2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題：猜想證明問(wèn)題 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題訓(xùn)練一猜想證明問(wèn)題

1.口/BCD中，點(diǎn)、E、尸分別在48、上，/EAF=/B=60°,AD=nAB.

(1)當(dāng)"=1時(shí)，求證：△/斯為等邊三角形；

(2)當(dāng)〃=《時(shí)，求證：N4FE=90。；

(3)當(dāng)CE=CF,DF=4,8E=3時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段環(huán)的長(zhǎng)為.

2.已知等腰AABC中，AB=AC點(diǎn)。在直線(xiàn)AB上，DEIIBC,交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E,且

BD=BC,CHYAB,垂足為H.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段AB上時(shí)，如圖1,求證BH+DE=DH；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8A的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2；當(dāng)點(diǎn)￡＞在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí),如圖3,線(xiàn)段8H,

DE,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需要證明.

答案第1頁(yè)，共48頁(yè)

3.已知：AABC是等邊三角形，點(diǎn)E在直線(xiàn)AC上，連接BE,以BE為邊作等邊三角形

BEF,將線(xiàn)段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線(xiàn)段CD,連接AF、AD、ED.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，求證：NBCE=NACD-

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，四邊形ADEF還是平行四邊形嗎？如果是，

請(qǐng)證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖1,在心AA3C中，ZACB=90°,AC=3C,點(diǎn)D,E分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M

是邊3c上的點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，過(guò)點(diǎn)M作"N//AC交AB于點(diǎn)N.

(1)觀(guān)察猜想

①若點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則也=__________;

EN

②若點(diǎn)M是線(xiàn)段3c的三等分點(diǎn)，則空=.

(2)類(lèi)比探究

將在平面內(nèi)繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接CM,AN,OM,EN,猜想在旋轉(zhuǎn)的過(guò)

程中，器的值有沒(méi)有發(fā)生變化？若沒(méi)有發(fā)生變化，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；若發(fā)生

EN

變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)解決問(wèn)題

答案第2頁(yè)，共48頁(yè)

將在平面內(nèi)繞點(diǎn)8自由旋轉(zhuǎn)，若2。=6,8河=5,當(dāng)點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí),

請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段ME的長(zhǎng).

圖1圖2備用圖

5.平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有相交和平行兩種位置關(guān)系.

⑴如圖①，若AB〃CD,點(diǎn)尸在AB、CD外部，則有/3=ZB0D,又因/BOD是/尸0D

的外角，故/BOD=/BPD+ND得NBPD=NB-ND,將點(diǎn)P移到A3、CO內(nèi)部，如圖②，

以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則NBPD、NB、之間有何數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論;

答案第3頁(yè)，共48頁(yè)

(2)在圖②中，將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)8逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線(xiàn)C。于點(diǎn)Q,如圖③，則

NBPD、NB、ND、之間有何數(shù)量關(guān)系？(不需證明)；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論求圖④中NA+/B+NC+/D+/E的度數(shù).

6.如圖1,已知AB//CD,BE平分//AD,DE平分/ADC.(NABD的度數(shù)大于90°小

于120°)

(1)求證：/BED=90。；

(2)若點(diǎn)F為射線(xiàn)BE上一點(diǎn)，ZEDF=a,ZABF的角平分線(xiàn)BG與NCDF的角平分

線(xiàn)。G交于點(diǎn)G,試用含a的式子表示/2GD的大小；

(3)延長(zhǎng)8E交CZ)于點(diǎn)，，點(diǎn)尸為線(xiàn)段BH上一動(dòng)點(diǎn)，NABF鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)與

/CD尸鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)DG交于點(diǎn)G,探究N5G。與/BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接

寫(xiě)出結(jié)論：(題中所有的角都是大于0°小于180。的角)

答案第4頁(yè)，共48頁(yè)

7.綜合與實(shí)踐：

問(wèn)題情境：在數(shù)學(xué)課上，以“等腰直角三角形為主體，以點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)為基礎(chǔ)，探究線(xiàn)段間的變

化關(guān)系”.

如圖1,在VA8C中，ZACB=90°,AC=3C,點(diǎn)E為/的角平分線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)但

不與點(diǎn)C重合，作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)2C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為尸，連接AE并延長(zhǎng)交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

連接FB并延長(zhǎng)交直線(xiàn)AH于點(diǎn)G.

探究實(shí)踐：

(1)勤奮小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)=請(qǐng)寫(xiě)出證明；

探究發(fā)現(xiàn)：

(2)智慧小組在勤奮小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段FG,EG與CE存在數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)

寫(xiě)出他們的發(fā)現(xiàn)并證明；

探究拓展：

(3)如圖2,奇異小組的同學(xué)在前兩個(gè)小組探究的基礎(chǔ)上，連接GC,得到三條線(xiàn)段GE,GC

與GF存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出.

答案第5頁(yè)，共48頁(yè)

8.如圖，在平行四邊形ABC。中，/BAO的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于廠(chǎng),

以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.

