2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：阿氏圓最值模型

阿氏圓最值模型

L如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以C為圓心，6為半徑的圓上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接AD、BD、C

D,貝+BD的最小值為()

X.3V15B.4同C.5V5D.6V3

2如圖，在。O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。O上，ZAOB=90°,OA=6,點(diǎn)C在0A上，且OC=2AC,點(diǎn)D是OB的中點(diǎn),

點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為.

3如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=9,BC=4,以點(diǎn)C為圓心，3為半徑做OC,分別交AC,BC于D,E

兩點(diǎn)點(diǎn)P是。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則1P4+PB的最小值為.

4如圖在RtAABC中，AB=AC=4,點(diǎn)E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF弧上任意一點(diǎn),

連接BP,CP,則”P+CP的最小值是.

B

5如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8,NB=60。,圓B的半徑為4,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-的

最大值為.

6.如圖，在.△ABC中，乙4cB=90。,BC=12,AC=9,,以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接

AD、BD、CD,貝2AD+3BD的最小值是

7如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點(diǎn)A,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3),點(diǎn)N

的坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)則PM+.N的最小值是.

8如圖泮圓的半徑為1,AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1,BD=2,P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，孝PC+PD的最小

值是()

D

4迪B.2V2C.V5D.V5-1+—

9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,3),P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且

乙BPA=135。,則2PD+PC的最小值是.

10已知：等腰RSABC中，ZACB=90°,AC=BC=8,0是AB上一點(diǎn)，以。為圓心的半圓與AC、BC均相切，P

為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連PC、PB,如圖，則PC的最小值是.

11(1)初步思考：如圖1,在仆PCB中，已知PB=2,BC=4,N為BC上一點(diǎn)且BN=1,試證明：PN=

⑵問(wèn)題提出：

如圖2,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+巳PC的最小值

(3)推廣運(yùn)用：

如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD-搟PC的

最大值.

12如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸,y軸分別交于A,C兩點(diǎn),拋物線yx2+bx

+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B.

(1)求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積

最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+扔4的值最

小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由.

13如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,-3),且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B(8,0).

(1).求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2).求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

⑶.判斷△4B。的形狀,試說(shuō)明理由；

(4).若點(diǎn)P為0O上的動(dòng)點(diǎn)，且。O的半徑為2Vx—?jiǎng)狱c(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段A

P勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t

的最小值.

B

如圖，拋物線y=a/+bx+5與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.拋物線的對(duì)稱軸久=3與

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=依-1交于點(diǎn)D,與x軸交于點(diǎn)E.

(1).求直線AD及拋物線的表達(dá)式；

(2).在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△2DM是以AD為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為。B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+的最小值.

15.如圖所示,在△4BC中,Z.B=90°,BA=BC=2,,以B為圓心作圓B與AC相切,點(diǎn)P是圓B上任一

動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC,則.y[2PA+PC的最小值為.

16.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合=k(?0且辱1)的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波

羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C(m,0),D(0,n),點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

且OP=r,設(shè)蕓=k，求PC+kPD的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步如圖1,在OD上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=k;

第二步：證明kPD=PM-；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程倍B分)：

解：在OD上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=k,

又：NPOD=NMOP,/?△POM^ADOP.

【任務(wù)】

(1)將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

(2)如圖2,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D為AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD=2,利用(1)中的結(jié)

論，請(qǐng)直接寫出力。+|BD的最小值.

17.如圖，點(diǎn)A,B在。0上且(。2=0B=12,團(tuán)08,點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在學(xué)習(xí)筆記：OB上,

且OD=10,動(dòng)點(diǎn)P在。。上，求PC+廣。的最小值.

18.問(wèn)題提出：如圖①，在RtAABC中2C=90。，CB=4,CA=6,?C的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求

4P+aBP的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問(wèn)題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

則詈=m=|XZPCD=ZBCP,所以APCDABCP.所以\'"所以PD=；PB,所以AP+1BP=AP+

PD請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：4P+卷BP的最小值為

(2)自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求+BP的最小值；

⑶拓展延伸：如圖3,已知在扇形COD中，ZCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是CD弧上一點(diǎn)求2PA+PB

的最小值.

