2025年高考數(shù)學重難題型二輪復習：數(shù)列中含絕對值與奇偶項的問題（3大題型）（學生版+解析）

i重難題型?解題技巧攻略

J_______________________

專題08數(shù)列中含絕對值與奇偶項的問題

檢-----------題型歸納?定方向-----------*>

目

題型01含絕對值求和問題.......................................................................1

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項和的性質..........................................................2

題型03含奇偶項的數(shù)列求和問題................................................................3

?>-----------題型探析?明規(guī)律-----------?>

題型01含絕對值求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

I、對于首項小于0而公差大于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對值后得到的數(shù)列｛I。」｝求和，設｛4｝的前幾項和為

Sn,｛|a?|）的前〃項和為7；，數(shù)列｛an｝的第k項小于0而從第k+1項開始大于或等于0,于是有

幾,k.

"飛一21,n>k,

2、對于首項大于0而公差小于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對值后得到的數(shù)列｛,」｝求和，設｛?！埃那皫醉椇蜑?/p>

S",｛|%|｝的前幾項和為7；,數(shù)列｛4｝的第k項大于0而從第k+1項開始小于或等于0,于是有

T=K，風,k

"一n>k°

【典例訓練】

一、解答題

1.（2024?四川成都?二模）已知數(shù)列｛叫的前w項和'=《"+阿%eN*）,且S”的最大值為g.

⑴確定常數(shù)左，并求?！?；

⑵求數(shù)列｛|%|｝的前15項和幾.

2.（24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，且2%+%=20,510=110.

（1）求｛凡｝的通項公式；

⑵設bn=|9—⑷，求數(shù)列｛〃｝的前〃項和&

3.(24-25高三上?湖北?開學考試)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且q=2,a^=S“+2.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(2)設2=log2^-ll,求數(shù)列｛|%｝的前〃項和T?.

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項和的性質

【解題規(guī)律?提分快招】

1、等差數(shù)列中

s

①若項數(shù)為偶數(shù)2〃，則§2〃=+%?)="(?！?。九+1)；S偶—5奇=〃6/；—=——.

a

S偶n+\

②若項數(shù)為奇數(shù)2〃—1,則昆〃.]=(2〃—1)q；S奇一S偶二%；=-----

一S偶n-1

2、等比數(shù)列｛〃.｝中，若項數(shù)為2〃，貝1]3丑；若項數(shù)為2〃+1,則寫"=q.

s奇s偶

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?河北滄州?階段練習)設S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若公差d=g,且品＞(,=145,貝|

+。3+。5++”97+”99的值為()

A.60B.70C.75D.85

2.(24-25高三上?重慶?階段練習)已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛。“｝所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3

倍，前2項之積為8,則％=()

A.2B.-2C.-1D.2或-2

3.(23-24高三上?重慶?期中)已知等比數(shù)列｛%｝有2〃+1項，4=1,所有奇數(shù)項的和為85,所有偶數(shù)項的

和為42,則〃=()

A.2B.3C.4D.5

4.(2024?重慶?二模)已知等差數(shù)列｛0｝的前30項中奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為B,且A=45,

2A=3+615,貝l]%=()

A.3H—2B.3H-1C.3〃+lD.3〃+2

5.(23-24高三上?陜西榆林?階段練習)已知等差數(shù)列｛4｝的項數(shù)為2m+l(〃zeN*),其中奇數(shù)項之和為140,偶

數(shù)項之和為120,則〃2=()

A.6B.7C.12D.13

6.(24-25高三上?河北保定?期末)己知正項等差數(shù)列｛%｝滿足占N*)，則于1=()

A.2B.1012C.2024D.4048

題型03含奇偶項的數(shù)列求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

1、項數(shù)問題

①數(shù)列項數(shù)是2n項，那么奇數(shù)和偶數(shù)分別是n項；

②數(shù)列項數(shù)是2n+l項，那么奇數(shù)為n+1項，偶數(shù)為n項；

③當項數(shù)是n項時，要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)；

2、常見類型

①%,求心的值；則氏=(%+為++%4T)+(4+2++&)

