2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)：圓的綜合壓軸題訓(xùn)練（含答案）

2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)圓的綜合壓軸題訓(xùn)練

1.如圖1,8是。。的直徑，弦與CD交于點(diǎn)E,連接AC、BD.

(1)求證：AACEsADBE；

(2)如圖2,己知NCA2+NABD+/C+ND=180°,連接3。并延長，交O。于點(diǎn)G,

交AC于點(diǎn)R連接AG.

①若AB=2,tan/CAE=3,求AG的長；

「BF

②設(shè)tan/CAE=x,—=y,求y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

2.如圖1,點(diǎn)A,B,C在圓。上運(yùn)動，滿足A82=8C2+AC2,過點(diǎn)A的切線交延長線

于點(diǎn)D.

(1)求證：ZDAC^ZCBA；

(2)記△ABC,AACD,八鉆。的面積為Si,S2,S,若君=2底一居，求tan。；

(3)如圖2,點(diǎn)0是線段BC上一動點(diǎn)(Q不與8,C重合)，。尸，4。于P,交AC于

點(diǎn)AL若tan￡)=V^,設(shè)—=x,且J”，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析

BC\uQ'UCAlvi-AC」

式，并寫出自變量X的取值范圍.

3.如圖，己知A2是O。的直徑，弦COLA8于點(diǎn)E,點(diǎn)M是線段。。延長線上的一點(diǎn),

連結(jié)MA交O。于點(diǎn)R連結(jié)。尸交AB于點(diǎn)G,連結(jié)4。，BD,CF.

(1)求證：AMADs4DAF.

(2)若AD=2乘BE,求tan/AFD的值.

4G

(3)在(2)的條件下，設(shè)tanNAf=x,—=y.

GB

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②若E為BG的中點(diǎn)，求笠思的值.

SAAFD

4.如圖，A3為O。的直徑，弦COLAB于點(diǎn)E,G為劣弧AD上一動點(diǎn)，AG與CD的延

長線交于點(diǎn)F連接AC、AD.CG、DG.tanZAGC^x.

(1)求證：/AGC=NDGF；

(2)若y=.G世,求y與％的函數(shù)關(guān)系式；

CEZ

(3)設(shè)NGOC-NGCD=a,N尸=0.

①求a與0的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)0=45°,且Sz\CAG=Sz\CAO時，求工的值.

B

5.如圖1,5C是。0的弦，00,5。于。交圓于點(diǎn)A.E是獨(dú)上任意一點(diǎn)(不與A,5重

合)，連結(jié)CE,在線段BE,CE上各取一點(diǎn)尸，G,使得8尸=CG,連結(jié)ARAG,

FG,并取尸G中點(diǎn)“，連結(jié)DM.

(1)求證：AF=AG；

(2)求證：sinZ-AGF=

Lu

OGOM

(3)如圖2,當(dāng)CE是OO直徑，尸是BE中點(diǎn)時，連結(jié)。M,設(shè)一=x,—=y，用

CGOD

x的代數(shù)式表示y.

1

6.如圖1,A,B,C為。。上不重合的三點(diǎn)，GC為。。的切線，-NG+NA=90°.

(1)求證：G8為O。的切線；

-2BC

(2)若△ABC為等腰三角形，ZBAC<45°,tanZBAC-求標(biāo)的值；

(3)如圖2,若A8為直徑，M為線段AC上一點(diǎn)且GM_LGB,AM2+OB2-3GB2+SGB

-8=0,0<GB<2,求S四邊形MGBA的最大值.

7.如圖，AB為O。的直徑，。為54延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作O。的切線，切點(diǎn)為C,過

點(diǎn)B作8ELOC交。C的延長線于點(diǎn)E,連接BC.

(1)求證：BC平分NDBE；

(2)求證：BC?=AB?BE；

(3)若BC=4層,tan￡>=7,求O。的半徑.

8.如圖，A8是O。的直徑，。是O。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線交AB的延長線于點(diǎn)C,

DA=DC.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)如圖2,P是線段2C上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作A。的平行線，交。。于點(diǎn)E,F(PF2

PE),連接BE,BF,AB=10.

