2025年上海市嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（附參考答案）

中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確

的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（）

A.y=ax2+bx+c

C.y—x2+l

2.（4分）拋物線y=/+x一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

A.（1,0）B.（-1,0）C.(2,4)D.(-2,-4)

3.（4分）下列兩個(gè)三角形一定相似的是)

A.兩個(gè)直角三角形

B.有一個(gè)內(nèi)角為40°的兩個(gè)直角三角形

C.兩個(gè)等腰三角形

D.有一個(gè)內(nèi)角是40°的兩個(gè)等腰三角形

4.（4分）如圖，在直角梯形/BCD中，AD//BC,/。=90°,如果對(duì)角線/C_L42,那么大的值是（

5.（4分）下列命題正確的是（）

T一T—

A.如果|a|=網(wǎng)，那么。=b

—TT

B.如果a和b都是單位向量，那么Q=b

—>—>

C.0+(—Q)=0

—>r—>r

D.如果a=kb（k40）,那么allb

6.（4分）如圖，兩條不平行的直線/i與直線/2相交于點(diǎn)。，四條平行線分別交直線/1于點(diǎn)/、B、C、D,

分別交直線/2于點(diǎn)出、Bi、Ci、D],則有如果出。=3,031=3101=2,C\D\

=4,那么在下列結(jié)果中，線段之差最大的是（）

A.BD-ABB.OC-OAC.OC-CDD.CD-OB

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】

x3%—v

7.（4分）己知一=那么一-=_____________________.

y4y

8.（4分）如果拋物線y=（2-a）f+x-1的開(kāi)口向下，那么a的取值范圍是.

9.（4分）將拋物線》=-（x-1）2向右平移3個(gè)單位，得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

10.（4分）已知點(diǎn)/（xi,yi）、8（x2,y2）在函數(shù)y=-x2+2x+l的圖象上，如果那么y\______畛（填

“>”、“="、"<"）

11.（4分）已知某二次函數(shù)一部分自變量x和函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)情況如表所示，根據(jù)表中信息可知這個(gè)函數(shù)

圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線.

???

X???-4-2124

y???11-511143???

12.（4分）如圖，在梯形48c。中，AD//BC,NC與2。相交于點(diǎn)O,如果S^/OD：S“OB=2：3,那么

S^AOD：S^BOC=

13.（4分）如圖，在△45。中，點(diǎn)。、E分別在邊45、NC上，且EC=2AE,聯(lián)結(jié)。如果

AB=a,AC=b,那么DE=.（用含向量a、b的式子表示）

14.（4分）在等腰△45C中,45=4C,如果45：5C=3：2,那么sinNA4c的值是

15.（4分）手影戲是一種獨(dú)特的藝術(shù)形式，它通過(guò)手勢(shì)和光影創(chuàng)造出生動(dòng)的形象.它的原理是利用光的直

線傳播，將手影投射到幕布上形成各種影像.如圖，為了投影出一個(gè)動(dòng)物造型CA,手的長(zhǎng)度是15

厘米，AB//CD,光源。到手的距離0G是100厘米，手42到幕布的距離GH是20厘米.此時(shí)CD

4

16.（4分）如圖，某商場(chǎng)開(kāi)業(yè)，要為一段樓梯鋪上紅地毯，已知樓梯高/2=6小，坡面/C的坡度，=1：

則至少需要紅地毯________m.

17.（4分）平行于梯形兩底的直線截梯形的兩腰，當(dāng)兩交點(diǎn)分別是兩腰的黃金分割點(diǎn)時(shí)，我們稱(chēng)這條線段

是梯形的“黃金分割線”.如圖，在梯形48CD中，AD//BC,AD=6,BC=10,點(diǎn)、E、尸分別在邊N8、

CD±.（AE>BE）,如果斯是梯形48CD的“黃金分割線"，那么斯=.

18.（4分）如圖，將一塊含30°角的實(shí)心的直角三角板放置在桌面上，在桌面所在平面內(nèi)繞著它的重心G

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。.如果這塊三角板的斜邊長(zhǎng)12厘米，那么運(yùn)動(dòng)前后兩個(gè)三角形重疊部分的面積為

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

1%（10分）計(jì)算：s譏245。一西靠黑硬.

1

20.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=一可/+6%+（:的頂點(diǎn)為。.

（1）為了確定這條拋物線，需要再添加一個(gè)條件，請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)：

①它與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,-1）；②頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,1）.

你選擇的條件是（填寫(xiě)編號(hào)），并求6、c的值.

（2）由（1）確定的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)/,求tan/D/。的值.

21.（10分）如圖，在△48C中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、AC±,BD=12,CD=15,且

（1）求線段N5的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)/ADE=/C,/B=60°時(shí)，求△即C的面積.