為奇數(shù)

O”一[%〃為偶數(shù)’求"的值

(l)n為奇數(shù)時，有等個奇數(shù)項，有?個偶數(shù)項，則[=(4+/++%)+(%+,++%)

⑵n為偶數(shù)時，有弓個奇數(shù)項，有/偶數(shù)項，則(=(4+/++—)+但+%++2)

3、其他類型

①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題：4+4+1=/(〃)或=/(")

②含有(-1)”類型

【典例訓練】

一、解答題

1.(24-25高三上?山東?階段練習)已知數(shù)列｛q｝為正項數(shù)列，且4=1,43-=2n+1(〃eN)

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵令6“=(-1)"見+3。”,求數(shù)歹U｛2｝的前2〃項和S2n.

2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知數(shù)列｛q｝滿足％的+。2a3+…+。0%+1=4"("+D("十2)(〃?N*).

⑴設或=。1AM，求數(shù)列｛么｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,，且品）=145,求生的值.

3.（2024高三?全國.專題練習）已知數(shù)列電｝中，4=l，4+%i=2"-i,〃eN*,求數(shù)列也"｝的前”和.

\a-8,“為奇數(shù)

4.（2024高三上?山東濟南.專題練習）已知數(shù)列｛q｝的前“項和為S",fl，=13,%13%n,“為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列為等比數(shù)歹心

⑵求數(shù)列｛%｝的前2〃+1項和S2n+l-

+2,”為奇數(shù)

5.（23-24高三上?江蘇無錫?階段練習）已知數(shù)列｛%｝滿足q=La用

2a“+1,fi為偶數(shù).

⑴設以=%，寫出偽也,打;

⑵證明數(shù)列也+3｝為等比數(shù)列;

（3）求數(shù)列｛%｝的前2九項和S2?.

6.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且q=LS“+i=44+l（〃eN*）.

⑴證明：｛4+「2%｝是等比數(shù)列，并求出｛4｝的通項公式；

—,?=2k-l,keN*

⑵設％=n,求數(shù)列｛2｝的前〃項和卻

log—,??=2k,AeN*

.2n

7.（24-25高三上?安徽阜陽?階段練習）已知在數(shù)列｛?！埃校琣,=|,且滿足%+1=

>;｝是等比數(shù)列.

（1）求證：數(shù)歹M

為奇數(shù)

a"2，求最小實數(shù)加，使得4+久+…+砥〈相對一切正整數(shù)左均

⑵設數(shù)列色｝滿足4=<

"1+"1一2,“為偶數(shù)

n-1n+1

成立.

8.（24-25高三上?天津?階段練習）已知等差數(shù)列｛g｝滿足：%=3公差//。且《，&，%恰為等比數(shù)列也｝

的前三項.

⑴求數(shù)列｛?！埃c｛b,,｝的通項公式：

（2）若數(shù)列｛q｝滿足:%出"+如求數(shù)列匕｝前"項和1；

⑶求｛（T）"。”｝的前〃項和

9.（24-25高三上?天津南開?期末）己知等差數(shù)列｛七｝的前〃項和為S“，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，滿足弓=仿，

a2=5,4+〃4=19,S]]=11（4+1）.

⑴求數(shù)列｛%｝和的通項公式;

丁一”2，〃為奇數(shù)崩

⑵對任意的正整數(shù)"，設g=產+帥+2+1）,求皇；

（-1）2（〃_1）么,〃為偶數(shù)

⑶若對于數(shù)列｛4｝,在%和W+1之間插入4個1伏￡N*）,組成一個新的數(shù)列｛4｝,記數(shù)列伍〃｝的前〃項和為

T〃，求豈025?

o-----------題型通關?沖高考-----------?>

一、填空題

1.（23-24高三下?江西?階段練習）已知等差數(shù)列｛%｝共有2〃-1項，奇數(shù)項之和為60,偶數(shù)項之和為54,

則.

2.（2024高三.全國?專題練習）等比數(shù)列｛?！埃灿?〃項，其和為240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,

貝U公比4=.

