2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問題（含解析）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問題

L如圖，點(diǎn)。，E在以AC為直徑的O。上，NAOC的平分線交于點(diǎn)2,連接54,EC,

EA,過點(diǎn)E作即，AC,垂足為X,交于點(diǎn)尺

(1)求證：AE2=AF'AD；

2[c.

(2)若sin乙4BD=詈,AB=5,SABOG.

2.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB為。。的直徑，CD=BC,連接A。、BD.CE±DA,交

DA延長線于點(diǎn)E.

(1)證明：AC平分/EA8；

(2)若CZ)平分NAC2,

①當(dāng)AB=4時(shí)，求AE的長；

②設(shè)AC=x,BC=y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

備用圖

3.如圖，PB是O。的切線，切點(diǎn)為2,點(diǎn)A在。。上，且E4=P股連接4?并延長交。。

于點(diǎn)C,交直線PB于點(diǎn)D,連接OP.

(1)證明：外是。。的切線；

(2)證明：DB2=DC-DA；

(3)若8D=4,sinZADP=求線段OP的長.

4.如圖，在O。中，弦與弦CD相交于點(diǎn)G,于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的直線與CD的

延長線交于點(diǎn)RAC//BF.

(1)若/FGB=NFBG,求證：BP是。。的切線；

(2)若tan/P=],CD=24,求。。的半徑；

G—D2

(3)請(qǐng)問「的值為定值嗎?若是，請(qǐng)寫出計(jì)算過程，若不是，請(qǐng)說明理由.

42DF-GF

5.如圖，在△ABC中，NC=90°,。為邊AB上的一點(diǎn)，以。為圓心，為半徑的圓與

AC切于點(diǎn)E,與交于另一點(diǎn)D

(1)求證：BE平分/ABC；

(2)若8。=4,BE=6,求CE的長；

(3)在(2)的條件下，直接寫出cosA的值.

6.已知，如圖，線段AB是O。的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，。尸，BC于點(diǎn)R交O。于點(diǎn)

E,AE與3c交于點(diǎn)0點(diǎn)。為的延長線上一點(diǎn)，且

Cl)求證：是o。的切線;

(2)求證：CE?=EH?EA；

(3)若。。的半徑為5,sinA=|,求8”的長.

7.如圖，己知以Rt^ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓O。，NB的平分線3E交AC

于。，交O。于E,過E作所〃AC交84的延長線于足AF=1,EF=2,

(1)求證：所是O。切線；

(2)求sinZF；

(3)求BD的值.

Ek7

8.如圖，尸是直角三角形，ZE4Z)=90°,以A。為直徑作O。，與尸。相交于點(diǎn)3,

連接AB.

(1)尺規(guī)作圖：在劣弧8。上取點(diǎn)C,使得弧42=弧3。，連接AC,交BD于點(diǎn)、E；

(2)在(1)的條件下，求證：LABEsADBA；

(3)在(2)的條件下，連接C。，若E為8。的中點(diǎn)，求tan/AOC的值.

9.如圖，AB是。。的直徑，C為O。上一點(diǎn)，連接AC,BC,延長AB至點(diǎn)使得/DCB

=NCAB,點(diǎn)E為防的中點(diǎn)，連接CE交A8于點(diǎn)R連接BE.

(1)求證：。。為。。的切線；

(2)求證：△ACFsMCB；

1

(3)若CD=4,tan^CEB=*,則直接寫出CF,CE=.

BD

10.如圖，在菱形ABC。中，CHLAB于H,以CH為直徑的。。分別交BC,AC于點(diǎn)E,

F,連接EF.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求證：XCEFsXCM

(3)若A2=10,AC^12,求tan/CFE.

a

D

A

11.綜合探究

如圖，在Rt^ABC中，/B=90°,在AC上取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，0c長為半徑作

圓，分別交A8于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)「連接C。，且。為題的中點(diǎn).

【問題初探】求證：A8為O。的切線；

【深入探究】連接。E,求證：△ACOs/vioa

,,,4

【問題拓展】若COSNDCE=寧C￡)=8,求AE,AB的長.

