2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之三角形

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之三角形

選擇題（共10小題）

1.（2025?濯橋區(qū)校級(jí)四模）如圖，1是△ABC的中位線，點(diǎn)廠在08上，DF：BF=3t2,連接所并

延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)若CM=16,則線段BC的長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.12D.10

2.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,平分/ABC交AC于點(diǎn)。，DE//AB

交BC于點(diǎn)E.若CE=10,BE=6,則的周長(zhǎng)為（）

3.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在四邊形48CZ）中，AD//BC,連接AC,ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)

E是邊A8上的點(diǎn)，連接。E,CE,ZECD=45°,那么下列結(jié)論中：?ZAED=ZECB；②BC=CE；

@BE=V2XD；?ZADE=ZACE,正確的個(gè)數(shù)是（）

4.（2025?鄭州模擬）如圖，線段。G,EM,EN兩兩相交于8,C,A三點(diǎn)貝！

NN的度數(shù)是（）

NM

A.180°B.360°C.540°D.720°

5.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AC=8,ZABC=60°,ZC=45°,AD±BC,垂足為

D,/ABC的平分線交A。于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（）

4V2r-8A/2廣

A.-----B.2V2C.-----D.3V2

33

6.（2025?四川模擬）如圖，在RtZXABC中，CD是斜邊AB上的中線，若NA=26°,則N2DC的度數(shù)是

7.（2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB//CD,M、N為直線上的兩點(diǎn)，連接CN,ME上CN于點(diǎn)、E,點(diǎn)、

產(chǎn)在CN上，連接。RCF=DF,若/EMN=70°,則/。的度數(shù)為（）

8.（2025?方山縣一模）如圖，點(diǎn)尸是△A8C的重心，AB=6,連接AP,8P并延長(zhǎng)，分別交8C,AC于

點(diǎn)D,E,連接DE,則DE的長(zhǎng)為（）

A

9.（2025?蠡縣一模）珍珍用三根木棍首尾相接組成了一個(gè)周長(zhǎng)為整數(shù)的三角形，其中兩根木棍的長(zhǎng)如圖

所示，則該三角形是（）

1cm/''''''''''

4cm

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

10.（2025?陜西模擬）如圖，AD,AE分別是△ABC的高線和中線.若△ABC的面積為12,AD=4,則

的長(zhǎng)為（）

二.填空題（共5小題）

11.（2025?石家莊模擬）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為1,點(diǎn)C,。是4X4的正方形網(wǎng)格上的格點(diǎn),

以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交數(shù)軸于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)。所表示的數(shù)為.

12.（2025?鄭州模擬）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,分別以各邊為直徑作半圓,

13.（2025?烏魯木齊一模）如圖，在△ABC中，4。平分NBAC,DE±AB.若AC=2,DE=1,則SAACD

14.（2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AD,CE為等邊△ABC的兩條高，且AD與CE相交于點(diǎn)P,則圖中

的直角三角形共有個(gè).

15.（2025?津南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AB<BC,E是8c邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE、AE,過(guò)點(diǎn)。作。尸，AE交于點(diǎn)G,垂足為點(diǎn)R連接8足

（1）當(dāng)點(diǎn)G恰為8c中點(diǎn)時(shí)，則BF=.

（2）當(dāng)DE平分NBEC時(shí)，DE=V10,貝！JAb：FE=.

1

16.（2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知：如圖，在AABC中，ZA=60°,AC=^AB.求證：ZkABC是直角

三角形.

17.(2025?哈爾濱模擬)點(diǎn)O,E分別在AB,AC上，連接BE,CD,AD=AE,BD=CE.

(1)如圖1,求證：NB=NC；

(2)如圖2,連接8C,若點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫(xiě)出面積為△ABC

面積一半的所有三角形.

圖1圖2

18.(2025?寧波模擬)如圖，在△ABC中，CE_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)。在BC上，連結(jié)AO交CE于點(diǎn)RBC

=13,CE=12.

(1)求BE的長(zhǎng)；

(2)若乙4尸E=45°,AB=CF,求AE的長(zhǎng).

19.(2025?天心區(qū)校級(jí)一模)如圖，在△ABC中，。是8c上一點(diǎn)，AC=AE,E是△ABC外一點(diǎn)，ZC=

ZE,ZBAD^ZCAE.