①當(dāng)tan/_F3A=l時，求BE的長；

_BEEF

②當(dāng)BP為何值時=7=--

9.已知RtZXABC中，NC=90°,AB=20,且COST!=mM為線段AB的中點(diǎn)，作DM_L

AB,點(diǎn)尸在線段上，點(diǎn)Q在線段AC上，以PQ為直徑的。。始終過點(diǎn)M,且P。

交線段。M于點(diǎn)E.

(1)求線段A。的長度；

(2)求tan/PQW的值；(提示：連接CM)

(3)當(dāng)是等腰三角形時，求出線段A。的長.

10.如圖，A2為。。的直徑，點(diǎn)C為圓周上一點(diǎn)，OC的延長線交。。的切線于點(diǎn)￡),

AC的延長線交。。的切線BD于點(diǎn)E.

(1)若NA=35°,求/O8C的度數(shù)；

(2)證明：CE?BD=BC，CD；D

⑶若AB=8,sinD=求BE的長./

11.如圖，。。是△ABC的外接圓，AC是O。的直徑，過圓心。的直線PFLAB于。，交

。。于E,F,尸2是。。的切線，B為切點(diǎn)，連接AP,AF.

(1)求證：直線B4為。。的切線；

(2)求證：AC2=4OD-OP-,

1

(3)右8C=6,tcm乙F=于求AC的長.

12.如圖1,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB是。。的直徑，O。交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

的直線交2C于點(diǎn)E,交的延長線于點(diǎn)P,PD是O。的切線.

(1)求NCOB的度數(shù)；

(2)若8P=3,NP=/PDB,求圖(1)中陰影部分的周長;

1

(3)如圖(2),若連接。交AB于點(diǎn)N,若tanNZ)MB=于求MN：MD

的值.

13.如圖，A3是。。的直徑，弦CZ)_LAB,垂足為H過弧8。上一點(diǎn)，itEEG//AC

交CD的延長線于點(diǎn)G,連接AE交CD于點(diǎn)R且EG=FG,連接CE

(1)求證：EG是。0的切線；

(2)求證：GF2=GD'GC；

(3)延長A3交GE的延長線于點(diǎn)若tanG=,,HC=A用,求EM的值.

4

14.如圖，已知O。，為△ABC的外接圓，AC為。。的直徑，BA=BC,過點(diǎn)3作射線

使得/CBM=ABAC,點(diǎn)P為射線BM上的一個動點(diǎn)，連接PC并延長交O。于點(diǎn)D,

連接A。，BD.

(1)求證：為的切線；

(2)設(shè)BD=x,四邊形A8CD的面積為y.

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)SABCD：S&BCP=7：9,AC=6時，求y的值；

(3)已知￡為。。的中點(diǎn)，連接AE交8。于點(diǎn)凡連接FC,若汝八乙48。=:試探究

線段曲，F(xiàn)B,FC能否構(gòu)成一個三角形，若能，請證明你的結(jié)論，并判斷三角形的形狀；

若不能，請說明理由.

15.如圖1,以AB為直徑作O。，點(diǎn)C是直徑A2上方半圓上的一點(diǎn)，連結(jié)AC,BC,過點(diǎn)

C作的平分線交O。于點(diǎn)。，連結(jié)AD過點(diǎn)。作。。的切線交CB的延長線于點(diǎn)

E.

(1)求證：DE//AB.

(2)若。。的半徑為1,求CA?CE的最大值.

CB3

(3)如圖2,連結(jié)AE,若一=一，求tan/AEC的值.

