2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：思想方法之構(gòu)造法訓(xùn)練（含答案）

2025年九年級中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題思想方法之構(gòu)造法訓(xùn)練

一、選擇題

1.我國清代數(shù)學(xué)家李悅借助三個(gè)正方形用出入相補(bǔ)的方法證明了勾股定理.如圖，直角三

角形的三邊a,b,c滿足c>a>b,分別以a、b、c為邊作三個(gè)正方形：正方形CBPG、

正方形HDEF、正方形ABEJ,把它們拼成如圖所示形狀，使E、F、G三點(diǎn)在一條直線

上，若a+6=7,四邊形ABEK與面積之和為7,則正方形ABEJ的面積為（）

A.49B.28C.21D.14

2.如圖，菱形中，ZB=60°,點(diǎn)E是AB邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,點(diǎn)、F是BC

上的一點(diǎn)，△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，/EFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)

點(diǎn)歹在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AG的最小值是（）

A.2B.4V3-2C.2V3D.4

3.已知：如圖，直線y=-2x+4分別與尤軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸（1,0）,若在直

線AB上取一點(diǎn)在y軸上取一點(diǎn)M連接MN、MP、NP,則MN+MP+NP的最小值

是（）

A.3B.1+等+等

第1題圖第2題圖第3題圖

4.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，CDLAB,垂足為。，AO=2,點(diǎn)E是。。上

的動(dòng)點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，若在E運(yùn)動(dòng)過程中DF的最大值為4,則CD

的值為（）

LLL7

A.2V3B.2V2C.3V2D.-

2

5.如圖，正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)尸是射線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在上，且滿足

/2CQ=NBPC,則線段CQ的最小值為（）

A.V2B.1C.V5-1D.2V2-1

6.如圖，在△ABC中，尸為平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接AP、PB、PC,若NAC3=30°,AC=8,

BC=10,貝4m+2P8+2必尸C的最小值是（）

A.4V89B.36

C.4V10+2V5+6V7D.16V10-10

A

第4題圖第5題圖第6題圖

7.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想和解題方法，如："當(dāng)0<x<12時(shí)，求代數(shù)式+4+

J（12—x）2+9的最小值”,其中k可看作兩直角邊分別為x和2的RtAACP的斜

邊長，J（12-％）2+9可看作兩直角邊分別是12-x和3的RtABDP的斜邊長.于是將

問題轉(zhuǎn)化為求AP+B尸的最小值，如圖所示，當(dāng)AP與BP共線時(shí)，AP+BP為最小.請你

解決問題：當(dāng)0<尤<4時(shí)，則代數(shù)式舊TI+J（4-久尸+4的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

1Q

8.如圖，在RtABAD中，延長斜邊BD到點(diǎn)C,使DC=^BD,連接AC,若tcm/ADB=

Z4

則tan/CAO的值（）

V31V31

A.B.C.D.

4433

9.等腰直角AABC中,ZC=90°,AC=BC=4,。為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)

C作CH±BD于H,連接AH,則AH的最小值為（）

A.2V2B.2V5-2C.4D.2V2-2

第7題圖

10.如圖，正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，8是側(cè)面正方形對角線的交點(diǎn).一

只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)3的最短路徑是（）

A.9B.3V2+6C.2V10D.12

二、填空題

4

11.如圖，已知二次函數(shù)丫=一3（久+1）0-5）的圖象與工軸父于4、8（點(diǎn)8在點(diǎn)4的右

側(cè)）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,點(diǎn)尸是y軸上一點(diǎn)，且使得PB-PC最大，則P點(diǎn)的坐標(biāo)

為.

4

12.AABC中，AB=3,瓦)是AC邊上的高，若4C=gBD,貝。BC的最小值

為.

13.如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C

為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且CA=4,連接BC,作△BCD(點(diǎn)。在x軸上方)，使C￡)=CB,Z

BCD=90°,當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為.時(shí)，AD長度最大，AD的最大值

為.

