2025年高考數(shù)學押題預測模擬卷2（新高考地區(qū)專用）（含解析）

2025年高考數(shù)學押題預測卷02

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/={乂彳>2},5=log2x>-1j,則（）

A.BjAB.AjBC.NU2=RD./口5=0

2.在復平面內，復數(shù)（l+2i）（l-3i）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）

A./（%）=§B./（x）-sin[x+"|

C./（x）=xln|x|D./（x）=x-2x+1+l

x—1

4.已知u為單位向量，且&在6上的投影向量為產，則33-可=（

)

A.2B.3C.272D.273

冗

5.已知]為曲線>=饃5%與〉=5詛2工+0）（040<兀）的一個交點的橫坐標,貝!］函數(shù)/(x)=sin(2x+。)的

一個單調增區(qū)間為（）

7T兀2兀77C7T7T「2兀

A.B.丁二C.D.一兀,--—

_34J|_36J63_

22

6.已知雙曲線-x-2v=1（。＞0/〉0）虛軸的兩個端點分別為用,層，左、右焦點分別為片，鳥，若

cos/片4鳥=—三，則雙曲線的禺心率為（）

37535

A.B.—C.V5D.-

523

7.從集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝中任取三個數(shù)，取出的三個數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為（）

9533

A.—B.—C.-D.一

281487

8.定義在（0,+8）的增函數(shù)/（x）滿足：/（x）+/（7）=/（xy）-l,且/⑵=0,/（%）=〃一1.已知

數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，則使得s“＜2025成立的〃的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.相關系數(shù)r的絕對值越接近1,兩個隨機變量的線性相關越強

B.已知一組各不相同的數(shù)據(jù)x,（l＜，＜30JeN）,去掉其中最大和最小兩個數(shù)據(jù)后，剩下的28個數(shù)據(jù)

的22%分位數(shù)不等于原來數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)

C.若事件48滿足0＜尸（/）＜1,0＜P（5）＜l,且尸（4月）=P（/）［1-P（3）］,則事件48獨立

D.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（3,CT2）,且尸（X＜4）=0.6,則尸（3＜X＜4）=0.2

10.已知尸是拋物線E:X。=2py（p＞0）的焦點，點5在圓C:x?+（y+2）2=尺2（火＞0）上，

圓C在點N處的切線與E只有一個公共點，動直線/:y=Gx+f,則下列說法正確的是（）

8

A.R=l,p=—

*3

B.與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條

C.若圓C上僅有一個點到/的距離為2,則滿足條件的/的值有4個

,,2

D.若f=0,￡上一點。至心的距離為d,則|。尸|+d的最小值為］

11.在三棱錐尸—4BC中，已知尸平面48C,ABA.BC,過點A作AFA.PC,分

別交心,PC于點瓦廠.記三棱錐尸一4￡尸、四棱錐/-5CFE、三棱錐尸-48。的外接球的表面積

分別為岳，52,S3,體積分別為匕，匕，匕,若PC=2,則（）

4

A.4尸_L平面尸3。B.匕二一兀

3

E+K「6、

C,+S2+S3=8nD.一y~的取值范圍為——,1

%L3J

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知二項式〃eN*）展開式中含有常數(shù)項，則力的最小值為

3

13.已知1211(0+6)=2(1@110+1@11/?),且tana+tan,wO,cos(a-0=7則

cos（a+2）=?

,,4

14.在丫/3。中，內角力,B,。所對的邊長分別為a,b,c,已知asiih4+sin5=sinC,tanC=-,則

VABC的內切圓半徑r的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為%=42.an〉0,%+i?（S“+i+S〃）=2.

（1）求S"；

(2)求4+S2+§2+63

16.某大型商場的所有飲料自動售賣機在一天中某種飲料的銷售量了（單位：瓶）與天氣溫度x（單位:

℃）有很強的相關關系，為能及時給飲料自動售賣機添加該種飲料，該商場對天氣溫度x和飲料的銷

售量y進行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格:

X10152025303540

y41664256204840968192

經分析，可以用）=。-2辰作為了關于x的經驗回歸方程.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求了關于x的經驗回歸方程（結果保留兩位小數(shù)）；

（2）若飲料自動售賣機在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動售賣機在

一天中需添加飲料的概率均為在商場的所有飲料自動售賣機中隨機抽取3臺，記總得分為隨機變量

3

X,求X的分布列與數(shù)學期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)（X],%）,（%，%），…，（X”燈），經驗回歸方程的斜率和截

^（x,.~x）（yi-y）7

距的最小二乘估計公式分別為3=-------------------,6=y-bx-x=25,—無＞=700

Z=1

17.如圖，在三棱錐尸—48。中，平面上4B_L平面/BC,平面尸/C_L平面且尸/=48=2,

AC1BC.

