廣東省湛江市2024-2025學年高一年級上冊期末調(diào)研考試數(shù)學試卷（解析版）

湛江市2024-2025學年度高一第一學期期末調(diào)研考試

數(shù)學試卷

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.考查范圍：必修第一冊.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上.

3.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案信息點.作答非選擇題時，必須用黑色字

跡的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；答案不能答在試卷

上.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

?設(shè)集合A={1,3,5,7},8={x[3<x<6},則)

A{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)交集的定義求解.

【詳解】由已知4。5={3,5},

故選：B.

2.函數(shù)/(%)=2'+》—4的一個零點所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B,(0,1)C.(1,2)D,(3,4)

【答案】C

【解析】

【分析】由題易得/(1)-/(2)<0,結(jié)合函數(shù)零點存在性定理可得到答案.

【詳解】由題意知，/(0)=2°+0-4=-3<0,/(1)=21+1-4=-1<0,

/（2）=22+2-4=2>0,/（3）=23+3-4=7>0,/（4）=24+4-4=16>0,

因為〃1)"(2)<0,

所以(L2)是函數(shù)/(x)的零點所在的一個區(qū)間.

故選：C.

3.清朝末年，面對清政府的腐朽沒落，梁啟超在《少年中國說》中喊出“少年智則國智，少年富則國富,

少年強則國強”的口號.其中“國強”是“少年強”的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.

【詳解】少年強則國強；國強不一定少年強，

所以“國強”是“少年強”的必要條件.

故選：B

2x

4.函數(shù)/(x)=一下圖象大致是()

1+x-

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值即可判斷.

【詳解】以X)=-A的定義域為R，

1+x-

—2無

/(—X)=------y=-y(X),■1"/(X)為奇函數(shù)，排除C、D;

1+X

???/(1)=1＞。，排除A.

故選：B.

2

5.已知COS（乃一。）=]，貝Ucos（-e）=（）

V2T22叵

A.---B.——C.-

555

【答案】B

【解析】

2

【分析】根據(jù)誘導公式，可得cos8=-不，計算化簡，即可得答案.

2

【詳解】由cos（不一=-cos。，得COS6=—M，

所以COS（-e）=COS0=_1.

故選：B

6.已知函數(shù)/（x）=x+Lxe（l,+8）,則下列不等式恒成立的是（）

A.f（8）＞f（k2+2k+4）B.f（6）＞f[k2+2k+4）

C./（4）＜/（/+2左+4）D./（2）＜/（r+2左+4）

【答案】D

【解析】

【分析】由定義法得到函數(shù)/（九）在（1,+8）上單調(diào)遞增，然后求自變量上2+2k+4的范圍，從而得到正確

結(jié)論.

]]JQ—%

【詳解】任取1＜西＜%,則/（石）一/（%2）=玉一々+------=1I7—^（^2-1）'

*^2*^1*^2

Vxt-x2＜0,^%2＞1,f（xi）-f（x2）＜0,則/（%）在（1,+8）上單調(diào)遞增.

又左2+2左+4=（左+1）2+323＞2,所以/（2）＜/（F+2左+4）.

故選：D.

7.某放射性物質(zhì)在衰變過程中，其質(zhì)量機（單位：克）與年數(shù)1滿足關(guān)系式"2=〃%6一苻（〃%為初始質(zhì)

量，左為常數(shù)，e”2.718）.已知經(jīng)過3年，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话?，再?jīng)過6年，該放

射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的（）

1111

A.-B.-C.-D.一

3468

【答案】D

【解析】

【分析】依題意，％=3時。一3后二工，求1=9時e-"的值.

2

3k

【詳解】經(jīng)過3年，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话?，?=3時，e-=-f

2

則再經(jīng)過6年，t=9m=moe

故選：D

8.函數(shù)y=loga%+Q"—i+2（〃>0且awl）的圖象恒過定點化b）,若zn+〃=Z?—左且加>0,

91

〃>0,則—I—的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.—D.一

22

【答案】B

【解析】

【分析】先由函數(shù)過定點求出定點坐標，再利用常值代換法，借助于基本不等式即可求得.

