2025屆湖南省郴州市高三三模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

機(jī)密★啟用前

郴州市2025屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.已知集合A={x||x|<3,xeN}>5={-1,0,1,2,3,4},則中所有元素和為（）

A.3B.5C.6D.9

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=2—i,則同=()

L5

A.73B.-C.3D.1

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（2,—l）,OP=AOA+（2-A）OB,若而_L礪，則2的

值為（）

A.4B.2C.-2D.-3

22

4.已知橢圓C：=+4=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，.3，點(diǎn)尸在橢圓c上，若

a-b2

忸制+忸閭=4,橢圓C的離心率為9則橢圓C的焦距為（）

A.1B.2C.73D.

5.已知cosa+sin[a-t)=-^,則cos(2c+今)的值是()

百「

A3R5365

D.——

8888

6.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若人=一，a=4,BC邊上的高AD=Q，

3

則6+c=（）

A.2A/10B.4GC.8D.472

7.已知函數(shù)/（%）=/+2。1皿，若函數(shù)/（%）在區(qū)間（1,2）的圖象上存在兩條斜率之積為T的切線，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）C.（—2,0）D.（—3,—2）

8.定義：在空間直角坐標(biāo)系中P（o1M2，4）、Q（4，4也）兩點(diǎn)“網(wǎng)線距離”為

d（尸,Q）=|q—4+E+砥一勾.設(shè)A（0,0,0）、5（4,4,4）、P（x,y,z）,其中x、y、z均為整

數(shù)，若滿足d（AP）+d（尸,5）=d（A5）的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為“，貝ip?的值為（）

A.27B.64C.125D.216

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.某市為豐富市民的業(yè)余生活，春節(jié)前舉辦“迎春杯”歌手大獎(jiǎng)賽，比賽分青年組、中年組和老年組.每

組由6位專業(yè)評(píng)委對(duì)演唱評(píng)分（滿分10分），老年組的甲和乙參加比賽得分的折線統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

10.已知定義在（0,+。）上的函數(shù)"％）的導(dǎo)數(shù)為了'（%）,若/⑴=1,且/。）+二＞0,則下列式子中

一定成立的是（）

Bc./(log2e)>ln2D.y(ln3)<log3e

4*兀

11.已知正方體ABC。-的表面積與體積的數(shù)值之比為3,P,。分別是棱8C,8片的中點(diǎn),

G是線段A。1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A\=3

23

B.多面體A。，A—R2旦G。的體積為?"

C.存在一點(diǎn)G,使得GG〃4尸

D.若AC,1平面PQG,則平面PQG截正方體ABCD-A6G。的截面面積是373

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知（1-2x）5=/+,則。4=.

13.已知函數(shù)/（x）=sin[2x-若/（x）在區(qū)間（0,相）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

14.已知拋物線C：/=2加（夕＞0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)”（飛，2）在拋物線。上，S.\MF\=3,點(diǎn)P在直

線/：y=-2（x20）上，過P向拋物線C引兩條切線尸Q,PR,切點(diǎn)分別為Q,R,過點(diǎn)A（0,4）引直線

QR的垂線，垂足為點(diǎn)”，則直線切的斜率的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一

個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一

個(gè)3號(hào)球.

（1）從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量X為1號(hào)球個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

（2）現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出是1號(hào)球放入甲

袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求

第二次摸到的是3號(hào)球的概率.

16.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且%=3,a4+?5+a6=27.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為%且S*=2或-2,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

(3)已知數(shù)列匕｝滿足：cn=an-bn,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和

17.已知函數(shù)/1(無)=lnx-依-2.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(%)的最值；

3

(2)若函數(shù)g(x)=x?/(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)看,々，證明：xrx2>e.

18.如圖所示，在圓柱0a中，矩形ABB]A為圓柱的軸截面，圓柱過點(diǎn)C的母線為cq,點(diǎn)C,

E為圓。上異于點(diǎn)A,8且在線段AB同側(cè)的兩點(diǎn)，目0EIIBC,點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn)，

AB=BB]=4.

(2)若平面3。巴與平面44c所成夾角的余弦值為2叵，求N8AC的大??；

19

(3)若AC=26,平面a經(jīng)過點(diǎn)C,且直線與平面a所成的角為30。，過G點(diǎn)作平面。的垂線

GQ(垂足為Q)，求直線AQ與直線cq所成角的范圍.