3.（24-25高三上?全國?課堂例題）若等比數(shù)列｛%｝共有奇數(shù)項，其首項為1,其偶數(shù)項和為170,奇數(shù)項和

為341,則這個數(shù)列的公比為,項數(shù)為.

4.（24-25高三上?全國?課后作業(yè)）已知等比數(shù)列｛叫共有2〃項，其和為-240,且

（q+q++%“_]）一（的+%++出”）=80,貝!|公比0=.

5.（2024高三上?全國?專題練習）已知等差數(shù)列｛%｝的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44,偶數(shù)項和為33,則

數(shù)列的中間項為;項數(shù)為.

6.（2024高三.全國?專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,a，"：：；%"，則｛見｝的前40項和

為.

二、解答題

7.(2024?全國?模擬預測)已知等差數(shù)列｛4｝,?=-10,記S“為｛%｝的前〃項和，從下面①②③中再選取一

個作為條件，解決下面問題.①2%+4=0；②晶=-55；陪y=2.

⑴求S“的最小值；

(2)設｛同｝的前〃項和為求心.

8.(24-25高三上?河北衡水?開學考試)已知3為數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，4=9,S?-n2=?(??-1)(?eN*).

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛I*｝的前〃項和4.

9.(24-25高三上?全國?自主招生)若凡表示正整數(shù)”的最大奇數(shù)因數(shù)(〃eN+),記

S〃=%+〃2+〃3+〃4+-----*"，求S〃.

10.(24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習)已知數(shù)列｛外｝為等比數(shù)列，公比4>0,前幾項和為S",數(shù)列色,｝為

等差數(shù)列，且％=々

=2,a3=b3,63=65.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項公式：

若n且數(shù)列｛g｝的前〃項和為北，求幾.

(2)q=2,cn+2+(-l)cn=bn,

11.(24-25高三上?黑龍江大慶?階段練習)已知數(shù)列｛。,｝的前〃項和為且滿足S“=2%+2〃-1.

⑴求證:數(shù)列｛%-2｝為等比數(shù)列；

凡，”是奇數(shù)

⑵已知a=，"(2-％)曰伸將，求數(shù)列｛2｝的前2"項和.

I3

高三上?云南昆明?階段練習)已知是正項遞增的等比數(shù)列，且%必=數(shù)列

12.(24-25｛4｝64,a3+as=20.

也｝是等差數(shù)列，且(〃+1)2=2"+〃+C.

⑴分別求數(shù)列｛%｝和數(shù)列也,｝的通項公式；

⑵設c.=(-1)"4+J，求數(shù)列｛,｝前見項和S,.

"n"計1

13.(24-25高三上?遼寧沈陽?階段練習)已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,且2s“=%(為+1).

(1)求｛4｝的通項公式；

為奇數(shù)?

(2)設bn=<J,〃為偶數(shù)，求數(shù)列｛bn｝的前〃項和人

"+2'

14.(24-25高三上?廣東佛山?階段練習)設各項非零的數(shù)列｛4｝的前n項和記為，記7；=SjS?…-S?,

且滿足2s工-S"-27；=0,

⑴求小心的值，并求數(shù)列｛瑁的通項公式；

(2)設求數(shù)列匕｝的前〃項和儲?

nan

:重難題型?解題技巧攻略

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專題08數(shù)列中含絕對值與奇偶項的問題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

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題型01含絕對值求和問題.......................................................................1

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項和的性質..........................................................2

題型03含奇偶項的數(shù)列求和問題................................................................3

*>----------題型探析?明規(guī)律-----------令

題型01含絕對值求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

I、對于首項小于0而公差大于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對值后得到的數(shù)列｛,」｝求和，設｛%｝的前〃項和為

的前幾項和為7；，數(shù)列｛4｝的第％項小于0而從第k+1項開始大于或等于0,于是有

7=［一S,，n,,k

n-k-2^,n>k，

2、對于首項大于0而公差小于0的等差數(shù)列｛4｝加絕對值后得到的數(shù)列｛,」｝求和，設｛4｝的前幾項和為

Sn,｛⑷｝的前n項和為Tn，數(shù)列｛??｝的第k項大于0而從第k+1項開始小于或等于0,于是有

丁=卜，n,,k

"一12S/—S",n>k°

【典例訓練】

一、解答題

1.（2024?四川成都二模）已知數(shù)列｛%｝的前力項和S“=-，2+b@eN*）,且S“的最大值為g.

