0,所以/cos/=0,

工0

所以為=0或cos/=0,

當%=0時，所以％=0,所以切線方程為y-0=0(x-0),即y=0；

當無時，所以％=1，所以切線方程為>-。=1@-0)，即廣壬

當無。=-]時，所以％=-1，所以切線方程為y-°=T(x-。)，即丫=一彳；

所以切線有3條.

故選：C.

【變式3】過定點P(l,e)作曲線y=“eYa>0)的切線，恰有2條，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1，+⑹

【分析】設出切點，根據(jù)點斜式求解直線方程，構造函數(shù)/(x)=(x-2)e，,利用導數(shù)求解單調性，結合函數(shù)

圖象即可求解.

【詳解】由、=。/(a>0),得了=恁工，切點為(加,")，則切線的斜率為ae”,

所以切線方程為=。泌。-根)，

因為〃="e'",所以y-祀'"=ae'"(x-〃。，

因為點尸(Le)在切線上，

所以e-aem=aemCl-m),=2)em,

a

令/(x)=(x—2)e",則/'(x)=(x-l)e”,

當尤>1時，Ax)>0,當無<1時,f'(x)<0,

所以f(x)在(l,+8)上遞增，在(f,l)上遞減，

所以在x=1處取得極小值-e,

當X--00時，〃X)->0,當Xf+co時，y(x)f+co,

由題意可得直線>=-￡與函數(shù)F(x)的圖象有兩個交點，

a

所以-e〈-￡<0,解得所以實數(shù)。的取值范圍為(1,+8),

a

【題型二】極值與極值點

【例1】設三次函數(shù)/(尤)的導函數(shù)為了'(X),函數(shù)y=；/(x)圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個

數(shù)為()

①函數(shù)〃x)有極大值7(3)

②函數(shù)4%)有極小值八-百)

③函數(shù)有極大值/(君)

④函數(shù)有極小值/(-3)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】結合圖象先判斷r(尤)的正負性，即可得出“X)的增減性，進而得出極值.

【詳解】由題圖知，當x<—3時，xf\x)>Q,則/'(x)<0；

當一3<x<0時，xf'(x)<0,貝iJ/'(x)>0；

當0<x<3時，礦(x)>0,貝"(x)>0；

當x>3時，礦(x)<0,貝"(x)<0,

則“X)在(-8，-3)上單調遞減，在(-3,3)上單調遞增，在(3,+8)上單調遞減，

則“X)的極大值是“3),極小值是/(-3),①④正確，

故選：B

【例2】已知函數(shù)—依?+x+b在X=1處取得極值.

(1)求。的值；

⑵當。=-2時，求曲線、="尤)在x=0處的切線方程；

⑶當方=-2時，求曲線y=的極值.

【答案】(1)4=2

(2)x-y-2.=0

⑶極大值為一石，極小值為-2.

【分析】(1)利用導函數(shù)的零點結合極值點的定義計算驗證即可；

(2)利用導數(shù)的幾何意義計算即可；

(3)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合極值的概念列表計算即可.

【詳解】(1)f'(x)=3^-2ax+\,

由題意知尸⑴=0,所以3—2a+l=0,即a=2.

當a=2時，/(x)=3x?-4x+l=(3x-l)(x-1),

故在‘巴￡|，(1，+8)單調遞增，［j單調遞減，

故在尤=1處取得極值.

故。=2；

(2)由(1)可知/(x)=/—2%2+%+/7.

當人=一2時，/(%)=/—2x2+x-2,/f(x)=3x2-4x+l,

所以-(0)=1，〃0)=-2,

所以在尤=0處的切線方程為y-(-2)=尤-0,即x-y-2=0；

(3)由(1)(2)可矢口，/'(X)=3X2-4X+1,

令尸(x)=3d—4x+l=0,得尤=1或x=；

1

X1(1,+co)

3

r(x)+0-0+

〃尤)單調遞增單調遞減”1)單調遞增

所以“X)在X=g處取得極大值，在尤=1處取得極小值，

故極大值為/QyQj-2x^J+|-2=-|^,

極小值為〃1)=F-2xF+l-2=-2.

