北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級下冊3月考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

北京市第五中學(xué)2025學(xué)年高一下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試題

]AC—BD+CD=()

A.BAB.ABC.BCD.o

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的加減運算，即可得答案.

【詳解】由題意得AC-BD+CD=AC+CD+DB=AD+DB=AB

故選：B

2.已知集合4={%€Zpf—3x-2K0},B==V2x-l|,則AB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2}D.jx||<x<2

【答案】C

【解析】

【分析】分別通過解不等式以及求函數(shù)的定義域可得集合A,B,再求交集即可.

【詳解】因為A={xeZ|2x2-3%-2<0)=<%eZ-1<%<2>={0,1,2),

1

B=[小=—=<xx>—>

2

所以A3={1,2}.

故選：C.

兀-2

2

3.a=log{2,b=3sin—,c=2,則()

彳6

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性及特殊角的三角函數(shù)判斷范圍即可求解.

【詳解】因為c=2亂（0,1），a=logj<0,b=3x；>l,故avcvZ?.

故選：C.

4.已知非零向量d1滿足同=2忖，且(a—耳,)，則。與人的夾角為()

717C—57t2兀

A.—B.—C1.—D.—

3663

【答案】A

【解析】

【分析】由己知可得(a-b)力=0,結(jié)合已知計算可求得cos(a,b)=；,進而可求夾角.

【詳解】因為所以(a—b)/=0,所以“必―/?=o，

所以同?Wcos(a,6,_=0,因為|a|=2忖,,卜0,

所以cos(a/又因為0<(。3)<兀，所以

TT

所以。與b的夾角為

故選：A.

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用排除法求解.

【詳解】解：由e'-e-^O，解得無，0,

所以函數(shù)/(九)的定義域為(―,0)U(0,+8),

cos(TLX)

因為/(一力==一/(X),所以函數(shù)〃尤)為奇函數(shù)，排除c項;

er—e+x)

設(shè)g(x)=e'—葭，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，故當無>0時，g(x)>g(o)=o,

則當時，y=COS(7LX)>0,故〃X)>0,

當了￡邕］時,y=cos(7cv)<0,故/(x)<0,

當時，y=cos(同〉0,故/(x)>0,故排除D項；

當xe1|>3］時，_y=cos(7Lt)<0,故/(x)<0,故排除B項

故選：A.

6.VA3C中，c=百，b=l,ZB=30°,則VA3C的面積等于()

C.B或0D.3或近

224

【答案】D

【解析】

分析】由已知及正弦定理可求sinC,結(jié)合范圍Ce(O°,18O°),可得C,利用三角形內(nèi)角和定理可求

A,進而利用三角形面積公式即可計算得解.

【詳解】解：：c=石，b=l,4=30。，

R￡

...由正弦定理可得.?csinBVJX2A/3

b12

VCe(O,^-),可得C=60°或120。,

二A=180°—3—C=90°或303

S=-Z?csinA=

ABC224

故選：D.

7.已知a=(1,1),&=(1,-2),則。在b上的投影向量為()

、

j_2]_2

A.B.C.

5J5555一丁，亍與，亍

J7

【答案】A

【解析】

【分析】利用投影向量公式結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得結(jié)果.

故選：A.

8.在VABC中，"sinA>sin5"是"tanA>tan5”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】判斷由sinA>sin6能否推出tanA>tan5,再判斷tanA>tan6能否推出sinA>sinB,結(jié)合

充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.

,27171

【詳解】當人=—,5=—時，sinA>sinB,但tanAvtanjB,故“sinA>sin5"不是“tanA>tan5”的

36

充分條件；

兀2JI

當A=—,3=一時，tanA>tanB,但sinA<sinB,故“sinA>sin5"不是"tanA>tan5”的必要條

63

件；

所以"sinA>sin5”是"tanA>tan5”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.如圖所示，點。為正八邊形的中心，已知|。4卜1,點夕為線段8CCD上一動點，則AP4?的范圍是

)

D.[2-V2,l]

【答案】D

【解析】

【分析】先作出輔助線，利用三角函數(shù)值求出各邊長，考慮當點P在上運動時，求出APA3的最大

值，當點P在3c上運動時，當P與8重合時，APA3=|AsHAq取得最小值，求出最小值為

網(wǎng)2=2-夜，得到答案.