(1)求證：BC=DE；

(2)若NBAD=30°,求的度數(shù).

C

DE

B

A

20.(2025?望城區(qū)一模)已知：如圖，是△A3C的中線，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在的延長(zhǎng)線上，且

DM=DN,

(1)求證：/XBON之△4)n；

(2)若NAMC=80°,則NN=

N

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之三角形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案cDCBCDABBB

選擇題（共10小題）

1.（2025?濯橋區(qū)校級(jí)四模）如圖，Z5E是△ABC的中位線，點(diǎn)廠在DB上，DF：BF=3：2,連接所并

延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)若CM=16,則線段BC的長(zhǎng)為（）

A.13B.14C.12D.10

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似；推理能力.

【答案】C

1

【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得OE〃BC,求出進(jìn)而證得根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)求出BM,再根據(jù)線段的和差即可求出結(jié)論.

【解答】解：???。片是△ABC的中位線，

1

J.DE//BC,DE=^BC,

；?ADEFs/\BMF,

eDEDF3

BM~BF~2

21

：.BM=^DE=與BC,

9：CM=BC+BM=16,

：.BC=129

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確記憶修改知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

2.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，在RtZxABC中，ZA=90°,8。平分/ABC交AC于點(diǎn)。，DE//AB

交BC于點(diǎn)E.若CE=10,BE=6,則的周長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】勾股定理；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)證得是直角三角形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義證得

BE=DE,利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，問(wèn)題即可得解.

【解答】解：'：DE//AB,

：.ZCDE=ZA,ZABD=ZEDB,

VZA=90°,

AZCDE=90°,

：8。平分/ABC,

ZABD=ZEBD,

：./EDB=/EBD,

:.BE=DE,

；BE=6,

:.DE=6,

在Rt/XCDE中，CE=10,

由勾股定理得CD=yJCE2-DE2="02-62=8,

：./\CDE的周長(zhǎng)是CZ）+r>E+CE=8+6+10=24,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握

這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在四邊形A3C。中，AD//BC,連接AC,NA4c=90°,A2=AC,點(diǎn)

E是邊A8上的點(diǎn)，連接。E,CE,ZECD=45°,那么下列結(jié)論中：?ZAED=ZECB；②BC=CE；

③BE=&AD；@ZADE=ZACE,正確的個(gè)數(shù)是（）

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定與

性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行逐

一判斷即可.

【解答】解：???/8AC=90°,AB=AC,

：.BC>AB,

:點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，

：.BC>CE,所以結(jié)論②錯(cuò)誤；

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

：.BC=y/AB2+AC2=y[2AC,

'：AD//BC,ZECD=45°,

：.ZDAC=ZACB=ZABC=45°,ZECD-ZECA=ZACB-ZECA,

：.ZACD=ZBCE,

:.△DACsAEBC,

.ACDC

??—,

BCEC

VZACB=ZECD=45°,

???△ABCSLDEC,

：.ZEDC=ZBAC=90°,

AA,。在以EC為直徑的圓上，

:.NAED=/ACD,NADE=/ACE,所以結(jié)論④正確;

?；ZACD=ZECB,

：.ZAED=ZECB,所以結(jié)論①正確;

■:△DACs^EBC,

BEBC

：.—=—=Vr2,

ADAC

BE=y[2AD,所以結(jié)論③正確.

綜上所述，正確的有3個(gè)，所以只有選項(xiàng)C正確，符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，含30度角

的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是證明

4.（2025?鄭州模擬）如圖，線段。G,EM,FN兩兩相交于8,C,A三點(diǎn)則

A.180°B.360°C.540°D.720°

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.

【專(zhuān)題】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得：NG+NF=/ABC+NBAC,ZM+ZN^ZABC+ZACB,ZD+

ZE=ZACB+ZBAC,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出/Z）+/E+/F+NG+NAf+/N的值即可.

【解答】解：在△ABC和aCG尸中，

ZACB=ZGCF,

：.NG+NE=ZABC+ZBAC；

在△ABC和△ANM中，

/BAC=ZMAN,

：.ZM+ZN=ZABC+ZACB；

在△ABC和△BDE中,

/ABC=/DBE,

：.ZD+ZE=ZACB+ZBAC,

：.ZD+ZE+ZF+ZG+ZM+ZN

=(ZACB+ZBAC)+CZABC+ZBAC)+CZABC+ZACB)

=2(ZABC+ZBAC+ZACB)

=2X180°

=360°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形內(nèi)角和是180。.