【變式1】已知函數(shù)〃月=：/+/+(2°-1)%+。2-。+1若。=—1,則函數(shù)的極小值點是；若函數(shù)”X)

在(1,3)上存在唯一的極值點.則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】1(―7,-1)

【分析】①。=-1時，直接求導得到導函數(shù)，判斷導函數(shù)零點左右的正負即可得到極值點；②若函數(shù)〃x)

在(1,3)上存在唯一的極值點，則f\x)只有一個零點在(L3)內(nèi)，結合為了'(X)的對稱軸可以更具體地得到

「⑴(0,〃3))0,解不等式組即可得出答案.

【詳解】①。=-1時，f(x)=^x3+x2-3x+3,/(x)的定義域為R,

/,(X)=X2+2X-3=(A:+3)(X-1),令廣(X)=0,得了=-3或1,

當xe(-co,-3)u(l,-H?)時，/'(%)>0；當xe(-3,l)時，f'(x)<0,

故函數(shù)/(x)的極大值點為-3,極小值點為1,

9

②/'(x)=%2+2x+2a-l,對稱軸為兀=_萬=_],

若函數(shù)/(X)在(1,3)上存在唯一的極值點，則r(x)只有一個零點在(1,3)內(nèi)，

因為/'(X)的對稱軸為x=-1<1,所以廣⑴(0,廣(3》0,

即2。+2<0且14+2〃>0,解得一7<〃<1,

所以實數(shù)〃的取值范圍為(-Z-l),

故答案為：1；(-7,-1).

【變式2】已知函數(shù)=-2奴?+3x(。為常數(shù))，曲線y=〃x)在點A(T,〃-1))處的切線平行于直

線8x-y-7=0.

⑴求函數(shù)〃元)的解析表達式；

(2)求函數(shù)“X)的極值.

【答案】(1"(尤)=:尤3-2/+3尤

4

(2)極大值為極小值為0

【分析】(1)求導，由/'(-1)=8求得。的值，得解；

(2)利用導數(shù)判斷單調性，求出極值.

【詳解］(1)根據(jù)題意，/(x)=f_46+3,貝!!/(_］)=4+4。=8,

解得a=l,

/(X)一2%2+3%

(2)由(1)(x)=d—4%+3=(x-1)(%-3),

令廣(力>0,解得％<i或%>3,

令r(x)<0,解得l<x<3,

所以當x<l或x>3時，”力單調遞增，當1<%<3時，"可單調遞減，

所以當彳=1時，y(x)取得極大值，極大值為/(i)=g,

當X=3時，/取得極小值，極小值為7(3)=0.

【變式3］已知函數(shù)/(x)=x(lnx-ox)有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,1)

【分析】直接求導得r(x)=li?+l-2辦，再設新函數(shù)g(x)=lnx+l-2G,討論aW0和。>0的情況，求出函數(shù)

g(x)的極值點，則由題轉化為g(』)=ln4>。，解出即可.

2a2a

【詳解】f(x)=xlnx-ax2(x>0),/f(x)=Inx+1-,令g(%)=lnx+l-2ax,

v函數(shù)/(%)=%(1口工-以:)有兩個極值點，則g(x)=。在區(qū)間(0,+8)上有兩個不等實數(shù)根，

又g，(X)=T。

X

當aVO時,g'(x)>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(O,+s)單調遞增,

因此g(x)=0在區(qū)間(0,+◎上不可能有兩個實數(shù)根，舍去，

當a>0時，令g'(x)=0,解得尤=」一,

2a

令/(x)>0,解得此時函數(shù)g(無)在jo,；］單調遞增，

2aV2a)

令g'(尤)<0,解得尤>工，此時函數(shù)g(x)在單調遞減，

2a［2。)

.?.當x時，函數(shù)g(x)取得極大值，

2a

當次趨近于0與X趨近于+8時，g(x)f-8,要使g(x)=。在區(qū)間(0,+8)上有兩個實數(shù)根，

2a2a2

實數(shù)a的取值范圍是(0,；).

故答案為：(0,；).

【題型三】含參討論單調性

【例1】設函數(shù)“x)=x+的i(l+x)(左10),直線/是曲線y=〃x)在點⑺)("0)處的切線.

⑴當上=一1時，求〃x)的單調區(qū)間.

【答案】⑴單調遞減區(qū)間為(-1,0),單調遞增區(qū)間為(0,+8).