三、解答題

14.在△ABC中，AQ_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AO上一點(diǎn)，

(1)如圖1,若AD=BC,BD=2CD=4,求線段AC的長；

(2)如圖2,若AO=BC,連接CE,且/DCE=2/BAO,猜想CE,AE,BO之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,若AC=BC=6,BO=2CD,點(diǎn)尸是線段AC上一點(diǎn)，5.CF=AE,連接

交AO于點(diǎn)P,連接CP,當(dāng)CE+BF取最小值時(shí)，直接寫出△BCP的面積.

15.已知m是拋物線-2x-4的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)求證：用-8m2-8m=0；

2m4-8m2-8m

(2)求代數(shù)式值.

m8+m7+m6-10m5-llm4-8m2-8m+256

16.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-4久+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)8,直

線BC與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且OC=OA.直線y=x與直線BC交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在x

軸上.

(1)求直線BC的解析式；

⑵若PB=PD,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接A。，若/ODB=NPDA,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

17.如圖1,正方形ABCD中，E、尸分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，ZEBF=45°.

(1)小聰同學(xué)通過將繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ABCG,得到/EBG=/EBF=45

①請直接寫出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：(用等式表示)；

②若AB=2,E為CD邊中點(diǎn)，求AF

(2)如圖2,將正方形ABC。改為矩形，且AB=2,BC=3,其他條件不變，即：E、F

分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，ZEBF=45°.

③記EP=y,CE+AF=x,試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系(用等式表示)；

④當(dāng)B尸時(shí)，求線段EF的長.

圖2

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=fcc+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，4OA

=3OB.

(1)求上的值；

(2)點(diǎn)尸在線段A3上，連接。尸.若&AOB=3SABOP，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AC,求直線AC的表達(dá)式.

19.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，連接CE,DPLCE于點(diǎn)G,交BC于

點(diǎn)F.

(1)求證：BE=CF；

(2)若正方形的邊長為4,求CG的長；

(3)在(2)的條件下，連接BG并延長BG交C。于點(diǎn)“，求tan/FBG的值.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A(3,4)的拋物線y=o?+6x+4與x軸交于點(diǎn)B(-1,0),

與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AOLx軸于點(diǎn)D

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD交AB于點(diǎn)Q,連接

AP,當(dāng)SAAQD=2SAAPQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,點(diǎn)G是線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)QG,求QG+4CG的最小值.

參考答案

一、選擇題

1.【解答］解：如圖，作"，EG于點(diǎn)尸，則/JPK=/JPE=90°,

?.?四邊形BCGR四邊形A2EJ、四邊形DEM都是正方形，

；.BA=BE,BC=BE,EJ=BE,ZCBF=ZABE=ZBEJ=ZBFE=ZD=90°.

ARtAABC^RtAEBF.

：.EF=CA=b.

?：/EPJ=/BFE=90°,

ZPJE=ZFEB=90°-/PEJ,

又?：EJ=BE,

:?AEJP會(huì)ABEF.

：.JP=EF=ED=b,PE=FB=a,

?11_

S/\EJP+S^BEF=2cib=ab.

*：ZPJK+ZPJE=90°,ZDEL+ZFEB=90°,

：.ZPJK=ZDEL,

VZJPK=ZD=90°,

???△/VK也△DEL

:?SAPJK=S/\DEL，

?二S四邊形ABFK+SADEL—7，

?'?S四邊形A5尸K+S/kPJK=7，

9?BA—c,S正方形BEJA-(SA￡JP+SABEF)—S四邊形ABFK+S^PJK,

c2-ab=1,

*.*a2+b2=c2,

?2+Z?2-ab=7.

(〃+/?)2-3ab=7.

*/a+Z?=7,

???49-3"=7.

??ab=14.

?2

?'S正方形ABEJ=C—1+ab—21.

故選：C.

2.【解答】解：如圖，過萬作EMLBC于點(diǎn)作于點(diǎn)H,作APLGM于點(diǎn)P,

VZEMF+ZEGF=1SO°,

???點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓,

AZEMG=ZEFG=30°,

VZB=6Q°,

AZBEM=30°=/EMG,

：.MG//AB,

???四邊形"HAP是矩形，

：.MH^AP,

VBE=8,

，EM=BE?cos300=4?