12.如圖1,AC為回ABC。的對(duì)角線，△ABC的外接圓。。交CD于點(diǎn)E,連接8E.

(1)求證：ZBAC^ZABE；

(2)如圖2,當(dāng)A8=AC時(shí)，連接。4、0B,延長A。交BE于點(diǎn)G,求證△GOBs4

GBA；

(3)如圖3,在(2)的條件下，記AC、BE的交點(diǎn)為點(diǎn)F,連接AE、OF.當(dāng)||=孑寸,

求sin/EAG的值.

13.如圖1,O。經(jīng)過平行四邊形ABC。的A,C兩點(diǎn)，且分別交AB,BC于E,E兩點(diǎn),

其中EP=5,AC^12.

c

/、_p,。四邊形AEFC....

(1)求^------------的值；

,平行四邊形ABCD

(2)如圖2,若tan/BAC?tanNAC2=l.

①求證：平行四邊形ABC。為矩形；

②求O。的半徑.

1.【解答】(1)證明：點(diǎn)。，E在以AC為直徑的。。上，EHLAC,垂足為如圖1,

連接瓦),

ZEAH+ZAEH^90°,ZA￡C=90°,

ZEAH+ZACE^90°,

：./ACE=ZAEH,

圖1

ZADE=NAEH,

又?.?NE4尸=NZME,

：.AEAF^/\DAE,

AEAF

??一，

ADAE

：.AE1=AF-AD；

(2)解：點(diǎn)。，E在以AC為直徑的。。上，/ADC的平分線交。。于點(diǎn)8,如圖2,

連接。8,過點(diǎn)G作GKLA。，垂足為K,過點(diǎn)G作GMLC。，垂足為M,

ZA￡)C=90°,ZAOB^2ZADB=90°,GK=GM,

在等腰直角△AOB中，AB=5,

：.AC=20A=5V2,

2K

9：sin^ABD=ZABD=ZACD,

：.AD=2V10,貝IJCD=V10,

11

?S^AGD=-^AG?CD?sinZ-ACD,SADCC=^CG?CD?sinZ-ACD,

.S"GQ_竺

S^BCGGC

l^DGKAGADAG

1----=--，即---=---

產(chǎn)GMGCCDGC

5725V2

OG—OC-GC=-2-

2.【解答】(1)證明：??,麗=既，

；?/CDB=NCBD,

'：ZCAE=ZDBC,NCAB=/CDB,

：.ZCAE=ZCABf

?'AC平分NEA5

(2)解：①過C作。H_LA3于H,

〈AC平分NE45,DELCE,

:?CE=CH,

VAC=AC,

RtAAEC^RtAAHC(HL),

：.AE=AH,

設(shè)AE=AH=x,

D

VAB=4,

：.BH=4-x,

???A5為。。的直徑，

ZACB=ADB=90°,

???CD平分NACB,

ZACD=ZBCD=45C

：.AD=BD,

；.AD=BD=芋AB=2位,

DE—AD+AE—2V2+x,

；NE=/BHC=90°,/CDE=/ABC,CB=CD,

:ADEC名ABHC(AAS),

:.DE=BH,

2V2+x=4-x,

.'.x—2—y/2,

:.AE=2—四；

②如圖，

,：AB為O。的直徑，

ZACB=ADB=90°,

：C￡)平分NAC3,

ZACD^ZBCD=45°,

過A作AMJ_C￡)于M,過8作3ALLC￡)于N,

：.AACM,ZXBCN是等腰直角三角形，

VAC=x,BC=yf

/ofo

：.AM=CM=CN=BN=^y,

VZAMD=ZADB=ZBND=90°,

：.ZADM+ZBDN=ZADM-^ZDAM=90°,

???ZDAM=ZBDN,

'：AD=BD,

：.△AOM之ADBN(A4S),

To

：.DN=AM=%x,

萬/2

???CD=CN+DN=書+券=y，

?'?y=(V2+1)x.