【分析】(1)直接代入左=-1,再利用導數(shù)研究其單調性即可；

1Y

［詳解］(1)f(x)=x-ln(l+x),f\x)=1--——=——(X>-1),

1+尤1+無

當xe(-l,0)時，/(%)<0；當xe(0,+co),>0；

??J(x)在(-1,0)上單調遞減，在(0,+⑹上單調遞增.

則/⑺的單調遞減區(qū)間為(-1,0),單調遞增區(qū)間為(0,+8).

【例2】設函數(shù)/(x)=x-x3e"+〃，曲線y=/(x)在點(1,7(D)處的切線方程為y=-x+1.

⑴求a,6的值；

(2)設函數(shù)g(x)=f'(無)，求g(x)的單調區(qū)間；

【答案】⑴a=T6=l

(2)答案見解析

【分析】(D先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到/(1)=0,/(1)=-1,從而得到關于匕的方程組，

解之即可；

(2)由⑴得g(x)的解析式,從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<0與g'(x)>。的解,由此求

得g(x)的單調區(qū)間;

【詳解】(1)因為/(x)=xr3ef,xeR,所以〃尤)=1一(3f+加)em+b

因為〃x)在QJ⑴)處的切線方程為y=-尤+1,

所以〃D=T+l=0,/，(D=-1,

l-l3xefl+i=0a=-l

則l-（3+a）e?=-l'解得

b=l

所以。二一1/=1.

(2)由(1)得g(x)=_f(x)=l—(3_一心肉"1(犬eR),

貝！|g'(x)=-x^x2-6x+6^ex+1,

令d—6元+6=0,解得尤=3土石，不妨設%=3—\/5,%=3+6，貝1]0<尤]<工2，

易知e-*+i>0恒成立，

所以令g'(x)<0,解得0<x<%或工>電；令g'(x)>0,解得x<0或不<x<Z；

所以g(x)在(0,%),(X，+°°)上單調遞減，在(-8,°)，(玉,多)上單調遞增，

即g(x)的單調遞減區(qū)間為(0,3-⑹和(3+石，向，單調遞增區(qū)間為(fO)和(3-63+⑹.

【變式1】已知函數(shù)〃尤)="一半4%?

cosX

⑴當。=1時，討論””的單調性；

【答案】⑴〃X)在(0母上單調遞減

【分析】(1)代入a=l后，再對/'(X)求導，同時利用三角函數(shù)的平方關系化簡((x),再利用換元法判斷

得其分子與分母的正負情況，從而得解；

(2)法一：構造函數(shù)g(x)=〃x)+sinx,從而得到g(x)<0,注意到g(0)=0,從而得到g'(0)<0,進而

得到a<0,再分類討論a=0與“<0兩種情況即可得解；

法二：先化簡并判斷得sinx-上用<0恒成立，再分類討論。=0,。<0與。>0三種情況，利用零點存在定

cosX

理與隱零點的知識判斷得。>0時不滿足題意，從而得解.

【詳解】⑴因為4=1,所以%,x/o,0,

cosx\2)

\Ycosxcos2x_2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

則/(x)=i----------------L------—=i-------§------

cosXcosX

cos3x-cos2x-2(l-cos2x)cos3x+cos2x-2

33

COSXCOSX

令，=COSX,由于所以，=COSX￡(0,1),

所以cos3x+cos2x_2=/+/—2=/一/+2產(chǎn)-2=/?—1)+2?+1)?—1)=(，2+2/+2)(，一1),

因為?+2/+2=(，+1)2+1>。，r-l<0,cos3x=t3>0,

所以尸(x)=c°s晨+C*x-2<0在［o5］上恒成立，

COSXV2/

所以〃x)在(0，?上單調遞減.

【變式2】已知函數(shù)/(x)=a(e*+o)-x.

(1)討論〃x)的單調性；

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先求導，再分類討論aW0與a>0兩種情況，結合導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可得解;

【詳解】(1)因為/(x)=a(e'+a)-x,定義域為R,所以/'(x)=ae-1,

當aV0時，由于e，>0,貝!Jae，40,故尸(x)=ae*-l<0恒成立，

所以在R上單調遞減；

當。>0時，令八x)=ae"-1=0,解得x=-lna,

當x<—Ina時,_f(x)<0,則在(f,-Ina)上單調遞減;

當Ina時，f^%)>0,則在(—Ina,―)上單調遞增；

綜上：當aWO時，/(x)在R上單調遞減；

當a>0時，/(X)在(-co,-lna)上單調遞減，/(X)在(-ln",+co)上單調遞增.