22

19.已知雙曲線E：三—3=1(。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,離心率為2,過尸2的直

線/與雙曲線E交于P，。兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于x軸時(shí)，△PQ片的周長為16.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵與無軸不重合的直線/'過點(diǎn)N(i，O)(Xo/°)，雙曲線E上存在兩點(diǎn)A,8關(guān)于J對(duì)稱，且A3的中

點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為不，

(i)若%=%%'，求實(shí)數(shù)2的值；

(ii)若A,8為雙曲線E右支上兩個(gè)不同點(diǎn)，/'過點(diǎn)C(0,4),求的取值范圍.

參考答案

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.)

1.已知集合A={x||x|<3,xeN}^5={-1,0,1,2,3,4},則中所有元素和為()

A.3B.5C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合4再求出ACB，即可求出AC5中所有元素之和.

【詳解】因?yàn)榧?={刈乂<3,xeN},得4={0,1,2,3},

又集合5={—1,0,1,2,3,4},所以4門6={0,1,2,3},

所以AcB中所有元素之和為0+1+2+3=6.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+2i)=2—i,則同=()

L5

A.^3B.—C.3D.1

【答案】D

【解析】

【分析】先化簡，求出復(fù)數(shù)，得到共朝復(fù)數(shù)，最后根據(jù)模長公式計(jì)算即可.

2-i(2-i)(l-2i)2-5i+2i2,,

【詳解】z滿足z(l+2i)=2—i,則z=：；~—=7,——-~—-=--------------=-1,則5=1則同=1.

1+21(1+21)(1-21)511

故選：D.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(2,—l),8(1,1),OP=2OA+(2-A)OB,若麗_L礪，則彳的

值為()

A.4B.2C.-2D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求出力=(2,-1),05=(1,1),OP=(2+2,2-22),再根據(jù)向量數(shù)量積

的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.

【詳解】因?yàn)?2,—1),B(1,D,所以為=(2,-1),礪=(1,1),

又OP=AOA+(2—Z)OB，得OP=2(2,-1)+(2-2)(1,1)=(2+42-2彳),

又赤_L屈，所以而?礪=0，即(2+/l)xl+(2—2/l)xl=4—；1=0，解得；[=4?

故選A.

22

4.已知橢圓C：—+￡=1(。＞匕＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)尸在橢圓C上，若

|尸耳|+|尸閭=4,橢圓C的離心率為9則橢圓C的焦距為()

A.1B.2C.⑺D.273

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義、離心率等知識(shí)列方程，求得。，進(jìn)而求得橢圓的焦距.

]PFl\+\PF2\=2a=4

【詳解】依題意｛c_l，解得a=2

,c=l,

、a2

所以焦距2c=2.

故選：B

5.已知cosa+sin(a—個(gè))=,則cos(2a+]

的值是()

A.正BTC3一

88

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得正確答案.

=走,

【詳解】依題意,cosa+sin

I6一丁

c°sa+走sina」c°sa=走sina+4°sa=sin[a+U=3

222216)4

所以cos(2cir+=l-2sin2+.)=l-2x^-^-j=-1.

故選：B

6.在VA3C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若人=三，a=4,BC邊上的高人。=百,

則6+c=()

A.2710B.4君C.8D.40

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三角形面積公式求出be的值，再利用余弦定理求出(6+cP的值，進(jìn)而求出〃+c的值.

【詳解】已知BC邊上的高AD=百，a=4,根據(jù)三角形面積公式=ga,AD=gocsinA.

將4=烏，a=4,AD=百代入可得：-x4xV3=—Z?csin—,273=-Z?cx—,be=8.

322322

由余弦定理/=/+。2—2Z?ccosA，可得：42=b~+C1-Ibccos^,BP16=Z?2+c2-Z?c,

可得：16=(6+c)2—26c—〃c,即16=(b+c)2—3bc,把a(bǔ)'=8代入上式可得：

16=(b+c)2-3x8,即(6+4=16+24=40.

因?yàn)閎、c為三角形的邊，可得：/?+c=A/40=2->710.

故選：A.