圖1圖2圖3

19如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(—4,—4)、5(0-4)、C(0,一6)、￡>(0--l),AB與x籥浪,以點(diǎn)E

為圓心，ED長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為。E上一動(dòng)點(diǎn)，求+CM的最小值.

20.如圖所示，拋物線與x軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C(0,3),D為拋物線的頂點(diǎn).

(1).求該二次函數(shù)拋物線解析式；

(2).坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)M到點(diǎn)B的距離為1個(gè)單位，求DM+的最小值.

1.解:在CA上截取CM,使得CM=4,連接DM,BM.：CD=6,CM=4,CA=9,.*Zk=CM=|,VZDCM=ZACD,

.'.△DCM^AACD,

DMCD22g

—=—=一,：?DM=—AD,

ADAC33

.■.IAD+BD=DM+BD,vDM+BD>s/cmtBM,即當(dāng)B、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，MB即為所求.

在RtACBM中，：ZBCM=90°,CM=4,BC=12,BM=4V10,???|/W+BD>4V10,???^AD+BD的最小值為

4VTU.故選：B.

2解：延長(zhǎng)OB至[]E,使得BE=OB,連接ME,CE.VOM=6,OD=DB=3,OE=12,.,.OM2=ODOE,

???一=—乙MOD=Z.EOM,

ODOM

???AMODAEOM,.ME=2DM,

MEOE2'

CM+2DM=CM+ME>CE,

又；在RtAOCE中，ZCOE=90°,OC=4,OE=12,

/.由勾股定理得：CE=4V10,CM+2,DM>4VTU,

；.CM+2DM的最小值為WiU,.,.答案為4V10.

3.解：在AC上截取CQ=1,連接CP,PQ,BQ,：AC=9,CP=3,.??華=[???CP=3,CQ=1,.??2=[.?.△4CP△

xlC4>3C/LO

PCQ,.-.PQ=^AP,

.?]。2+「8=。<2+。323(2,二當(dāng)鳳Q、p三點(diǎn)共線時(shí)，

(P4+PB的值最小，在R3BCQ中，BC=4,CQ=1,

QB=V17,.-.1PA+PB的最小值V17,

故答案為：V17.

B

4.解：在AB上取一點(diǎn)D,使得AD=1,連接PD,PA,CD.；PA=2.AD=1,AB=4,；.PAD=ABPA=2,；/PAT=

ZPAB,.?.△PAD^ABAP,

.PD_AP_1

??PB~AB~2’

；.PD=|PB,!PB+CP=CP+PD,?/PC+PD>DC,

在RSACD中，：NCAD=90。，AD=1,AC=4,

CD=|PB+PCNV17,

.《PB+PC的最小值為g.故答案為V17.

5.解：連接PB,在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=2,連接PG,DG,過(guò)點(diǎn)D作DHLBC交BC的延長(zhǎng)線于H.

c：r?PB=A4n,/-B?G=o2r-?,z-?BCcBGPB1

?=8,PB——=BC—=2-

又?.?NPBG=NCBP,???△PBGs/XCBP,

PG=?C,；四邊形ABCD是菱形，，AB〃CD,AB=CD=BC=8,ZDCH=ZABC=60°,

在RtACDH中，CW=1XC￡?=4,

DH=V3CH=4V3,.,.GH=CG+CH=6+4=10,

???DG=y/GH2+DH2=2V37,

???PD-^PC=PD-PG<DG,：.PD-^PC<2V37,PD一2PC的最大值為2V37.

6.解：由題意知：2AD+3BD=3+BD),當(dāng)\AD+B。取最小值時(shí)，2AD+3BD的值最小.

c

A------------------

如圖，在CA上截取CM,使CM=4,連接DM,BM,vCD=6,CM=4,CA-9,.■.—=—=:又：ZDCM=ZA

CDCA3

CD,/.ADCM^AACD,

—=—=DM=-AD,.-.-AD+BD=DM+BD,；.當(dāng)DM+BD取最小時(shí)，2AD+3BD最小.