【題型四】恒成立求參

【例1】已知函數(shù)〃x)=￥，若在(0,+力)上恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是

【答案】(1,+少)

【分析】構造函數(shù)g(無)=/")+/,研究其單調性，求g(x)的最大值即可.

【詳解】則相>〃x)+：在(0,+%)上恒成立，

令g(x)=/(x)+)=如尤+1，則g<x)=W^,

XXX

則g'(x)>0得0<x<l,g'(x)<0得x>l,

則g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

則g(x)1mx=g(l)=L故

則實數(shù)機的取值范圍是(1,+s).

故答案為：(1,+8).

【例2]已知函數(shù)”x)=e￡-ar-l,g(x)=xlnx.

⑴若〃x)存在極小值，且極小值為-1,求〃；

⑵若求”的取值范圍.

【答案】⑴e

(2)(-a),e-l]

【分析】(1)求導，判斷函數(shù)的單調性，結合極小值為-1求解;

(2)將不等式/(尤)2g(尤)分離參數(shù)，得0上-xlnx-1,設夕⑴=吐血匚，%>0,利用導數(shù)求出

XX

最值即可.

【詳解】(1)f\x)=Qx-a,XGR,

當a?0時，/(%)>0,所以函數(shù)無極值，

當〃〉0時，由r(x)=e*-a=0,得x=lna,

當工<lna時，當x>lna時，/,(%)>0,

所以“可在In。)上單調遞減，在(Ina,+”)上單調遞增，

所以/⑴的極小值為=a-a\na-l=-l1解得a=e.

(2)由得e*—ax—12xlnx,即—,%>0,

x

設夕(x)=e，-xlnx-l,工>0,則心)=『).

xx"

當xe(O,l)時,<p'(x)<0,即0(x)在(0』)上單調遞減,

當xe(l,+oo)時，9'(x)>0,即無)在(1,+8)上單調遞增，

所以°(x)20(l)=e-l,貝UaVe—1,

所以a的取值范圍為(-8,e-1].

【變式1】已知對于任意的xeR,存在％>0,使得不等式m,+?72左(％-1)恒成立，則實數(shù)機的取值范圍

為.

【答案】［-e,+oo)

【分析】令〃x)=xe*+〃LMx—l),則尸(x)=(x+l)e=3令八⑺=(%+1戶一發(fā)，利用導數(shù)求出函數(shù)可力

的單調區(qū)間，從而可求出函數(shù)力⑺的零點，進而求出/'(%)的符號分別情況，即可求出函數(shù)〃元)的單調區(qū)

間，進而求出〃尤)即可得解.

【詳解】^f(x)=xe+m-k(x-\),貝^'(x)=(x+l)e「無，

令/i(x)=(x+l)e*-左，則〃(x)=(x+2)e”,

當x<-2時，〃(x)<0,當x>-2時，〃(x)>0,

所以函數(shù)可力在(-j-2)上單調遞減，在(-2,也)上單調遞增，

所以又人(一1)=一左<0,

且當x<-l時，萬(無)<0,當X-+8時，/z(x)>0,

即=_左<0,

且當x<-L時，/(%)<0,當x-+8時，/(%)>0,

所以存在唯一使得/(%)=0,所以上=(%+l)e%,

故當x</時，f'(x)<0,當X〉不時，/,(x)>0,

所以函數(shù)/(x)在(—，飛)上單調遞減，在(七,”)上單調遞增，

所以/(x)*=/)=%e加+m-k(x0-i)=+m-(^+1)(x0-1)

=??一(x；-x0-l)e領>0,

令g(尤)=12_*_1卜，,彳€(-1,+00),

貝Ig'(x)=(x2+x-2^ex=(x+2)(x-l)ex,xe(-l,+oo),

當一1<尤<1時，g'(x)<0,當尤>1時，g'(x)>0,

所以函數(shù)(-U)上單調遞減，在。,也)上單調遞增，

所以=

所以〃后-e,

所以實數(shù)用的取值范圍為［-e,+8).

故答案為：［-e,+co).

【變式2】已知函數(shù)〃x)=g-a(lnx+a).

(1)討論的單調性；

(2)當。<0時，/(x)>(a-l)ln(-a),求實數(shù)。的值.