BE4

cc

Si圖2

參考答案

1.【解答】(1)證明：：NA=N。，/B=/C,

：.AACEsADBE

(2)①：NCBA=/。，ZB=ZC,

：.ZCAB+ZC=90°,

J.CDLAB,

又過圓心，

；.AE=BE=1,

在RtAAEC中，tan/.CAE=第=3,

；.CE=3,

設(shè)0E=x,則0C=3-x=0B,

在RtZkOEB中，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2,

即(3-x)2=7+1,

解得：%=

?：0G=0B,AE=BE,

...?！晔茿AGB的中位線,

8

G-2。E-

3-

②,?,5G是。。的直徑，

：.ZBAG=9Q°,

'：ZBAG=ZBEO=90°,

???OC//AG,

:AGAFS^OCF,

FG_AG

?*OF=OCf

rp

設(shè)AE=t,在RtAACE中,tan^CAE=養(yǎng)二%,

CE=tx

設(shè)OE=d,貝lj0。=比-1=08,

222

在RtZXO口中，由勾股定理得：OB=OE+BEf

即(比-即2=屋+落

^-22

解得：d=-―，0C=tx-d=-―,

乙L人乙L人

2

OF=0C=0C_x+l

"TG=AG=2d~2X2-2,

2.【解答】(1)證明：在△ABC中，AB-=BC2+AC2,

：.ZACB=90°,則NCAB+NCBA=90°,

:A。為圓。的切線，

.\ZDAB=90°,即,

J.ZDAC^ZCBA；

(2)解：在Rtz\AC￡>中，tanD=在RtZ\ACB中，tcmNCAB=第

由(1)知NZMC=NCa4,則/D=NC42,

??n、2_ACBC_BC

..(ttmD)=友一就=而，

由遮=2店-店得店隹+a=2同，則平獸+1=2島,

即+1+1=

2花

平方并整理得3k-2=27k+1,再平方得到(3k-2)2=4(K1),解得k=竽或k

=0（舍）,

2C4

SrBC16---

則tern。=DC3

S2~DC~9

（3）解：*.*tanD=而=而=正，

設(shè)CO=〃，貝!=BC=2a,

CO

設(shè)羨=x,則CQ=xBC=2ax,

QP±ADf

：.ZDPQ=90°,

由（1）知NAC￡）=90°,

~DQPD

：./\QDP^/\ADC,則布=加，

：.DQDC=ADPD；

VZAPM=ZAC￡）=90°,ZPAM=ZCAD,

^AMAP

：.AAMP^AADC,則一二—，

ADAC

：.AMAC=APAD；

??y=PD?飛DQ.DC+AM-AC

=PD?

'AP+PD

=PD?

AD-PD-AP

=PD'陛

一""\PD-AP~y/APf

'：PQ//AB,

.PDDQDC+CQa+2ax1+2%

APQBBC-CQ2。-2ax2-2%

“=嗎（。4<1）?

3.【解答】（1）證明：是O。的直徑，弦CDL4B于點(diǎn)E,

：.AC=AD,

：.NAFD=ZADC,

,：ZFAD^ZDAM,

：.AMAD^ADAF；

⑵解：,:AD=2亞BE,

.?.設(shè)BE=a,則AO=2倔j.

,：AB是O。的直徑，

ZADB=90°,

u：CDLAB,

：.AAED^AADB,

?AEAD

"AD_AB'

.AB-CL2V5ci

2y[SdAB

?\AB=5a,

C.AE—AB-BE=4a,

：.DE=<AD2-AE2=2a.

tmXADC==而=2.

由(1)知：ZAFD=ZADC,

tanZAF￡)=tanZAZ)C=2；

(3)解：①過點(diǎn)G作G”,A。于點(diǎn)“，如圖,

則tan/AOB=需

由(1)知：^MAD^/\DAF,

：.NM=ZADF,

tanZAf=x,

...tanZ/AACDLr=百GH萬=x,

：.GH=xHD.

.../DE_1

?tanz_EA.D=彳后=于

tanZ^GAH=

設(shè)GH=m,則AH=2m,

：.AG=y/AH2+HG2=V5m.

??xHD~~ITIf

VGH±ADfADLBD,

:,GH〃BD,

AG_AH_2m

???方=而=H

X

?*y~~2x.

②過點(diǎn)A作AKLO歹于點(diǎn)K,過點(diǎn)C作CN，。尸于點(diǎn)N,如圖,

為BG的中點(diǎn)，DE1BG,

.?.DE垂直平分BG,BE=EG=a,

：.AG=AB-BE=EG=3a,DG=<EG2+DE2=層a.

