2023-2024學(xué)年河南省洛陽市高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省洛陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫答題卡上.2.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某次降雨過程中，洛陽市區(qū)降雨量（單位:與時(shí)間（單位:的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬時(shí)變化率）為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，則，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為.故選：A.2.用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有（）A.48個(gè) B.24個(gè) C.18個(gè) D.12個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)題意，三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為1或3，有2種情況，百位數(shù)字不能為0，有3種情況，十位數(shù)字在剩下的3個(gè)數(shù)字任選1個(gè)，有3種情況，則共有種情況，即有18個(gè)符合題意的三位奇數(shù)．故選：C．3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，且，，因，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.只有B中圖象符合題意，故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?所以.故選：D.5.已知函數(shù)，則（）A.10 B. C.12 D.14.【答案】B【解析】由題意可知，，則，解得：，所以，則.故選：B6.洛陽市牡丹文化節(jié)期間，5名志愿者準(zhǔn)備到3個(gè)博物館參加志愿服務(wù)，若每個(gè)博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（）A.90種 B.150種 C.240種 D.300種【答案】B【解析】將5名志愿者分為1，2，2，則有種分法，將5名志愿者分為1，1，3，則有種分法，則不同的分配方案有種.故選：B.7.已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，所以，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，即，又因?yàn)?，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，即，，即，所以，兩式相減得：，所以為周期函數(shù)，4為最小正周期，在中，令，得,解得，所以．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則則，則則則則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有6項(xiàng) B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是20C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0 D.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】CD【解析】的二項(xiàng)展開式有7項(xiàng)，A錯(cuò)；的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為令得，所以常數(shù)項(xiàng)為，B錯(cuò)；令得，所以展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為0，C對(duì)；展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，D對(duì).故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確是（）A.是函數(shù)的極大值點(diǎn)B.的單調(diào)增區(qū)間是C.當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)D.若函數(shù)在區(qū)間上，對(duì)為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，所以，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取極大值，故A正確；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故B正確；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可得：，，此進(jìn)與函數(shù)只有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在,上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間,上是“三角形函數(shù)”，所以，且，解得，故D正確．故選：ABD．11.5名同學(xué)站成一橫排照畢業(yè)照，下列說法正確的是（）A.甲不排在最中間，則不同的排法有72種B.甲乙不相鄰，則不同的排法有72種C.甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有72種D.甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有72種【答案】BD【解析】對(duì)于A，甲不排在最中間，則不同的排法有中，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲乙不相鄰，則不同的排法有種，故B正確；對(duì)于C，甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有種，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有種，故D正確；故選：BD12.已知，則使恒成立的值可以是（）A. B.2 C.4 D.5【答案】ABC【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，即，設(shè)，則當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，故因?yàn)?，所以，但顯然等號(hào)無法同時(shí)取得，所以，即，又恒成立，所以．故選：ABC．三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】112【解析】的展開式中，通項(xiàng)公式，令，解得．含的項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為：112．14.曲線在點(diǎn)處的切線方程是________.【答案】【解析】由，得．，又，曲線在點(diǎn),處的切線方程是．故答案為：．15.已知正四棱錐，從底面四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D和四條側(cè)棱中點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)作為三棱錐的頂點(diǎn)，可得三棱錐________個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】58【解析】如圖所示：在正四棱錐中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，于是有，而是正方形，所以有，因此有，因?yàn)橐粚?duì)平行線確定唯一的一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，此時(shí)一共確定平面的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)一共確定平面的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，可以確定2個(gè)平面，其中平面均被計(jì)算了兩次，所以共四點(diǎn)共面的情況共有個(gè)，一共8個(gè)點(diǎn)，任取四個(gè)點(diǎn)，一共有種情形，所以可得三棱錐個(gè)，故答案為：16.已知函數(shù)，直線，若滿足點(diǎn)在直線上方的正整數(shù)恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，，設(shè)，所以函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，而，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，因此該直線必過定點(diǎn)，函數(shù)和直線的圖象如下圖所示：滿足點(diǎn)在直線上方的正整數(shù)恰有一個(gè)，則有，故答案為：四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）計(jì)算:;（2）.解:（1），18.已知斜率為1的直線與曲線相切.（1）求直線的方程;（2）若直線分別交曲線和于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最大值.（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線的斜率，解得，此時(shí)，即切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即（2）因?yàn)榉謩e交曲線和于點(diǎn)M，N，所以.因?yàn)?，則，所以.此時(shí)的面積，，令，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，有最大值且.19.已知的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求展開式的通項(xiàng)公式和中間一項(xiàng);（2）設(shè)，求.解：（1）因?yàn)椋?，解得所以的展開式的通項(xiàng)，令，展開式的中間一項(xiàng)為.（2）因?yàn)?，所以所以的展開式的通項(xiàng)，令，令則.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;（2）討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）當(dāng)時(shí)，，令，得或；令，得或;令，得或;則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由，得設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于研究函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)取最小值.又，且當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)無交點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn);當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)與直線在區(qū)間內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn).21.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得.令，解得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值.又綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為0，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，.令函數(shù).則當(dāng)時(shí)，.故.即下證時(shí)，恒成立.設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，設(shè)，，由知，即在上單調(diào)遞增，且，故在上,故在上單調(diào)遞減.即.②當(dāng)時(shí)，由知.即在上單調(diào)遞增，即.此時(shí)由得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的極值;（2）證明:當(dāng)時(shí)，.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.令，解得.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表負(fù)0正單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值.（2）要證明當(dāng)時(shí)，，即證明當(dāng)時(shí)，.令函數(shù).則.當(dāng)時(shí)，.設(shè)函數(shù).則，故在上單調(diào)遞增.又所以存在唯一的使得.且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以設(shè)函數(shù)則即在單調(diào)遞增.所以原不等式得證.河南省洛陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫答題卡上.2.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知某次降雨過程中，洛陽市區(qū)降雨量（單位:與時(shí)間（單位:的函數(shù)關(guān)系可近似表示為，則在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度（某一時(shí)刻降雨量的瞬時(shí)變化率）為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，則，則，所以在時(shí)的瞬時(shí)降雨強(qiáng)度為.故選：A.2.用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有（）A.48個(gè) B.24個(gè) C.18個(gè) D.12個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)題意，三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字必須為1或3，有2種情況，百位數(shù)字不能為0，有3種情況，十位數(shù)字在剩下的3個(gè)數(shù)字任選1個(gè)，有3種情況，則共有種情況，即有18個(gè)符合題意的三位奇數(shù)．故選：C．3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，且，，因，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.只有B中圖象符合題意，故選：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?所以.故選：D.5.已知函數(shù)，則（）A.10 B. C.12 D.14.【答案】B【解析】由題意可知，，則，解得：，所以，則.故選：B6.洛陽市牡丹文化節(jié)期間，5名志愿者準(zhǔn)備到3個(gè)博物館參加志愿服務(wù)，若每個(gè)博物館至少接受1名志愿者，則不同的分配方案有（）A.90種 B.150種 C.240種 D.300種【答案】B【解析】將5名志愿者分為1，2，2，則有種分法，將5名志愿者分為1，1，3，則有種分法，則不同的分配方案有種.故選：B.7.已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若，則（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且為奇函數(shù)，所以，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：，即，又因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)求導(dǎo)得：，即，，即，所以，兩式相減得：，所以為周期函數(shù)，4為最小正周期，在中，令，得,解得，所以．故選：C．8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則則，則則則則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有6項(xiàng) B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是20C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0 D.展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64【答案】CD【解析】的二項(xiàng)展開式有7項(xiàng)，A錯(cuò)；的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為令得，所以常數(shù)項(xiàng)為，B錯(cuò)；令得，所以展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為0，C對(duì)；展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，D對(duì).故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確是（）A.是函數(shù)的極大值點(diǎn)B.的單調(diào)增區(qū)間是C.當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)D.若函數(shù)在區(qū)間上，對(duì)為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”.已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】因?yàn)?，，所以，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取極大值，故A正確；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故B正確；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可得：，，此進(jìn)與函數(shù)只有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在,上單調(diào)遞增，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間,上是“三角形函數(shù)”，所以，且，解得，故D正確．故選：ABD．11.5名同學(xué)站成一橫排照畢業(yè)照，下列說法正確的是（）A.甲不排在最中間，則不同的排法有72種B.甲乙不相鄰，則不同的排法有72種C.甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有72種D.甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有72種【答案】BD【解析】對(duì)于A，甲不排在最中間，則不同的排法有中，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲乙不相鄰，則不同的排法有種，故B正確；對(duì)于C，甲乙必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法有種，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲乙丙三人中有且僅有兩人相鄰，則不同的排法有種，故D正確；故選：BD12.已知，則使恒成立的值可以是（）A. B.2 C.4 D.5【答案】ABC【解析】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，即，設(shè)，則當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，故因?yàn)?，所以，但顯然等號(hào)無法同時(shí)取得，所以，即，又恒成立，所以．故選：ABC．三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，的系數(shù)為______.【答案】112【解析】的展開式中，通項(xiàng)公式，令，解得．含的項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為：112．14.曲線在點(diǎn)處的切線方程是________.【答案】【解析】由，得．，又，曲線在點(diǎn),處的切線方程是．故答案為：．15.已知正四棱錐，從底面四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D和四條側(cè)棱中點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)作為三棱錐的頂點(diǎn)，可得三棱錐________個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】58【解析】如圖所示：在正四棱錐中，分別是側(cè)棱的中點(diǎn)，于是有，而是正方形，所以有，因此有，因?yàn)橐粚?duì)平行線確定唯一的一個(gè)平面，當(dāng)時(shí)，此時(shí)一共確定平面的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)一共確定平面的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，可以確定2個(gè)平面，其中平面均被計(jì)算了兩次，所以共四點(diǎn)共面的情況共有個(gè)，一共8個(gè)點(diǎn)，任取四個(gè)點(diǎn)，一共有種情形，所以可得三棱錐個(gè)，故答案為：16.已知函數(shù)，直線，若滿足點(diǎn)在直線上方的正整數(shù)恰有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，，設(shè)，所以函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，而，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，因此該直線必過定點(diǎn)，函數(shù)和直線的圖象如下圖所示：滿足點(diǎn)在直線上方的正整數(shù)恰有一個(gè)，則有，故答案為：四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）計(jì)算:;（2）.解:（1），18.已知斜率為1的直線與曲線相切.（1）求直線的方程;（2）若直線分別交曲線和于M，N兩點(diǎn)，求的面積的最大值.（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€的斜率，解得，此時(shí)，即切點(diǎn)為，所以切線的方程為，即（2）因?yàn)榉謩e交曲線和于點(diǎn)M，N，所以.因?yàn)椋瑒t，所以.此時(shí)的面積，，令，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，有最大值且.19.已知的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.（1）求展開式的通項(xiàng)公式和中間一項(xiàng);（2）設(shè)，求.解：（1）因?yàn)椋?，解得所以的展開式的通項(xiàng)