【答案】⑴答案見解析

(2)a=-l

【分析】(1)對函數(shù)/(X)求導，分別討論，當aNO以及當a<0時，導函數(shù)/'(X)的正負情況，從而得到函

數(shù)的單調區(qū)間；

(2)由(1)得，當a<0時，〃力神=疝1(一4)—0一/,則要使不等式成立，即需使

不等式〃+。-111(-4)(。成立，令gS)=/+aTn(-a),利用導數(shù)分析函數(shù)g(a)的單調性，從而得到

g(a)N0恒成立,故若要使則/(x)=(a-l)ln(—a),從而求得。的值.

【詳解】(1)因為〃尤)=g-a(lar+a),定義域為(0,+e),

求得/(尤)=4，=_竺±

XXX

所以，當°20時，/'(x)40成立，此時“X)在(0,+e)上單調遞減；

當av0時，

/'(x)<0,在(0,-［上單調遞減；

/(%)>0,/(x)在卜：,+”］上單調遞增.

/("在1°，一上單調遞減，在上單

綜上：當a20時，在(0,+力)上單調遞減；當。<0時,

調遞增.

(2)由(1)得，當a<0時,

要使不等式/(x)2(a-l)ln(-a)成立，即需使不等式aln(-a)-。一/".一口儂-。)成立，即不等式

/+a-In(-a)V0成立，

令g(a)=〃+a-ln(一a),a<0,則g[a)=2.+1-L2a+.T=(2al)(a+l),

aaa

令/㈤>0,J!!]-1<a<0；令g'(a)<0,則ac-1；

所以g(a)在(-8,-1)上單調遞減，在(TO)上單調遞增，

所以g(a)1nto=g(-l)=(-l)2-l-lnl=0,則g(a)20恒成立，

所以當a<0時，〃x)W(a-l)ln(-a)恒成立，

若/(%)>(<7-1)In(-G),則/(x)=(a-l)ln(-a),

所以〃=—1.

【題型五】能成立求參

【例1】若函數(shù)/(司=^+依存在單調遞減區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(一8,-1)

【分析】由題意可知3eR,使得/'(司=1+。一工<。成立，則。<卜一1)1^,利用導數(shù)求出函數(shù)8(“=》一]

的最大值，即可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)〃x)的定義域是R,則/'(x)=e'+a-x.

若〃x)存在單調遞減區(qū)間，即HxeR,使得/'(x)=ex+o-x<0成立，貝(無-e).

令g(x)=x-e"則g〈x)=l-e*,

令/⑺>0,解得x<0,令/⑺<0,解得x>0,

故g(x)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+")上單調遞減，故g(x)a=g(O)=T，故a<T.

故答案為：

【例2】已知函數(shù)〃x)=e工+2任+?1%+m)

⑴當〃z=-1時，求/(無)的極值；

(2)若存在xe[-2,0],使得〃同〈三，求機的取值范圍.

【答案】⑴極大值為5,極小值為-e3

(2)(一8,0]g,+coj

【分析】(1)結合導數(shù)分析函數(shù)/(x)的單調性，進而求解極值；

(2)求導，分加>2,0<m<2,三種情況分析求解即可.

【詳解】(1)當m=一1時，f(x)=eJ+2(x2-x-l),

則/'(x)=e>2(%2-x-l)+ex+2(2x—1)=e>2(%+2)(x-l),

令/'(尤)<0,得—2<x<l；令/'(x)>0,得x<—2或x>l,

所以函數(shù)/(x)在(―,-2)和(1,■)上單調遞增，在(-2,1)上單調遞減，

則％=-2時，函數(shù)/⑺取得極大值"-2)=5,

x=l時，函數(shù)取得極小值了⑴一口

(2)由/(x)=e"+2(%2+痛+m)，XG［-2,0］,

則/'(%)=qX+2，+mx+川+ex+2(2x+m)=e%+2(x+m)(x+2),

當機52時，—mG—2,此時/(九)之0,函數(shù)“力在［—2,0］上單調遞增，

則“X)1nhi=〃-2)=4-mV葭，即心%

當0<相<2時，一2v-m<0,

貝！JXE［-2,—m］時，/r(x)<0；九w［一m,0］時，/r(x)>0,

則函數(shù)"%)在［-2,-m］上單調遞減，在［-m,0］上單調遞增，

則/(x)min=/(―加)=根。一M4￡，即m22+ln2,與。<機<2矛盾，不符合題意；

當機V0時，-加>0,此時函數(shù)/(x)在［—2,0］上單調遞減，

則〃》).="°)=屐*￡，即e2N：恒成立，符合題意?