⑴確定常數(shù)3并求％;

⑵求數(shù)列｛|4|｝的前15項和幾.

7

【答案】⑴左=3；an=--n

8/33

【分析】（1）根據(jù)題意，求得5.=-）/+3〃，結合?！?5”-5”一即可求得數(shù)列｛q｝的通項公式;

（2）由（1）求得S“=-；/+3",結合幾=-幾+2S3,即可求解.

【詳解】⑴解：由數(shù)列｛端的前〃項和S“=-g〃2+如H?N*）,

根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得當〃=%時，S“=-；/+初取得最大值，

11O1

即1=一//+公=]公=_|,解得左=3,所以s“=-/〃2+3a,

117

當〃22時，4=5“_§〃_[=—/I+3〃-（n-1）2+3（n-l）=--n,

當〃=1時，（符合上式），

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為an=^-n.

57

（2）解：由（1）知為=：一”，可得s+1島3/

"22

且當〃工3且〃eN*時，可得%>。；當〃24且時，可得%<。，

所以數(shù)列｛㈤｝的前15項和：幾=一2+2s3=-1?152+3x15）+21;x3?+3x3）=

2.（24-25高三上?內蒙古鄂爾多斯?期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為5,，且2%+%=20,品）110.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設包=|9—⑷，求數(shù)列也｝的前〃項和卻

【答案】（1）4=2"；

[-n2+8/?,1<7?<4

（2）"~[n2-8n+32,n>5'

【分析】（1）應用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式求基本量，進而寫出通項公式；

（2）根據(jù)勿=|9-4的符號，討論1W〃W4、n>5,結合等差數(shù)列前n項和公式求加

【詳解】⑴設等差數(shù)列｛q｝的公差為d,又2%+%=20,%=110,

2a3+%=2（q+2d）+q+3d=20

所以196/解得％=2,d—2,

Slo=lOa1+°^=HO

所以=al=2+2（“一l）=2〃.

（2）由（1）知a=|9—⑷=|9一2",

9/33

當時，bn=\^-2ri\=9-2n9貝!|a=7；

當心5時，bn=|9-2n|=2n-9,則與=1,

當14H4時，T,/（7+9二2〃）」（169）=_“2+8〃,

22

當心5時，7；=/+々+…+2=]6+（"4）（￡2"9）=/_8〃+32.

.,e=2+8n,l<n<4

"z上'"[n-8n+32,n>5,

3.（24-25高三上?湖北?開學考試）已知數(shù)列｛g｝的前"項和為％且4=2,0用=S“+2.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式;

⑵設勿=1嗎片-11，求數(shù)列｛間｝的前〃項和T".

【答案】⑴4=2",weN*

10n-n2,n<5.

⑵（=<cf〃，〃￡N?

H92-10H+50,H>6

【分析】（1）利用見=篦-$,1（〃22）得出數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列，從而可得通項公式;

（2）由已知求得切，得出｛"｝是等差數(shù)列，求出其前〃項和，然后根據(jù)絕對值的性質得出數(shù)列｛|2|｝與他"

的前〃項和的關系，從而求得結論.

【詳解】（1）由。e=5“+2,則當“22時a“=Si+2

兩式相減得4+1-%%,所以%=2%（〃22）.

將q=2代入an+l=S”+2得，a2=4=2al,

所以對于〃eN*,%=2a“，故｛%｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以4=2”.

（2）

Z7?=log2^-ll=2/7-ll.

Bn=l\+b2++bn=〃（“-10）="-10/1,

因為當〃<5時a<。，當〃*時或>。，

2

所以當“V5時，Tn=-b1-b2---bn=-Bn=lQn-n,

當"2時，T=—b—=B—n~

6n—Z?j2—Z>5+Z?6+Z>7++n2B5=-10/z+50.