ADCA333

當(dāng)B、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，BM即為DM+BD的最小值，在RtACBM中，：NMCB=90。，CM=4,BC=12,

BM=4V10,???1AD+BD>4V10,

■-IAD+BD的最小值為4V10,

.?.2AD+3BD的最小值是12VIU.故答案為：12dm

7.解：如圖,取0A的中點(diǎn)D,連接OP,PD,.\0D=2,0P=4,嚕=1需/嚕=焉

又NP。。是公共角,.-.APOD?△NOP,|^=|,PD=\PN,：.PM+^PN=PM+PD

：.當(dāng)M、P、D在三點(diǎn)共線時(shí)，PM+PD最小,MD即為所求作MB回。N于B,貝UBM=3,。8=6,

在RtADMB中,MD=V42+32=5,故答案是5.

8.解:連接OC、OP,在OC上中點(diǎn)E,VAC是切線,???乙4=90。,二0C=V2,0E=亨，?薄=號(hào)器=*:

—=—4EOP=/.POC,

OCOP

△OPEAOCP,.?.案=案=今.?.PE=yPC,"-PC+PD=PE+PD,當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí),PE+PD最

小，DE即為最小值.

作EF_LOA于F,EQI2B。于Q,

13

...EF=BQ=：,EQ=BF=1

DQ=泄△DEQ中，由勾股定理得:

DE=乎,故選：A.

9.解：如圖，由題意可知，P在以。為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)，取0A的中點(diǎn)E,則*=3差=漢?：

乙POE="0C,.必POE△COP,：.^=|,PE=\PC,：.2PD+PC=2(PD+|?C)=2(PD+PE)=2DE,當(dāng)PD+P

E最小時(shí)，即當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí),2PD+PC有最小值過(guò)點(diǎn)D作DF回0C于點(diǎn)F

在Rt△中,DE=V22+32=V13,

2PD+PC的最小值是2舊,故答案為：2g.

10.解：連接OP、OC,取OB的中點(diǎn)F,連接PF、CF,???Rt△48c等腰直角三角形，CO平分A.ACB,CO1AB

AC=BC=8,Z.ACB=90°,AB=8Vx

OC=OA=OB=^AB=4Vx

OP=OD=OE=171C=|BC=4,貝!]OF=^OB=2Vx.?.黑=壺=VX器=學(xué)=VX在△OPF和A

OBP中,—=—,ZPOF=Z.BOP,.-.AOPF-AOBP,.?.竺="=返

OFOPPBOP2

PF='P8,二PC+與PB=PC+PF>CF,當(dāng)且僅當(dāng)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PC+fPB取得最小值，??.CF

Dnr-iBP1T-7??ccccnrcccPNBN1

11.(1)證明：PB=2,BC=4,BN=1,.嚼=：靛=5.又.NB=NB,?必BPNjBCP.-

1

PN=^PC；

⑵.如圖2,在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,

BG_1PB_1BG_PB

PB-2'BC-PB~BC

又二乙PBG=乙PBC,PBG?△CBP

*造fPG=|PC

PD+^PC=PD+PG>DG,當(dāng)DPG三點(diǎn)共線時(shí)，PD+：PC有最小值，DG即為所求，在Rt△DCG中，

DG=VDC2+GC2=5,.-.PD+[PC的最小值是5.

⑶同⑵中證法，如圖3,

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，DG即為。。-：。。的最大值,在RtADGF中，最大值為DG=V37.

12.解：(1)直線y=-5x+5,x=0時(shí)，y=5,，C(0,5),

當(dāng)y=?5x+5=0時(shí),解得：x=l；.A(l,0)

???拋物線”-+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)L二

解得：｛b'16;拋物線解析式為y=/-6X+5

當(dāng)y=/-6%+5=0時(shí),解得：Xi=1,x2=5,.*.B(5,0).