【詳解】點。為正八邊形的中心，|。4卜1,故A3=3C=1,NAOB=360°+8=45°,

取AB的中點T,連接OT,則07,AB,ZAOTZBOT=22.5°,

其中sin22.5°=Jl—c；45

2

故AT=OAsin22.5。=，AB=2AT=d2—也

其中NC8S=360°+8=45°,CDAB,

當點P在CO上運動時，過點尸過叨，48,交AB的延長線于點s,

則8S=8Csin45。=」2—夜X也=,AS=AB+BS=+,

222

則AP.AB=AS.AB=網(wǎng).網(wǎng)=卜2—應(yīng)+血）,也—夜

=2一厘32?2-吟=2一艮*2一吟八

由圖象可知，此時APAB為最大值，

當點尸在3c上運動時，AP-AB=AS-AB=^AS^AB^,

顯然當P與8重合時，4243=,5口4@取得最小值,

最小值為

所以APS5的范圍是［2—四,1］

10.已知e-02為不共線的單位向量，則以下四個向量中模最大者為(

1-11223

A.-GH—%B.?—GH—%C.—GH—

212231325152

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得-1<華是2<1，再根據(jù)數(shù)量積的運算律及作差法比較大小，即可判斷.

【詳解】因為02為不共線的非零向量，且同=日|=1，

1—11112_反7

=+ee

所以_l<q<1，因為］弓+萬02=15+5,-e?，-ex+-e2Jggr2)

23

5^+5"2

―5411

因為§+§G?e2————^-e2

…1211

所以3e>〉2e>+5S

53

+

8-8-

_1312

所以+4^2〉，

,53(131212121c

88(2525)20020012

…1323

所以二G+:e2>—gj+—e,

44552

13

所以+—e2的模最大.

故選：D.

11.已知向量a=(1—/,一1),6=11+人；；若a//b，則/=.

【答案】—2

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量平行的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】因為a〃0，

所以一=t=—2

故答案為：-2.

12.能使“sin［&+：］=sina”成立的一個a的值為.

3兀

【答案】y(答案不唯一)

【解析】

7T

【分析】將等式移項后運用和差化積公式，化簡成cos(a+§)=(),即可求得一個a的值.

【詳解】先證明和差化積公式：因sin(a+/?)=sinacos/7+cosasin氏

sin(a—/?)=sinacos°-cosasin/?,

兩式相減得，sin(a+月)一sin(a—6)=2cosasin氏

取8=2+力，0二2一尸，則有=

代入上式，即可得$［口6-$1110=2(：05^59$111—廣，證畢.

由sin。+烏=sina可得sin。+三一sina=O,gp2cos(dz+—)sin—=0,

I4；I4；88

j?j?j?

則得cos(o+—)=0,從而tz+—=E+—,kwZ,

882

可取a+'=4,解得a=理.

828

故答案為：?3兀(答案不唯一).

8

13.在AA5C中，角A&C的對邊分別是a,4c,若且/+°2=回°+。2,則/A=

,AABC的面積最大值是.

【答案】①.-②.6+36

64

【解析】

【分析】第一空：由余弦定理即可求解，第二空：由基本不等式求得be最大值，即可求解.

【詳解】由題意得cosA='+￡一匕=且,

2bc2

因Ae(0,兀)，故人=二，

由基本不等式：b-+c2>2bc，

3

得回C+3225。，所以6c4丁萬=6+3若，當且僅當匕=c時取等號,

所以SABC=工人。sinA<3.

ABC24

故答案為代，g±"

64

14.如圖，在平行四邊形ABC。中，BE+C2=O,DC=3D”DE與跖相交于。.若

AD=2,AO(3AD-2AB)=-7,則AB的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】先以ARAD為基底表示AO,再利用向量的數(shù)量積把AO《340-2A3)=-7轉(zhuǎn)化為關(guān)于,3

的方程，即可求得A3的長，

【詳解】在平行四邊形A3CD中，E是3c的中點，CF=2FD，DE與防相交于。.