3.【解答】(1)證明：如圖1,連接08,

??,尸5是。。的切線，

：.ZPBO=90°,

在AAO尸和△BO尸中,

PA=PA

0A=0B,

0P=0P

圖1

AAOP^ABOPCSSS),

...NE4O=NPBO=90°,

：.OA±PA,

又：點(diǎn)A在。。上，

是O。的切線；

(2)證明：如圖2,連接A4、BC,

是。。的切線，

：.ZDBC=ZDAB,

又YZD=/D,

:.ADBCS^DAB,

.DCDB

??=,

DBDA圖2

：.DB2=DC-DA-,

(3)解：在RtZXOB。中，sinZADP=設(shè)O8=3x,OD=5x,

.\BD=4x,

VBZ)=4,

??x=1,

.\OB=3x=3,OD=5x=5,

在RtAB4D中，sin/AOP=而=而不前=而9=引

，PB=6,

在RtAPOB中，OP=y/OB2+PB2=V32+62=3V5.

4.【解答】(1)證明：

：.ZOAB^ZOBA,

'：OA±CD,

：.ZOAB+ZAGC=90°,

又：/FGB=ZFBG,NFGB=/AGC,

：.ZFBG+ZOBA^90°,即/。3尸=90°,

C.OBLFB,

是O。的弦，

點(diǎn)B在O。上，

尸是O。的切線；

(2)解：,：AC//BF,

：.ZACF^ZF

：C￡>=24,OA.LCD,

1

：.CE=^CD=n,

3

VtanZF=彳,

.-.tanZACF=^|=|,

?AE3

即—二一,

124

解得AE=9,

連接0C,如圖1所示：

設(shè)圓的半徑為r,則。E=r-9,

在RtZXOCE中，CE2+O￡2=OC2,

即122+(r-9)2=J,

解得：r=12.5；

V2

(3)解：是定值一；理由如下：

2

連接BZ),如圖2所示：

■:/DBG=/ACF,ZACF^ZF,

:.NDBG=/F,

；NDGB=/FGB,

?MBDGS/\FBG,

.DGGB

??=~，

GBGF

即G^=DG?GF,

GF2-GB?_GF2-DGGF_GF(GF-DG)_GFDF_J__V2

V2DFGF-V2DFGF~y/2DFGF-^2DFGF~y/2~2

5.【解答】(1)證明：連接OE,則：OE=OB,

：.ZOEB=ZOBE,

V,以。為圓心，03為半徑的圓與AC切于點(diǎn)

：?0E1AC,

：.ZOEA=90°=NC,

：?OE〃BC,

：.ZCBE=ZOEB,

:?/CBE=/OBE,

?'BE平分NABC；

(2)解：連接OE,過點(diǎn)E作

???BO為直徑，

：.ZBED=90°,

???0B=4,

:?BD=8,

：.DE=>JBD2-BE2=2V7,

VZBED=90°,EF±BD,

1i

：.-DE-BE=~BD-EF,即：2夕x6=8EF,

22

「BE平分NABC,ZC=90°,EF±BD,

(3)-：OE//BC,

AE_AO

——,

,CEOB

3近

(AE_CE2_3V7

9AO~OB~4一8

VOE±AC,

AZAEO=90°,

6.【解答】(1)證明：如圖1中，

?.,NODB=ZAEC.ZAEC=ZABC,

：.ZODB=ZABC,

'：OF工BC,

ZBFD=90°,

：.ZODB+ZDBF=90°,

ZABC+ZZ)BF=90°,

即NO5D=9。,

：?BD工OB,

???5。是。。的切線；

(2)證明：連接AC,如圖2所示：

OF上BC,

：.BE=CE,

；?NCAE=NECB,

?；/CEA=NHEC,

J.ACEH^AAEC,

.CEEA

??—?,

EHCE

：.CE1=EH-EA；

(3)解：連接BE,如圖3所示：

,：AB是O。的直徑，

ZAEB=90°,

;。。的半徑為5,sinZBAE=|,

3

；.AB=10,BE=AB?sinNBAE=10x1=6,

：.EA=7AB2-BE2=8,

"：BE=CE,圖3

；.BE=CE=6,

'：CEl=EH'EA,

9

：.在RtABEH中，BH=y/BE2+EH2=號(hào).