⑵如圖1,過(guò)點(diǎn)M作MHJ_x軸于點(diǎn)H.

11

VA(1,0),B(5,0),C(0,5),.\AB=5-1=4,OC=5,SLABC=^AB-OC=|x4x5=10

，?,點(diǎn)M為x軸下方拋物線上的點(diǎn)，，設(shè)M(m,m2-6m+5)(l<m<5),MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5

???^LABM=[AB-MH=|x4(—m2+6m—5)

=-2m2+12m-10=—2(m—3)2+8,

四邊形

SAMBC=S-BC+S^ABM=10+[-2(m-3)斗8]

=-2(m-3)2+18

???當(dāng)m=3,即M(3,-4)時(shí),四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18.

(3)如圖2,在x軸上取點(diǎn)D(4,0),連接PD、CD

.?.8。=5—4=1,??.AB=4,BP=2,..?處=處=-VZPBD=ZABP,APBD^AABP,PD

BPAB2'5APBP2

=\AP,：.PC+^PA=PC+PD：.當(dāng)點(diǎn)C、P、D在同一直線上時(shí)，PC+=PC+PD有最小值，CD即為所求.

CD=Voc2+OD2=V41PC+的最小值為V41

13.解：(1):二次函數(shù).y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過(guò)C(2,-3),且與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)B(8,0),.*.c=

0，二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y=a/+bx(a中0),將C(2,-3),B(8,0)代入y=a/+bx得方程，并解得：a=：,

b=-2

二次函數(shù)的表達(dá)式為y=[/_2%；

(2)?；y=一2%=一4尸—4,.,.拋物線的頂點(diǎn)A(4,-4),設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為丫=kx+m,將A(4,

44

-4),B(8,0)代入，得：｛4。丁=二4解得：k=1直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x-8;(3)AABO是等腰直角三

8fc+m=0m=—8

角形.

方法1：過(guò)點(diǎn)A作AFXOB于點(diǎn)F,則F(4,0),

ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,

△AFO、△AFB均為等腰直角三角形”

OA=AB=4V2,ZOXF=ABAF=45。，

NOAB=90。，AABO是等腰直角三角形.

方法2:?.?△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)分別是O(O,O),A(4,-4),B(8,0),AOB=8,OA=4<2,AB=4億?.滿足O

B2=OA2+AB2,.?.△ABO是等腰直角三角形;

(3)如圖，以0為圓心，2a為半徑作圓，則點(diǎn)P在圓周上，依題意知：動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=：AP+PB,

在0A上取點(diǎn)D,使0D=/,連接PD,則在△APO和4PDO中，滿足：*=|,ZAOP=ZPOD,/.AAPO^AP

DO,.-.PDAP=OP/A=工從而得：PD=-AP,.-.t=-AP+PB=PD+PB,：.當(dāng)B、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PB取得

,,2022

最小值，過(guò)點(diǎn)D作DGLOB于點(diǎn)G,由于。。=VX且△ABO為等腰直角三角形，則有DG=1,/DOG=45。...動(dòng)點(diǎn)

E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為：

t=DB=VDG2+GB2=5V2.

14.解(1)解：:拋物線的對(duì)稱軸x=3,AB=4,.,.A(1,0),B(5,0),

將A(l,0)代入直線丫=kx-l狷k-l=0,解得k=l,

直線AD的解析式為y=x-l;

將A(1,0),B(5,0)代入y=ax2+bx+5,得：

ra+b+5=0解得?.a=1

125a+5b+5=0'蝌守,%=—6

；?拋物線的解析式為y=%2-6%+5;

(2)存在點(diǎn)M,

,直線AD的解析式為y=x-l,拋物線對(duì)稱軸x=3與x軸交于點(diǎn)E,...當(dāng)x=3時(shí),y=x-l=2,；.D(3,2).現(xiàn)在分兩種

情況討論：

①當(dāng)NDAM=90。時(shí),設(shè)直線AM的解析式為y=-x+c,將點(diǎn)A坐標(biāo)(1,0)代入得-l+c=0,解得c=l,

