2025年上海高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（5類核心考點(diǎn)）解析版

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

（5類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年北京卷，第12題，5分誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)定義、余弦函數(shù)結(jié)合

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容較少單獨(dú)考查，主要與三角函數(shù)性質(zhì)及解三角形結(jié)合考查.

【備考策略】

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并應(yīng)用基本關(guān)系式解決相關(guān)問題；

2.利用定義推到出誘導(dǎo)公式，能夠利用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)求值、化簡與證明問題.

【命題預(yù)測】單獨(dú)考查的可能性不大，題目可能會(huì)與三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合進(jìn)行綜合考查.

iflV考點(diǎn)梳理。

平方關(guān)系）、

考點(diǎn)一根據(jù)基本關(guān)系式求解三角函數(shù)值

考點(diǎn)三弦切互化的應(yīng)用

K。知識點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式）《商數(shù)關(guān)系）

L（基本關(guān)系式的幾種變形）,考點(diǎn)三sinacosa.sina士cosa關(guān)系應(yīng)用

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

及誘導(dǎo)公式

6組誘導(dǎo)公式）］考點(diǎn)四利用誘導(dǎo)公式化簡求值

。知識點(diǎn)二誘導(dǎo)公式、＞考點(diǎn)五同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

奇變偶不變，符號看象限J與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用

知識講解

知識點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1、平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

2、商數(shù)關(guān)系：9=tanJ喈

cosa

3、基本關(guān)系式的幾種變形

(1)sin2a=1—cos2(x=(l+cosa)(l-cosa)；cos26x=1—sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)(sinaicosa)2=l±2sinacosa.

[a^kn+-,左ez]

(3)sina=tanacosal2J.

知識點(diǎn)2三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—'二三四五六

兀

角2kn-\-a(kE7j)兀+a~aTi-a—a~-\-a

22

正弦sina-sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana—tana-tana

口訣函數(shù)名改變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限

，，奇變偶不變，符號看象限，，中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

考點(diǎn)一、根據(jù)基本關(guān)系式求解三角函數(shù)值

典例引領(lǐng)

【典例1](22-23高三上?北京?階段練習(xí))已知cosx=g,xe(0,7t),貝|tanx=()

A.±272B.2V2C.-272D.迪

3

【答案】B

【解析】因?yàn)閤e(O,7t),cosx=1>0,所以xe[o,3，

所以tanx=s'"=2/.故選:B.

cosx

【典例2](23-24高三上?北京昌平?期末)已知5111^=—|/￡]兀,'|兀],則tanx=

3

【答案】-/0.75

4

I---------4

【解析】由題知，cosx=±Vl-si;n2x=±-,

「「3'―4「廣…sinx3

又％?兀,不兀，所以cos%=--,所以tanx=------=—.

\2J5cosx4

即時(shí)性w

1.（23-24高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知。為第二象限的角，且cosa=-《，貝I」sin（兀-a）的值為（

3

D.

5

【答案】A

3

【解析】因?yàn)閍為第二象限的角，且cosa=-1,

所以sina=cos2a=一,

所以sin（兀-a）=sina=—.故選:A.

2.⑵-24高三上?北京西城?階段練習(xí)）已知。為第二象限角，sma=萬，貝叱*

------------------

56_1

【答案】

N7

【解析】已知a為第二象限角，sina=二，則cose="siMa=一也

1414

所以sin（a+巴］=sinc-cos巴+acos-sin四=與工，逋］雙一-

（3）3314214J27

考點(diǎn)二、弦切互化的應(yīng)用

5典例引領(lǐng)

【典例1］（24-25高三上,廣東?開學(xué)聯(lián)考）已知tane=-g,貝！J3sin?a+sinacosa=（）

13

A.——B.0C.-D.1

35

【答案】B

【解析】因?yàn)閠ane=-；,

3sin2a+sincrcoscr

所以Bsin?a+sinacosa=.故選：B.

si?~n2a+cos2a

【典例2］（23-24高三下?陜西西安?模擬預(yù)測）已知角a的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4,-3）,

.a,a

sin——Fzcos——

23

則一-2）

「a.a

5cos—-sin—

22

B.工

16

【答案】B

【解析】由題意，得角。是第四象限角，則丁+2析＜戊＜2兀+2如左12,

2

故…1…Z,則/二、四象限角，則ta吟＜0,

2tan一嗔

又因?yàn)閠ana=---------=――,

戊

1+-tan2一4

2

所以tan4=3（舍去）^tan—=--,

223

.aca,a、

sm——b2cos—tan——b2、

所以—J——i=-J;=2?故選：B.

ea-a-a16

5cOS'—sin—5—tan—

222

cosa

1.（23-24高三上?江蘇南京?期中）已知tana=-2,則―[（）

I4j

A.—B.-V2C.V2D.--

33

【答案】A

【解析】因?yàn)閠ana=—2,

cosacosa11

所以兀V2也.￡&一36,《一.故選：A.

cos(XH---—cosa------sina-----------tanci-----

422222

sin2a

2.（23?24高三下?河南三門峽?模擬預(yù)測）若tana=2,則的值為（）

cos2cr-sin2a*

24

AB.-D.