”n2—10n+50,n>6

10/33

題型02等差、等比數(shù)列奇偶項和的性質

【解題規(guī)律?提分快招】

1、等差數(shù)列中

①若項數(shù)為偶數(shù)2〃，則S2”=)=〃(?！?)；S偶一S奇=nd；—=——.

S偶?！?1

②若項數(shù)為奇數(shù)2〃-1,則J1=(2〃-1)?；S奇一S偶二％；———.

-S偶n-1

2、等比數(shù)列｛%｝中，若項數(shù)為2〃，則2=”若項數(shù)為2〃+1,則反二氣,.

S奇S偶

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?河北滄州?階段練習)設S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若公差1=；,且?guī)護=145,則

“1+“3+。5++”97+”99的值為（）

A.60B.70C.75D.85

【答案】A

【分析】設等差數(shù)列的奇數(shù)項的和為P,偶數(shù)項之和為Q,由等差數(shù)列的性質列方程組，可求出P、Q的

值，從而可得出結果.

【詳解】設2=4+%+%++。97+“99，

Q=〃2+〃4+〃6++“98+”100

因為數(shù)列仇｝是等差數(shù)列，且公差d=g,5100=145,

fe+P=S=145

所以；pX1004解得。=6。，2=85

[Q-P=50d=25

所以4+。3+%++。97+%9=60?

故選：A.

2.(24-25高三上?重慶?階段練習)已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛0｝所有項之和為所有奇數(shù)項之和的3

倍，前2項之積為8,則％=()

A.2B.-2C.-1D.2或-2

【答案】D

【分析】設數(shù)列共有2〃項，設所有奇數(shù)項之和為7“，由題意表求出和T,,利用*=3求出公比4,再結

合q?%=8求出q即可.

【詳解】設首項為q,公比為4,數(shù)列共有2“項，貝!)｛%“_｝滿足首項為4，公比為d，項數(shù)為〃項，設所

11/33

有奇數(shù)項之和為4，

因為所有項之和是奇數(shù)項之和的3倍，所以gwl,

所以丁“1-⑺)$

所以1=%+%+*=\_q2—，$2"一-m-，

%(I-42")

S21—qo

故滿n足(/，v\=3,解得q=2,

(“1-⑺)

1-“2

又6?出=〃；?q=8,

所以4=±2.

故選：D

3.(23-24高三上?重慶?期中)已知等比數(shù)列｛4｝有2”+1項，％=1,所有奇數(shù)項的和為85,所有偶數(shù)項的

和為42,貝1]"=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質得到奇數(shù)項為1+d+/+…+=1+4(q+/+/+…+^-')=85,偶數(shù)項為

q+q3+q5+...+q2n-'=^,得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項和的公式求出n即可.

【詳解】因為等比數(shù)列有2”+1項，則奇數(shù)項有〃+1項，偶數(shù)項有〃項，設公比為4,

得到奇數(shù)項為1+才+/+…+廣=1+g(q+/+++/“T)=85,

偶數(shù)項為4+q3+4+...+/"T=42,整體代入得4=2,

所以前2九+1項的和為:——=85+42=127,解得“=3.

1-2

故選：B

4.(2024.重慶.二模)已知等差數(shù)列｛%｝的前30項中奇數(shù)項的和為A,偶數(shù)項的和為8,且3-&=45，

2A=3+615,貝1]%=()

A.3n—2B.3n—1C.3n+1D.3〃+2

【答案】B

【分析】根據(jù)條件列出關于首項和公差的方程，即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列的公差為d,首項為％,

則B-A=15d=45,所以d=3,

因為2A=3+615,即24=4+45+615,則7=660,

等差數(shù)列的奇數(shù)項是以6為首項，2d為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列｛4｝的前30項中奇數(shù)項有15項，所以

12/33

15x14

A=15%H--------x6=660,得〃i=2,

所以4=4^+(n-l)6?=2+3(n-l)=3n-l.

故選：B

5.(23-24高三上?陜西榆林?階段練習)已知等差數(shù)列｛%｝的項數(shù)為2m+eN*),其中奇數(shù)項之和為140,偶

數(shù)項之和為120,則加=()

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質，知等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項、偶數(shù)項的和直

接代入等差數(shù)列的前”項和公式，結合等差中項的性質化簡即可.