「AB是O。的直徑，ABLCD,

.'.DE—EC—2a,

CD=4a.

G^_CN_M

'：sinZEDG=DG='CD,

.aCN

**V5a4a'

.「人「4底

??CN=--ci.

VZAKG=ZDEG=90°,NAGK=NDGE,

：.叢AKGs叢DEG,

.生DE

??=，

AGDG

.AK2a

3a

14V5

:S^FD=/CN=±a=2

，9^AAFD―^DF-AK_也Q_3.

25

4.【解答】(1)證明：如圖1,連接5G,

??,直徑45,弦8,

：.BC=BD,

:.NCGB=NBGD,

TAB是。。的直徑，

AZAGB=90°,

.\ZFGB=180°-ZAGB=90°,

ZAGB-ZCGB=ZFGB-ZBGD,即ZAGC=ZDGF；

(2)解：??,直徑A3,弦CD,

1

：.AC=ADfCE=

???ZACD=ZADC,

'：ZADC=ZAGCf

：.ZAGC=ZACD,

又,.?NCAG=NE4C,

AACG^AAFC,

.AC_AG圖1

??—,

AFAC

：.AC2=AG'AF；

在RtAACE中，ZACE^NAGC=ZDGF,則AE=CE?tanNACE=_xCE,

2222

：.AC=CE+AE=(1+A2)CE,

.AGAF(1+%2)CE2,

??o-=o=]+x,

CE2CE2

.■.y=x2+l；

(3)解：①如圖2,設(shè)A8,CG交于點(diǎn)M,連接Af。，OC,OG,過點(diǎn)G作GPLAC于

點(diǎn)P,過點(diǎn)。作DQLAC于點(diǎn)Q,則GP//DQ,

:直徑48_1弦CD,

：.AC=ADfMC=MD,A

又

AAMC^AAMD(SSS),

???ZACM=ZADM,

'：ZACG=ZADG,

：.ZADM=ZADG=ZACG,

由(2)知△ACGSAAR?,

???ZACG=ZAFC=^.

圖2

9：MC=MD,

：.ZMCD=ZMDC=NGCD,

：.ZGDC-ZGCD=ZMDG=a,

,：NMDG=ZADM+ZADG=2^,

?*-a=20；

99

@VSACAG=S^CAD,SACAG=^ACGP9S^CAD=^ACDQ,

:?GP=DQ,

■:GP//DQ,

???四邊形GP。。是矩形，

：.GD//AC,

：.NFDG=ZACF=ZADC=ZAGC=/FGD,

VZF=45°,

：.ZFGD=ZAGC=^x(180°-45°)=67.5°,

：.ZDGC=18Q°-ZFGD-ZAGC=45°,

VZMZ)G=90°,

???AMDG是等腰直角三角形，

：.MG=42MD=42MC,

VZACG=ZAFC=45°,

???ZAOG=90°即0G_LA8,

VAB±CF,

???OG//CF,

:.AGMOsACME,

GOGM

：.—=—=Vr2,

CECM

：.OG=OA=OC=五CE,

SRtAOEC中，OE=70c2-CE2=CE,

在RtAAEC中，tmZACE=畏=~0^E=1+V2,

,?/ACE=NDGF,

.*.x=l+V2.

5.【解答】(1)證明：連接A3,AC,如圖，

???5C是。。的弦,ODLBC,

：.BD=DC,

???AO為5C的垂直平分線，

：.AB=AC,

9：AE=AE,

：./EBA=NECA.

在ZkAFB和△AGC中,

AB=AC

Z-EBA=Z.ECAy

BF=CG

：.AAFB^AAGC(SAS),

：.AF=AG；

(2)證明：連接AM,如圖，

由(1)知：AAFB^AAGC,

：.ZFAB=ZGAC,AF=AG,

???ZFAB+ZBAG=ZBAG+ZGAC.

即NE4G=N5AC

'：AB=AC,

???AAFG和△ABC為頂角相等的等腰三角形,

???ZAGF=ZAFG=ZABC=AACB,

9：AD±BC,

An

：.sinZAGF=sinZACB=等.