-437

【答案】A

sin2a2sinacosa2tana44

【解析】由題意可得:一廠.故選：A.

cos2a-sin2acos2a-2sin2al-2tan2a1-8

考點(diǎn)三、sinacosa、sina±cosa關(guān)系及應(yīng)用

典例引領(lǐng)

2

【典例1］（23-24高三下?貴州織金?階段練習(xí)）已知。是第四象限角，且sin2a=-葭貝I」cosa-sina=（）

V7

A.叵B.平c.V2D.

73

【答案】B

,225

【解析】丁sin2a=-§,.二(cosa-sinaI2=l-2sinacosa=l-sin2a=1+—=一,

33

Q。是第四象限角，cos6Z>0,sin6Z<0,

/.cosa—sina>0,cosa—sina=.故選：B.

3

【典例2】（23-24高三上?天津河西?階段練習(xí)）已知?！辏?,兀），sina+cosa■-，貝！Jcos2a=()

3

7「45

-----D.土與

B-T3一9

【答案】B

…(371)

【解析】因?yàn)椤！辏?,兀），sin。+cos（2=~~~<0,所以兀J,

百、、/1

由sina+cosa=-----兩邊平方得l+2sinacosa=二

33

.2

即sin2a=2sinacosa=——

3

所以2問當(dāng),2兀；cos2a=Vl-sin22a=或?.故選:

B.

3

1.(23-24高三上?遼寧?開學(xué)考試)已知cos［：—a］=［^,a,兀)，則sina—cosa=.

【答案】1/1.4

【解析】因?yàn)閏os［：—a)=5(sina+cosa)=S,所以sina+cosa=；,

J24

則(sina+cosa)2=sin26Z+cos2a+2sinacosa=一,所以2sinacosa=-----,

v72525

/si?ncr-cosa\2=s.in2a.+cos2a-2csi,nacosa=——49,

1725

因?yàn)樨＃?所以sina>0,cosa<0,所以sina-cosa〉0,

皿.7

故sma-cosa=—o

2.(23-24高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))已知sina,cos。是關(guān)于x的一元二次方程2%2+工_2加=0的兩

根.

(1)求加的值；

(2)若0<a<兀,求sina-cosa的值.

【答案】(l)|;(2)g

【解析】(1)由已知得sina+cosa=—；①

sinacosa--m②,

將①兩邊同時(shí)平方得sin2a+cos2a+2sinacosa=~

.33

則sinacosa-——,所以加=一；

88

13

(2)兀，sina+cosa=——,sinacosa=——

28

???sina〉0,cosa<0,?,?sina-cosa>0,

考點(diǎn)四、利用誘導(dǎo)公式化簡求值

典例引領(lǐng)

(7.5兀.(9兀\10兀

【典例1】（23-24高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí)）計(jì)算:cos----sin——sin-----cos----.

16；314；3

【答案】逑

16

.5兀.(c兀、.兀

sin——=sin2K---=-sin—=

3I3~2~

IOTI4兀、4兀(兀)7i1

cos---=COS2兀+——=COS——=COS7l+—=-cos—=——,

33J3[3J32

目xLLL

IF

【典例2]（23-24高三上?北京?期中）已知點(diǎn)尸（6,-8）是角a終邊上一點(diǎn)，則sin^+a)

【答案】D

【解析】點(diǎn)尸（6,-8）是角c終邊上一點(diǎn)，

.，兀[3_

sin—+a=cosa=—.故選：D

即時(shí)校（

1.（23-24高三上?北京?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角a與角月均以3為始邊，它們的終邊關(guān)于

4

直線〉=%對稱，若sina=貝!jcos/?=（）

4433

A.—B.-C.一一D.—

5555

【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，角。與角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線v=x對稱，

所以=:+k%keZ,即a+/=~+2kit,ksZ,所以/?二]一a+2k%keZ,

4(714

因?yàn)閟ina=y,所以cosQ=cos[a—a+2E=sina=-(keZ),故選：B

2

2.（23?24高三上?北京?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角戊以。x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)

V3兀

-T?VJ則cos(§+a)=()

7D-T

【答案】C

【解析】依題意得sina=",

兀所以有cos(-|-+a)=一sina=-^^.故選：C.