設(shè)。0=2DE(0<2<1),BO=//BF(O<//<1)

AB-^AD^=[\-^A^

則AD+DO=AD+ADE=AD+AAD+AAB

AB+BO=AB+piBF=+〃AD-|AB=(1-12//)AB+//AD

3

2

由AO=AD+Z>0=AB+BO，可得+〃AD=—AD+2A5

3

，

1?---1-X=LI2=-

22-31-

則,解之得<,則AO=AD+DO=—AD+—AB

342

1—LI=2

3〃二Z

則AO.(3AD-2AB)=j^|AD+|AfiJ(3AD-2AB)=||AD|2-|AB|2=-7

又AD=2，則9—|AB『=—7,解之得|Aq=4,即AB的長為4.

故答案為：4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用不同的途徑，用基底表示向量A。.

15.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)無eR,用印表示不超過x的最大整數(shù)，則

丁=[劃稱為高斯函數(shù)，例如[一2.1]=-3,[2.1]=2.已知函數(shù)/(x)=sin|x|+|sinx],函數(shù)

g(x)="(%)]，則下列命題正確的是

①函數(shù)g。)是周期函數(shù);②函數(shù)g。)的值域是｛0,L2｝；

TfJT

③函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于X=W對稱；④方程一?g(x)=X只有一個實數(shù)根;

22

【答案】②④

【解析】

【分析】先研究函數(shù)/(X)奇偶性，作出函數(shù)/(幻的圖象，作出函數(shù)g。)的圖象判斷①②的正確性,

由特值判斷③的正確性，再分類討論判斷方程g(x)=X的根的個數(shù)得解.

【詳解】由題得函數(shù)〃x)=sinW+卜inx|的定義域為R,

f(-x)=sin卜司+|sin(-x)|=sin|x|+1sinx|=f(x),

所以函數(shù)/CO為偶函數(shù)，

當OWXWTZ■時，/(x)=sinx+sinx=2sinx；

當乃<x<2不時，/(x)=sin%-sinx=O；

當2?KxK3萬時，/(x)=sinx+sinx=2sinx；

所以函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，

所以函數(shù)g(x)的圖象如圖所示,

由函數(shù)g(X)的圖象得到g(X)不是周期函數(shù)，故選項①不正確;

所以函數(shù)g(x)的值域是{0,1,2},故選項②正確;

由gJ="(—?)]=[0]=1，g[=[/(?)]=[°】=0

所以函數(shù)g(x)的圖象不關(guān)于x=]對稱，故選項③不正確；

JT

對于方程5-g(x)=x,

當g(x)=。時，x=o,方程有一個實數(shù)根；

當g(x)=l時，x=g此時g(、)=2wl,此時方程沒有實數(shù)根；

當g(x)=2時，X=7T,止匕時g(%)=0#2,此時方程沒有實數(shù)根；

JT

故方程5超(%)=%只有一個實數(shù)根，故選項D正確.

故答案為：②④.

(1

16.己知平面上兩個向量&=(costz,sina)(0<?<n),b=——

(22)

(1)求證：向量a+b與.―匕垂直;

(2)當向量Qa+b與a—的模相等時，求a的大小.

【答案】(1)證明見解析

71

(2)OL——.

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知計算,+人乂?！?gt;)=0即可得證明.

(2)^i\y/3a+b\=\a-y/3b\,兩邊平方求解.

【小問1詳解】

證明：

因為(a+5).(a_6)=|a「-W

所以a+b與a—b垂直.

【小問2詳解】

兩邊平方，得3|。「+2盾0+卜(=同2—2屈0+31『，

整理，得2(卜|2—尼|2)+4島.》=0,

而同=忖=1,所以°g=0，

日"n6.八

即——-coscirH-----=。.

I2；2sma

即sin[a_j=0,

7C7_77L

(X-----KTI,即。=攵,71H---，K7GZ.

66

71

X0<6Z<71.

6

17.為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，春節(jié)前后，各地積極開展各種非遺展演、文化廟會活動.某地廟會每天

8點開始，17點結(jié)束.通過觀察發(fā)現(xiàn)，游客數(shù)量/(%)(單位：人)與時間九之間，可以近似地用函數(shù)

/(%)=6OOsin(s:+0)+左(@>0,帆[<])來刻畫，其中XW[8,17],8點開始后，游客逐漸增多，

10點時大約為350人，14點時游客最多，大約為1250人，之后游客逐漸減少.