【詳解】項數(shù)為2加+1的何｝中奇數(shù)項共有(加+1)項,

其和為⑺）角

（"+D（1+%，"+J=+向=+16=140,

項數(shù)為2機+1的｛%｝中偶數(shù)項共有機項，其和為〃」%；%")=*24=〃叼m=120,

所以3皿1407?口

西有,解得利=6.

叫+]

故選:A.

6.(24-25高三上.河北保定.期末)已知正項等差數(shù)列間滿足：：：：；：：：：=占(4*)，則,=()

A.2B.1012C.2024D.4048

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標和性質得到％J=V\（〃eN*）,從而得到冬=4g,即可得解.

nan+2n+2n〃+2

【詳解】因為｛%｝為等差數(shù)列，

所以…++*=y”，

〃（〃3+。2“+1）

%+%+…+a2n+\=---------------=nan+29

所以」__3---------2=__=__（?eN）,

+anafl+2

%+%+2n+ln+2

所以%=%+2,所以“2024=%）22==e_

以nn+2以202420222

~a2024

所以3?0=?4一1=1012

13/33

故選：B

題型03含奇偶項的數(shù)列求和問題

【解題規(guī)律?提分快招】

1、項數(shù)問題

①數(shù)列項數(shù)是2n項，那么奇數(shù)和偶數(shù)分別是n項；

②數(shù)列項數(shù)是2n+l項，那么奇數(shù)為n+1項，偶數(shù)為n項；

③當項數(shù)是n項時，要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)；

2、常見類型

①1，求心的值；則《“=(《+%++。2.-1)+(匕2+"++處)

為奇數(shù)

求，的值

②1年,"為偶數(shù)

(l)n為奇數(shù)時，有一個奇數(shù)項，有一個偶數(shù)項，則［=(%+%++見)+僅2+%++〃-)

(2)n為偶數(shù)時，有"I個奇數(shù)項，有3個偶數(shù)項，則(=(%+/++an-\)+(^2+^4++b.)

3、其他類型

①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題：4+4+1=/(〃)或4,a,+i=/(?)

②含有(-1)"類型

【典例訓練】

一、解答題

1.(24-25高三上?山東?階段練習)已知數(shù)列｛g｝為正項數(shù)列，月％=1,a3-q；=2"+l(〃eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑵令求數(shù)列也｝的前〃項和

bn=(-1)"an+3%,2S2a.

【答案】⑴4="

o2n+l_Q

⑵$2"=”+^^

【分析】(D解法一：構造數(shù)列｛片-1｝是恒為。的常數(shù)列，結合?！?gt;0可得出數(shù)列｛%｝的通項公式;

解法二：利用累加法結合%>。可求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)利用并項求和法結合分組求和法可求得邑

【詳解】⑴解法一(構造常數(shù)列)：由d「d=2"+l=("+l)2-〃2("eN*),且％=1,

14/33

可得a；+i—(〃+1)2=a1-n2==a^-I2=0,

故數(shù)列｛W-n2｝是恒為0的常數(shù)列,所以d="2,

又因為數(shù)列｛4｝為正項數(shù)列，所以凡=〃(〃eN*).

解法二(累加法)：由題意得：V〃22且〃EN*,

有"a；-a：=3,a；-a；=5,L,4—a；7=2(〃—1)+1=2〃—1,

將以上各式相加，得4-。；=3+5++(2“_])=("1)(；2〃T)=/_],

將q=l代入上式即得寸="2,且當”=1時也成立，所以d=/,

又因為數(shù)列｛%｝為正項數(shù)列，所以a“=〃(”eN*).

(2)由⑴可得勿=(-1)"?〃+3”,令%=(-1)"?〃，其前2"項和為耳，

對任意的女EN*,。2左一1+。2攵=一(2左一1)+2左=1,則&=lx〃="，

又因為3^2++3*f=f==，

1-322

中+1-O

所以S2n=n-\------------

2.(24-25高三上?江蘇常州?期末)已知數(shù)列｛?！埃凉M足4%+〃洶++?！啊Ｓ?則"詈土eN*).