(1)求證：四邊形ECFG是菱形；

(2)連結(jié)8￡＞、CG,若ZABC=120。，則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

(3)若NA5C=90。，A5=10,AD=24,M是EF的中點(diǎn)，求OM的長(zhǎng).

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，。是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OEJL8C交3C于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)。作FGLAB交AB、CD于點(diǎn)月、G.

(1)如圖1,若BC=5,OE=3,求平行四邊形ABCZ)的面積：

(2)如圖2,若/AC3=45。，求證：AF+FO=^2EG.

答案第6頁(yè)，共48頁(yè)

10.在正方形ABCZ）中，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)8。所在直線(xiàn)上的一點(diǎn)；點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且

PA=PE,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段3。上時(shí)，線(xiàn)段PA與線(xiàn)段CE的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其它條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？

若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3,把正方形改為菱形其它條件不變，當(dāng)NA3C=12O。時(shí)，

①探究線(xiàn)段PA與線(xiàn)段CE的數(shù)量關(guān)系，并請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；

②若AB=26,CE=6,請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng).

三個(gè)

3C

圖1圖2

圖3

11.綜合與實(shí)踐：

如圖1,已知VABC為等邊三角形，點(diǎn)。，E分別在邊上,AD=AE,連接DC,尸、

。、“分別為DE、BC、。。的中點(diǎn).

AA、A

YQC

圖1函2圖3

答案第7頁(yè)，共48頁(yè)

(1)觀(guān)察猜想

在圖1中，線(xiàn)段與。河的數(shù)量關(guān)系是，/尸加。的度數(shù)是；

(2)探究證明

若把VAOE繞點(diǎn)/逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，再連接2瓦取2E的中點(diǎn)N,連接PN、

QN.

①判斷四邊形PMQN的形狀，并說(shuō)明理由；

②求ZPMQ的度數(shù)；

(3)拓展延伸

當(dāng)/BAC=90。，AB=AC=1,A￡>=AE=3,把VADE繞點(diǎn)/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3.

①四邊形PMQN為；

②請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形PM0N面積的最大值.

12.如圖1,E點(diǎn)在上，/A=ZD,ZACB+ZBED=18O°.

⑴求證：AB//CD；

(2)如圖2,AB//CD,BG平分/ABE,與NED尸的平分線(xiàn)交于//點(diǎn)，若NDEB比/DHB

大60。，求NDEB的度數(shù).

⑶在(1)的結(jié)論下，保持(2)中所求的的度數(shù)不變，如圖3,BM平分NEBK,DN

答案第8頁(yè)，共48頁(yè)

平分NCDE,作B尸〃DN,則的度數(shù)是否改變？若不變，請(qǐng)求值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

13.如圖，在VA3C中，AB=AC,ZBAC=90°,AB=5,。為底邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接A。,

(1)當(dāng)點(diǎn)E落在線(xiàn)段AB上時(shí)，直接寫(xiě)出E8,ED的數(shù)量關(guān)系：EBED.

類(lèi)比探究：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)(1)中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展延伸：

(3)在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BE=近時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CO的長(zhǎng).

答案第9頁(yè)，共48頁(yè)

14.拋物線(xiàn)y=—-1交無(wú)軸于A,8兩點(diǎn)(A在B的左邊).

(1)(2)(3)

(1)ACDE的頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上.

①如圖(1),若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是1,直接寫(xiě)出點(diǎn)A,D的坐標(biāo);

②如圖(2),若點(diǎn)。在拋物線(xiàn)上，且ACDE的面積是12,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖(3),尸是原點(diǎn)O關(guān)于拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，不平行了軸的直線(xiàn)/分別交線(xiàn)段AF,

BF(不含端點(diǎn))于G,H兩點(diǎn),若直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證FG+FH的值是定

值.

15.在正方形/BCD中，點(diǎn)￡、尸分別是邊AD和。C上一點(diǎn)，＞DE=DF,連結(jié)CE和/凡

點(diǎn)G是射線(xiàn)C3上一點(diǎn)，連結(jié)EG,滿(mǎn)足EG=EC,AF交EG于點(diǎn)M,交EC于點(diǎn)N.

(1)證明：ZDAF=ZDCE；

(2)求線(xiàn)段EG與線(xiàn)段/廠(chǎng)的關(guān)系(位置與數(shù)量關(guān)系)，并說(shuō)明理由；

(3)是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，當(dāng)川0=機(jī)//時(shí)，8C=38G?若存在，請(qǐng)求出機(jī)的值；若不存在,

答案第10頁(yè)，共48頁(yè)

請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案第11頁(yè)，共48頁(yè)

《2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題訓(xùn)練一猜想證明問(wèn)題》參考答案

1.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)V39

【分析】(1)根據(jù)菱形的判定定理得到平行四邊形/BCD為菱形，得到△/CD為等邊三角

形，證明△E4C空根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/尸=/區(qū)根據(jù)等邊三角形的判定定

理證明結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)4F至N,使DN=AD,延長(zhǎng)/尸至尸，使尸尸=/尸，延長(zhǎng)8C、NP交于點(diǎn)、H,根

據(jù)菱形的判定定理得到四邊形罰V為平行四邊形，根據(jù)(1)中結(jié)論解答；

(3)延長(zhǎng)EF交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,延長(zhǎng)FE交4B的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,作DMLFG于把

繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到求出尸E的長(zhǎng)，證明△物根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到￡尸=尸￡,得到答案.