(1)求證：尸4_L平面42C,并求三棱錐尸-4BC體積的最大值；

(2)當也時，求平面尸與平面P8C所成角的正切值的取值范圍.

22o1

18.已知橢圓￡:=?+*?=1(。>b>0)的離心率為點尸(1,?在E上，直線y=]X+加與E交于48

兩點，點A關于x軸的對稱點為C,O為坐標原點.

(1)求E的方程；

(2)證明："OC的面積為定值；

(3)若點3在直線/C的右側，求直線8c在了軸上的截距的最小值.

19.若函數(shù)/(x)的圖象上存在三點Z(aJ(a)),3伍(加,/(加)),S.a<m<b,使得直線48與

〃x)的圖象在點M處的切線平行，則稱優(yōu)為了(力在區(qū)間[”山上的“中值點”.

(1)若函數(shù)〃x)=V+3x+2在區(qū)間N,句上的中值點為加,證明：。,加力成等差數(shù)列.

(2)已知函數(shù)g(x)=2xlnx-x2+氏，存在b>a>0,使得g(a)=g(b).

(i)求實數(shù)f的取值范圍；

(ii)當"左(左eN*)時，記g(x)在區(qū)間［?；厣纤锌赡艿闹兄迭c之和為耳，證明:

§+s,+…+s0>—1/,+—9〃.

12"44

2025年高考數(shù)學押題預測卷02

數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

jx|log2x>1j

1.已知集合/={x|x>2},B=，貝U()

A.B匚AB.A^BC.NU8=RD.AC\B=0

【答案】B

【解析】由10g2

所以故A錯誤,/U3=8,故C錯誤，A^B=A,故D錯誤；B正確.

故選：B.

2.在復平面內，復數(shù)(l+2i)(l—3i)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因為+—3i)=l—3i+2i—6i?=7—i,

則復數(shù)(l+2i)(l-3i)在復平面內所對應的點為(7,-1),位于第四象限.

故選：D

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()

A-/(x)=e：e*B./(x)=sin^+^

C.f(x)=xln\x\D./(x)=%-2^+1+l

【答案】C

7

【解析】A選項，函數(shù)定義域為R,/(0)=1^0,函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，A選項錯誤；

B選項，函數(shù)定義域為R,/(O)=sin^=l^O,函數(shù)/'(x)不是奇函數(shù)，B選項錯誤；

A選項,函數(shù)定義域為(-8,O)U(O,+8),/(-x)=-xln|T=-xln|l=-4@,函數(shù)是奇函數(shù)，C選項

正確；

D選項，函數(shù)定義域為(-8,l)U(l,+8),不關于原點對稱，函數(shù)/(X)不是奇函數(shù)，D選項錯誤.

故選：C.

4.已知7,3為單位向量，且值在6上的投影向量為gB,則囚-3卜()

A.2B.3C.2行D.273

【答案】C

【解析】設Z與3的夾角為凡由題意得問coseg=gB,；.cose=；,

所以(3口一可=9a-6a-b+b^=9-6x^+l=8,|3?-S|=2A/2

故選：C

TT

5.已知§為曲線y=cosx與y=sin(2x+0)(0?°＜兀)的一個交點的橫坐標，則函數(shù)

/(x)=sin(2x+e)的一個單調增區(qū)間為()

71712717兀兀兀2兀

A.B.D.