5.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AC=8,ZABC=60°,/C=45°,AD±BC,垂足為

D,/A8C的平分線交于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（）

4V28V2

A.——B.2V2C.D.3V2

33

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形.

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直先求出/AOC=/AD8=90°,在RtAADC>RtAADB,RtAEBD中，分別用三角

函數(shù)求出A。、BD、OE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng).

【解答】解：?..AZJLBC,

AZADC^ZADB=90°,

在RtZXADC中，AC=8,NC=45°,

.?.NC=NZMC=45°,

.?.AD=DC=ACsin45°=竽4。=4魚(yú),

在中，AZ)=4V2,ZABD=60°,

4V6

.?.BD=ADtan30°=

：BE平分/ABC,

；.NABE=/EBD=30°,

在RtZ\E8￡）中，BD=孚，ZEBD=30°,

.?.DE=BDtanSO0=苧8。=挈，

：.AE=AD-DE=孥.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查含30度角的直角三角形，掌握此性質(zhì)定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

6.（2025?四川模擬）如圖，在Rt^ABC中，C。是斜邊AB上的中線，若NA=26°,則N8DC的度數(shù)是

（）

CA

A.26°B.38°C.42°D.52°

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；三角形的外角性質(zhì).

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形.

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線定理得出8=4。，求出/OCA=NA,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求

出求出即可.

【解答】解：,C￡>是斜邊A8上的中線，

:.BD=CD=AD,

：.ZA=ZDCA=26°,

?.ZBDC=ZA+ZDCA=260+26°=52°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)三角形的外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的

理解和運(yùn)用，能求出BZ）=Cr>=A。和NOC4的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

7.（2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB//CD,M、N為直線A8上的兩點(diǎn)，連接CN,MELCN于點(diǎn)、E,點(diǎn)、

F在CN上,連接。RCF=DF,若NEMN=70°,則ND的度數(shù)為（）

AMN___B

F

A.20°B.30°C.40°D.45°

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】先根據(jù)平行線性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)求出/C的度數(shù)，再依據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出與/C

的關(guān)系，進(jìn)而求出ND

【解答】解：

:./MEN=90°.

：.ZMNE=l800-NEMN-NMEN=180°-70°-90°=20°.

'：AB//CD（已知），

：.ZC=ZMNE=20°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

,;CF=DF,

.,.ND=NC=20°（等邊對(duì)等角），

所以/。的度數(shù)為20°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角之間的關(guān)系

來(lái)求解/￡）的度數(shù).

8.（2025?方山縣一模）如圖，點(diǎn)尸是AABC的重心，AB=6,連接AP,8P并延長(zhǎng)，分別交8C,AC于

點(diǎn)D,E,連接DE,則DE的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】三角形的重心.

【專(zhuān)題】三角形；運(yùn)算能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形重心的定義，得出點(diǎn)。，E分別為8C和AC的中點(diǎn)，再結(jié)合中位線的定義及中位

線定理即可解決問(wèn)題.

【解答】解：由題知，

因?yàn)辄c(diǎn)尸是△ABC的重心，

則AD,2E是△ABC的兩條中線，

所以E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，

所以DE是AABC的中位線，

又因?yàn)锳8=6,

所以DE=加=3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的定義及中位線定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2025?蠡縣一模）珍珍用三根木棍首尾相接組成了一個(gè)周長(zhǎng)為整數(shù)的三角形，其中兩根木棍的長(zhǎng)如圖

所示，則該三角形是（）

4cm

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定.

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三條邊的范圍，再根據(jù)周長(zhǎng)為整數(shù)得到答案.

【解答】解：設(shè)第三條邊為xcs,

..,兩條邊長(zhǎng)分別為1cm,4cm,

：.4-1cx<4+1,

；.3<尤<5,

???周長(zhǎng)為整數(shù)，

故該三角形為等腰三角形,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查構(gòu)成三角形的條件，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?陜西模擬）如圖，AD,AE分別是AABC的高線和中線.若AABC的面積為12,4。=4,則

8E的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高.