【詳解】⑴證明：當(dāng)〃=1時(shí)，AD=AB,

平行四邊形/BCD為菱形，

AZACD=^ZBCD=60°,NC4B=60。,

.?.△/CD為等邊三角形，

：.AC=AD=AB,

:/EAF=60°,

：.ZE4E=ZCAB,

：.ZE4C=ZEAB,

在△口C和△E4B中，

AFAC=ZEAB

<AC=AB

ZFCA=ZEBA

；.AFAC2AEAB(ASA)

：.AF=AE,

又：ZEAF=60°,

...△/EF為等邊三角形；

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)/斤至N,DN=AD,延長(zhǎng)/尸至P,梗FP=AF,延長(zhǎng)8C、NP

交于點(diǎn)H,

答案第12頁(yè)，共48頁(yè)

???。尸是△4NP的中位線(xiàn)，

J.NP//AB,又AN〃BH,

???四邊形45/W為平行四邊形，

?:AB=AN,

???平行四邊形4瓦科為菱形，

由(1)可知，△力PE為等邊三角形，

■:AF=FP,

：.EF_LAPf

：.ZAFE=90°；

(3)解：如圖3,延長(zhǎng)斯交力。的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,延長(zhǎng)尸E交力B的延長(zhǎng)線(xiàn)于作。

于跖

把方G繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到

?:CF=CE,

：.ZCFE=ZCEF=30°,

■:AG//BC,

???NG=NC￡尸=30。,

:?/G=/DFG,

答案第13頁(yè)，共48頁(yè)

：.DG=DF,又DMLFG,

：.GM=MF,

在RtZkDMF中，/DFM=30°,

：.DM=^DF=2,

由勾股定理得，MF=7r)F2-DM2=273，

.,.GF=4V3,

:.PH=GF=4g,

同理，/BHE=30。,EH=3也,

：.NPHN=60°,

：.ZNPH=30°,

：.NH=^PH=2^3,

：.EN=EH-NH=V3,

由勾股定理得，PN=^]PH2-NH2=6.

PE=1PN°-EN。=屈，

；NE4E=60。,ZBAD=120°,

：./DAF+NEAB=60。,

：.ZHAP+ZEAB=60°,即/E4P=60°,

ZFAE=ZEAP,

AF=AP

在和△RIE1中，＜ZFAE=ZPAE,

AE=AE

.?.△E4E卷4R4ECSAS)

:.EF=PE=?,

故答案為：庖.

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、

旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用，正確作出輔助線(xiàn)、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見(jiàn)解析；(2)圖2：BH-DE=DH；圖3：DE-BH=DH

【分析】(1)在線(xiàn)段AH上截取HM=BH,連接CM,CD,證明aDMC會(huì)/SDEC,即可可

答案第14頁(yè)，共48頁(yè)

得DE=DM則結(jié)論可得；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取MH=BH,連接CM,DC,由

題意可證ABHC之△CHM,可得NB=NCMB,由題意可得NB=NAED,即可證

ADMC^ADEC,可得DE=DM,則可得DH=BH-DE；當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在

線(xiàn)段AB上截取BH=HM,連接CM,CD,由題意可證△BHC之△CHM,可得NB=NCMB,

由題意可得NB=NAED,即可證aDMC之△口￡€：,可得DE=DM,則可得DE=DH+BH..

【詳解】解：(1)證明：在A"上截取連接CM,CD.

CHLAB,HM=BH

：.CM=BC.

：.ZB=ZCMB.

AB=AC

：.ZB=ZACB.

?:DEHBC,

ZADE=ZB=ZAED=ZACB,

ZCDE=ZBCD.

：.ZAED=ZBMC.

：./DEC=NDMC.

■:BD=BC,

：.ZBDC=/BCD=ZEDC.

,.?CD=CD,

:.\CDM=\CDE.

???DM=DE.

：.DE+BH=DM+HM=DH.

答案第15頁(yè)，共48頁(yè)

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，DH=BH-DE

如圖：在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取MH=BH,連接CM,DC

,.?AB=AC

???ZABC=ZACB,

VBD=BC,

???ZBDC=ZDCB

?.?DE〃BC

ZE=ZACB=ZB=ZEDB

VCH=CH,BH=MH,ZBHC=ZCHM

AABHC^ACHM

ZB=ZM

???ZE=ZM

VZMDC=ZB+ZDCB,ZEDC=ZBDC+ZEDB

???NMDC=NEDC

又?.,NE=NM,DC=CD

AADEC^ADMC

ADE=DM

?.,DH=MH-DM

???DH=BH-DE

當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，DE=BH+DH

答案第16頁(yè)，共48頁(yè)

如圖在線(xiàn)段AB上截取BH=HM,連接CM,CD

VBH=HM,CH=CH,ZCHB=ZMHC=90°

AAMHC^ABHC

???ZABC=ZBMC

,.?AB=AC

???ZABC=ZACB,

VBD=BC

ZBDC=ZBCD

VBC//DE

AZBCD=ZCDE,ZACB=ZAED

AZBDC=ZCDE,ZBMC=ZAED,且CD=CD

AACDM^ACDE

???DE=DM

VDM=DH+HM

???DE=DH+BH.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定.添加恰

當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)證全等是本題的關(guān)鍵.