354T'%"一無‘一1"

【答案】B

JT271I

【解析】由題意可知cos§=sin(《-+e)=5，由于0＜夕＜71,

所以與＜笥+夕＜/，故半+夕=?，解得9*故/"(x)=sin(2x+/

TTTTTTTTTT

令----F2左71W2xH—W--F2左71,kGZ,解得----FkuWXV—F左兀,左￡Z,

26236

71兀

故單調遞增區(qū)間為----卜kit,—Fkn，左￡Z,

36

當左二0時，一個單調遞增區(qū)間為一彳,：

36

27i7兀

當左二時，一個單調遞增區(qū)間為

1T，-6"

一4兀一5兀

當上=一1時，一個單調遞增區(qū)間為

36

故選：B

22

6.已知雙曲線三-%=1（a>0）>0）虛軸的兩個端點分別為耳也，左、右焦點分別為耳，鳥，若

cos/=---，則雙曲線的禺心率為（）

【答案】A

->[/?j5

【解析】由題cosN片5百=2cos2/4耳。-1二2/一1=-----,

^b2+c2)13

所以9/=4/,即9/=5,2,所以e2=；=2,即e=^^.

a55

7.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三個數(shù)，取出的三個數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為（）

9533

A.—B.—C.-D.一

281487

【答案】B

【解析】設集合4={1,4,7},4={2,5,8},4={3,6},

任取三個數(shù)的和為3的倍數(shù)，分為兩類情形，一類是從集合4或4取三個數(shù)，一類是從三個集合各取

一個數(shù)，

2+3x3x25

所以概率是一0一=—.

故選：B.

8.定義在(0,+8)的增函數(shù)/(x)滿足:/(X)+/(J)=/(XJ)-1,且/⑵=0,/(a,)=〃—l.已知

數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,則使得S.<2025成立的〃的最大值是()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】法一：,."(x)+/(y)=/3)T，可令/(x)=log“x-1,又/⑵=0,則

loga2-l=0,

a=2,.,./(%)=log2x-l.v/(a?)=log2a?=an=2",

2-(l-2n]

S=-------L=2"+i—2<2025,2,!+1<2027?

"1-2

11

...21°=1024,2=2048,.-.(?+l)max=10,;.小=9.

法二：?."(x)+/(y)=/(砂)—1,/(%)=〃—1

由題/⑵=0=1-1,.?嗎=2；

令x=y=2,「J⑵+/⑵=〃4)—1,，/(4)=1=2—1,，2=4；

令》=2,丁=4,.../(2)+/(4)=/(8)—1,二/(8)=2=3—1,，/=8；

4=21,4=22,…%=2”,-s=2,°2)=2"+i—2<2025,r.2'用<2027?

"1-2

10

...2=1024,2"=2048,;.(〃+l)a=10,，?max=9.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.相關系數(shù)r的絕對值越接近1,兩個隨機變量的線性相關越強

B.已知一組各不相同的數(shù)據(jù)x,(l<i<30/eN),去掉其中最大和最小兩個數(shù)據(jù)后，剩下的28個數(shù)據(jù)

的22%分位數(shù)不等于原來數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)

C.若事件H3滿足0〈尸(/)<1,O<P(5)<1,且尸(4月)=P(/)[1-P(3)],則事件/,8獨立

D,若隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,CT2),且尸(X<4)=0.6,則尸(3<X<4)=0.2

【答案】AB

【解析】對于A,相關系數(shù)涌勺絕對值越接近1,兩個隨機變量的線性相關越強，A正確

對于B,將原來30個數(shù)從小到大排列，30x22%=6.6,則30個數(shù)的22%分位數(shù)為30個數(shù)中的第7個數(shù)，

去掉其中最大和最小兩個數(shù)據(jù)后，28x22%=6.16,故剩下的28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為28個數(shù)中的第

7個數(shù)字，也是30個數(shù)中的第8個數(shù)，

故兩者不相等，B正確，

對于C,尸(4)=尸⑷□—尸(5)]=尸⑷尸(耳,所以45相互獨立，因此43也相互獨立,C正

確，

對于D,由于P(X<4)=0.6,則尸(3<X<4)=P(X<4)—尸(XV3)=0.6—0.5=0.1,故D錯誤，

故選：AB

10.已知尸是拋物線E:/=2加(0>0)的焦點，點N-1]在圓C：/+(y+2)2=叱(尺>0)上，圓。

在點N處的切線與E只有一個公共點，動直線=+則下列說法正確的是()