(1)求出函數(shù)7(%)的解析式；

(2)臘月二十九，為了營造幸福祥和的氛圍，該廟會籌辦方邀請本地書法家書寫了950幅福字，計劃選

一時段分發(fā)給每位游客，為了保證在場的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在什么時間贈送福字？

【答案】⑴/(X)=600sin「x+：]+650,%G[8,17]

(2)選擇在12點之前或16點之后兩個時間，理由見解析

【解析】

JTJT

【分析】(1)由題意得到方程組，求出。=—,夕=—和左=650,得到答案；

66

(2)在(1)的基礎(chǔ)上得到方程，求出x=12或x=16,得到答案.

【小問1詳解】

由題意得/(10)=350,/(14)=1250,且sin(14o+0=l,

左=650

600sin(10。+夕)+左=350

兀

故＜600+左=1250,故＜10切+0=——+2左2兀,左2￡Z,

6一

兀

14口+/=/+2匕兀，勺GZ兀

14G+O=,+2勺兀，攵］€Z

又口＞0,閘＜]，

斛得CD——^(p——

66

7171

故函數(shù)/(%)的解析式為/(%)=600sin—X+—+650,XG［8,17］；

66

【小問2詳解】

兀兀3兀&

當XG[8』7]時,—X+—￡工"，3兀'

66

7171

令600sin—x+—+650=950,解得=等或6”+S=等

66

解得x=12或x=16,

結(jié)合函數(shù)圖象及xe[8,17b可得xe[8,12]或尤G[16,17],

為了保證在場的游客都能得到福字，應(yīng)選擇在12點前或16點之后兩個時間段贈送福

18.已知函數(shù)/'(jOusinn+zGsinxcosx-gcosZx,xeR.

(1)求/(%)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;

TT

(2)若與(0＜x0＜-)為/(%)的一個零點，求sin2%的值.

JI57r~(2)^^一坦

【答案】(1)T=兀，單調(diào)遞減區(qū)間為—+k7i^——+k7r%￡Z；

36"8

【解析】

【分析】

(1)利用降塞公式、輔助角公式將原函數(shù)解析式化簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解;

；然后利用JI

(2)由/(不)=0可得sin,sin2x0=sin—求解sin2%°的值.

46

【詳解】解：⑴/(%)=sin2冗+26sinxcosx——cos2%

=g(l—cos2%)+A/3sin2x-^-cos2x=y/3sin2x-cos2%+g

—2sin2x----|+—

I6)2

則了(%)的最小正周期為T=春=萬.

令工+2ATTW2九一個W四十2匕%左￡Z得，—+k7i<x<—+kn.keZ,

26236

JI\兀

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為~+k7T,—+k7vkeZ.

36

16岳1V15-A/3

=------X----------1---------X—=--------------------.

42428

【點睛】本題考查利用三角恒等變換解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題，考查利用三角恒等變換求三角函數(shù)值，難

度一般.解答時，輔助角公式，三角恒等變換公式的運用是關(guān)鍵.

19.在VABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,在①asinC=ccos[A—7]；②

(a+b+c)(b+c-a)=3bc.兩個條件中任選一個，補充在下面問題中(將選的序號填在橫線處),

已知"當

JT

(1)若=—,求/?；

4

(2)若VA3C的周長為4指，求VA3C的面積S.

【答案】(1)選①或②，都有6=3

⑵2出

【解析】

【分析】(1)若選①，由正弦定理，結(jié)合兩角和差的余弦公式可得A角，再由正弦定理可得6的值；若選

②，由余弦定理可得A角，再由正弦定理可得6的值.

(2)由題意可得〃+C的值，利用余弦定理/=^+c2—2AcosA可求出稅的值，從而可求三角形的面

積.

【小問1詳解】

若選①

tzsinC=ccosf,貝i]asinC=c^^cosA+；sinA,

人1.八

所以sinAsinC=sinCcosA+—sinA,即LinAsinC=sinCeosA，

222

由Ce(0,7i),Ae(O,7i),得sinC>0,cosAwO,

可得tanA=^/3，所以A=3.

若選②

(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則加十。?一/=兒,

所以cosA="+c2=工,由Ae(O,兀)，得4=工，

3a

ob

故VA5C中，由正弦定理/—=-----,可得〃=3.