【詳解】由y=log“x+ai+2的圖象恒過定點(左力)，可得左=1,b=3,則加+〃=2；

911/9I、，、19nm.1。9"m、

因m—l—二—(—I—)(m+n)=—(10H---1—)>—(10+2J-----)=8o,

mn2mn2mn2\mn

當且僅當機=3〃時等號成立，

[m+n=231

由《c,可解得加=一,〃=一，

m—3n22

3191

故當加=—,〃=—時，二+一的最小值為8.

22mn

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.

9.下列等式成立的是()

A.cosl5°=瓜+?B.cos415°-sin415°=

42

兀C兀.兀

tan—12cos---sin—

c—D.189=73

1+tan2—之兀

cos—

89

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用公式對每個選項進行三角恒等變換，計算結(jié)果，即可判斷.

【詳解】H^jcosl5°=cos(45°-30°)=cos450cos300+sin450sin300=+,A項正確;

4

cos4150-sin415°=(cos2150-sin215°)(cos215°+sin215°)=cos30°=，B項正確；

717C2兀

tan—tan—cos—1

8^，2sin二兀1.7iV2工….、口

cos—=-sin—=——,C項錯誤;

2兀.2兀288244

1+tan2—cos—+sin—

888

C兀.兀

2cos----sin—2cos(---)-si.n兀—/，73co兀s——

189=69---------=------------=A/3,D項正確.

717171

cos—cos—cos—

999

故選：ABD.

一曰的部分圖象如圖，貝I(

10.函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)A>0,G>0,)

B./(%)的圖象關(guān)于點對稱

57rTC

在一■—上單調(diào)遞增

o3

D."％)在［0,兀］上有2個零點

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用五點法確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項.

1717r71

【詳解】由題意A=2,f(0)=2sin(p=\,sin(p——,又—<O<—,cp=—,

2226

?一..、[2兀7L3兀

由五點法---co~\—=—，(0=2,

362

7?

所以/(X)=2sin(2尤+-),

O

2兀

最小正周期為T=—=兀，A正確；

2

■JiJIJI

/(----)=2sin(——+—)=0,B正確；

1266

xG[-----,—]時，2%+—€[-----,—],/(%)在此區(qū)間是遞減，C錯；

63622

57r11Jr

結(jié)合選項B和周期知/(石■)=/(m)=0,D正確，

故選：ABD.

ii.已知y(x)=('，—，則下列結(jié)論正確的是()

In%-2,x>0

A./(/⑴)=-3

B.函數(shù)“可單調(diào)遞增區(qū)間為(—l,0)D(0,+8)

C.當T〈左W—3時，方程/(%)=左有三個不等實根

D.當且僅當左>—3時，方程/(%)=左有兩個不等實根

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出/(I),再求出/(/(D)即可判斷A；根據(jù)函數(shù)/(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)

合的數(shù)學思想即可判斷B、C、D.

[詳解]A：f(l)=-2,所以=2)=(—2y+2x(_2)_3=—3,故A正確；

B：作出函數(shù)/(X)的圖象，如圖，由圖象可知，函數(shù)/(幻在(-1,。)和(0,+8)上單調(diào)遞增，

但不連續(xù)，所以不能用“U”的符號，故B錯誤;

C：由圖象可知，當T〈女W—3時，函數(shù)丁=/(%)與丁=左的圖象有3個交點，方程/(%)=左有3個不

等的實根，故C正確;

D：由圖象可知，當左>—3或左=T時，函數(shù)了=/。)與丁=左的圖象有2個交點，方程/(x)=左有2

個不等的實根，故D錯誤;

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.命題p：Vx>2,x2-1>0,則是

【答案】3x>2,x2-l<0

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得結(jié)果.

【詳解】因為命題P：\/》>2,爐-1〉0為全稱量詞命題，則M是七>2,必_i<o.

故答案為：3X>2,%2-1<0.

_，心smo+3cosa入

13.已知-----------=2,貝（Jtana=.

2cos。一sin。

【答案】-

3

【解析】

cin/y4-

【分析】-........-分子分母同除以cosa,求解即可.