3.（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）四邊形ADEF是平行四邊形，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可以得到在ABCE和AACD,有兩組邊和它們的夾角對(duì)

應(yīng)相等，所以?xún)扇切稳龋?/p>

（2）與（1）同理可以得至（JAABFmACBE,結(jié)合兩對(duì)全等三角形和等邊三角形的性質(zhì)可以得

到四邊形ADEF的兩組對(duì)邊相等，從而證得四邊形ADEF是平行四邊形；

（3）采取與（2）類(lèi)似的方法可以得到四邊形ADEF還是平行四邊形.

【詳解】（1）證明：如圖，

答案第17頁(yè)，共48頁(yè)

因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形

所以CA=CB,ZC=60°

CE=CD,ZECD=60°

/.NBCE=NACD

:.NBCE=\ACD

(2)證明：如圖，

因?yàn)槿茿BC,BEF都是等邊三角形

所以3A=CB,BF=BE=EF,ZABC=ZEBF=60°

：.ZABF=ZCBE

AABF=ACBE

/.AF=CE

CE=CD,/ECD=60°

.?.AECD是等邊三角形

:.CE=ED=AF

ABCE=AACD

.?.AD=BE=EF

所以四邊形ADEF是平行四邊形

(3)解：結(jié)論：四邊形ADEF是平行四邊形

理由：如圖，

答案第18頁(yè)，共48頁(yè)

A

因?yàn)槿切蜛BC,BEF都是等邊三角形

所以BA=CB,BF=BE,ZABC=ZEBF=60°

ZABF=NCBE

AABF=ACBE

AF=EC=DE,

ZACB=ABAC=60°

/BCE=120°

又NCDE=NCED=60。

：.ZACD=120°

：.在三角形ACD和三角形BCE中，AC=BC,CD=CE,ZACD=NBCE,

：.BCE=ACD,；.AD=BE=EF,

所以四邊形ADEF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形、全等三角形、平行四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握有關(guān)圖形的

性質(zhì)和全等三角形的判定并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

4.（1）①立；②也；（2）沒(méi)有發(fā)生變化，證明詳見(jiàn)解析；（3）線(xiàn)段ME的長(zhǎng)為1或7.

22

【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)￡作即，于點(diǎn)尸，根據(jù)題意，可得出會(huì)的值，由MN〃AC得出

BA

△ENFABAC,結(jié)合EF和DM的數(shù)量關(guān)系即可求出絲的值；

EN

②方法同①；

（2）由題意可得ZMBC=NNBA，結(jié)合點(diǎn)D,E分別是BC,BA的中點(diǎn)，得出ABMDABNE,

即可求出F■的值；

EN

（3）根據(jù)當(dāng)點(diǎn)M,D,E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，分點(diǎn)在線(xiàn)段DM上和點(diǎn)在MD的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩

種情況，分別求解即可.

【詳解】解：（1）①過(guò)點(diǎn)E作所，肱V于點(diǎn)歹，如解圖1所示，則/NFE=90°,

答案第19頁(yè)，共48頁(yè)

,/AC=BC,ZACB=90°,

?BCV2

,,廟一丁

又,：MN11AC,

：.ZMNE=ZA,AENFABAC,

.EFBCV2

易證=,

"EV"BA-V

.DMBC_y[i

,?勾一礪―5

圖1

②同①，可得絲=生=也

ENBA2

（2）沒(méi)有發(fā)生變化，

證明如下:

由題圖1,可知AB肱V和ABCA均為等腰直角三角形,

???ABMN\BCA,

,BMBCV2/「口卜/A/TON

??-----==—,Z.CBA=/MBN=45,

BNBA2

：.ZCBA-ZMBA=ZMBN-ZMBA,BPZMBC=ZNBA,

又?.?點(diǎn)分別是3cA4的中點(diǎn)，

?.BD=gBC,BE=；BA,

.BDBCBM

BE~BA~BN'

：.NBMDNBNE,

.DMBM

,,京一而一丁

(3)線(xiàn)段ME的長(zhǎng)為1或7.

當(dāng)點(diǎn)M,D,E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，需分以下兩種情況進(jìn)行討論:

①當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段。M上時(shí)，如解圖2所示，VBC=6,

AC=BC=6,又?.?點(diǎn)RE分別是BCBA的中點(diǎn)，

答案第20頁(yè)，共48頁(yè)

ADE//CA,DE=-AC=3,BD=-BC=3ZBDM=ZBCA=90°,

22f

.,.在K/ABDM中，由勾股定理，得MD=JBM。-BD2=4，

ME=MD—DE=T,

②當(dāng)點(diǎn)E在MD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如解圖3所示，同①，可得MD=JBM?-BD?=4，

，ME=MD+DE=7,

綜上所述，線(xiàn)段ME的長(zhǎng)為1或7.