22.（12分）如圖，在△NBC中，ZBAC=9Q°,點(diǎn)E是邊48的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE,作NF_LCE,

垂足為點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)3R

（1）求證：△EFBs^EBC；

DFr-

（2）取3c邊的中點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)。尸，求證：—=V2.

EF

23.（10分）火車(chē)作為我國(guó)重要的交通運(yùn)輸形式之一,其軌道的平順性和穩(wěn)定性直接影響列車(chē)的運(yùn)行安全.我

國(guó)目前軌道檢測(cè)的主要方法是機(jī)械檢測(cè)，通過(guò)使用機(jī)械傳感器和無(wú)損檢測(cè)設(shè)備（包括激光三角位移傳感

器、超聲波傳感器等）來(lái)測(cè)量軌道的各種參數(shù)（幾何尺寸、軌距、高差和曲率），從而判斷軌道是否有

損傷或缺陷.某校科創(chuàng)活動(dòng)小組率先就“激光三角位移計(jì)”這一設(shè)備開(kāi)展了學(xué)習(xí)與探究：

閱讀概述激光三角位移計(jì)是由半導(dǎo)體激光向目標(biāo)物照射激光，聚集目標(biāo)物反射的光，并在光

接收元件上成像.一旦離目標(biāo)物的距離發(fā)生改變，聚集反射光的角度也會(huì)改變，成

像的位置也隨之改變.可以通過(guò)成像的位移來(lái)計(jì)算物體實(shí)際的移動(dòng)距離.

探究（1）設(shè)MN=m,請(qǐng)用含加和a的式子表示點(diǎn)N到直線MW的距離.

探究（2）已知N'=5,OM'=23,（W=132,求九W的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到個(gè)位，sina

-0.8,cosa^O.6,cota-0.75）

24.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）和點(diǎn)（-4,3）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖，該拋物線上有三個(gè)點(diǎn)/、B、C,43〃x軸，ZACB=90°,NBAC=30：與拋物線的

對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M.（點(diǎn)/在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)）

①如果點(diǎn)C到拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離為3請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)B的橫坐標(biāo);

②求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

25.（14分）如圖1,在△48。中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作CO_L/B,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)D在N5邊上（不與點(diǎn)

/重合），點(diǎn)￡是邊NC上的點(diǎn)，且滿足CD=C￡,設(shè)左=tan5.

（1）求證：/CDE=/BCD+45°；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)。作DXL3C,垂足為點(diǎn)〃，求證：DE=42CCH-DH）；

（3）設(shè)點(diǎn)廠是CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)斯并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G,當(dāng)△CFG與△BCD相似時(shí)，求左的值.

圖1圖2（備用圖）

一.選擇題（共6小題）

題號(hào)123456

答案CBBBDD

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確

的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.【答案】C

【解答】解：y=ax2+bx+c中當(dāng)。=0時(shí)，它不是二次函數(shù)，則/不符合題意；

y—（x-5）2-X2--10x+25,則2不符合題意；

y=x2+l符合二次函數(shù)的定義，則。符合題意；

了=備不符合二次函數(shù)的定義，則。不符合題意；

故選：C.

2.【答案】B

【解答】解：/、當(dāng)x=l時(shí)，＞=2,故點(diǎn)（1,0）不在拋物線y=/+x上，不符合題意；

B、當(dāng)x=-1時(shí)，j=0,故點(diǎn)（-1,0）在拋物線y=/+x上，符合題意；

C、當(dāng)x=2時(shí)，y—6,故點(diǎn)（2,4）不在拋物線y=—+x上，不符合題意；

D、當(dāng)x=-2時(shí)，y=2,故點(diǎn)（-2,-4）不在拋物線y=x2+x上，不符合題意；

故選：B.

3.【答案】B

【解答】解：/、兩個(gè)直角三角形不一定相似，故選項(xiàng)/不符合題意；

B,有一個(gè)內(nèi)角為40°的兩個(gè)直角三角形相似，故選項(xiàng)3符合題意；

C、兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、有一個(gè)內(nèi)角是40°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

4.【答案】B

【解答】解：???直角梯形/BCD,

'JACLAB,

：.ZBAC^90°,

,:AD〃BC,

???/DAC=/BCA,

：.△ADCs^CAB,

CDAB

A—=-=cosB,

ACCB

故選：B.

5.【答案】D

【解答】解：4、兩向量的模相等，方向不一定相同，故4不符合題意；

5、兩單位向量的方向可能不同，故5不符合題意；

C、a+(-a)=O,故C不符合題意；

D、命題正確，故。符合題意.

故選：D.

6.【答案】D

【解答】解：由題知，

'：AAi//BBi,4。=3,031=2,

.OA0Ar3

"'OB-'OB[-5'

則令。4=3后，OB=2k.