又因?yàn)閏os(—+a)=-sina

考點(diǎn)五、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用

中典例引領(lǐng)

【典例1］（22-23高三下?北京門頭溝?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，角。與￡的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正

半軸重合，終邊構(gòu)成一條直線，且sina=",貝|cos（a+0=（）

3

A.1B.-C.—D.—1

33

【答案】C

【解析】由題意，角a與￡的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，終邊構(gòu)成一條直線，所以，=。+兀+2加，（左EZ）,

所以cos（a+〃）=cos（2a+兀+2hi）=cos（2a+7i）=—cos2a=-（1-2sin2or）=2sin2a-1,

又sina=^^,所以cos（a+尸）=2sin2a-l=2x（^^2一i二一g.故選：c.

【典例2］（23-24高三上?北京?開學(xué)考試）已知sina=拽

5

【答案】-j/-2.5

【解析】因?yàn)閟ine=U>0旦且a為第二象限角,

「Lt、1/7A/S—r/口sincc

所以cosa=-Jl-siYa=----，可得tana=------

cosa

cosa5

又由tan(a-=~24

sma2

即時(shí)檢測

1.（23-24高三上?青海西寧?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）=、仁恒+tanx,x為第四象限角.

V1+sinx

⑴化簡了⑴;

TT5

(2)若/(x)+/(--x)=—,求sin尤+cosx的值.

【答案】(l)〃x)=L；(2)-：

cosx5

【解析】⑴由小片后黑+taz(l-sinx)(l-sinx)1-sinxsinx1-sinxsinx

7----;---ry----;---r+tanX—

(l+sinx)(l-sinx)

因?yàn)閄為第四象限角，所以cos尤>0,所以〃力=口吐+里”=」一

COSXCOSXCOSX

1

(2)由(1)知：/(%)=

COSX

sinx+cosx5

所以/⑴+/

COSXcosxsinxsinxcosx12,

令sinx+cosx=t,所以，=V2sinL+^j,因?yàn)閄為第四象限角，所以才￡（-1,1）,

/_[_=_21_=9

所以sinxcosx=---2-，所以『。一1r_]I2,

所以5產(chǎn)-241-5=0,所以/=-2或/=5(舍)

所以sin%+cosx=--.

711ITI

sin(2兀一a)cos(兀+a))cos|三+a|cos----cc

22

2.(23-24高三上?河南?階段練習(xí))已知/(a)=——

cos(兀-a)sin(3兀-a)sin(-7i—a

71

⑴求了的值;

(2)已知/(。)=一1,求sin26.

3

【答案】(1)一1;(2)]

(-sin6z)(-cos6z)(-sincir)cos5i

【解析](1)原式:----------------------------

(一cosa)sin(兀-a)[—sin(?i+°]sin

一sin?。cosa

sina

-------=-tana,

cosa

(-cos6Z)sincif[-(-sin6z)]sinl—+a

tana=-1

(2)由/(。)=一；可知一tan6=1即tan9二；；

3

2sm/cos。2ta“_2x|

3

sin2。=

222T-5~-

cos0+sin01+tan0I

1+

Il好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2023高三?北京?學(xué)業(yè)考試)已知sina=g,則sin(-a)=(

)

11D.f

A.——B.一L?------

222

【答案】A

【解析】由誘導(dǎo)公式得sin(-a)=-sina,

因?yàn)閟ina=；,所以sin(-a)=-

sina=--,故選：A.

2

4

2.（22?23高三上?北京昌平,期末）若sin（兀-a）=-1,cosa>0,則tana=（）

【答案】D

一4

【解析】sin（7i-6Z）=sina=~—,cosa>0,

▼…匚3sina4_

所以85。=，1一5111。=一，所以tana=-------=——.故選：D

5cosa3

3

3.（23?24高三下?四川樂山?三模）已知tana=-：,且a為第二象限角，則cosa=

44八_33

A.——B.—C.D.-

5555

【答案】A

_33

【解析】因?yàn)閠ana=所以sina=——cosa,

44

316

又siYa+cos2a=1,所以（一:cosa）?+cos2a=1,所以cos2a=K，

425

4

又。為第二象限角，所以cosa=-1.故選：A.

