2023-2024學(xué)年江蘇省連云港市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省連云港市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)為實數(shù)，，若，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因為，若，所以，解得.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.3.若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段（）A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形【答案】B【解析】由題知：設(shè)的三邊分別為，，，因為，所以角為最大的角，因為，，所以為銳角，故三角形為銳角三角形.故選：B.4.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因為，所以，，又，所以，解得.故選：B.5.根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和三個月以上六個月以下暫扣駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款.2024年3月以來，某地區(qū)交警查處酒后駕車和醉酒駕車共20人．如圖，這是對這20人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上的頻率為，所以樣本中屬于醉酒駕車的人數(shù)約為人.故選：C.6.已知為鈍角，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又為鈍角，所以.故選：D.7.用油漆涂100個圓臺形水桶（桶內(nèi)外側(cè)都要涂），桶口直徑為，桶底直徑為，母線長是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精確到）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，故一個桶需要涂漆面積為，故個桶需要涂漆為：.故選：C.8.在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點，，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則因為，則，的，則，且.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.一組樣本數(shù)據(jù)如下：，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為6 B.平均數(shù)為85C.方差為26 D.第80百分位數(shù)為87.5【答案】AB【解析】對于A，極差為，故A正確；對于B，平均數(shù)為，故B正確；方差為，故C錯誤；對于D，，所以第80百分位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB.10.已知直線，平面，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，由平面平行傳遞性可得，故A正確；對于B，，則與可以平行，也可以相交，故B錯誤；對于C，根據(jù)兩個相交平面同時垂直于第三平面，則它們的交線垂直于第三平面，故C正確；對于D，根據(jù)若一條直線與兩個相交平面分別平行，則這條直線與兩個平面的交線平行，故D正確.故選：ACD.11.在中，為的中點，為的中點，延長交線段于點，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ABD【解析】因為中，，對于A，由題可得，因為為的中點，為的中點，所以，則，所以，故A正確；對于B，由，設(shè)，所以，因為，，三點共線，則，解得，則，所以，故B正確；對于C，由于，所以為靠近的四等分點，由于，所以為靠近的三等分點，故，由于，，所以，則，所以，故C不正確；對于D，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.13.在中，，若最短邊的長為，則最長邊的長為______．【答案】【解析】由，，得，所以，，所以，所以，所以，故，為最長的邊，由，得，則，所以（舍去），由正弦定理得，所以，即最長邊的長為.故答案為：.14.已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，其中較大圓錐的體積是較小圓錐的體積的倍，若這兩個圓錐的體積之和為，則球的體積為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓錐與圓錐公共底面圓心為，兩圓錐公共底面圓周上一點，底面半徑，設(shè)球心為，球的半徑，由，，又，即，即，又，所以，，所以，又，所以，又，即，解得，所以，即球的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，即，又，解得（負(fù)值已舍去），所以.16.已知三種不同的元件，其中元件正常工作的概率分別為，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響．（1）用元件連接成系統(tǒng)（如左圖），當(dāng)元件都正常工作時，系統(tǒng)正常工作．求系統(tǒng)正常工作的概率；（2）用元件連接成系統(tǒng)（如右圖），當(dāng)元件正常工作且中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．若系統(tǒng)正常工作的概率為，求元件正常工作的概率．解：（1）記元件正常工作為事件，元件正常工作為事件，系統(tǒng)正常工作為事件，則，，所以.（2）記元件正常工作為事件，系統(tǒng)正常工作為事件，則，解得，即元件正常工作的概率為.17.如圖，在正方體中，為棱的中點．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面解：（1）連交于，連，因為為的中點，為的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為平面，所以于，所以平面，所以，同理可證，又于，所以平面，因為，所以平面，又平面，所以平面平面．18.（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．解：（1），，，，，，.（2），，即，，，又，，，即.19.如圖，已知各邊長為4的五邊形由正方形及等邊三角形組成，現(xiàn)將沿折起，連接，得到四棱錐，且二面角的正切值為．（1）求證：四棱錐為正四棱錐；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（3）若點是側(cè)棱上的動點，現(xiàn)要經(jīng)過點作四棱錐的截面，使得截面垂直于側(cè)棱，試求截面面積的最大值．