【專(zhuān)題】三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積求得SAME==6,再利用三角形的面積公式求解

即可.

【解答】解：是△ABC的中線，

：.BE=CE,

：△ABC的面積為12,

?1

?,ABE=2=6,

???分別是△ABC的高線，AO=4,

1

：.-BE?40=6,

2

.DZ7_2x6_2

?*DE——3,

q

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中線性質(zhì)，三角形的面積，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2025?石家莊模擬）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為1,點(diǎn)3,C,。是4X4的正方形網(wǎng)格上的格點(diǎn)，

以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓交數(shù)軸于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)0所表示的數(shù)為1-VTU

c

【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸.

【專(zhuān)題】實(shí)數(shù)；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】1—何.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即為AP與的長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式便可求出1和

尸以及1和。之間的距離，進(jìn)而可求出點(diǎn)。表示的數(shù).

【解答】解：由勾股定理可得，AD=V12+32=

貝I」AP=AQ=V10,

:點(diǎn)4表示的數(shù)是1,

Q點(diǎn)所表示的數(shù)為

故答案為：1-VTU.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，掌握兩點(diǎn)間的距離公式為：兩點(diǎn)間的距離=較大

的數(shù)-較小的數(shù)，是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?鄭州模擬）如圖,在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,分別以各邊為直徑作半圓，

則圖中陰影部分的面積為

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【答案】6.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB長(zhǎng)，兩個(gè)小半圓面積和直角三角形的面積之和減去大半圓面積即可求出

答案.

【解答】解：：在RtZ\ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,

.\AB=y]AC2+BC2=V42+32=5,

???兩個(gè)小半圓面積和直角三角形的面積之和減去大半圓面積，

圖中陰影部分的面積為=（學(xué)）2+義兀X（空）2+義x4C.BC—2兀x（竽）2

乙乙乙乙乙乙乙

=.兀X22+^7TX（1）2+[X3X4—^兀義（1）2

=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理、圓面積公式等知識(shí)，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

13.（2025?烏魯木齊一模）如圖，在△A8C中，平分NBAC,DELAB.若AC=2,DE=l,貝USAAC。

=1

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】三角形；運(yùn)算能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。AC,垂足為凡根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得?！?。尸=1,然后利用三角形的面

積進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作QFLAC,垂足為「

平分/BAC,DELAB,DF1AC,

；.DE=OF=1,

'：AC=2,

S^ACD=^AC'DF

1

=^x2X]

=1,

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

14.(2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬)如圖，AD.CE為等邊AABC的兩條高，且與CE相交于點(diǎn)P,則圖中

的直角三角形共有6個(gè).

【專(zhuān)題】三角形；運(yùn)算能力.

【答案】6,

【分析】根據(jù)A。、CE為等邊△ABC的兩條高得到NAOC=90°,即可得到

△AOC,AADB,4CEA,4CEB,APDC,ZiPEA是直角三角形即可得到答案.

【解答】解：由題意可得：

ZCEB=ZCEA=ZADB=ZADC=90°,

.?.△ADC,AADB,ACEA,ACEB,△PDC,ZiPEA是直角三角形，

共有6個(gè).

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的分類(lèi)及高線，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

15.(2025?津南區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在矩形ABC。中，AB=3,AB<BC,E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE、AE,過(guò)點(diǎn)D作DFLAE交BC于點(diǎn)G,垂足為點(diǎn)F,連接BF.

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰為8C中點(diǎn)時(shí)，則BF=3.

(2)當(dāng)QE平分/PEC時(shí)，DE=V10,貝UAF：FE=4：1.

AD

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；運(yùn)算能力.

【答案】(1)3；

(2)4：1.

【分析】(1)延長(zhǎng)。G與交于點(diǎn)X,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得A2=C￡>=3,AB//CD,從而可得NCDG

=ZH,NDCG=NHBG,再根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得BG=CG,然后利用A4S證明△OCG^ZV/BG,

從而利用全等三角形的性質(zhì)可得8H=DC=3,進(jìn)而可得AB=BH=3,再根據(jù)垂直定義可得/4尸"=90°,

最后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NZ)CE=90°,AD//BC,再利用角平分線的性質(zhì)可得Z)P=DC=3,ZDEF

=ADEC,從而可得/ADE=/DEF,進(jìn)而可得然后在Rt△。尸E中，利用勾股定理求出所

=1,再設(shè)則AO=AE=x+l,從而在RtZXADF中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算可求出Ab的長(zhǎng)，即

可解答.