Q

A.R=1，P=；

B.與E和圓C各恰有一個公共點的直線有6條

C.若圓C上僅有一個點到/的距離為2,則滿足條件的I的值有4個

D.若/=0,￡上一點。至U/的距離為d,則|。川+d的最小值為§

【答案】ABC

【解析】對于A,因為點N[等,-1[在圓C上，所以[g[+[-土+2：=尺2,解得五=i,

所以圓C的方程為-+8+2)2=1,所以圓心c(o,一2),

2’3

所以直線CN的斜率上CN=

3

2

所以圓C在點N處的切線的斜率上=百,

5(0_

所以切線方程為y+廣=Gx-牙，即了=后一4,

2(2)

代入拋物線E的方程X2=2py(p>0)中，得爐-2也px+82=0,

O

由A=12/-32p=0,解得p=§,(。=0舍去)，故A項正確；

對于B,如圖所示，在了軸右側，當直線斜率不存在時，有一條直線與E和圓C各恰有一個公共點，當

斜率存在時，有兩條這樣的直線.根據(jù)對稱，總共有6條直線與E和圓C各恰有一個公共點，故B正確；

對于D,因為420,所以尸|+dN|Q司，當點。與原點重合時等號成立，

此時可取得最小值三，故D錯誤.

故選：ABC.

11.在三棱錐尸—48C中，已知尸4,平面48C,ABLBC,過點A作/ELPB,AF1PC,分

別交尸3,尸C于點瓦？記三棱錐尸-4EE、四棱錐/-8C尸￡、三棱錐尸-48C的外接球的表面積

分別為3，工,S3,體積分別為匕，匕，匕?若尸。=2,則()

B,匕=g兀

A.平面PBC

v+V

C,E+$2+$3=8兀D.七二的取值范圍為

【答案】BC

【解析】對于A,因為尸平面N5C,5Cu平面/5C,所以尸Z_L8C,

又BCLAB,PA^AB=A,R4u平面尸48,48u平面尸48,

所以5C,平面尸48，

又4Eu平面P4B,所以BC_LZE,

因為4E_LPB,PBcBC=B,PBu平面尸8C,5Cu平面尸5C,

所以/E_L平面尸3c,

而=則N尸與平面RBC不垂直，故A錯誤；

對于B,將三棱錐尸-N8C放入長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐尸-ZBC的外接球,

可知長方體的體對角線PC即為外接球的直徑，

PC

則三棱錐尸—N3C外接球的半徑叫=—=1,

2

44

可得風=4K7?；=4兀，匕=］成;=§兀，故B正確；

對于C,因為尸5,AFLPC,

所以APEA與APFA均為直角三角形，

取尸/的中點為q,則OXA=QP=OtF=OXE,

即點0即為三棱錐尸-/￡尸的外接球球心，

pA

三棱錐P-AEF的外接球半徑RX=AOX=—,

因為4EJ_平面尸3C,0Cu平面尸3C,所以尸C,

又AF上PC,AEr^AF=A,4Eu平面AEF,/尸u平面/￡尸，

所以尸CJ_平面4E/，

因為研u平面4E戶，所以尸CLEF,

因為平面P8C,￡Cu平面尸8C,所以NEJ_EC,

因為5CJ_平面尸48,PBu平面P4B,所以

在四棱錐N-3C尸E的底面四邊形5CFE中，EFLFC,BCLBE,

則EC即為四邊形BCFE的外接圓直徑,

而平面8CFE,

d4E?+EC?

則四棱錐/-5CFE的外接圓半徑尺？=

2

又4EA.EC,則ZE?+,所以尺，=一,

2

因為P4L/C,所以AC?+尸/2=尸。2,可得用2+及22=1,

則S1+S2+S3=4兀(及J+尺2~)+4兀=871,故C正確；

471標+如標

厘)：了上用+批

對于D,易知

匕47112

T

由H；+R；=1可得及2=11—/：，0<7?!<1,則、^=尺：+

“3

令/(力=/+(1一%2戶0<%<1,

則/r(^)=3x2+萬(1-X2)5.(_2%)=3%卜-Vl-x2j，

令廣(力〉0,即x〉m，解得字<x<i；

令/'(x)<0,即解得0<、<手；

則函數(shù)/(X)在0,彳上單調遞減，在T，1上單調遞增，

I2JI2J

(亞、亞3

所以/(x)mm=f=不，當X=0或X=1時，J;=X3+(1-X2)2=1，

則/(x)的值域為、-』

匕+匕「血)

即」片的取值范圍為手』，故D錯誤.