:.MH=|fiAf=2V3=AP,

：.AG^AP=243,

：.AG最小值是2?

故選：C.

3.【解答】解：作點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)E,點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)R連接EMEM,

EF,FM,FP,設(shè)尸尸交A3于C,過點(diǎn)尸作PD_L無軸于D,如圖所示：

則EN=NP,FM=MP,FP±AB,OE=OP,FC=PC,

：.MN+MP+NP=MN+FM+EN,

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得MN+FM+EN?所，

：.MN+MP+NP^EF,

：.MN+MP+NP的最小值為線段EF的長，

對于y=-2x+4,當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)x=0時(shí)，x=2,

.?.點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)、B(0,4),

：.OA=2,08=4,

又：點(diǎn)尸(1,0),

：.OP=\,

：.OE=OP=\,PA=OA-OP=2-1=1,

在Rt/XOAB中，OA=2,OB=4,

由勾股定理得：AB=yJOA2+OB2=2遮，

'：FPLAB,軸，ZBOA=90°,

：.ZPCA=ZBOA=ZPDF=9Q°,

又：ZPAC=ABAO,

：.APAC^ABAO,

:.PC：OB=PA：AB,ZAPC=ZABO,

即PC：4=1：2V5,

：.PF=FC+PC=^-,

VZAPC=ZABO,ZBOA=ZPDF=90°,

■:APFDs叢BAO,

:.FD：0A=PD：0B=PF：AB,

即FD：2=PD：4=警：2弋5,

48

.*.FD=|,PD=|,

o-io

：.ED^0E+0P+PD=1+1+=寺，

1Q4

在RtAEFZ）中，ED=等，F(xiàn)D=童

由勾股定理得：EF=y/ED2+FD2=馬等.

故選：C.

4.【解答】解：方法一、如圖所示，連接。及0C,取。C的中點(diǎn)連接MF和DW,

設(shè)OO的半徑為r,

?.?點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，

1V

：.MF=專0E=p

:點(diǎn)E是。。上的動(dòng)點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)C為頂點(diǎn)，

點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M圓心，以ME的長為半徑的圓上，

則DFWDM+MF,

...當(dāng)點(diǎn)。、M、f三點(diǎn)共線時(shí)，。尸有最大值4,此時(shí)。尸

r

???0M=4-金

9：CDLAB,

：.ZCDO=90°,

??,點(diǎn)M為。。的中點(diǎn)，

1丫

：.DM=^OC=分

YY

=4-解得：廠=4,

22

：.OD=OA-AD=2f

在RtZkCDO中，CD=70c2-。。2=2u;

方法二、如圖，延長CD交。。于Q,連接QE,CO,

CDLAB,A8是直徑，

：.CD=DQ,

又???點(diǎn)/是CE的中點(diǎn)，

???QE=2DF,

當(dāng)QE為直徑時(shí)，。尸有最大值，

QE=2DF=8,

：.AO=CO=4,

：.DO=2,

在RtzXCDO中，CD=70c2-。。2=2遍;

故選：A.

5?【解答】解：如圖，連接AQ,

ZBCQ=ZBPC,且NC3Q=ZPBC,

：.△BCQs^BPC,

：.BQ：BC=BC：BP,

*：AB=BC,

:.BQ：AB=AB：BP,

*.?ZABQ=ZPBA,

：.AABQ^APBA,

：.ZAQB=ZBAP=90°,

???點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是在以AB為直徑的圓上，

如圖，取A5中點(diǎn)。，連接OC交。。于Q,則CQ此時(shí)最小,

,:BC=2,

???。5=1,

???OC=Vl2+22=V5,

???OQ=1，

.-.ce=V5-1.

故選：c.