7.已知函數(shù)/(%)=爐+2。1皿，若函數(shù)/(幻在區(qū)間(1,2)的圖象上存在兩條斜率之積為-4的切線，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為()

A.(—2,1)B.(—2,—1)C.(—2,0)D.(—3,—2)

【答案】D

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.

r\

【詳解】由（%）=2%,

X

不妨設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點(diǎn)為（%,/（為））,（々，/（巧）），且r（xi）?r（w）=T

若?！?,則/'（%）>0恒成立，不符合題意，可排除A項(xiàng).

所以a<0,此時(shí)y=/'（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

/（l）=2+2a<0

依題意需使“2）=4+a〉0,解得3,-2）.

/⑴川2）=（2+2a）（4+a）<-4

故選：D

8.定義：在空間直角坐標(biāo)系中「（％,外，4）、。（4,433）兩點(diǎn)的“網(wǎng)線距離”為

d（尸,Q）T%-4|+|4-%+|生一勾設(shè)A（0,0,0）、5（4,4,4）、P（x,y,z）,其中關(guān)、>、z均為整

數(shù),若滿足d（A尸）+d（尸,3）=d（A3）的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為〃，則〃的值為（）

A.27B.64C.125D.216

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角不等式可得出當(dāng)d（AP）+d（尸,B）=d（AB）時(shí)，x、y、ze{0,1,2,3,4},結(jié)合分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?（0,0,0）、5（4,4,4）、P{x,y,z）,則d（A§）=12,

由三角不等式可得|x|+|x—4gx—（x—4）|=4,當(dāng)且僅當(dāng)x（x—4）<0時(shí)，即當(dāng)0Wx<4時(shí)，等號(hào)成

立，

HSW|y|+|y-4|>4,|z|+|z-4|>4,當(dāng)且僅當(dāng)y、z?0,4]時(shí),等號(hào)成立，

又因?yàn)閐（AP）+d（P,B）=d（A_B）=12,

即國+"|+忖+1_4|+僅_4|+2_4|=12,可得x、y、ze[0,4],

又因?yàn)閤、八z都是整數(shù)，則x、y、ze{0,123,4},

故滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為53=125個(gè).

故選：C.

二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.某市為豐富市民的業(yè)余生活，春節(jié)前舉辦“迎春杯”歌手大獎(jiǎng)賽，比賽分青年組、中年組和老年組.每

組由6位專業(yè)評(píng)委對(duì)演唱評(píng)分（滿分10分），老年組的甲和乙參加比賽得分的折線統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)、極差、上四分位數(shù)和方差的定義及計(jì)算公式，分別計(jì)算甲、乙得分的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)量,

再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】將甲的得分從小到大排列為：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3.

89+89

因?yàn)閿?shù)據(jù)個(gè)數(shù)n=6為偶數(shù)，所以甲得分的中位數(shù)為-——-=8.9.

2

將乙的得分從小到大排列為：8.1,8,5,8.6,8.6,8.7,9.1.

同理，乙得分的中位數(shù)為86+8.6=86

2

由于8.9>8.6,所以甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，A選項(xiàng)正確.

甲得分的最大值是9.3,最小值是7.0,則甲得分的極差為9.3—70=2.3.

乙得分的最大值是9.1,最小值是8.1,則乙得分的極差為9.1—8.1=1.

因?yàn)?.3>1,所以甲得分的極差大于乙得分的極差，B選項(xiàng)正確.

n=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2>8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

n=6,6x75%=4.5,向上取整為5.

所以甲得分的上四分位數(shù)是9.2,乙得分的上四分位數(shù)是8.7,

由于9.2>8.7,所以甲得分的上四分位數(shù)大于乙得分的上四分位數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

計(jì)算甲得分的平均數(shù)煮：

—7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.951.6

x甲=----------------------------=-----=8.6,

甲66

甲得分的方差：

$年=匕(7.0—8.6)2+(9.3—8.6)2+(8.3—8.6)2+(9.2—8.6)2+(8.9—8.6尸+(8.9—8.6月

,6

=-[(-1.6)2+0.72+(-0.3)2+0.62+0.32+0.32]

=-(2.56+0.49+0.09+0.36+0.09+0.09)