圖2圖3

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

三角形的中位線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些判定與性質(zhì).

5.(1)NBPD=NB+ND,見(jiàn)解析

(2)NBPD=ZBQD+ZB+ZD

(3)180

【分析】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出三角形，利用三角形外

角的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E,根據(jù)CD得出48=/BED,再由三角形外角的性質(zhì)即可

得出結(jié)論；

(2)連接QP并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出/BPE=ZB+ZBQE,NDPE=ZD+ZDQP,

由此可得出結(jié)論；

(3)由(2)的結(jié)論得：ZAFG=ZB+ZE.ZAGF=ZC+ZD.再根據(jù)

NA+NA/G+NAG尸=180。即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：不成立，結(jié)論是/8尸。=/2+/。.

延長(zhǎng)BP交CO于點(diǎn)E,

答案第21頁(yè)，共48頁(yè)

B

'：AB//CD,

ZB=/BED,

又/BPD=ABED+AD,

ZBPD=ZB+ZD；

(2)解：結(jié)論：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.

連接QP并延長(zhǎng),

.NB尸石是VBPQ的外角，/DPE是尸。。的外角,

圖③

/.ZBPE=ZB+ZBQE,ZDPE=NO+ZDQP,

NBPE+ZDPE=N3+NO+ZBQE+ZDQP,即/BPD=ZBQD+ZB+ZD；

（3）解：由（2）的結(jié)論得：ZAFG=/B+NE.ZAGF=ZC+ZD.

又?ZA+ZA尸G+ZAGb=180。

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=1SO0.

90。一a

6.（1）見(jiàn)解析；（2）ZBGD=------；（3）ZBFD+2ZBGD=360。

2

【分析】（1）由/3〃CD可得//8。+/瓦X=180。，由角平分線(xiàn)的定義和等量代換可得

ZEBD+ZEDB=90°,進(jìn)一步即可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)G在45、CD之間時(shí)，如圖2,由（1）的結(jié)論和角平分線(xiàn)的定義可推出

2Zl+2ZCZ>G=90°-a,過(guò)點(diǎn)G作G〃〃/8,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得/BGD=/1+/CDG,進(jìn)

一步即可推出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)G在/瓦。下方時(shí)，如圖3,同樣的方法解答即可；

（3）如圖4,過(guò)點(diǎn)足G分別作/W〃4B、GM//AB,則N2〃GAf〃尸N〃CD,由平行線(xiàn)的

性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義可得/BFD=/3+/5,ZBGD=Z4+Z6,然后利用角的和差整理變

形即得結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：:/臺(tái)〃。，

：.ZABD+ABDC=\^°,

,；BE平分N4BD,DE平分NBDC,

答案第22頁(yè)，共48頁(yè)

???ZEBD=-/ABD,ZEDB=-ZBDC,

22

/EBD+ZEDB=1(ZAB￡>+NBDC)=90°,

/BED=90。；

(2)當(dāng)點(diǎn)G在45、CD之間時(shí)，如圖2,VZEBD+ZEDB=90°,/ABD+/BDC=180。,

：.NABE+ZEDC=90°,BP/ABE+a+ZFDC=90°,

■:BG平分/ABE,DG平分NCQR

：?NABE=2N1,ZCDF=2ZCDGf

A2Zl+2ZCZ)G=90o-a,

過(guò)點(diǎn)G作GT/〃力8,

9JAB//CD,C.GH//AB//CD,

AZ1=Z2,ZHGD=ZCDG,

90。一a

ZBGD=Z2+ZHGD=Zl+ZCDG=------；

當(dāng)點(diǎn)G在45、CD下方時(shí)，如圖3,

同理可得：/ABE+/EDC=90。,即NZBE+a—N尸Z)C=90。,

?:BG平分N/班，DG平分NCDR

；?/ABE=2Nl,ZCDF=2ZCDGf

.\2Zl-2ZCZ)G=90o-a,

過(guò)點(diǎn)G作G打〃45,

■:AB〃CD,：.GH//AB//CD,

AZ1=Z2,ZHGD=ZCDGf

90。一a

ZBGD=Z2-ZHGD=Zl-ZCDG=---------；

2

綜上，ZBGD=--一；

答案第23頁(yè)，共48頁(yè)

D

H,

圖3

(3)如圖4,過(guò)點(diǎn)足G分別作兩〃/8、GM//AB,

,JAB//CD,：.AB//GM//FN//CD,

：.Z3=ZBFN,Z5=ZDFN,Z4=ZBGM,Z6=ZDGM,

：.ZBFD=ZBFN+ZDFN=Z3+Z5,ZBGD=ZBGM+ZDGM=Z4+Z6,

YBG平分/FBP,DG平分/FDQ,

：.Z4=1zFBP=1(180o-Z3),Z6=1zF￡>e=1(180°-Z5),

ZBFD+ZBGD=Z3+Z5+Z4+Z6

=Z3+Z5+1(180°-Z3)+1(180°-Z5)

=180°+1(Z3+Z5)

=180°+-ZBFD,

2

整理得：ZBFD+2ZBGD=360°.