.71.71

sin—sin—

34

【小問2詳解】

NABC中，a2=b2+c2-2Z?ccosA，

所以[乎j=b2+c2-2bcx^,

即b2+c2=bc+,(Z?+c)2=3bc+g

因為周長為a+b+c=，所以b+c=5娓,

2

2

27

代入得=3bcH-----,be=8

2

所以面積S=4bcsinA=2班.

2

20.已知函數(shù)/(幻=2爐+機工+〃的圖象過點(0,—1),且滿足/(—1)=/(2).

⑴求函數(shù)了(%)的解析式；

(2)求函數(shù)“X)在上的最大值/z(a)；

⑶若與滿足0(%0)=玉)，則稱與為函數(shù)y=0(x)的不動點.若函數(shù)g(x)=/(x)-比+f有兩個不

X,x

相等的不動點事,%,且占々>°'求『，9的最小值.

【答案】(1)/(X)=2X2-2X-1

2a—2a—1〃<—

2

11

⑵"x)L=,—a-——

2。2+6〃+3a>—

2

(3)6

【解析】

【分析】⑴根據(jù)函數(shù)/(%)的圖象過點(o,-1),得到〃=—1,再根據(jù)〃T)=〃2),由對稱性求得m

即可求解；

3331

(2)根據(jù)/(%)=2爐一2x—1=2xe[a,a+2]分aV--，——<a<——

2222

a=—,—<a<一,aN—討論求解;

2222

(3)根據(jù)不動點定義得到方程方程2*—(3+f)x+f—1=0有兩個不相等的正實根與，x2,由二次函

A=(3+z)2-8(r-l)>0

數(shù)根的分布可得到,七+々=?〉0，求解得/>1，再由

XX

12=〉0

工+上=上日=區(qū)@—2=￡1++2并結(jié)合基本不等式即可求解.

XX

X2再吃冗2122t-1

【小問1詳解】

因為函數(shù)/（%）=2%2+如+〃的圖象過點（0,-1）,所以/（。）=〃=-1,

又因為/（—1）=/（2）,所以丁―=—￡，解得加=—2,

所以函數(shù)/（尤）的解析式為/（x）=2*—2x—1

【小問2詳解】

由f(x)=2x2x^\a.a+l\,

13

當Q+2?—時，即—，

22

函數(shù)/（九）在。+2］單調(diào)遞減，所以［/（無）］max=/（4）=24一2。一1；

當時，函數(shù)/（X）在［a,a+2］單調(diào)遞增，所以［/（%），?=/（a+2）=24+6a+3；

a+l<-

31a，單調(diào)遞減，在（工,。+1

當《J'即一5<a<—Q,函數(shù)/(%)在單調(diào)遞增,

2（2

。+2〉一

2

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點x=a與對稱軸的距離比端點x=a+2與對稱軸的距離大，

所以"（x）L=/（“）=2/-2。-1；

'1I

a+l>--「（］一

當《2時，即—!<”!，函數(shù)/（可在??；單調(diào)遞減，在;,a+l單調(diào)遞增,

1222\2

a<—

［2

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點x=。與對稱軸的距離比端點x=a+2與對稱軸的距離小,

所以［/（尤）］l=/（a+2）=2〃+6a+3；

函數(shù)“X）在a,g單調(diào)遞減，在L，a+1單調(diào)遞增,

當。+1=—時，即o二—

22

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點x=a與對稱軸的距離和端點x=a+2與對稱軸的距離相等,

1

2/—2〃—1a<——

2

11

綜上所述：「/（X）]=<—CI——

22

2礦+6。+3a>—

2

【小問3詳解】

因為函數(shù)g（x）=/（x）-比+/有兩個不相等的不動點X],x2,且占>。，x2>0,

所以g（尤）=尤，即方程2Y—（3+。]+，—1=0有兩個不相等的正實根％x2,

A=（3+Z）2-8（?-l）>0

/eR

3+1八

所以%+%2=>。解得3,所以方>1,

t>1

t-1八

石工2=〉0

22（GF

為zx^+xf（苞+尤2『一2七々（西+々）2、4、^-18

XXXX

X2再2i212-12t-l

----F

t-l8

因為，>1,所以=>0,——>0,

所以口+_§_2210、一§-=4,