VAF=AG,FM=MG,

：.AM±FG,

：.ZAMG=ZADC=90°.

,/ZAGF=ZACB,

：.AAMG^AADC,

AMAG

----=—,XMAG=XDACJ

ADAC

：.ZMAG-ZDAG=ZDAC-Z.DAG,

：.ZMAD=ZGAC,

：.AMAD^AGAC,

.ADDM

99AC~CG'

,.sin/AGB=黑;

(3)解：連接AE,AC,FC,FC與AD交于點(diǎn)H,連接MH,如圖,

是O。直徑，

,.OE=OC,ZEAC=ZEBC^9Q°,

CADLBC,

,.AD//BE,

;BD=DC,

,.DH,OH分別為△CFB和△(?￡尸的中位線，

11

\DH=^BF,OH=汐,FH=HC,

I\F

3

：.DH=OH.

?；FM=MG,FH=HC,

1

：.MH//CG,MH=^CG.

由(1)知：BF=CG,

:.MH=DH=OH.

：.ZHMO=ZHOM,/HMD=/HDM,

VZHMO+ZHOM+ZHMD+ZHDM=1SO°,

：.ZHM0+ZHMD=9Q°,

：.ZDMO=90°,

：.ZDMO=ZEAC=90°.

由(2)知：AMAD^AGAC,

：.ZMDA=ZGAC,

：.ADMO^/\CAE,

.OMAE

??OD-EC，

?.0G

—=x,

CG

???設(shè)CG=a,則OG=〃x,

OC=a+ax,

CE=20C=2a+2ax.

,:BF=CG,

1

BF=a,EB=2BF=2a,0D==a,

:?BC=VEC2—BE2=2ay/x2+2%,

i______

CD=于C=a\lx?+2x,

9JAD=OA+OD=a+ax+a—2a+ax,

AC2=AZ)2+CD2=(2a+ax)2+(aVx2+2%)2=2(22x2+6<22x+4?2,

.*.AE=VFC2—AC2=W2=2+2%,

.AEaV2x2+2xA/2X2+2X

??EC2a+2ax2x+2'

._0M_AE_J2N+2X

,?尸麗=瓦=2尤+2?

6.【解答】(1)證明：連接。3,0C,

VGC為。。的切線，

...NGCO=90°,

1

V-zG+Z71=90°,

2

ZG+2ZA=ZG+ZCOB=180°,

.?.ZGB6>=180°-90°=90°,

:點(diǎn)2在O。上，

.,.62為0。的切線；

(2)解：設(shè)。。的半徑為r,連接0G交BC于點(diǎn)。，連接OC,OB,

VOC=OB,GC=GB,

：.BCLOD,且。為BC的中點(diǎn),

1

COG="COB=/BAC,

3

tanZ.BAC—彳，

43

cosZ-BAC=耳，sinZ-BAC=耳，

①當(dāng)5C為底邊，點(diǎn)A在弦5C所對的優(yōu)弧上時，AC=AB,

:?BC=2CD,ADLBC,

???OC=OB,

1

:.NCOG="COB,

1

VZCAB=^zCOB,

：.ZCOG=ZCAB.

.'.BC=2CZ)=2T-sinZCOG=2T-sinZBAC=6,

9

連接。4,\AC=ABf

：.A,O,D,G四點(diǎn)共線，

■v,r

?.AG=AO+OG=r------.=rH-------7D~AC=才,

cos乙rCnOrGcos乙BAC4

.BC8

AG~15；

②當(dāng)AB為底邊時，AC=BC,

???A5_L0C于點(diǎn)R

1Qf

令CF=3t,則BF=AF=^AB=-~~而"=4t,OF=r-3t,圖2

?/OF2+BF2=OB2,

即(r-3力2+(4r)2=舲

解得t=去,

18廠24r

CF=3t=皆，BF=4t=翁

過點(diǎn)G作A5的垂線，垂足為點(diǎn)H,

\9AB±0C,CGLOC,

???四邊形。尸HG為矩形，

324r171

=rtanZ=rtanZ3廠梨蓋一，

AH=HF+FA=CG+BFCOG+BFBAC+BF=4+Za=1UUGH=

“18r

：.AG=7AH2+GH2=

由①知BC=2CZ)=2Tsin/54C=1r,

.BC8V17

''AG-51；

③當(dāng)AC為底邊時，由對稱性，與AB為底邊時的情況相同.