計(jì)算乙得分的平均數(shù)也：

—8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.651.6°,

乙66

乙得分的方差：

/=匕(8.1-8.6)2+(9.1-8.6)2+(8.5—8.6)2+(8.6—8.6)2+(8.7—8.6)2+(8.6—8.6門

乙6

=-[(-0.5)2+0.52+(-0.1)2+02+0.12+02]

=-(0.25+0.25+0.01+0+0.01+0)

因?yàn)?.61>0.09,所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

10.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為了'(%),若/⑴=1,且/'(x)+』>0,則下列式子中

X

一定成立的是()

B.fC./(log2e)>ln2D./(ln3)<log3e

【答案】AC

【解析】

【分析】因?yàn)楫?dāng)尤>0時(shí)，/(%)+二>0,可構(gòu)造g(x)=/(x)—L進(jìn)而可得g'(￡)>0,所以g(x)

XJC

在(0,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/'(x)+4>0,

令g(x)=/(x)-L可得g'(x)=r(x)+4>0,所以g(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增.

XX

因?yàn)?。)=1，可得g(l)=/(l)_l=0,

對(duì)于A,因?yàn)間(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g[]<g(l),即=—T<。，化簡可得

故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)間(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以⑴，即化簡可得

對(duì)于C,因?yàn)間(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以g(log2e)>g(l),即

g(log2e)=f(log2e)—>0,化簡可得/(Iog2e)>ln2,故C正確;

log2e

對(duì)于D,因?yàn)間(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增，所以g(ln3)>g(l),即g(ln3)=〃ln3)—+>0,化簡

可得/(in3)>logse,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

11.已知正方體ABC。-的表面積與體積的數(shù)值之比為3,P,。分別是棱BC,8片的中點(diǎn),

G是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.AAj=3

B.多面體ADAH—PQBCC的體積為§

C.存在一點(diǎn)G,使得GQ//AP

D.若AGJ_平面PQG,則平面PQG截正方體ABC。-AgGA的截面面積是3百

【答案】BD

【解析】

【分析】由正方體的表面積、體積公式，棱錐的體積公式、異面直線的判斷、及正方體截面的結(jié)構(gòu)逐項(xiàng)判斷

即可.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)檎襟w的表面積與體積之比為3,

61A4

所以=3,解得1AAl=2,故A錯(cuò)誤;

1M|3

對(duì)于B,因?yàn)樗拿骟wA3PQ的體積為V=JSBPO-A8=LXLX1X1X2=L,

3-、323

123

所以多面體AD2A—PQ5cle的體積為％。_4破4—匕-即。=8—3=W，正確；

對(duì)于C,設(shè)CG的中點(diǎn)為R,連接PR,則PR//A2，因?yàn)锳P在平面APR，內(nèi)，而G是線段AD1上一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)G在平面APR。內(nèi)，點(diǎn)G在平面APR。外，所以GC1,AP為異面直線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在正方體中，連接BG，易得BC]LBC，

又結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)易證AB±BXC,

是平面ABC,內(nèi)的兩條相交直線，

所以用C,平面ABC-又AC】在平面ABC1內(nèi),

所以AG，耳。，同理可證AG^RC,

BQ,2c是平面片CD1內(nèi)兩條相交直線，

所以AG，平面BjCD,,又AC1，平面PQG,

所以平面4cA//平面PQG,

又P,。分別是棱8C,8瓦的中點(diǎn)，

所以平面PQG截正方體的截面分別交棱CD,DDX,2A,4耳的中點(diǎn)F,H,I,J,

所以截面為正六邊形PFH/J。，又PQ=&,所以截面面積為6乂￥乂(、歷了=3百，故D正確，

故選：BD

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知(1一2x)5=/+qx+//+,貝!)。4=.

【答案】80

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

詳解】依題意，/=G?(-2『=80.

故答案為：80

13.已知函數(shù)/(x)=sin[2x-若/(x)在區(qū)間(0,根)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】[吟

【解析】

【分析】求得/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)題目要求求得機(jī)的取值范圍.

JIJIJIJIy'JI

【詳解】由24?！?lt;2x<2左兀+—解得防i<x<ku-\,keZ,

24288

令左=0,得—二VxV電，

88

依題意，/(x)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞增,

(3兀

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為［。,可.