6.【解答］解：以CP為邊，在CP下方構(gòu)造等邊△CPQ,

將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CD,

連接QD,取CQ、CO中點(diǎn)E、F,連接PE、EF,

???△CPQ為等邊三角形，

ZPCQ=60°,

VZBCD=60°,%

：.ZBCP=ZDCQ,/\

?：BC=DC,PC=QC,1/

：.△BCP0△DC。，B/

：.BP=DQ,

■:E、尸分別是C0、CD中點(diǎn)，

尸是△CD。的中位線，

：.EF=^DQ,BPEF=^BP,

：△CP。為等邊三角形，且CE=QE,

：.PELCQ,

VZPCQ=60°,

:.PE：PC=sin60°二與,即PE=亭尸C,

由圖可得：當(dāng)A、P、E、尸共線時(shí)，4P+PE+EP最小，

即MF初+亨PC最小，

連接AF,VZACB=30°,ZBCD=60°,

：.APD=9Q°.

1

VAC=8,CF=^CD=5,

：.AF=452+82=V89,

PA+^BP+苧PC最小為屈，

A4CPA+^BP+^-PC)最小為4網(wǎng)，

即4PA+2PB+2V3PC的最小值為4V89.

故選：A.

7.【解答】解：依題意如圖，AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,

PD=4-x,I

：.AE=l+2=3,BEX

：.AB=y/AE2+BE2=5/32+42=5,

...代數(shù)式不I+J(4—x)2+4的最小值是5.L

故選：B.一

8.【解答】解：過點(diǎn)C作CE垂直AD的延長線于E,

在RtABAD中，tan/-ADB=

.AB3

??=一,

AD4

設(shè)A3=3Q,AD=4a,

貝I」BD=yjAD2+AB2=V16a2+9a2=5a,

*：CE±AE,BALAD,

MBADs^CED,

.ADAB

??—,

EDCE

"：DC=^BD,

：.DE=^AD=2a,CE=1AB=

匚,CF1

在RtAAEC中，tan/CAD=關(guān)==：.

AEba4

故選：B.

9.【解答】解：?../CaB=90°,BC是定值，點(diǎn)是在以BC為直

徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（不包括8點(diǎn)和C點(diǎn)），

1

連接HO,則HO=^BC=2.

當(dāng)A、H、O三點(diǎn)共線時(shí)，A"最短，止匕時(shí)AH=AO-"0=2岔一2.

故選：B.

10.【解答］解：如圖，AB=V（2+4）2+22=2V10,24A

故選：C.

二、填空題

11.【解答】解：連接BC并延長BC交y軸于點(diǎn)尸，此時(shí)PB-PC最大.

???二次函數(shù)解析式為：y=（x+1）（x-5）,

.?.拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-1,0）,（5,0）,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5,0）,拋物線的對稱軸為：直線尤=2,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,4）,

設(shè)直線BC的解析式為y=fcr+6（左W0）,

（5k+h=0

（2/c+5=4'

當(dāng)x=0時(shí)，y=-y,

...點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（0,—

故答案為：（0,

12.【解答】解：過點(diǎn)A作AMLBA于點(diǎn)A,過點(diǎn)C作CMLAC于點(diǎn)C,兩條垂線交于

點(diǎn)、M.

：.ZBAM=ZACM=9Q°.

：.ZBAD+ZMAC=90°,ZMAC+ZM=90°.

：.ZBAD=ZM.

；BO是△ABC的高，

ZADB=90°.

：./ADB=ZACM.

：.AADB^/\MCA.

.ABBD

"MA—AC'

4

*：AB=3,AC=^BD,

：.AM=4.

作AM的中點(diǎn)N,連接BN,CN,

1

???CN=AN=^AM=2.

：.BN=yjAB2+AN2=V13.

當(dāng)點(diǎn)8、C、N在同一條直線上時(shí)，3。最短.

BC最小值=3N-CN=V13-2.

故答案為：V13-2.

三、解答題

13.【解答］解：以AB為直角邊、A為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造等腰直角△鈿￡,

如圖1所示，連接。E、AD.

BDBE

—=—=Vr2,/DBE=NCBA,

ACAB

；?LDBEsACBA.

DE

—=vr2.

AC

：.DE=V2AC=4V2.

從已知看出C點(diǎn)是在以A為圓心，AC=4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以

D點(diǎn)是在以￡為圓心，OE=4a為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).

當(dāng)A、E、。三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2所示，此時(shí)AD值最大，最大為AE+ED

=10+472.

則/C4O=45°,又AC=4,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4-2奩，2企）.