綜上所述，加的取值范圍為(-應。］|,+/］.

【變式1］已知函數(shù)"x)=x+eT,若存在實數(shù)x,使得〃”=依成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-8,1-e］B.(1,+8)

C.(l-e,l］D.(-a?,l-e］u(l,+<x))

【答案】D

【分析】先求導函數(shù)得出函數(shù)的單調性得出函數(shù)值范圍計算即可求參.

【詳解】因為函數(shù)/(司=%+葭，若存在實數(shù)%,使得〃力=必成立，

當x>0時，存在x+e-"=ax,所以Q=1H---7>1；

xe

當％=0時，0+e-。=axO不成立；

當x<0時，存在犬+匕一"=0￥,所以〃=1~1---成立，

xe

1-(x+l)ex

令y=i+r，y=/》\2，

xe(立)

當％￡(—3,—1),)/>0產(chǎn)=1+占單調遞增；

當工￡(―1,0),y<0,y=1+—^7單調遞減；

所以x=—l時，ymax=l—e,九—一OO,y--OO,%f0,>f—8,所以〃(1一。；

綜上得：〃Vl—e或。>1.

故選：D.

【點睛】方法點睛：解題的方法是分類討論x>。"=0,犬<0三種情況結合函數(shù)值域及導函數(shù)求參單調性計

算求解即可.

【變式2】已知函數(shù)〃x)=e-1.

⑴當“X)在(。,0)處的切線是尸。時，求“X)的單調區(qū)間與極值；

(2)若/(%)</在xe(0,+“)上有解，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)減區(qū)間(—,0),增區(qū)間(。,+8),極小值0,無極大值.

(2)[e-2,+oo)

【分析】(1)根據(jù)切線求得。，利用導數(shù)求得了(X)的單調區(qū)間與極值.

(2)由不等式/(尤)4/分離參數(shù)。，然后利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得。的取值范圍.

【詳解】(1)f\x)=e-a,

若/(%)在(0,0)處的切線是y=o,

貝尸(0)=1-a=0,a=1,

貝=—"(x)=ey,

所以/(x)在區(qū)間(—,。)上r(x)<0,〃x)單調遞減；

在區(qū)間(0,+巧上/(X)>O,/(x)單調遞增，

所以在無=0處取得極小值"0)=0,無極大值.

(2)依題意，/(x)=e，—辦一14爐①在xe(0,+8)上有解，

①可化為。-3-1

X

設8(町=吐—(%>0),

g，(x)=

由(1)知/(x)=e-x-120,當且僅當x=0時函數(shù)值為0,

所以在區(qū)間(0,1),，(%)<0,8(乃單調遞減;

在區(qū)間(1,+8),g'(x)>0,g(x)單調遞增；

所以g(x)\g6=e-2,

所以a的取值范圍是［e-2,+co).

【題型六】零點問題

【例1】已知函數(shù)/(x)=(x+l)e，

⑴判斷函數(shù)的單調性，并求出/(%)的極值；

(2)畫出函數(shù)的大致圖像并求出方程〃力=。的解的個數(shù).

【答案】⑴單調遞減區(qū)間為(f，-2),單調遞增區(qū)間為(-2,+s),極小值”x)=-3；

(2)當—^時，/(x)=。有。個解；當a=—^或a20時，有1個解；當—^<a<0時，f(%)=a

有2個解.

【分析】(1)直接對于/(x)求導，判斷單調性，進而求解極值；(2)由(1)的單調性與極值，最值，畫

出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結合求出/(力=。的解的個數(shù).

【詳解】(1)由題意可知，“X)的定義域為

貝=ev+(x+l)ex=(x+2)e*,

令/'(x)=0,則x=-2,

當x<—2時，r(x)<0,則/(元)單調遞減，

當x>—2時，/'(力>0,則/(x)單調遞增.

所以故為小值⑺寸(-2)=Y-2；

(2)由(1)可知作出函數(shù)圖像，

由圖，當時，方程/的解個數(shù)為。個；

當〃或a?0時，方程/(x)=a的解個數(shù)為1個；

當-，<a<0時，方程的解個數(shù)為2個.