(371

故答案為：］。,5

14.已知拋物線C：必=2py(p＞0)的焦點(diǎn)為點(diǎn)”(飛，2)在拋物線C上，且|八屈|=3,點(diǎn)尸在直

線/：y=-2(xwo)上，過戶向拋物線C引兩條切線尸Q,PR,切點(diǎn)分別為Q,R,過點(diǎn)40,4)引直線

QR的垂線，垂足為點(diǎn)X,則直線”的斜率的取值范圍是

【答案】四］3若,+司

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進(jìn)而得到直線尺。的方程為"a=2(y-2),進(jìn)而得到點(diǎn)H的

軌跡為以為直徑的圓，得到方程G)H:x2+(y—3)2=1,過點(diǎn)E與圓相切的直線的斜率為左，結(jié)

合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.

【詳解】因?yàn)檎湛?2+言=3,所以p=2,所以拋物線C：必=4門

設(shè)(七,％),尺(馬,見)，不妨設(shè)王＜0,馬＞。，

由》2=4y,可得y=(x2,可得y'=Jx,則

可得切線PQ的方程為y-％(x-占)

因?yàn)辄c(diǎn)？(相,-2)在直線PQ上，可得啊=2(%-2),

同理可得：加々=2(%-2),

所以直線RQ的方程為mx=2(y-2),可得直線RQ過定點(diǎn)B(0,2),

又因?yàn)?(0,4)在直線RQ上的射影為“，可得|/q=4且

所以點(diǎn)H的軌跡為以A3為直徑的圓，其方程為0〃：/+⑶—3)2=1,

當(dāng)EH與?！毕嗲袝r(shí)，

由拋物線龍2=4y,可得尸(0,1),設(shè)過點(diǎn)/與圓?！跋嗲械闹本€的斜率為左,

|-3+1|

可得切線方程為丁=米+1,則=1,解得k--\/3或左=—\/3,

也2+(—1)2

所以實(shí)數(shù)人的范圍為（-8,-61O[A/3,+C0）■

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15.已知編號(hào)為甲、乙、丙的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一

個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；乙袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；丙袋內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一

個(gè)3號(hào)球.

（1）從甲袋中一次性摸出2個(gè)小球，記隨機(jī)變量X為1號(hào)球個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

（2）現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的是1號(hào)球放入甲

袋，摸出的是2號(hào)球放入乙袋，摸出的是3號(hào)球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球.求

第二次摸到的是3號(hào)球的概率.

【答案】（1）分布列見詳解；E（X）=1

29

(2)——

112

【解析】

【分析】（1）分析可知隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望;

（2）設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)題意可得相應(yīng)概率，利用全概率公式圓求解.

【小問1詳解】

由題意可知：隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,則有：

C°C21C1C14?c2C°1

NX=O)=*」,P(X=I)=*=W,P(X=2)7=6

'，C6'，Cj63'C；6

可得隨機(jī)變量X的分布列為

X012

￡2

P

636

121

所以隨機(jī)變量X的期望E(X)=Ox—+1><—+2義一=1.

636

【小問2詳解】

記第一次從甲袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的是1、2、3號(hào)球分別為事件A，4,4，

第二次摸到的是3號(hào)球?yàn)槭录﨎,

2ill?

則尸(A)=了尸(4)=尸(4)=了尸(例4)=了尸(H4)=z，尸(例4)=1，

91111929

所以尸伍)=尸(4)尸⑷修+尸(4)尸(例4)+尸(4)尸(用4)=/公+/工+^丁石.

<

-rI"T"T"i'/J.J.乙

16.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且%=3,。4+%+0=27.

(1)求數(shù)列｛g｝通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為Sn,且S“=2bn-2,求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

(3)已知數(shù)列｛%｝滿足：C”=an-bn,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項(xiàng)和Mn.

【答案】(1)4=2〃—1

(2)2=2"

(3)%=(2n-3>2用+6

【解析】

【分析】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出名，進(jìn)而可求得數(shù)列｛4｝的公差，進(jìn)而可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，可求出偽的值，當(dāng)“22時(shí)，由S==2”一2得Ri=222,兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)

列也｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可得出數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

(3)利用錯(cuò)位相減法可求出M”.