【解答】解：(1)延長(zhǎng)。G與朋交于點(diǎn)H,

H

???四邊形A8CO是矩形，

：.AB=CD^3,AB//CD,

：.ZCDG=ZH,ZDCG=ZHBG,

丁點(diǎn)G為8C中點(diǎn)，

:?BG=CG,

:?△DCGQdHBG(A4S),

:?BH=DC=3,

：.AB=BH=3,

VDG±AE,

ZAFH=90°,

1

：.BF=AB=^AH=3,

故答案為:3；

(2)??,四邊形ABC。是矩形，

：.ZDCE=90°,AD//BC,

：.ZADE=/DEC,

?；DE平分/FEC,DC1CE,DFLAE,

：.DF=DC=3,/DEF=NDEC,

：.ZADE=NDEF,

：.AD=AE,

在比中，DE=V10,

：.EF=y/DE2-DF2=J(V10)2-32=1,

設(shè)AF=x,

：.AD=AE=AF+EF=x+l,

在RtZXA。/中，AF2+DF2=AD2,

.*.X2+32=(X+1)2,

解得：％=4,

：.AF=4,

：.AF：EF=4：1,

故答案為：4：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

1

16.(2025?秦淮區(qū)校級(jí)模擬)已知：如圖，在AABC中，ZA=60°,AC=^AB.求證：ZkABC是直角

三角形.

【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程.

【分析】在A3上截取AO=AC,連接CD根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出CD=AD=AC,ZADC

=NACD=60°,進(jìn)而求出BZ)=AO=CD根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)求出NBCD=30°,

^]ZACB=ZBCD+ZACD=90°,據(jù)此即可得證.

【解答】證明：如圖，在上截取AZ)=AC,連接CD,

VZA=60°,

AACZ）是等邊是三角形，

：.CD=AD=AC,ZADC=ZACD=60°,

1

\'AC=^AB,

：.AD=

:.BD=AD=CD,

：.ZB=ZBCD,

?IZADC=ZB+ZBCD,

：.ZBCD=30°,

：./ACB=/BCD+/ACD=90°,

.?.△ABC為直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.(2025?哈爾濱模擬)點(diǎn)。，E分別在AB,AC上，連接BE,CD,AD^AE,BD=CE.

(1)如圖1,求證：/B=/C；

(2)如圖2,連接8C,若點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫(xiě)出面積為AABC

面積一半的所有三角形.

圖1圖2

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積.

【專(zhuān)題】三角形；圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答；

(2)AACD,ABCD,AABE,/XCBE.

【分析】(1)由BD=CE,推導(dǎo)出AB=AC,而即可根據(jù)"SAS”證明

ACD,則/8=/C；

(2)由點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，得貝I]SAACD=SABCO=*SAABC,由全等三角形的性質(zhì)得S

11

AABE=SMCD=^SAABC,SACBE=^SAABC,所以△AC。，ABCD,AABE,△C8E分別等于△ABC

面積一半.

【解答】(1)證明：：點(diǎn)。，E分別在A8,AC上，AD=AE,BD=CE,

：.AD+BD=AE+CE,

：.AB=AC,

在△ABE和△AC。中,

AB=AC

△A=4/,

AE=AD

：.AABE^AACD(SAS),

：.ZB=ZC.

(2)解：△AC。，ABC￡>,AABE,ACBE,

理由：??,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

：.AD=BD=

1

?'.S^ACD=SABCD=2sAABC,

由(1)得ZxABE義AACD,

.1

??S/\ABE-S/^ACD=2s△ABC,

.11

S^CBE—S/^ABC-2sz\ABC=2sAABC,

AAACD,ABCD,LABE,△CBE1分別等于△ABC面積一半.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定

理證明△ABE四△AC。是解題的關(guān)鍵.

18.(2025?寧波模擬)如圖，在△ABC中，CELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)。在BC上，連結(jié)交CE于點(diǎn)凡BC

=13,CE=\2.