7?【解答】(1)證明：連接0。

,.?5￡是NA5C的平分線，

'ZABC=ZABE,

*.*/A0E=2/ABE,

???ZA0E=ZABC,

J.0E//BC,

??,A5是。。直徑，

AZACB=90°,

???0E_LAC,

'JEF//AC,

：.OELEF,

TOE1是半徑，

???匹是。。的切線；

(2)解：9：EF//AC,

：.ZFEA=ZEAC,

,:/EAC=/EBC,

又,:NABE=NCBE,

:./FEA=NABE,

又?：/F=NF,

.EFAF

??—,

BFEF

：.EF1=AF*BF

VAF=1,EF=2,

：.FB=4,則A5=3,

：.OE=OA=1.5,則。尸=2.5,

?.,OELEF,

.._0E_3

?.SlTlZ/l-7r=-Qp=［；

(3)解：V/\EFA^/\BFE,

.AFAE1

"EF—BE—2’

設(shè)BE=2k,

VZA￡B=90°,

：.AE1+BE2=AB2,即F+4后=32,

.,3V5

/=可’

._3/5

??AE—,

：.sin/-ABE=暫，

sinZ-CBE=sinZ-ABE=*=

9：EF//AC,

；?NCAB=NF,

sinZ-CAB=sin乙F=F，

9

CB=AB?sinZ-CAB=百，

在RtACBD中，設(shè)DC=x,BD=0,

：.DC2+BC2=BD2,即久2+(1)2=(75x)2,

._9

..久一而‘

8.【解答】(1)解：如圖，

(2)證明：'：AB=BC,

：./ADB=/EAB,

又；ZABD=ZEBA,

：.AABEsADBA；

(3)解：設(shè)BE=DE=a,則BD=2a,

AABE^/XDBA,

.ABBE

??—,

BDAB

^ABa

即—=—,

2aAB

故AB=y[2a,

在RtZXABE中，AE=^AB2+BE2=

'：ZBAE=ZCDE,NAEB=/DEC,

：.AABE^ADCE,

.ABBEAE

,?DC~CE~DE"

aV3a

即一=—二,

CDCEa

故CD=a,CE-a,

?AC=AE^~EC=y/Scc+ci=!a：

?1A。是。。的直徑，

ZACZ)=90°,

AC隼ar-

在RtAACZ)中,tm^ADC=能=為=242.

Ta

9.【解答】(1)證明，連接0C,如圖，

TAB是。。的直徑，

A

ZACB=90°,0'D

：.ZOCA+ZOCB=90°.

9：0A=0C,

：.ZA=ZOCA,

：.ZA+ZOCB=90°

■:/DCB=/CAB,

：.ZOCB+ZDCB=90°,

：.ZOCD=90°,

：.OC上CD,

TOC為。。的半徑，

???。。為。。的切線；

（2）證明：??,點(diǎn)E為彳&的中點(diǎn),

工ZACF=ZBCE.

???ZA=ZE,

???AACF^AECB；

（3）解：VZA=ZE,

1

tanA=tanZCEB=

TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

.ABC1

..tanA=—2，

設(shè)5C=a,則AC=2〃，

AB=y/AC2+BC2=逐a.

：.OC=OB=1AB=^-a.

???NO=N。，NDCB=NCAB,

J.ADCB^ADAC,

.BDBC1

99CD~AC~2

???CD=4,

:?BD=2,

：.OD=OB+BD=卓7+2.

OCLCD,

oc1+cb1=ob1,

J（字a）2+42=（字a+2產(chǎn)

,6V5

??〃=丁’

.?.8。=誓,AC=

由（2）知：AACFsAECB,

.BCCE

??—,

CFAC

:.CF?CE=BC?AC=塔x=言.

故答案為：y.

10?【解答】(1)證明：：四邊形A3。是菱形，

：.AB//CD,

:./DCH=/CHB,

'：CH±AB,

；./DCH=NCHB=90°,BPDC±CO,

又；C是O。的半徑的外端點(diǎn)，

，。。是。。的切線.