【例2】函數(shù)/(力=2城—3加+1有三個零點，則。的取值范圍為()

A.a>\B.a>2C.a<\D.a<0

【答案】A

3

【分析】根據(jù)條件，將問題轉化成y=a與g(x)=U9v*+1■有三個交點，再利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系,

33

求出g(x)=/2rF+1的單調區(qū)間，進而可得出g(x)=^2rJ+1的圖象，數(shù)形結合，即可求解.

【詳解】因為/(司=2三一3依2+1,易知”0)=1片0,所以。不是/(x)零點,

7r3-I-17r3-4-1

令/(x)=0,即2J一36?+1=0,得至令y=。，g(x\=±^,

3x2v73x2

則”\_6—"*-(24+1)2%_2犬-2彳_2/-2_2(%-1乂.+尤+1)

'&⑺=37=3x4==3^=’

易知d+x+l>0恒成立，由g'(x)=。，得到x=l,

當xe(-oo,0)時，g'(x)>0,xe(0,l)時，g'(x)<0,xe(l,+oo)時，g\x)>0,

所以g。)在(-與。)單調遞增，(0J)單調遞減，(1,+◎單調遞增，

又易知，當XW(-8,0),且Xf-8時，g(x)f-oo,x.0時，g(x)f+8,

當xe(O,l)時，x—0時，g(x)-??,且g(l)=§=l,

2r3+

當xw(l,+oo)時，X—+00時，g(x)—+?,所以g(x)=N~91的圖象如圖所示，

由題知與g(x)=-^1有三個交點，所以

故選：A.

4

【變式1】若函數(shù)/(刈=加_/+4,當x=2時，函數(shù)/(尤)有極值關于x的方程/。)=兀有三個不等

實根，則實數(shù)上的取值范圍是.

…【答…案】卜C4門28、

4

【分析】根據(jù)當x=2時，函數(shù)/'(x)有極值求得/(x)的解析式，利用導數(shù)法，作出函數(shù)/'(x)的圖象求

解.

【詳解】由題意可知，f'(x)=3ax2-b,

了(2)=12a-b=01

Cl=一1

/、4，解得＜3經(jīng)檢驗，a=-,6=4符合題思.

/(2)=8tz—2Z?+4=——b=43

故所求函數(shù)“X)的解析式為了⑺=$3-4x+4.

貝!1/'(x)=f—4=(x—2)(x+2).令(x)=0,得x=2或x=—2,

當X變化時，/'(X),"X)的變化情況如表，

X-2(-2,2)2(2,+8)

r(x)+0-0+

28_4

7171

/(x)T-3

no4

團當x=—2時，“X)有極大值三；當x=2時，“X)有極小值-半

則函數(shù)〃尤)的圖象如圖所示：

由圖象知：要使關于/(%)=上的方程有三個不等實根，

貝壯應滿足-；4＜%＜2§8.

33

即實數(shù)A的取值范圍是

故答案為：—與］

【變式2】已知函數(shù)/(x)=a(e'+?)-x-2.

⑴求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)有兩個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析

(2)(0,1)

【分析】(1)求導，再分和。＞0兩種情況討論即可;

（2）由（1）知，要使函數(shù)人司有兩個零點，則?！?,則/（%）而n<°，進而可得出答案?

【詳解】（1）/（%）=比=1,

當aWO時，/f（x）<0,

所以函數(shù)/（%）在單調減區(qū)間為（",”），

當a〉0時，令/'（%）v0,則九<ln,，令/'（x）>0,則1〉In',

aa

所以函數(shù)/（尤）的單調增區(qū)間為卜n:,+co］,單調減區(qū)間為

綜上所述，當“WO時，/（x）在單調減區(qū)間為（7,口），沒有增區(qū)間；

當a>0時，函數(shù)〃x）的單調增區(qū)間為，：,+，!，單調減區(qū)間為［*ln￡］；

（2）由（1）知，要使函數(shù)“X）有兩個零點，則。>0,

2

當a>0時，/（^）min=/^ln^=lna+a-l,

又當九——00時，/（%）=。3+〃2_九_2_+00,當Xf+oo時，/（無）—+00,

因為函數(shù)/（%）有兩個零點，

所以“X）1nM=/，n￡|=lna+a2_l<°,

令/z（a）=lnq+a2-1,

因為函數(shù)n=皿。,、=。2-1在（0,+8）上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)人（。）在（0,+8）上是增函數(shù)，

又因為M1）=0,

所以不等式刈。）=姑。+4-1<0的解集為ae（O,l）,

所以實數(shù)。的取值范圍為（0,1）.