同理可得，BC=2k,CD=4k,

：.BD-AB=k,OC-OA=k,OC-CD=0,CD-OB=2k,

顯然”為差值最大的一個(gè).

故選：D.

二、填空題(本大題共12題，每題4分，滿分48分)【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】

"J-

T3

]解-

y-4

34T-1

---一-

4一4.

-V

故答案為：-

8.【答案】?！?.

【解答】解：：拋物線y=(2-a)f+x-1開(kāi)口向下,

2-QVO,

解得a>2,

故答案為：a>2.

9.【答案】(4,0).

【解答】解：將拋物線丁=-(%-1)2向右平移3個(gè)單位得到>=-(x-1-3)2=-(%-4)2,頂點(diǎn)

坐標(biāo)(4,0).

故答案為：(4,0).

10.【答案】<.

【解答】解：Vj/=-X2+2X+1=-(x-1)2+2,

，拋物線的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

???當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而減小，

Vxi>X2>L

1?yiV”；

故答案為：<.

11.【答案】x=-1.

【解答】解：當(dāng)、=-4和x=2時(shí)，函數(shù)值相等，

...拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x==9=-1.

故答案為：X=-1.

12.【答案】4：9.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)/到的距離為〃，

?S/\AODiS/^AOB=2:3,

.l0D-h2

??I=二,

—OB,h3

*_O_D2

??—,

OB3

■:AD〃BC,

：.MAODsMBOC,

.S△一。D_OD2_/、2_3

"S^oc=(話)-"?

即S/^AOD：SABOC=4：9,

故答案為：4：9.

1tIT

13.【答案】-b--a.

【解答】解：?：BD=2AD,EC=2AE,

tADAE1

??DB~EC~2"

：.DE//BC,

,DEAD1

?BC~~AB一3,

—>—>—>TT

'.BC=B4+AC=-a+b,

T］T1

DE=b—d.

1tIT

故答案為：-b--a.

4V2

14.【答案】—.

y

［解答］解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH±BC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作CK_LAB于點(diǎn)K.

.?.可以假設(shè)N3=/C=3左，BC=2k,

'.'AB^AC,AHLBC,

??BH=CH=k,

：.AH=7AB2-BW=V（3/c）2-k2=2岳,

?；CKUB,

11

；LBC?AH=%?AB?CK,

22

.2kx2至k_472,

，，CK=-3k-=

??/n“_CK_爭(zhēng)_4姓

??sin/3/C=-777=-5^—=--.

AC3k9

故答案為：拳4V2

15.【答案】18.

【解答】解：??Z5〃CZ),

△AOBsMOD,

.OGAB

,?演~訪‘

.10015

"120—CD，

：.CD=18f

答:CO的長(zhǎng)度是18厘米，

故答案為：18.

16.【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

4

【解答】解：?.Z5=6加，坡面ZC的坡度i=l：

4

??BC=6又可=8機(jī)，

故可得地毯的長(zhǎng)度=AB+BC=6+8=14m.

故答案為：14.

17.【答案】4+2V5.

【解答】解：如圖所示，連接/廠并延長(zhǎng)，與3c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,

由題知，

:點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)，且DF>CF,

.生_5]

DF~2'

'：AD//BC,

：./\CFH^/\DFA,

.CHCF

"'~DA-~DF'

又：NO=6,

:.CH=3V5-3.

又：8C=IO,

：.BH=BC+CH=3V5+7.

'：EF//BC,

：.△AEFs^ABH,

.EFAE

,?BH-AB'

:點(diǎn)E是線段48的黃金分割點(diǎn)，且4E>BE,

*AEV5-1

??—,

AB2

：.EF=x(3V5+7)=4+2V5.

故答案為：4+2V5.

18.【答案】12V3.

【解答】解：如圖，ZBAC=90°.ZB=30°,BC=12cm,

.\AC=^BC=6cmAB=y[3AC=6y[3cm,

:,SAABC=x6x6A/3—18V3cm2,

???G為重心，

.'.AG：GN=2：1,

?；A4BC繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180度，

：.AB//A'B',BC//B'C',A'C'//AC,AG=A'G,MG=NG,

：.AM：MG：GM=1：1：1,

J.AM：AN=1：3,

9：BC//B'C,

???AADE^AABC,

工$△/￡)△：SMBC—ZM?：AN2=1:9,

,,^/\ADE=g^/\ABC=2V3C7722?

同理：S&CGH=SABKP=gS^ABC=2V3cm2,

2

重疊部分的面積為：SAABC-S^CGH~S^BKP~^AADE=18百一3x2遮=12V3cm,

故答案為：12V3.

A

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.【答案】一字.

【解答】解：原式=（V）2—含

LV3—1

_173+1

=2~

=_叵

一亍

20.【答案】⑴②，6=|,c=l.

2

（2）—.