⑴設a=a?an+l,求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且&=145,求q的值.

【答案】⑴4=4"("+1)；

24

(2)%=1或歹.

【分析】(1)根據(jù)已知可得"=見。用=4〃(〃+1),驗證4是否滿足要求，即可得結果；

(2)根據(jù)已知可得的=旦，且餐="，討論〃的奇偶性得凡,《關系，應用分組求和及已知列方程求4.

4〃+2n

■、*.4n(n+l)(n+2)

+Cla

【詳解】(1)由4%+%%+nn+1=-------------------①，

當〃N2時，％%+,??+%—1%=-------十----@f

①一②則a=anan+l=4n(n+l),又4=%%=8滿足上式，

所以a=4"(〃+1).

⑵由⑴，知的向=4小+1),則熱力=牝故^^K=4,

15/33

所以。2=2，且4+2=為

n+2n

黑吟一條則％若?"常

若〃為偶數(shù),

若〃為奇數(shù)，/=%=...=?貝！1a=叼；

n+2n1n

41?0

故％=(1+3+5+7+9)%+(2+4+6+8+10)?—=25%+—=145,

解得4=1或.

3.（2024高三?全國?專題練習）已知數(shù)列電｝中，伉=1也+%=27weN*,求數(shù)列｛&｝的前"和.

【答案】|-4n-y-|

【分析】根據(jù)題意，由遞推關系可得打“+2-仇”=22"'再由累加法以及等比數(shù)列的求和公式可得

12

酊再由分組求和法，代入計算，即可得到結果?

63

【詳解】因為2+T=2"T,則bM+bn+2=2",

兩式相減作差可得%2-2=2"-2"-1=2"T,

所以處+2-&=22"T,

23

即b4-b2=2,b6-b4=23也一々=25,,b2n-k=2-,

累加可得％也=2+2"++”=婦工-1」，4,-2,

2"21-4363

又仇=1,勿+b“M=2"T,weN*,當”=1時，4+4=0,所以4=0,

12

即包“=94"-3設數(shù)列也“｝的前n和為。，

63

則"4+"+4++b2n

34mx卉訃肘一丁+卜力

=1(4+42+43++4")一

一"(1一4")

2.4〃—

61-4939

冊-8,"為奇數(shù)

4.（2024高三上?山東濟南?專題練習）已知數(shù)列｛%｝的前幾項和為S〃,4=13,a

n+13%,及為偶數(shù)

⑴證明：數(shù)列｛%.「12｝為等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛4｝的前2n+l項和S2n+l?

16/33

【答案】⑴證明見解析

(2)邑”+1=2X3"+16〃+11

【分析】(1)根據(jù)條件，得到當心2,〃eN*時,^-1112=3^.^-36,且有q-12=1,由等比數(shù)列的

定義即可證明結果；

(2)由(1)及條件可得%E=3I+12,%"_2=3"-2+4,〃22,〃eN*,再利用等比等差數(shù)列前〃項和公式分

組求和，即可求解邑用.

a-8,"為奇數(shù)

【詳解】(1)證明：因為巴包n

3%,“為偶數(shù)'

a_

所以當“22,〃eN*時，2n-i12=—12=3a2”_2—12=3<7(2n_3)+1—12=3(tz2n_3—8)—12=3(a2n_3—12),

%1—12

即/=3

又〃=1時，％—12=13—12=1,

所以數(shù)列｛%“7-12｝為首項為1,公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)知的IT2=3"\所以%1T=3^+12,

■數(shù)，可得-3"-2+4,心2,”eN*,

又由%+i

所以邑用=4+°2+“3++%.+。2用=(6+%++為“+1)+(。2+。4++02?)