故答案為：ZBFD+2ZBGD=360°.

圖4

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、平行公理的推論、角平分線(xiàn)的定義和三角形的內(nèi)

角和等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線(xiàn)、熟練掌握平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

7.（1）見(jiàn)解析；⑵FC2+EC2=2EC2,見(jiàn)解析；（3）GE+GF=CCG

【分析】（1）連接CF,證明△ACE/△BC「，即可解決問(wèn)題；

（2）連接EF,利用（1）中兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及圖形中互補(bǔ)的角推導(dǎo)

答案第24頁(yè)，共48頁(yè)

論證NEGF=90。，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題；

(3)證明RTZXCNE也RTZ^CMF,RTAGCN^RTAGCM,即可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。尸.

//

???。。平分/4。5,ZACB=90°f

ZACE=ZBCE=45°.

???￡1,/關(guān)于C5對(duì)稱(chēng)，

AZBCF=ZBCE=45°,CE=CF.

：.ZACE=NBCF.

在ZXACE和V3C廠(chǎng)中，

CA=CB

</ACE=ZBCF

CE=CF

：.AACE式ABCF(SAS).

AE=BF.

(2)解：結(jié)論：FC2+EC2=2EC2.

理由如下：連接石尸，CF.

H

■:AACEmABCF,

:.ZAEC=/BFC.

???ZAEC+ZCEG=180°,

答案第25頁(yè)，共48頁(yè)

???ZCEG+ZCFG=1SO0.

：.ZECF+ZEGF=180°.

ZECB=ZBCF=45°,

：./ECF=/EGF=9伊.

：.FG2+EG2=EF2,EF2=CE2+CF2.

,.?CE=CF,

：.FC2+EG1=2CE2.

（3）如下圖，結(jié)論GE+GF=CCG.

H

理由如下：連接CG,CF,作CMLBF于點(diǎn)F,CNLAG于點(diǎn)N,

■:AACE2ABCF,

ACN=CM,

VZCNE=ZCMF=90°,CE=CF,

ARTACNE^RTACMF.

AEN=FM,

VZCNG=ZCMG=90°,CG=CG,

RTAGCN^RTAGCM,

.\GN=GM,NCGN=NCGM=45。，

ACG=V2GN,

???GE+GF=GN-EN+GM+MF=2GN=72CG.

故GE+GF=7iCG.

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角

三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

8.（1）詳見(jiàn)解析；（2）是，詳見(jiàn)解析；（3）1372

答案第26頁(yè)，共48頁(yè)

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD,再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)證明

NCEF=/CFE,根據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=CH再由條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得

四邊形ECFG為菱形,即可解決問(wèn)題；

(2)先判斷出/AEG=120o=/DCG,再判斷出進(jìn)而得出3E=CD,即可判斷出

△BEG名LDCG(SAS),再判斷出NCGE=60。，進(jìn)而得出△BOG是等邊三角形，即可得出

結(jié)論；

(3)首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明可得。

ZDMC=ZBME,再根據(jù)ZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+/EM)=90?？傻玫?\BDM是等

腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：

:AF平分/BAD,

：.ZBAF=ZDAF,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

：./DAF=NCEF,ZBAF=ZCFE,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CE=CF,

又V四邊形ECFG是平行四邊形，

.??四邊形ECFG為菱形；

(2)?..四邊形/BCD是平行四邊形，

J.AB//DC,AB=DC,AD//BC,

?：ZABC=12Q°,

:./BCD=60。,ZBCF=120°

由(1)知，四邊形CEG尸是菱形，

ACE=GE,ZBCG=ZFCG=|ZBCF=60°,

:.CG=GE=CE,ZDCG=120°,

,JEG//DF,

ZBEG=120°=ZDCG,

?.ZE是的平分線(xiàn)，

答案第27頁(yè)，共48頁(yè)

???NDAE=/BAE,

?:AD〃BC,

：./DAE=NAEB,

：.NBAE=NAEB,

：.AB=BE,

：?BE=CD,

:ABEG”ADCG(SAS),

：.BG=DG,/BGE=/DGC,

???ZBGD=ZCGEf

\?CG=GE=CE,

△CEG是等邊三角形，

???ZCGE=6Q0,

：.ZBGD=60°,

?:BG=DG,

**?△ADG是等邊三角形；

(3)如圖3中，連接夕"MC,BD

圖3

VZABC=90°,四邊形4BCD是平行四邊形，

???四邊形48CQ是矩形，

又由（1）可知四邊形EC尸G為菱形，NEC尸=90。,

???四邊形ECFG為正方形.