故答案為（-4-2近，2A/2）,10+4V2.

14.【解答】解：（1）:BD=CD=4,

：.CD=2,BC=6,

'：AD=BC,

VADXBC,

AZADC=90°,

：.AC=y/AD2+CD2=2V10.

(2)CE=AE+BD；

證明：如圖，過A作A/〃3C,作。/〃8A,兩線交于點(diǎn)R則四邊形ABC尸是平行四邊

形.

作bGLCE于點(diǎn)G,

設(shè)N5AO=a,則NOCE=2a,

AZB=90°-a,

???四邊形ABCF是平行四邊形，

：.AB=CF,AF=BC,ZB+ZBCF=180°,

AZBCF=90°+a,

???ZGCF=ZBCF-NDCE=90°-a=ZB,

VZFGC=ZADB=90°,AB=CF,

：.AABD^AFCG(AAS),

：.FG=AD,BD=CG,

*：AD=BC,AF=BC,

：.FG=AF,

?；EF=EF,

ARtAAFE^RtAGFE(HL),

：.AE=GE,

：.CE=GE+CG=AE+BD.

(3)過。作CQ〃AO,<CQ=AD,

■:CQ//AD,

：.ZCAE=ZQCF,

9：AE=CF,AC=CQ,

AAAEC^ACFe(SAS),

：.CE=FQ,

???CE+BF=FQ+BF,

當(dāng)5、F、Q三點(diǎn)共線時(shí)，CE+8F=FQ+8F=8Q最小

*：BC=AC=6,BD=2CD,

：.BD=4,CD=2,CQ=AC=6,

?:CQ〃QD,

：.ZBCQ=90°,

：.ABCQ是等腰直角三角形，

；?/DBP=45°,

???。尸=03=4,

1

SABCP=2^C9AD=12.

15.【解答】(1)證明：??,加是拋物線-2工-4的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Am2-2m-4=0,

..m-8m-8m

=(m4-2m3-4m2)+(2m3-4m2-8m)

=m2(加2-2m-4)+2m(m2-2m-4)

=0;

(2)解：V2m4-8m2-8m

=(2m4-4m3-8m2)+(4m3-8m2-16m)+(8m2-16m-32)+24m+32

=2加之(機(jī)2_2m-4)+4m(m2-2m-4)+8(m2-2m-4)+24機(jī)+32

=24加+32,

m8+m7+m6-10m5-11m4-8m2-8m+256

=(m8-2m7-4m6)+(3m7-6m6-12m5)+(11m6-22m5-44m4)+(24m5-48m4-

96m3)+(81m4-162m3-324m)+(258m3-516m2-1032m)+(832m2-1664m-3328)

+2688m+3584

=m6(m2-2m-4)+3m5(m2-2m-4)+llm4(m2-2m-4)+24m3(m2-2m-4)+8Im2

(m2-2m-4)+258m(m2-2m-4)+832(m2-2m-4)+2688m+3584

=112(24祇+32),

.2m4-8m2-8m24m+321

*rn8+m7+m6-10m5-llm4-8m2-8m+196112(24m+32)112,

16.【解答】解：(1)將％=0代入y=—*%+2,解得y=2,

：.B(0,2),

i

將y=0代入y=-]%+2得

0=+2,解得％=4,

AA(4,0),

OC=OAf

：.C(-4,0),

設(shè)ysc=丘+b，將3(0，2),C(-4,0)代入得,

(b=2，解得k

t—4fc+b=0

3

直線BC的解析式為：y=^x+2.

(2)如圖1,作8。的垂直平分線￡尸，垂足為點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)尸，連接尸8、PD,作

EHLOP于點(diǎn)H,則PB=BD,

,/直線y=x與直線BC交于點(diǎn)D,

?/=：=4

?[y=2%+2，=4'

：.D(4,4),

?.?點(diǎn)E為2。的中點(diǎn)，

：.E(2,3),

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,0),則PC=〃z+4,

?；CD=V82+42=4V5,

11

笆尸??