…,?、“BC8—8717

綜上所述，—=—BK;

AG1551

(3)解：延長AC,BG交于點(diǎn)D,

：ZCGD^180°-ZBGC^2ZA,ZD=90°-ZA,

：.ZD=ZDCG,

:.CG=DG,

由⑴得CG=G8,

：.GB=DG,G是8。的中點(diǎn)，

\'GM±GB,AB±GB,

：.GM//AB,M是AD的中點(diǎn).

連接OM,則四邊形OMGB為矩形，

：.OM=GB,

：.OB2=O^=AM2-OM2=AM2-GB2,圖3

設(shè)GB=x,AM^y,則0＜無＜2,

,：AM2+OB2-3GB2+8GB-8=0,

OB2=y2-x2=x2-4x+4=(x-2)2,

S四邊形MGBA=3SAA0AI=3Xy2—x2=—^x~+^x——(x-1)2+彳

3

???當(dāng)x=l時，四邊形MG5A的面積最大為

7?【解答】(1)證明：連接OC,

??,8是。。的切線，

OC.LDE,

■:DELBE,

：.OC//BE,

：.ZEBC=ZOCB,

XVOB=OC,

；?NOBC=NOCB,

：.ZOBC=ZEBC,

；?BC平濟(jì)NDBE.

(2)證明：連接AC,

9：AB是直徑，

ZACB=90°,

VBE±CZ),

：.ZBED=90°,

???△ABCsdCBE,

.BEBC

??BC-AB1

:?Bd=AB?BE.

(3)解：設(shè)。。的半徑為r,

.3COr

?tanD=4=CD=CD'

4

:?CD=^r,

：.D0=>JCD2+CO2=|r,

:?DB=DO+OB=□r,

VZZ）CO=90°,ZBED=90°,

:.ADCOs4DEB,

COBE遁vBE

---=—，即1=吊一，

DODB--r

3r3

：.BE=^r,

VAB-BE=80,

.*.2rXHr=80,

An=5,n=-5（舍去），

???OO的半徑為5.

8.【解答】解：（1）連接0。，如圖：

???。4=0。，

：.ZOAD=ZODA,

：.ZCOD=2ZA9

???CD是。。的切線，

：.OD.LCD,

：.ZC+ZCOD=90°,即NC+2NA=90°,

又,.,D4=OC,

ZA=ZC,

.\ZC=30°；

（2）①連接AROF,如圖：

'：AB是直徑，

ZAFB=90°,

*.*tanZFBA=l,

：.ZFBA=45°,

???AABF為等腰直角三角形，

:.AF=BF=5五,OFLAB,

?:PF〃AD,

：.ZFPO=ZDAC=ZC=30°,

：.PF=2OF=10,OP=V3OF=5V3,

：.BP=OP-OB=543-5,

'：ZFAB+ZFEB=180°,ZPEB+ZFEB=1SQ°,

；?NFAB=NPEB,

又?:ZEPB=ZAPF,

：.AAFP^AEBP,

.AFFP

?'BE~BP'

：.BE=|(V6-V2)；

②過點(diǎn)3作3G_L尸尸于G,連接OE,過。作ONJ_■于N,如圖:

：.ZBGE=ZBGP=90°,

；.NBGE=NAFB,

?:/BEP=/FAP,

:?叢PEBs^PAF,

.PFAP

??=,

BPPE

:.BP?AP=PE?PF,

設(shè)BG=x,

?IN尸B4=NZMC=30°,

:?BP=2x,PG=V3x,

.'.AP=10+2x,OP=5+2x,

：.ON=^OP=|+x,PN=尋(5+2x),

在RtZ\NOE中，￡解=。￡2_0砰=25-(-+x)2,

2

'：ON±EF,

:.FN=EN,EF=2EN,

在RtZXEBG中，BE2=BG2+EG2,

在RtZXBFG中，BF2=BG2+FG2,

;FG=PN+FN-PG,EG=PN-PG-FN,

：.FG-EG=(PN-PG)2-FN1^---[25-(|+尤)2]=/+5x,FG+EG=2(PN-PG)