直線AM的解析式為y=-x+l,

聯(lián)立方程組得：｛y=-久+ly=/一6%+5,

解得｛；［；(即為A點(diǎn)坐標(biāo))或｛x=4y=-3,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3);

②當(dāng)/ADM=90。時(shí)，設(shè)直線DM的解析式為y=-x+d,將D(3,2)代入，得-3+d=2,解得d=5,.?.直線DM的解

析式為y=-x+5,

?V*^30

聯(lián)立方程組得｛y=-x+5y=x12-6x+5,解得0=5或｛乂=5y=0,

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,5)或(5,0),

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3)或(0,5)或(5,0);

(3)如圖，在AB上取點(diǎn)F,使BF=1,連接CF,

BF1PB21BFPB

PB=2.—=-.,?*—=-=-,；?—=—>

PB2AB42PBAB

又丁ZPBF=ZABP,JAPBF^AABP,

PFBF11.

—=—=一,R即nPF=-nPA,

PAPB22

1

PC+^PA^PC+PF>CF,

.??當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，

.??線段CF的長(zhǎng)即為所求的最小值，

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,

CF=VOC2+OF2=7s2+42=V41,

PC+的最小值為V41.

15.解:過(guò)B作BHXAC于H,取BC的中點(diǎn)D,連接PD,PB,AD,VAC為切線，；.BH為。B的半徑，

,/ZB=90°,AB=CB=2,；.AC=V2BA=2V2

BH=-AC=V2,.-.BP=V2,/.—=——=—,ifoZPBD=ZCBP,.".△BPD^A=

2BC2BP2BCBPPCBC

y,.-.PD=yPC,BCP,

PA+^PC=PA+PD,當(dāng)A、P、D共線時(shí)，有最小值，AD即為所求.而AD=V22+l2=?:.PA+P。的

最小值為V5,BPP4+孝PC的最小值為有則偽M+PC的最小值VTU..故答案為：V10.

16.解(1)在0D上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=k,XVZPOD=ZMOP,AAPOM^ADOP.

AMP:PD=k,；.MP=kPD,；.PC+kPD=PC+MP,當(dāng)PC+kPD取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C,P,M三點(diǎn)共

線時(shí)有最小值，利用勾股定理得：

CM=VOC2+OM2—y/m2+(fcr)2=Vm2+k2r2

⑵如圖，???AC=4,*=I，在CB上取一點(diǎn)M，使得CM=：CD=\,.證得4CDM-ACBD,

DC333

黑=黑=”MD=|BD,AD+lBD=AD+MD.?.當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，AM即為求.

DL)CDD33

在Rt△ACM中，AM=yJCM2+AC2=字AD+的最小值為苧.

17.解：如圖延長(zhǎng)OC至￡使(OE=24,連接DE,OP,

在RADOE中，OD=10,OE=24,

知唱母，又：NPO—POK

PCOP1

POC-AEOP,PE=2PC,

PD+2PC=PD+PE>DE=26,

.?.當(dāng)D、P、E共線時(shí)，DE即為PD+PE最小值在RtADOE中，DE=yjEO2+DE2=26,

.,.PD+2PC的最小值=26,

-11

???PC+^PD=1(PD+2PC),

.?.PC+^PD的最小值=13.

18.解：(1)如圖1,連接AD,

???AP+^BPAP+PD,要使AP+(BP最小，

AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,D在同一條直線時(shí),AP+AD最小，即：4P+^BP最小值為AD,在RtAACD中.CD

=1,4C=6,.-.AD='AC?+CD2=V37,AP+的最小值為后，故答案為：V37;

(2)如圖2,連接CP,在CA上取點(diǎn)E,使CE=|,二ff乙PCE=乙4CP,?必PCE△ACP,.-.喘=

PE=|TIP,1AP+BP=BP+PE,連接BE，則BE即為所求的最小值.同⑴的方法得出+BP的最小值為BE

_2歷.

一3'

(3)如圖3,延長(zhǎng)0