4.（22-23高三上?北京朝陽?階段練習(xí)）若tan（兀一x）=g,則cos,+x=（）

B-±卡12

c飛D

鼠4-忑

【答案】A

【解析】因tan（兀一%）=；,貝！jtanx=

即cosx=-2sinx,

2

1

Wsin2x+cos2x=l,于是得sin%=不

所以cos（^+x）=-sinx=±^^.故選：A

5.（23-24高三上?湖南常德?階段練習(xí)）已知tana=2,則一"cose

sma+cosa

【答案】I

_s_m__a__1

■一「0sma-cosacosatanar-12-1_1

［解析］----------

sina+cosasine?］tana+12+13

cosa

6.（23-24高三上?北京?階段練習(xí)）已知sine=；4i]cos[a+1^=

【答案】--

3

【解析】由誘導(dǎo)公式可得：cosfa+y^=-sina=-1.

7.（23-24高三上?北京?階段練習(xí)）已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在無軸的正半軸上，終邊與單位圓交

于第二象限的點(diǎn)P,且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為;，貝ijtan（兀-a）=.

【答案】叵

3

【解析】因?yàn)榻?的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在無軸的正半軸上，

終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)尸，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為!，

2

所以設(shè)尸口,￡]（x<0）,則有X?+gj=1=x=，

r-（反J

因?yàn)閤<0,所以尤=一9,即P,

2（22）

J.

所以tan（兀一a）=_tana==4^,

A/33

能力提升

1.（23-24高三上,北京順義?階段練習(xí)）已知6為第一象限角,sin0-cos0=——，則tan2e=)

5

A,迪B,C.D,正

3345

【答案】B

【解析】由sinO-cosO=@平方可得l-2sinecose=1=>sin(9cose=-,

555

ll…sin6cos62tan。2八或

所以------廠=一二-5——二一ntand=2tan6=g,

sin20+cos265tan20+15

由于sin。-cos。=——>0,且。為第一象限角，

5

故sin?！礳os夕>0,因止匕tan?！?,故tan0=2,

3八2tan。4_

所以tan20=------y-,故選：B

1—tai?。3

2.（22-23高三下?北京?模擬預(yù)測）若角。的終邊在第三象限，則下列三角函數(shù)值中小于零的是（）

A.sin（兀+a）B.cos（兀一a）C.cos^+6/^D.sin[]—a）

【答案】D

【解析】因?yàn)榻莂的終邊在第三象限，所以sina<0,cosa<0

對于A,sin（n+?）=-sina>0;

對于B,cos（兀-a）=lcosa>0;

侵+

對于cosa=-sina>0；

C,12

對于D,=COS6Z<0；故選:D

3.（22-23高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知角。的終邊在第三象限，且tana=2,貝！Jsina-cosa=（）

A.-1B.1C.--D.旦

55

【答案】C

【解析】由角。的終邊在第三象限，則sina<0,cosa<0

sin<7._

-2/c

由題設(shè)知<cosa----------------,解得cosa=,sina=

.7215

sina+cosa=\

所以sina-cosa=一故選：C

555

4.（23-24高三下?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知s*2cos?=?,則sin%+cos?

Sine+cos92sin。+cos0

【答案】言47

.,sin。一2cos0__.八._八，

【解1析T】l由「---------=2可r得ZPs1m。=-4cos。，即arltan6=-4；

sin。+cos。

si/e+cos。_(一4cos+cos。_-64cos3^+cos0_-64cos2^+l

所以

2sin0+cos302x(-4cos0)+cos30-8cos6+cos30-8+cos20

-64cos2^+sin20+cos2^_-63cos2^+sin20_-63+tan20

-8(sin20+cos?。)+cos?。-8sin20-7cos2^-8tan29-7

-63+tan20-63+16_47

將tan。=-4代入計(jì)算可得

-8tan26>-7-8xl6-7-l35

sin*+cos。47

即nn---------「二——.

2sin0+cos30135

5.（22-23高三上?北京?階段練習(xí)）已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,將角a的終邊繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)搟得到

角，的終邊，貝！Jtan￡=.

3

【答案】-:/-0.75

4

【解析】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,4）,

_____y4X3

所以^='32+42=5，則sina=_=_,cosa=_=-,

r5r5

77TT

又因?yàn)榻莂的終邊繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)T得到角夕的終邊，故…-,

所以sin尸=sin

5I2j5

3

,,csin￡3

故tan/?=——-5

cosp44

5

6.（23-24高三上?廣東?階段練習(xí)）已知角。的終邊上一點(diǎn)尸（1,田