=5同

：.BE2-BF2=(BG^+EG?)(BG2+FG2)

=BG^+(￡G2+FG2)BG2+(EG-FG)2

=BG4+[(EG+FG)2-2EG-FG\BGL+(￡G?FG)2

=X4+[75-2/-10A]X2+(/+5X)2

=100/,

：.BE'BF=10x,

..BEEF

"EF-BF'

：.BE-BF=EF2=4EN2,

5°

即10元=4[25-(-+x)2],

An—15—5,21,x_i_x?5V21—15

解得：/一(舍去)或---------，

x=-----44

：.BP=2x=5吃T5.

9.【解答】解：(1)為4B中點(diǎn)，48=20,

1

：.AM=^AB=10,

'：DM.LAB,

,,A][44104

在RtZkAZ)M中，cos/=M=言即：一=

A。5?1￡)5

：.AD=~

(2)連接CM,

,：M是RtAABC斜邊上的中點(diǎn),

1

CM=^AB=AM=BM,

：.ZA=ZACM,NB=NBCM,

9：ZMPQ=ZACM,

：.ZA=ZMPQ,

???QP是。。的直徑，

ZACB=ZPMQ=90°,

ZPQM=ZABC=ABCM,

AC4

TcosA=卷=/AB=20,

：.AC=16,BC=7AB2-AC?=12,

AC164

tanZ-PQM=tanZ-ABC=阮=T?=3*

4

-

3

(3),?ZQMA+ZQMD^90°,NDMP+NQMD=90°,

：.ZQMA=ZDMP,

由(1)知

/\AMO^/\PME,

當(dāng)△□上/￡是等腰三角形時，有△AM0為等腰三角形，

當(dāng)時，40=10,

當(dāng)時，ZA=ZAQM=ZACM,1^ZAQM>ZACM,所以這種情況不存在;

當(dāng)AQ=MQ時，ZA=ZQMA,

而/A+NA￡)M=90°,ZQMA+ZDMQ^90°,

ZADM=ZDMQ,

1

：.QD=QM=AQ=>。，

由(1)知AD=發(fā)，可得AQ=年；

“5

.\AQ=10或一.

4

10.【解答】(1)解：TAB為。。的直徑，

ZACB=90°,

ZABC=90°-NA=55°,

???5。與。。相切于點(diǎn)3,

：.BD±AB,

：.ZDBC=90°-ZABC=35°,

(2)證明：SOA^OC,

—NACO,又/ACO=/DCE,

：./DCE=ZA=ZDBC,

又,；/￡>=4D,

:.ADCEsADBC,

.CECD

??=,

BCBD

；?CEBD=BC*CD；

(3)解：VAB=8,

1

：.0C=OB=^AB=4,

OB-2

,,,0口=SITID=@，

33

OD=《OB=,x4=6,

22

：.DC=OD-OC=6-4=2,DB=VOO-OB=^42=2V5,

?；NDBC=NDCE,ZD=ZD,

：.ADBCS4DCE,

_DC__DB_

"DE='DC,

,旌-DC2_22_2V5

...BE=DB-DE=2V5-等=苧，

875

.二BE的長是《一.

11.【解答】(1)證明：連接02,

：尸&是OO的切線，

：.ZPBO=90°,

?：OA=OB,2A_LP。于。，

：.AD=BD,/POA=NPOB,

又,：PO=PO,

:.△PkOeXPBO(SAS),

：.ZR\O=ZPBO^90°,

:。4為圓的半徑，

.,.直線必為。。的切線；

(2)證明：VZB4O=ZPDA=90°,

：.ZOAD+ZAOD^90°,ZOPA+ZAOP^90°,

J.ZOAD^ZORi,

：./\OAD^^OPA,

ODOA

???_—__，

OAOP

:.OA2=OD-OP,

又；AC=2ft4,

：.AC2=4OD-OP；

(3)解：\'OA^OC,AD=BD,BC=6,

1

：.0D=^BC=3,

設(shè)AD=x,

1

VtanZF=2

.*.FZ)=2x,0A=0F=2x-3,

在RtZ”10。中，由勾股定理，得，

(2x-3)2=X2+32,

解之得，xi=4,X2=0(不合題意，舍去)，

.*.A￡>=4,0A=2x-3=5,

〈AC是。。的直徑，

：.AC=2OA=1Q.