【小問1詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則/+%+R=3%=27,可得%=9,

所以，數(shù)列｛%｝的公差三=2，

故a“=a,+(77,—2)d=3+2(〃—2)=2n—1.

【小問2詳解】

當(dāng)n=1時(shí)，4=H-2,解得4=2,

當(dāng)“22且“eN*時(shí)，由S“=24—2得S,-=2b“_「2,

上述兩個(gè)等式作差可得么=2b,22T，可得勿=2%,

所以，數(shù)列也｝是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，故a=2x2"T=2".

【小問3詳解】

由(1)(2)可得%=%2=(2"—

123

所以，M,;=1-2+3-2+5-2+---+(2?-1)-2",

則2A=1-22+3-23+...+(2/I-3)-2,I+(2W-1)-2,I+1,

上述兩個(gè)等式作差得—以“=2+2?2z+2?23+…+2?2”—(2〃—1)?2向

23(1—2"-1)

=2+12-(2〃-1).=-6+(3-2").2"i,

整理得=(2〃-3).2%6.

17.已知函數(shù)/(幻=lnx-ar-2.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(%)的最值；

3

(2)若函數(shù)g(x)=x?/(x)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)七,々，證明：xxx2>e.

【答案】(1)/(%)的最大值為-3,無最小值.

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷即可求出最值;

(2)利用極值點(diǎn)條件，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算和不等式證明乘積下限.

【小問1詳解】

當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=lnx—%—2,對(duì)函數(shù)/(%)求導(dǎo)可得r(x)=L—1.

X

令/'(x)=。，解得x=l.

當(dāng)0<犬<1時(shí)，r(x)>0,函數(shù),。)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，rw<o,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減；

因此，/(%)在x=l處取得最大值，最大值為/(l)=lnl—1—2=-3,無最小值.

【小問2詳解】

函數(shù)g(%)=x-/(x)=x(lnx-ax-2)=x1nx-ax2-2x,對(duì)g(x)求導(dǎo)可得

g'(x)=In%-2or_1,

令g'(X>=。，得到lnx—2ov—l=0.

x

設(shè)再,％2是g'QQ。的兩個(gè)根，則1ni-2。番一1=0①，lnx2-2ax2-1=0②

①-②得In玉一In/=2〃(玉一九2)③；①+②得In玉+lnx2-2=24cxi+々)④.

In玉+In%2-2%+%2

③?④得

In%-Inx2

+%2%2+

即lnx1+lnx2-2=(Inxx-lnx2)=In—

x1ii_Zx.+x,

不妨設(shè)0<不<々，令—9二%〉1,則In玉+In%-2=------Int,

玉lx】-x1

即InXy+In%2—2=——Int.

要證西42〉。3,即證山玉九2二山西+ln%2>Ine3=3,

1+1t—1t—1

即證In%+In9—2>1,即證---In%>1(%>1),即證In%〉----，即證Int----->0(%>1).

t-1r+1t+1

設(shè)/zQ)=lnt—3?>l),對(duì)丸(。求導(dǎo)可得

Z+l

i2(t+D2—2tt2+1

h'(t)=-------y=-------不一=-----y>。恒成立，故h(t)在方>1上單調(diào)遞增，

t(Z+l)t(t+V)t(t+V)

即版)>人(1)=0,故如/一L^>o(/>i)成立,即西12>■成立.

t+1

18.如圖所示，在圓柱OO］中，矩形A55JA為圓柱的軸截面，圓柱過點(diǎn)C的母線為cq,點(diǎn)C,

E為圓。上異于點(diǎn)A,8且在線段AB同側(cè)的兩點(diǎn)，魚OEIIBC,點(diǎn)尸為線段AC的中點(diǎn),

AB=BB]=4.

⑴求證：EF/mBCB,.

（2）若平面BCB］與平面A4C所成夾角的余弦值為2叵，求NBAC的大小；

19

（3）若AC=2百，平面々經(jīng)過點(diǎn)C,且直線與平面a所成的角為30。，過G點(diǎn)作平面a的垂線

GQ（垂足為Q），求直線AQ與直線CG所成角的范圍.