3

【解答】解：（1）選擇的條件是②.

4

:頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,I）,

...拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,

-----1,

2X（4）

解得b=j,

._12,2,

??y=一可％

41c2

將（1,可）代入y=-w%+@%+c,

得一/+C=小

解得C=l.

故答案為：②.

（2）由（1）得，拋物線的解析式為+,x+i.

如圖,

貝UB(i，o).

4

:頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,耳)，

4

:?BD=

令—"J%2+可％+1=0,

解得％1=-1，X2=3,

：.A(3,0),

.\AB=2,

??ta.nz_DAO—“二可.

21.【答案】(1)證明見(jiàn)解答；

,75V3

(2)△EDC的面積是一廠.

【解答】解：⑴'：BD=12,CD=15,

：.CB=BD+CD=12+15=27,

VZBAD=ZC,NB=NB,

：.ADBAsAABC,

*_A_B__B_D

??—,

CBAB

：.4B=<BD-CB=V12X27=18,

線段的長(zhǎng)為18.

(2)作￡FJ_C。于點(diǎn)R則/。尸￡=90°,

VZBAD=ZC,/4DE=NC,ZB=6Q°,

ZADE=ZBAD,

：.ED//AB,

:.△EDCSAABC,ZEDF=ZB=60°,

EDCD155

—=—=—=一，NDEF=90°-NEDF=90°-60°=30°，

ABCB279

/.￡Z）=1^5=1x18=10,

1

'：DF=^ED=5,

：.EF=VED2-DF2=V102-52=5V3,

:*S&EDC=^CD，EF=1X15X5V3^

75V3

...△EDC的面積是

22.【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

（2）證明見(jiàn)解答.

【解答】證明：（1）4c=90°,點(diǎn)E是邊48的中點(diǎn)，4FLCE于點(diǎn)F,

：.ZEFA=ZEAC=9Q°,EA=EB,

/FEA=/AEC,

：.△FEAs^AEC,

*_E_F__E_A

??—,

EAEC

.EFEB

?.—，

EBEC

丁NFEB=/BEC,

：.△EFBsAEBC.

（2）取5c邊的中點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)DR

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZEBC=ZACB=45

△EFBsAEBC,

：.ZEFB=ZEBC=45°,/EBF=/DCF,

聯(lián)結(jié)4。交C/于點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)即，

??,點(diǎn)E是45的中點(diǎn)，點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)，

:?BE=%B,DE=^AC,DE//AC,ADLBC,ZDAC=ZDAB=^ZBAC=45

：.BE=DE,ZBED=ZBAC=90°,

：.CD=BD=yjBE2+DE2=&BE,

?:/CDH=/AFH=90°,ZCHD=ZAHFf

???△CHDSAAHF,

.DHCH

??FH-AH"

.DHFH

"CH一而

?.?/FHD=NAHC,

：.AFUDsAAHC,

：.ZDFC=ZDAC=45°,

???NDFC=NEFB,

,/ZDCF=/EBF,

：.LDCFsAEBF,

DFCD

—=—=、r2.

23.【答案】（1）點(diǎn)N到直線MW的距離為"Lcosa；

（2）MN的長(zhǎng)度為60.

【解答】解：（1）作NHLMM'于點(diǎn)X,

.,."=90°,

'：MNM\,

:.NPMN=90°,

VAM'MP=a,

：.NNMH=90°-a,

ZMNH=a,

,:MN=m,

:.HN=m,COSOL；

(2)作N'C±MM'于點(diǎn)C,

ZN'CM'=ZN'CO=90",

由題意得：M'N'//MP,

：.ZN'M'C=a,

'：M'N'=5,

:.N'C=5X8100^4,M'C=5Xcosa七3,

設(shè).MN為x,則罰V=0.6x,MH=Q8x,

"：OM'=23,

；.OC=23-3=20,

,:/H=/N'CO=90°,ZCON'=ZHON,

C.^OCN'S&)HN,

.N'C0C

"UN~而

._4_20

0.6x132+0.8%'

解得：x=60,

.?."N的長(zhǎng)度為60.

24.【答案】（1）該拋物線的表達(dá)式為了=*/+%—1.

（2）①點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為2-1.

②點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2?一3.

【解答】解：（1）對(duì)稱(chēng)軸為直線x=—名=竽=一1,

:?b=2a,y=ax1+bx-1=ax2+2ax-1,

再代入（2,3）得Q=

故該拋物線的表達(dá)式為＞=1x2+%-l.

：.ZABC^60a,由斜邊中線定理知CN=BM,進(jìn)而△BMC為等邊三角形.

作C￡>_L直線x=-1于點(diǎn)D,則NBMC=/MCD=60°,

：'MC==2t，

則BM=MC=2t,

故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2Z-1.

②:點(diǎn)B的