*.?/BAF=/DAF,

BE=AB=DC,

???〃為斯中點(diǎn)，

???ZCEM=ZECM=45°,

：.ZBEM=ZDCM=135°,

答案第28頁(yè)，共48頁(yè)

在和△DMC中,

BE=CD

'：NBEM=ZDCM,

EM=CM

：./IBME^ADMC(SAS),

:.MB=MD,NDMC=NBME.

：.ABMD=ABME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,

.?.△8MD是等腰直角三角形.

,：AB=10,AD=2A,

BD=QAB。+AD。=A/102+242=26，

/.DM=—BD=13y/2.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形

的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn),應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法.

9.(1)30；(2)見(jiàn)解析.

【分析】(1)連接BD,求出SAOBC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出平行四邊形的面積與SAOBC

的關(guān)系求得結(jié)果；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EHLEG,與GC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H,證明△OEG/ZMZEH得OG=CH,EG=EH,

再證明AOAF經(jīng)△OCG,得AF=CG,OF=OG,進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

圖1

;平行四邊形ABCD,

；.BD過(guò)點(diǎn)O,

SZ\OBC=；BC?OE=；x5><3=—,

222

答案第29頁(yè)，共48頁(yè)

???平行四邊形ABCD的面積=4S4BC=30；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EHLEG,與GC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H,如圖2,

VOE1BC,

ZOEG+ZOEC=ZGEC+ZCEH=90°,

???ZOEG=ZCEH,

?.?NACB=45。，

???NCOE=45。，

AOE=CE,

??,平行四邊形ABCD中，AB〃CD,

XFGXAB,

AFG±CD,

ZEOG+ZECG=360°-90°-90°=l80°,

VZECH+ZECG=180°,

???ZEOG=ZECH,

AAOEG^ACEH(ASA),

AOG=CH,EG=EH,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???OA=OC,AB〃CD,

ZOAF=ZOCG,

???ZAOF=ZCOG,

AAOAF^AOCG(ASA),

???AF=CG,OF=OG,

VCG+CH=GH,

AAF+OF=GH,

VZGEH=90°,EG=EH,

.\GH=V2EG,

AAF+OF=V2EG.

答案第30頁(yè)，共48頁(yè)

AD

工

B百、？

、、、、、：I

*?1

H

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形

的面積公式，關(guān)鍵是證明全等三角形.

10.（1）CE=42PA;（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）①PA=CE；②

【分析】（1）CE=0PA由四邊/2CD為正方形，8。為對(duì)角線(xiàn)是正方形的對(duì)稱(chēng)軸，可得

AP=PC,ZR4D=ZPCD,由尸A=尸E,可得/R4D=/PED,PC=PE,再求/C尸尸=90°,由

勾股定理CE=0PA即可；

（2）CE=6PA;由四邊形ABCD是正方形，可得NADP=NCDP=135。，ZCDE=90°,

可證△A。/*△CDP（SAS）,再證△CPE為等腰直角三角形，由勾股定理位=拒產(chǎn)4即可；

（3）①PA=CE；設(shè)尸C與/E交于F,由四邊形ABCD為菱形,BD為對(duì)角線(xiàn)，可得AD=CD,

ZABD=ZCBD,可證與△C3D均為等邊三角形，再證4"）「44儀>「（545）,再證

△PCE為等邊三角形，可得CE=PC=PA即可；

②連接NC,交BD于G,由四邊形/BCD為菱形，^^ACLBD,AG=CG,BG=DG,由從。8

為等邊三角形，AB=26，可求8G=Z>G=gBD=G,由勾股定理AG=3,可得NC=2/G=6,

可證四邊形4CEP為菱形，可得尸C,由勾股定理4尸=3/，可得/￡=2/尸=66.

【詳解】解：（1）CE=?PA，

因?yàn)樗倪?BCD為正方形，8。為對(duì)角線(xiàn)是正方形的對(duì)稱(chēng)軸，

：.AP=PC,ZPAD=ZPCD,

PA=PE,

:./PAD=NPED,PC=PE,

,：NPFC=NDFE,

：.ZCPF=\80°-ZPFC-ZPCD=180°-ZDFE-ZPED=ZFDE=90°,

答案第31頁(yè)，共48頁(yè)

???AC尸E為等腰直角三角形，

22

**?由勾股定理CE=A/FC+PE=72尸。2=亞pc=V2PA;

⑵CE=42PA;

???四邊形ABC。是正方形，

ADA=DC,ZADB=ZCDB=45°,ZADC=90°,

AZADP=ZCDP=135°,ZCDE=90°,

在A4D尸和△CD尸中，

AD=CD

<ZADP=ZCDP,

DP=DP

：.AADP^ACDP(SAS),

???PA=PC,/DAP=NDCP,

,?PA=PE,

：.PA=PC=PE,

：./PAE=ZPEA=ZDCP,

ZEDC=90°,

：.ZDCP+ZPCE+/DEC=90°,

ZPEA+ZPCE+ZDEC=90°,

???/CPE=90。,

???△CPE為等腰直角三角形，

***CE=，尸。2+尸￡2=,2尸。2=叵PC=叵PA?

答案第32頁(yè)，共48頁(yè)