：.AC的長為10.

12.【解答】解：(1)TAB是。0的直徑，

ZADB=90°,

：.ZCDB=ZADB=90°；

(2)連接OD,

*.*/P=/PDB,

：.BD=BP=3,

丁尸。是。。的切線，

：.OD.LPD,

：.ZODB+ZPDB=90°,ZP+ZPOD=90°,

?.?/P=NPDB,

；?BO=BD=3,

：?OB=BD=OD,

：.AOBD是等邊三角形，

ZDOB=60°,

弧BD的長度=6。^^§=n,

在RtZXCDB中，BD=3,ZCBD=30°,

：.CD=V3,BC=2V3,

???陰影部分的周長為TI+373；

(3)連接0",過點(diǎn)。作。尸J_A3交于點(diǎn)R

'：AM=BMf

：.OM±AB9

9：BD=BD,

：.ZDMB=/DAB,

tanZDMB=tanZDAB,

1

VtanZZ)MB=分

t^nXDAB==*

圖2

設(shè)8￡>=a,則AD=2a,

.,.AB=遍a,

：.OM=^-a,

:AD?BD=AB,DF,

,八口2/5

..ZJr=—g—<2,

9CDFLAB,OMLAB,

：.OM//DF,

:.AOMNSAFDN,

.DNDF

??MN-0M"

2V5

.DN~s~a4

???麗=可=9

2U

：.MN：MD=^.

13?【解答】解：(1)證明：如圖，連接0。

GF=GE,：.ZGFE=ZGEF=NAFH,

9

：0A=0Ef：.Z0AE=Z0EA9

VZAF//+ZMH=90°,

：.ZGEF+ZAEO=90°,

：.ZGEO=90°,:?GEL0E,

???EG是OO的切線；

(2)連接。E,易得AGDEsAGEC,

.GE_GD_

??—,

GCGE

：.GE2=GC'GD,

又，：GF=GE,

：.GF2=GC-GD；

(3)如圖，連接。C.

設(shè)O。的半徑為r.

在RtAAHC中，

AH3

tanZ-ACH=tanZ-G==4,

\'HC=4V3,

：.AH=3V3,

在RtAHOC中，

：OC=r,OH=r-3V3,HC=4A/3,

(r-3V3)2+(4V3)2=r2,

M

VZOEM=ZAHC,

：.AAHC^AMEO,

AHHC

EM~OE

3V3_4小

EM~2S>

6

14.【解答】（1）證明：連接02,如圖,

,；AC為。。的直徑，

；./ABC=90°.

?：BA=BC,

：.BA=BC,

/.AABC是等腰直角三角形，

：.ZBAC^ZBCA=45°.

：OB=OC,

/OBC=/OCB=45°.

:/CBM=ZBAC,

：.ZCBM=45°,

：.ZOBM=ZCBM+ZCBO=900,

C.BMLOB.

：。8為O。的半徑，

...8M為O。的切線；

(2)解：①如解圖②，作8GLC。于點(diǎn)G,B8LD4交D4的延長線于點(diǎn)H,如圖,

CBGLCD,BHLDH,

:.NBHD=NBGD=90°.

,：AC為O。的直徑，

ZADC=90°,

二四邊形8G。//為矩形，

'：BA=BC

：.BA^BC,ZADB=ZBDC.

?：BG工CD,BH±DH,

：.BH=BG,

矩形BGDH為正方形，

在RtZVIB//和RtACBG中，

(BA=BC

IBH=BG'

：.RtAABH^RtACBG(HL),

SAABH=SACBC,

；?S