(1)求BE的長(zhǎng)；

(2)若/AFE=45°,AB=CF,求AE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】勾股定理；等腰直角三角形；解一元一次方程.

【專(zhuān)題】一次方程(組)及應(yīng)用；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力.

【答案】⑴5；

【分析】(1)根據(jù)勾股定理可得答案;

(2)根據(jù)題意可得AE=EF,再設(shè)AE=無(wú)，可表示CV=12-x,AB=5+x,然后根據(jù)AB=C/得出方程,

求出解即可.

【解答】解：(1)由題意可知：CE±AB,BC=13,CE=12,

在Rt2XEBC中，由勾股定理得：BE=VBC2-CE2=5；

(2)在中，ZAFE=45°,

：.AE=EF.

設(shè)AE=x,貝i」CF=12-x,AB=5+x,

'：AB^CF,

/.5+x=12-x,

解得工=夕

：.AE

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，解一元一次方程，等腰直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題是

解答本題的關(guān)鍵.

19.(2025?天心區(qū)校級(jí)一模)如圖，在△ABC中，。是8c上一點(diǎn)，AC=AE,E是△ABC外一點(diǎn)，ZC=

ZE,ZBAD=ZCAE.

(.1)求證：BC=DE；

(2)若/54。=30°,求/B的度數(shù).

A

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

(2)75°.

【分析】(1)根據(jù)條件證△BACgZkOAE即可求證;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】(1)證明：,：ZBAD=ZCAE,

：.ZBAC=ZDAE,

ZBAC=ZDAE

在△BAC和RtADAE^AC=AE,

(zC=ZE

.,.△BACWADAE(ASA),

:.BC=DE；

(2)解：,/△BAC^ADAE,

：.AB=AD,

:./B=NBDA,

,：ZBAD^30°,ZBAD+ZB+ZBDA^180°,

：.ZB+ZBDA^150°,

.?.ZB=75°.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì).掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.

20.(2025?望城區(qū)一模)已知：如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在A￡＞的延長(zhǎng)線上，且

DM=DN.

(1)求證：ABDN絲ACDM；

(2)若NAMC=80°,則NN=1000.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答過(guò)程；

(2)100.

【分析】(1)求出BO=DC,根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；

(2)根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出NDMC=100。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】(1)證明：是△ABC的中線，

：.BD=DC,

在4BDN和△CDM中,

DN=DM

乙BDN=(CDM,

BD=CD

:?XBDN"&CDM(SAS)；

(2)解：VZAMC=80°,ZAMC+ZZ)MC=180°,

：.ZDMC=100°,

■:△BDN"ACDM,

:./N=/DMC=100°,

故答案為：100.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸上的任一點(diǎn)表

示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值就是

在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

2.解一元一次方程

(1)解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，

靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

(2)解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號(hào)，且括

號(hào)外的項(xiàng)在乘括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào).

(3)在解類(lèi)似于“ax+6x=c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類(lèi)項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即(a+b)x=c.使

方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax=b的最簡(jiǎn)形式體現(xiàn)化歸思想.將ax=b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，

方程兩邊除以的是。還是b,尤其。為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、6同號(hào)x為正，a、。異號(hào)尤為負(fù).

3.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

(2)性質(zhì)：若0C是/AOB的平分線

1

貝1|/4。。=/2。。=專(zhuān)/4。2或/402=2/4。。=2/80。.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.

4.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

5.三角形

(1)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.

(2)按邊的相等關(guān)系分類(lèi)：不等邊三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰

三角形即等邊三角形).

(3)三角形的主要線段：角平分線、中線、高.

(4)三角形具有穩(wěn)定性.

6.三角形的角平分線、中線和高

(1)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

(2)三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做

三角形的角平分線.

(3)三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

(4)三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

(5)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另

一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).

7.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即$△=得X底X高.

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

8.三角形的重心

(1)三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).

(2)重心的性質(zhì)：

①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

③重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的和最小.(等邊三角形)

9.三角形三邊關(guān)系

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短

的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，

容易忽略.

10.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

11.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角.

12.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

13.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，

在NAO8的平分線上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

14.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

15.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.【簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊】

說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線;

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.

16.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解

決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的

思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

17.等邊三角形的判定

(1)由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

(2)判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

(3)判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若己知或能求得三

個(gè)角相等則用判定定理1