%2)

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

n

12.已知二項式|（〃eN*）展開式中含有常數(shù)項，則〃的最小值為

【答案】6

N*）展開式的通項為:

???二項式1x+1

〃EN*）展開式中含有常數(shù)項,

〃一6左=0（〃、左EN*）有解,

〃、左eN"）則當上=1時，7?最小，且最小值為6.

故答案為：6.

3

13.已知1211(0+/?)=2(12110+12116)，且tana+tan,wO,cos

cos(a+jS)=

【答案】1

5

【解析】由題意可得tan(a+/?)=:na+ta叱=2^tana+tanjg^

1-tanatanp

因為tana+tan，wO,所以tanatan^=—,

萬sinasmB1

tanatanp=--------------=—sinasinB=—

cosacosB2,得5

由《2

3

cos(a-/?)=cosacos/3+smasin(3cosacos{5--

5

故cos(a+A)=cosacos6一sinasin/?=一

故答案為：1

5

,,4

14.在V/BC中，內角力,B,。所對的邊長分別為Q,b,c,已知asiih4+sin5=sinC,tanC=-,則

VABC的內切圓半徑r的最大值為.

【答案

【解析】已知asin4+sin5=sinC,由正弦定理可得/十6二。，

又tanC=—，可求得sinC=—,cosC=—,

利用余弦定理，可得/+與2=Q2+/—2。/7cosc，

5a-5a3

所以b=

10。+6

又三角形面積=-absmC=-ab,

25

[12

又S4ABe=5(a+b+c)〃，所以5(a+b+c)/=《ab,

故

5a-5a3

3

=4ab=4ab=10.+6=a-a=。(?)

2

5(a+b+c)5(a+a+2b}J2?5a-5/14(a+1)4

3ClIClI2,

IlOtz+6)

Q+I-Q2i

5J1,當且僅當。=—時等號成立，

■——2

4---16

所以VABC的內切圓半徑尸的最大值為—.

16

故答案為：—.

16

四、解答題：本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為邑嗎=叵冊＞0,an+l?⑸內+S〃)=2.

⑴求九

111

(2)求-------1--------F,??H---------

水4+S2s2+s3sn+sn+l

【答案】⑴s〃=伍⑵彳(而1-1)

【解析】⑴.3%>0,y(S/+S“)=2,可得(S"+「S")(S,,M+S“)=2,

可得院-S；=2,即數(shù)列⑶｝為首項為2,公差為2的等差數(shù)列,

可得S；=2+2（〃-1）=2〃,由a”>0,可得S〃；

（2）

即有+1-

16.某大型商場的所有飲料自動售賣機在一天中某種飲料的銷售量了（單位：瓶）與天氣溫度x（單位:

℃）有很強的相關關系，為能及時給飲料自動售賣機添加該種飲料，該商場對天氣溫度x和飲料的銷

售量了進行了數(shù)據(jù)收集，得到下面的表格：

X10152025303540

41664256204840968192

經分析，可以用）=。-2辰作為了關于x的經驗回歸方程.

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求了關于x的經驗回歸方程（結果保留兩位小數(shù)）；

（2）若飲料自動售賣機在一天中不需添加飲料的記1分，需添加飲料的記2分，每臺飲料自動售賣機在

一天中需添加飲料的概率均為,，在商場的所有飲料自動售賣機中隨機抽取3臺，記總得分為隨機變量

3

X,求X的分布列與數(shù)學期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)（國,%）,（%，%），…，（七，丹），經驗回歸方程/=宸+，的斜率和截

［（%-亍）（％-反）7

距的最小二乘估計公式分別為B。------------,a=y-bx-x=25,—亍>=700

，-元了9

Z=1

【答案】⑴3=2°39164⑵分布列見解析，E(x)=4

【解析】(1)設Z=log2_y,m=log2。，由>=。-2卜，可得z=log2)=左x+log2。=依+如，

Hlog24=2,log216=4,log264=6,log2256=8,log22048=1l,log24096=12,

2+4+6+8+11+12+13

log28192=13,所以亍==8,

7

10+15+20+25+30+35+40

由表中的數(shù)據(jù)可得嚏=二25,

7

7

則-7xz=10x2+15x4+20x6+25x8+30x11+35x12+40x13—7x25x8=270,

i=i

77___

，(x.~x)(z.-z)ZXiZi_nxz

27027八一

所以A=-------------二號---------------=—?0.39,

?-)270070

1=11=1

-Z/

則應=彳一底=8——x25。一1.64,可得6=2痛°2T64,

70-一

所以了關于x的經驗回歸方程為y=2-164-2°-39X=20-i9x-1M.