?：SACDP=4=*CDPE,

即(m+4)X4=4V5-PE,

?7n

..P?7E7=—+—4，

EH2+PH2=PE1,

0m+40

即32o+(m-2)2=(—)2,

7

解得m=2，

7

：.P(-,0).

2

一7

?,?當(dāng)尸8=尸。時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(一，0).

2

(3)如圖2,作交DP于點(diǎn)E1,

*：ZODB=ZPDAfNODA=45°,

：?/BDE=45°,

VD(4,4),B(0,2),

???￡點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)y\/

DE解析式為產(chǎn)3x-8,J＞與咨；

當(dāng)y=0時(shí)，x=l//。若仁也七三新方

8

：.P(-,0)

3

利用對稱性可另一個(gè)坐標(biāo)為(弓，0).

17.【解答】解：(1)①由題意可知尸也△BCG,

：.BF=BG,AF=CG,BF=BG,

/EBG=NEBF=45°,BE=BE,

：.ABFE^ABGE(SAS),

???EF=EG,

???EG=EC+CG=EC+AF,

；.EF=EC+AF,

故答案為：EF=EC+AF.

②若點(diǎn)石為CD的中點(diǎn)，

:.DE=EC=3

設(shè)則CG=x,DF=2-x,

由①可知，EF=1+x,

在Rt△。所中，ZD=90°,由勾股定理可得，(2-%)2+12=(i+x)2,

解得x=即AF=

(2)③將AAB尸繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至APBM,延長交OC的延長線于點(diǎn)N,過

點(diǎn)〃作MH_LON于點(diǎn)N,連接EM,

由旋轉(zhuǎn)可得，N3PM=90°,BF=BM,BP=AB=2,ZABF=Z.PBM,

：.ZCPM=90°,PC=MH=1,Al

?.?N5CN=90。,/、\

???四邊形PMNC是矩形，/

N

:.PM=CH=AF,

CE+CH=x,

VZFBE=45°,

ZABF+ZEBC=45°,BPZPBM+ZEBC=ZEBM=45°,

?；BF=BF,ZFBE+ZEBM=45°,BE=BE,

:?ABEF名ABEM(SAS),

：.EM=BF=y,

222

在RtZXMHE中，由勾股定理可得，MH+EH=EMf

?二12+/=y2,即y—yjx2I

?VBF±EF,

???ABFE是等腰直角三角形，

：.FB=FE,ZAFB+ZDFE=90°,

TNAFB+NABF=90°,

ZABF=ZDFE,

VZA=ZD=90°,

AAABF^ADFE(AAS),

：.DF=2,AF=DE=1,

：.EF=V5.

18?【解答】解：(1)直線丁=履+4中，令％=0,則y=4,

：.B(0,4),

???05=4,

???404=308,

???OA=3,

由圖可知點(diǎn)A在x軸的正半軸，

AA(3,0),

???3Z+4=0,

4

(2)由(1)知0A=3,OB=4,y=—各+4,

11

:4AOB=^OA*OB=三x3X4=6，

,*,S/\A0B—3S/\B0P?B

S/\BOP=—2.

過點(diǎn)P作PM±y軸于點(diǎn)M,

11

:?SABOP=M()B?PM=2,即一x4PM=2，

N2

PM=\,即點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為1,

48

--

33

8

:?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,-).

(3)將直線A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到直線AC,則NB4C=45°,如圖，過點(diǎn)8

作交直線AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,

：?NBED=NAOB=90°,

???/ABO+/OBD=ZBDE+ZOBE=90°,

NABO=NBDE,

VZBAC=45°,

???N5ZM=45°,

：.BD=AB,

：.ABDE^AABO(AAS),

：.BE=OA=3,DE=OB=4,

：?OE=OB-BE=1,

：.D(-4,1),

設(shè)直線AC的解析式為：y=mx+n,

.?.仁嗎+工i,解得

137n+n=0Is§

ln-7

?,?直線AC的表達(dá)式為：y=—yX+y.

19.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。為正方形,

:?CD=CB,ZDCB=ZDCE+ZBCE=90°,

V￡)F±CE,

AZDGC=90°,ZDCE+ZCDF=90°,

/DCE+/BCE=/DC