【變式3］已知函數(shù)/（xbsinx+ax2.

⑴若。=；，求〃x）在（0,%）上的值域；

（2）若。40,求“X）在（0,兀）上的零點個數(shù).

【答案】（1）［。,］］

⑵答案見解析；

【分析】（1）多次求導后，可判斷f（x）在（0,兀）上單調遞增，據(jù)此可得值域;

（2）a<0時，多次求導后，可得在（0,天）上單調遞增，在（品,兀）上單調遞減，其中/'（飛）=0,然后

由零點存在性定理可得答案.

【詳解】（1）時，/（x）=sinx+^-x2,此時/<x）=cosx+x,

令g（x）=If（x）,XG（O,7I）.

則g'（x）=l—sinx20,則g（x）=/'（x）在（0,兀）上單調遞增,

則尸（x）>廣（0）=1,故f（x）在（0,7i）上單調遞增,

則/（x）e（“。）"（兀））=[。彳；

（2）由題/'（龍）=85尤+2依，令/z（x）=cosx+2ox,xe（0,7t）.

貝!]〃'（x）=-sinx+2a,xe（0,7i）,sinxG（0,1],

4=0時，〃x）=sinx,根據(jù)正弦函數(shù)性質知在（0㈤上的零點個數(shù)為0；

“<0時，所以/?'（x）=—sinx+2a<0,

故h（x）=/（x）在（0㈤上單調遞減.

又廣（0）=1>0,r（r）=2.-1<0,貝I]現(xiàn)e（o,7t）,使/（飛）=0.

則/'（x）>0nxe（0,%）；/,（x）<0=>xe（^,7t）,

故〃x）在（0,為）上單調遞增，在伉㈤上單調遞減.

又注意到，/（0）=0,結合〃x）在（0,5）上單調遞增，

則》€(wěn)（0,不）時，/（x）>0,/（x0）>0,又/㈤=頌2<0,

結合〃x）在（用㈤上單調遞減.則存在玉e（x0,7i）,使〃玉）=0.

綜上，當a=0時，”力在（0,兀）上的零點個數(shù)為0,

當。<0時,/⑴在（0㈤上的零點個數(shù)為1.

【題型七】隱零點問題

【例1】已知函數(shù)〃x）=lnx.

⑴求函數(shù)y=/（x）r的單調區(qū)間；

（2）求證：函數(shù)g（x）=e，-e"（x）的圖象在無軸上方.

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為（0,1）,單調遞減區(qū)間為（1,內(nèi)）；

（2）證明見解析.

【分析】（1）求y',根據(jù)V正負即可求y的單調區(qū)間；

(2)求g'(x),根據(jù)g，(x)零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.

11—Y

【詳解】(1)yf=—i=——(%>0),

XX

令y'=。則x=i.

當Ovxvl時，y〉o,???函數(shù)在(0,1)上單調遞增；

當時，y<o,?,?函數(shù)在(1,內(nèi))上單調遞減.

即y="X)-%的單調遞增區(qū)間是(0,1),單調遞減區(qū)間是(1,+8)；

(2)g(x)=ex-e2Inx(x>0),

2

e

g'(%)=e*---，易知g'(x)單調遞增，

x

22

Xg,(l)=e-e2<0,g<2)=e?-今=彳>0,

在(0,+co)上存在一個％e(1,2),

e2e2

使得：g'(xo)=e"°——=0,即：e*0=—,且ln%=-Xo+2,

飛飛

當xe(O,尤0),有g'(x)<O,g(x)單調遞減；

當xe(%+oo),有g'(x)>O,g(x)單調遞增.

1622A+2

g(x)>g(x0)=e—e21nxo=-+ex0-2e=―~~~°e>0,

/

g(x)=e1—e2Inx>0,

函數(shù)g(x)=er-e2f(x)的圖象在x軸上方.

【點睛】本題考查隱零點，關鍵是判斷g'(x)單調，且g'⑴<0,g'(2)>0,由此得出在(1,2)之間g'(x)存在

零點%,據(jù)此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.

【例2】已知函數(shù)/(x)=ln尤+。.

⑴若曲線y=在處的切線經(jīng)過點(0,1)