(2)由題意，隨機變量X的可能取值為3,4,5,6,

可得尸(X=3)m。尸(八4)=8捫!4,

尸(X=5)=C；xgx(￡|J,尸(X=6)=(K

所以變量X的分布列為

X3456

8421

P

279927

B42]

所以，期望為E(X)=3x自+4x§+5x,+6x力=4.

17.如圖，在三棱錐尸一48C中，平面P4B_L平面/8C,平面P/C_L平面N5C,且尸/=48=2,

AC1BC.

（1）求證：尸4_L平面42C,并求三棱錐尸-4BC體積的最大值；

（2）當也時，求平面尸與平面P8C所成角的正切值的取值范圍.

2rjg

【答案】（1）證明見解析，j（2）^-,V2

【解析】（1）證明：作CD_L48交48于點。，

:平面上4B_L平面N8C，平面R48c平面Z3C=/3,CDu平面/8C

\CD'平面尸又上4u平面尸NB

:.CD1PA

又：平面P4cl,平面/2C,平面尸NCPI平面45C=ZC,ACLBC,BCu平面ABC

BC±平面尸ZC,又PAu平面4BC,

:.BCLPA,又CDcBC=C

所以尸平面/2C;

由于尸平面/2C,所以三棱錐尸—Z8C的高為P4=2.

設NC=x,BC=y,則根據(jù)勾股定理，有/+V=4.

三棱錐尸—4BC的體積％=.尸/砂.2=!冷.

要使體積最大，需要孫最大

22

根據(jù)X2+J?=4,利用均值不等式，有個〈土產=2,

當且僅當x=y=6時取等號.

因此，三棱錐-4BC體積的最大值為2.

3

(2)由(1)知CD，平面尸作交尸8于點E,連結CE

?;PBu平面R4B,:.CD_LPB

.?.P3,平面COE,又CEu平面CDE

/.PB±CE

：.ZCED是平面P45與平面尸5C所成的角,

CD

在.RtAkCZJE中，tan/CED=---

DE

設/C=x（l<x<點）BC=y,則8=又

2

XV

:.tan/CEDG^-,A/2

3

221Ai

18.已知橢圓￡：1+烏=15>6>0)的離心率為不，點尸(L7)在石上，直線>=彳％+冽與E交于

兩點，點A關于1軸的對稱點為C,。為坐標原點.

(1)求￡的方程；

(2)證明：小。。的面積為定值；

(3)若點B在直線AC的右側，求直線5c在歹軸上的截距的最小值.

【答案】⑴金+仁=i，(2)證明見解析；4虛.

432

【解析】⑴由橢圓氏［+==1的離心率為:，得一「.」,即與=3,

02b②2a2a24

31Q

由點尸（1,7）在E上，得一+:方=1,聯(lián)立解得/=4萬=3,

2a4b

fv2

所以￡的方程為土+匕=1.

43

（2）設4>1，必）,鳳工2，歹2），則。（再，-必），

.1

y=—x+m

2

由《22消去〉并整理得％?+加工+加2一3=0,

土+匕=1

143

22

A=加2-4（m-3）>0n加之<3,xx+x2=-m,xxx2=m-39

2

S.BOC=；108II°CIsinZ.BOC=1|OB||OC|71-cosZ5OC

=|sJ（\OB\\OC\y-（OB-OCy=1J（x；+y；）（x；+y；）-（xM「yj2）2

1.,、1112r2|3

=—|x{x2+m{xx+x2)|=—|m-3-m\=—,

所以ABOC的面積為定值.

(3)由點B在直線/c的右側，得馬＞毛，設直線3c與＞軸的交點為7(01),

當X1%=0時，點民c中有一個點與橢圓E的上頂點重合，此時T即為E的上頂點，，=百,

,*11

當小尸。時，由5CT共線，得工"即5%+"一'-23T