(2)證明：連接切，如圖所示，

'：FH=FH,

：.ZCEF^ZCHF,

：C8為。。直徑，

；./CFH=90°,/CHF+NFCH=90°,

'：CH±AB,

則NCH4=90°,

：.ZCAH+ZFCH^90°,

ZCAH=ZCHF=ZCEF,

又,：AB〃CD,BC//AD,

：.ZDCA^ZCAH,/CAD=ZACB,

:./DCA=NCEF,ZCAD=ZFCE,

:.ACEFsACAD.

(3)解：連接BD交AC于點(diǎn)G,如圖，

:四邊形ABC。是菱形，

11

：.AC±BDfCG=AG=^AC=6,DG=BG=^DB,AB=BC=10,

：.BG=y/BC2-CG2=V102-62=8,

:?DB=2BG=16,

菱形ABC。的面積S=^BD-AC=三x16x12=96,

11

,,S>ABC=2S=248,CH,

.ru_S_96_48

?■CH^AB=TO=T,

在RtZ\C”8中，BH=y/BC2-CH2=J102-(^)214

虧'

:第(2)問已證

又?：NFCE=/BCA,

.,.△CFEs^CBA,

：.NCFE=NCBA,

48

CH-C-24

tUTiZ-CFE=tan乙CBA=

T

11.【解答】【問題初探】證明：連接O。，如圖,

???。為麗的中點(diǎn)，

：.DE=DF,

???N1=N2.

?/OC=OD,

???N1=N3.

???N2=N3.

J.OD//CB.

：.ZADO=ZABC=90°.

???OD±AB.

???0。為。0的半徑，

???A3為OO的切線.

【深入探究】證明：連接如圖，

?；CE為。0的直徑，

：.ZCDE=90°.

???N3+N5=90°.

由(1)得：ZADO=90°,

???N4+N5=90°.

???N3=N4.

VZ1=Z3,

???N4=N1.

又,:NA=NA,

AACD^AADE.

【問題拓展】解：在RtZkCOE中，

?cosZ.L)CE1一—

：.CE=10.

：.OC=OE=5.

：.DE=VCE2-CD2=V102-82=6.

由(2)得△ACDS^ADE,

tAEDE63

"AD~CD~8~4

設(shè)A_E=3x,則AZ)=4x,AO=AE-^OE=3x+5,

在RtAAOD中，

,112

：AD+OD=AO9

即：(4x)2+52=(3x+5)2,

解得：尤=0(不合題意，舍去)或無=苧.

：.AE=3x=3x乎=岑,

.??30120

ADn=4x=4x-y-=—y~.

又=

..DE63._BD

..sniNz1l=-=-=-^smz2=麗,

BD3

即：--=一,

85

24

：.BD=管.

：.AB=4。+8。=苧+曾=符

90768

?9?AE的長為一，AB的長為—

735

12.【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

J.AB//CD,

：.ZABE=/BEC,

??,弧5C=弧BC,

：.ZBAC=ZBEC,

：.ZBAC=ZABE；

(2)證明：???A5=AC,AO經(jīng)過圓心，

：.ZBAG=ZCAG,

VOA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

9：ZBAC=ZABE9

：.ZOAB=ZOBA=ZOBG,

又/BGO=/AGB,

:?△GOBsAGBA；

(3)解：延長AO交BC于點(diǎn)H,

ZABE=ZACE=ABEC,

：.EF=FC,

..EF7

?——，

FG9

設(shè)EF=CF=1a,

則/G=9a,GE=16a,

:.BG=CG=7GF?GE=Ua,

..EF7

?——，

FG9

?S^CEF_Z

S〉CGF9’

???ZGCF=ZECF,即CF是/ECG的平分線，

???點(diǎn)F到NECG兩邊的距離相等，

?S^CEFCE7

S^CGFCG9,

'：AB//CD,

J.ACEF^AABF,

.CEEF

AB~BF'

28

~Ta7a

即---=--------，

AB12a+9a

.\AB=28a,

「EBGOG

由（2）可知：08是/ABG的平分線,同理——,

BAOA

即生=-=—,

28a7OA

：.G0=^0A,

設(shè)。。的半徑為R,

VBG2=GO-GA,

：.(