解：（1）證明：過點作面，垂足為，取中點，連接，如圖所示，是平面內(nèi)兩條相交直線，平面，平面，，二面角的平面角為，，在等邊三角形邊長為4，根據(jù)勾股定理可得，在直角三角形，，因此為正方形的中心，即正方形的對角線的交點，又因面，則，因此四棱錐為正四棱錐.（2）設(shè)面面，因為平面平面，故面，又面，面面，從面，則，同理為二面角的平面角，因四棱錐為正四棱錐，故，則，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.（3）由（1）知為的中點，取的中點，連接都是正三角形，平面，所以，由，則平面，因此過點垂直于的截面與截面平行或重合，顯然點在上（不含端點）時，截面面積小于，不可能最大，當(dāng)點在（不含端點），時，令，此時截面交分別于點，，，，平面平面，平面平面，平面平面，因此，同理，由知，平面，得平面，而平面平面平面，則，同理，于是，四邊形為平行四邊形，又，則，即有，四邊形為矩形，顯然，則，，由，得，而，矩形面積，從而截面的面積，當(dāng)時，，顯然，即時，截面面積最大，最大值為.江蘇省連云港市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)為實數(shù)，，若，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因為，若，所以，解得.故選：A.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.3.若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段（）A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形【答案】B【解析】由題知：設(shè)的三邊分別為，，，因為，所以角為最大的角，因為，，所以為銳角，故三角形為銳角三角形.故選：B.4.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】因為，所以，，又，所以，解得.故選：B.5.根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和三個月以上六個月以下暫扣駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款.2024年3月以來，某地區(qū)交警查處酒后駕車和醉酒駕車共20人．如圖，這是對這20人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上的頻率為，所以樣本中屬于醉酒駕車的人數(shù)約為人.故選：C.6.已知為鈍角，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，又為鈍角，所以.故選：D.7.用油漆涂100個圓臺形水桶（桶內(nèi)外側(cè)都要涂），桶口直徑為，桶底直徑為，母線長是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精確到）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，故一個桶需要涂漆面積為，故個桶需要涂漆為：.故選：C.8.在梯形中，為鈍角，且，若為線段上一點，，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，取中點，因為，所以，以為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，則因為，則，的，則，且.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.一組樣本數(shù)據(jù)如下：，則該組數(shù)據(jù)的（）A.極差為6 B.平均數(shù)為85C.方差為26 D.第80百分位數(shù)為87.5【答案】AB【解析】對于A，極差為，故A正確；對于B，平均數(shù)為，故B正確；方差為，故C錯誤；對于D，，所以第80百分位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB.10.已知直線，平面，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，由平面平行傳遞性可得，故A正確；對于B，，則與可以平行，也可以相交，故B錯誤；對于C，根據(jù)兩個相交平面同時垂直于第三平面，則它們的交線垂直于第三平面，故C正確；對于D，根據(jù)若一條直線與兩個相交平面分別平行，則這條直線與兩個平面的交線平行，故D正確.故選：ACD.11.在中，為的中點，為的中點，延長交線段于點，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ABD【解析】因為中，，對于A，由題可得，因為為的中點，為的中點，所以，則，所以，故A正確；對于B，由，設(shè)，所以，因為，，三點共線，則，解得，則，所以，故B正確；對于C，由于，所以為靠近的四等分點，由于，所以為靠近的三等分點，故，由于，，所以，則，所以，故C不正確；對于D，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：.13.在中，，若最短邊的長為，則最長邊的長為______．【答案】【解析】由，，得，所以，，所以，所以，所以，故，為最長的邊，由，得，則，所以（舍去），由正弦定理得，所以，即最長邊的長為.故答案為：.14.已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，其中較大圓錐的體積是較小圓錐的體積的倍，若這兩個圓錐的體積之和為，則球的體積為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓錐與圓錐公共底面圓心為，兩圓錐公共底面圓周上一點，底面半徑，設(shè)球心為，球的半徑，由，，又，即，即，又，所以，，所以，又，所以，又，即，解得，所以，即球的體積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別是，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，即，又，解得（負(fù)值已舍去），所以.16.已知三種不同的元件，其中元件正常工作的概率分別為，每個元件是否正常工作不受其他元件的影響．（1）用元件連接成系統(tǒng)（如左圖），當(dāng)元件都正常工作時，系統(tǒng)正常工作．求系統(tǒng)正常工作的概率；（2）用元件連接成系統(tǒng)（如右圖），當(dāng)元件正常工作且中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．若系統(tǒng)正常工作的概率為，求元件正常工作的概率．解：（1）記元件正常工作為事件，元件正常工作為事件，系統(tǒng)正常工作為事件，則，，所以.（2）記元件正常工作為事件，系統(tǒng)正常工作為事件，則，解得，即元件正常工作的概率為.17.如圖，在正方體中，為棱的中點．求證：（1）∥平面；（2）平面⊥平面解：（1）連交于，連，因為為的中點，為的中點，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為平面，所以于，所以平面，所以，同理可證，又于，所以平面，因為，所以平面，又平面，所以平