=[(3°+12)+(3'+12)+...+(3n+12)]+[(3°+4)+(3+4)+...+(37+4)]

1_7"+11-3"

=[3°+3+—+3"+12(〃+1)]+(3°+3+.+3"—+4〃)=++16a+12=2x3"+16〃+11

a+2,”為奇數(shù)

5.(23-24高三上.江蘇無錫?階段練習)已知數(shù)列｛%｝滿足q=La“+i=n

2a“+1,〃為偶數(shù)-

(1)設內=。2"，寫出偽也也；

⑵證明數(shù)列也+3｝為等比數(shù)列;

(3)求數(shù)列｛%｝的前2〃項和邑“.

【答案】(1)4=3,仇=9,4=21

(2)證明見解析

(3)邑“=12X2"-8”-12

【分析】(1)根據(jù)已知的數(shù)列遞推關系，分別代入計算2=4”的前三項.

(2)通過分析久的遞推關系，利用等比數(shù)列的定義來證明他,+3｝為等比數(shù)列.

(3)先求出a的通項公式，再根據(jù)?！迸c或的關系求出S?”.

【詳解】(1)已知%=1,因為4=%“，所以4=%.

17/33

當〃=1時,％=6+2=1+2=3,即4=3.

當〃=2時，b2=a4.

先求生，因為〃=2為偶數(shù)，%=2%+1=2X3+1=7.

再求〃4，因為孔=3為奇數(shù)，〃4=〃3+2=7+2=9,即仇=9.

當〃=3時，&=&-

先求〃因為〃為偶數(shù)，

5，=4tz5=2?4+1=2x9+1=19.

再求〃6,因為〃=5為奇數(shù)，4=%+2=19+2=21,即4=21.

(2)由2=%〃可得勿+i二%(“+1)=。2n+2?

所以b=a

n+l2n+l+2=2a2rt+1+2=26.+3.

則%+3=2(2+3).又4+3=3+3=6.

所以數(shù)列｛2+3｝是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(3)由(2)可知仇+3=6X2"T=3X2",貝他=3X2"-3.

$2"=(41+%)+(43+。4)++(%"-1+。2”)?

因為2=%.，a2n-l=a2n-2+?

所以邑〃=(%+%)+(%+%)++(%"-+%場)=(%—2+%)+(。4-2+%)++(%〃—2+%〃).

即S?n=2(*+旬++bn)-2n.

由等比數(shù)列求和公式可得4+%++4=3X2"2")一3〃=6X(2"-1)-3”.

1—2

所以S?”=2x[6x（2”—1）—3川—2〃=12x2〃一12—6〃-2〃=12x2”—8〃一12.

6.（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",

⑴證明：｛。向-2a.｝是等比數(shù)列，并求出｛凡｝的通項公式；

—=2k-l,keN"

⑵設％=",求數(shù)列色｝的前"項和&

log,—,n=2k,keN*

.n

nl

【答案】⑴證明見解析，an=n-2~

2角-1(1)1,〃=2左一1,AeN'

-—4^

⑵(

^-^+—,n=2k,k^'N"

34

【分析】（1）根據(jù)?！芭cS”之間的關系可知｛。鵬-24“｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列

通項公式可得需-梟=g,利用等差數(shù)列通項公式分析求解;

18/33

（2）根據(jù)題意可知：但｝的奇數(shù)項為以4=1為首項，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以％=1為首項，2

為公差的等差數(shù)列，利用分組求和結合等差、等比數(shù)列求和公式運算求解.

【詳解】（1）當〃=1時，S]=〃1+%=4〃i+1,且〃1=1,所以4=4；

當"W2時,由3+i=4%+l,得S==4%+1,則

S0+i-S”=4an+l-（4a）i_1+1）,可得??+1=-4fln_,,

即q,+「2%=2（%-2%_）,且出一2°戶2,可得

可知數(shù)列｛。用-2%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

則.一2%=2.2向=2",可得猾一袋=g,

且多=：,可知俗!是以g為首項，為公差的等差數(shù)列，

所以3=g+|（〃T）g即…”

工〃=2I,%eN*

2,,-1,n=2k-l,ke-Nt

(2)由(1)可知"="

n-\,n=2k,kGN’

log,—,n=2k,keN*

,n

可知抄“｝的奇數(shù)項為以仿=1為首項，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以4=1為首項，2為公差的等差數(shù)列.