ADE

(3)@PA=CE；

設(shè)尸。與/￡交于尸，

???四邊形43CZ)為菱形，5。為對(duì)角線(xiàn)，

：.AD=CD,/ABD=NCBD,

???/A5c=120。，

ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,

2

???AABD與ACBD均為等邊三角形，

???ZADB=ZCDB=60°,

：.ZADP=ZCDP=120°f

在和△CZ)產(chǎn)中，

AD=CD

<ZADP=ZCDP,

DP=DP

：.AADP^ACDP(SAS),

APA=PC,/DAP=/DCP,

'：PA=PE,

：.PA=PC=PE,

：./PAE=/PEA=ZDCP,

9：ZEDC=180?！猌ADC=180°-ZABC=180°—120。=60°,

???ZCPE=\80°-ZPEF-ZPFE=180°-ZDCF-ZDFC=ZCDF=60°,

???△尸CE為等邊三角形，

：.CE=PC=PA,

②連接4G交BD于G,

答案第33頁(yè)，共48頁(yè)

?.,四邊形N8Q）為菱形，

J.ACLBD,AG=CG,BG=DG,

?.?△4DB為等邊三角形，AB=2出,

??BD=AB=2-\/3,BG=DG=—BD=6,

在火，△Z5G中，AG=NAB?—GB?=?2可―6=3,

.\AC=2AG=6,

:?AP=PE=CE=AC=6,

???四邊形4C￡尸為菱形，

：.AE.LPC,

：.AF=EF,CF=FP=-PC^-CE=3,

22

在用△/FC中，AF=^AC--CF'=,J（6）2-32=3A/3,

：.AE=2AF=6y/3.

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查探究，拓展與應(yīng)用類(lèi)型問(wèn)題，涉及正方形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練

掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵.

11.(1)PM=QM,120。；(2)①四邊形尸MQN為菱形，證明見(jiàn)解析；②NPMQ=120。；

(3)①正方形；②SpMQN最大=25

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理和三角形的外角性質(zhì)，即可得到答案；

(2)①連接CE、BD,證明△NO3空結(jié)合三角形的中位線(xiàn)定理，即可得到結(jié)論成

立；

②利用三角形的中位線(xiàn)定理，以及角的關(guān)系，運(yùn)用等量代換，即可求出答案.

(3)①結(jié)論：四邊形RWQN是正方形.連接8。，EC,延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)H,交于點(diǎn)

答案第34頁(yè)，共48頁(yè)

O.證明△048絲Z\E4c(S/S),推出BD=CE,/ABD=NACE,推出CH±BD,再證明

PM=MQ=QN=PN,/PMQ=90。即可解決問(wèn)題.

②求出EC的最大值，即可求出正方形邊長(zhǎng)的最大值，由此即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：(1)如圖1中，

：.BD=CE,ZB=ZACB=60°,

?:點(diǎn)、P,M,。分別為DE,DC,8C的中點(diǎn)，

C.MQ//BD,PM//EC,MQ=^BD,PM=gcE,

：.MQ=PM,/MQC=NB,ZDMP=ZACD,

：.ZPMQ=NPMD+Z.DMQ=ZACD+ZDCB+ZMQC=ZACB+ZB=120°,

故答案為：PM=QM-120°.

(2)①連接CE、BD,如圖

'：AD=AE,AB=AC,

：.^ADB^AAEC(SAS),

：.BD=CE,ZABD=ZACE,

:點(diǎn)尸、點(diǎn)M點(diǎn)。、點(diǎn)朋?分別是。E、BE、BC、CD的中點(diǎn),

答案第35頁(yè)，共48頁(yè)

:?PM=NQ=*CE，PN=MQ=3BD,

：.PM=NQ=PN=MQ,

???四邊形PNQM是菱形；

?*：MQ//BD,PM//EC,

：.ZMQC=ZDBQ,ZDMP=ZECD,

：.ZPMQ=ZPMD+ZDMQ=/ECD+ZDCB+ZMQC=ZECB+ZDBQ,

ZECB=ZACB-ZACE=60°-ZACE,

ZDBQ=ZABC+ZABD=60°+ZABD,

?.,ZABD=ZACE,

；.ZPMQ=60°-ZACE+600+ZABD=120°；

(3)①如圖3中，結(jié)論：四邊形PM0N是正方形.

理由：連接5。，EC,延長(zhǎng)CE交8。于點(diǎn)交”于點(diǎn)O

圖3

?.?/BAC=/DAE,

：.ZDAB=ZEAC,

?：AD=AE,AB=AC,

:.ADAB當(dāng)LEAC(SAS)f

：.BD=CE,/ABD=/ACE,

'：ZACO+ZAOC=90°,ZAOC=ZBOHf

：.ZABD+ZBOH=90°,

：.NCHB=90。,

：.CH±BD,

?:DP=PE,DM=CM,

：.PM=-EC,PM//CH,

2

答案第36頁(yè)，共48頁(yè)

,:CQ=QB,CM=MD,