【答案】（1）證明見解析

7T

（2）36AC的大小為一

6

717T

（3）線AQ與直線所成角的范圍為

_63_

【解析】

【分析】（1）在平面片內(nèi)找到一條與石尸平行的直線，由線線平行去證明線面平行即可；

（2）建立坐標(biāo)系，將A,3坐標(biāo)分別用。表示出來，再根據(jù)平面3c百與平面A4C所成夾角的余弦值為

馬叵列出方程求解。；

19

（3）由所給的條件分析出。點(diǎn)的軌跡，再去利用向量數(shù)量積公式去求解夾角余弦值的取值范圍，從而得

到夾角的取值范圍.

【小問1詳解】

證明:

延長AE,5C交于點(diǎn)Q,連接ACPeq,

因?yàn)镺EHBC,。是A3中點(diǎn)，所以O(shè)E是AAB。的中位線，則點(diǎn)E是AQ中點(diǎn)，

又因?yàn)?VCG，55］是圓柱母線，所以AVCG.BB］平行且相等，

所以易得A￡,CA相交與點(diǎn)E，E是AC1的中點(diǎn)，則在中，EF\\CQ,

AAQ。X

又因因?yàn)镃GII5用，。在延長線上，所以可得CQu平面3。耳，而石尸不在平面g內(nèi),

所以EF〃平面Bcq.

【小問2詳解】

由題意可知C￡LA3C面，且因?yàn)锳3直徑，所以ACLBC則，CA,C3,CG三線兩兩垂直，則建立如

圖所示空間直角坐標(biāo)系。-型，

又因?yàn)?5耳=4,所以設(shè)NB4C=e,則AC=4cos。,5c=4sin6,

可得點(diǎn)坐標(biāo)為c(o,0,0),B(0,4sin6?,0),A(4cose,0,4),4(0,4sin6>,4),

則小=(4cosd0,4),西=(0,4sin0,4),

由題意平面在yCz平面內(nèi)，所以平面的法向量為］=(1,0,0),

設(shè)平面4瓦。的法向量為成=(羽y,z),

n,-CA=0[4xcos6+4z=0

則《二」，即《

n2CBx=014ysm6+4z=0

令z=-l,貝I解得x所以“=

cosesin3cos6sineJ

又因?yàn)槠矫鍮CBX與平面Age所成夾角的余弦值

且因?yàn)樨恏os6=且，即NB4C=9=巴.

226

【小問3詳解】

因?yàn)檫^點(diǎn)C的平面a與直線CG所成的角為30。，又因?yàn)檫^G點(diǎn)作平面&的垂線CQ（垂足為Q）

7rl7L

所以△GCQ直角三角形，且GQ=CCrsin—=4x—=2,NCC]Q=—，

623

所以點(diǎn)。是繞CG旋轉(zhuǎn)的圓，且半徑r=2sinm=6，圓心距離點(diǎn)G的長度為￡0cosg=1

所以設(shè)點(diǎn)。（羽％3）且必+丁2=3,又因?yàn)辄c(diǎn)A為（2道,0,0）,所以而=（x—26,y,3）,

而西二（0,0,1）,所以s'（A。，CCt）-卜2國+2-?2—4瓜+12+笠+9，

又因?yàn)槿攵?3,所以c°s=."6_4瓜:+

且因?yàn)闊o￡[―6,月],所以cos（A。,℃）￡—,

所以直線AQ與直線CG所成角的范圍為

63

22

19.已知雙曲線E：4=1（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，尸2,離心率為2,過戶2的直

ab

線/與雙曲線E交于尸，。兩點(diǎn)，當(dāng)直線/垂直于1軸時(shí)，^尸。片的周長為16.

（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵與無軸不重合的直線/過點(diǎn)N(/o,O)(XoWO),雙曲線E上存在兩點(diǎn)A,3關(guān)于/'對(duì)稱,且AB的中

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0'.

(i)若毛=4%'，求實(shí)數(shù)彳的值；

(ii)若A,8為雙曲線E右支上兩個(gè)不同的點(diǎn)，過點(diǎn)。(0,4),求/ACS的取值范圍.

2

【答案】(1)=1

3

(2)(i)4；(ii)J高

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件求得風(fēng)瓦。，從而求得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)(i)利用點(diǎn)差法列方程，化簡求得正確答案.

(ii)設(shè)出直線