2cos。一sma

?、工」sina+3cos。tan。+3小

【詳解】由---------；—=--------=2,

2cosa-sin。2-tana

解得tan。=—.

3

故答案為：—.

3

log(x-l),x>2f(x\_f(x)

14.若/(%)='',滿足對任意玉WW，都有八"2〃>0成立,則〃的取值范圍

(26Z-3)-9,x<2玉一%

是.

【答案】(2,3]

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，則每一段都是增函數(shù)，且x=2左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值求解.

【詳解】函數(shù)/(九)的定義域為R,

??,對任意玉都有凄工2〉0成立,

一王-九2

則函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

a>l,

<2a-3>l,解得2<〃<3,

2

log￡,l>(2?-3)-9,

二。的取值范圍是(2,3].

故答案為：(2,3],

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(2)計算(1g5)2+lg2xlg50+1g0.01；

iia+al

(3)已知〃u5—C”l—_乙鼠7氐3-求式——子1T的值.

a2+a2

17

【答案】(1)----；(2)—1；(3)—

162

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)運算的性質(zhì)進行求解即可；

(2)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可；

(3)運用完全平方公式，結(jié)合指數(shù)運算的性質(zhì)進行求解即可.

[9],391

一山[]|-216-16.

(2)vlg5O=lglO+lg5=l+lg5,lg2+lg5=lgl0=l,

.*.(lg5)2+lg2xlg50+lg0.01=(lg5)2+(l-lg5)(l+lg5)-2--l；

(ii\2

ii---?

(3)..5_-萬_?出，a2—a1=12,/.a+a~r=14，

j_-iV(---V---i

源+小=-a+4=16且層+〃'=五+方=>0,

IJI)V。

ii.a+〃T147

--

.?.Q2+q2=4，,>1-142,

〃2+〃2

16.已知sincr+cos。=加.

(1)若m=0,求tana的值；

(2)若tan21+」^=W,且求實數(shù)機的值.

tan2a3I4J

【答案】(1)1

(2)1+6

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，平方化簡可得(sine-cos戊)2=0,計算即可得答案.

(2)由題意得，可得tan20=3或;，根據(jù)。的范圍，可求得1的值，代入即可得答案.

【小問1詳解】

由sina+cosa=V^，可得(sina+cosa)2=2=2(sin2a+cos2ar)

所以(sina-cosor)2=0,即sina=cosa,

“…sina1

所以tana=-----=I

cos。

【小問2詳解】

,2I10—41021c

由tana-\-------=一,可得tana----tana+l=0,

tana33

解得tan20=3或耳，

而所以tan?a=！，解得。=工，

I4；36

mi”?71冗1+y/3

加以加=sin——FCOS—=-----.

662

17.（1）已知x<°,求4x—2+^^的最大值；

44x-5

（2）若正數(shù)尤，y滿足％2+q—2=0,求3x+y的最小值.

【答案】（1）1；（2）4

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式求得正確答案.

（2）先化簡已知條件，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】（1）由于％<*,所以4x—5<0,

4

所以4x-2+^^=4x-5+^^+3

4-x—54%—5

=--（4x-5）+^—+3<-2]-（4x-5）.^—+3=1，

LV'4x-5」V'74%-5

當且僅當—（4x—5）=^^,4x—5=—l,x=l時等號成立，

所以4x—2+^^的最大值為1.

4x—5

（2）依題意，正數(shù)x,y滿足f+q—2=0,

匚匚[、i—d+22

所以y=------=_%+一,

xx

222

所以3x+y=3x-x+—=2%+—22J2x--=4，

XX\X

2

當且僅當2x=—,x=l時等號成立，

X

所以3x+y最小值為4.

18.已知函數(shù)/(x)=3sii的最小正周期為兀，其中6y>0.

（1）求0的值;

(2)當xe一：：時，求函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間;

(3)求函數(shù)/(九)在區(qū)間0,|上的值域.

【答案】(1)(0=2

7TTT?TT1T

(2)函數(shù)/(%)的單調(diào)減區(qū)間為一Z'—q’單調(diào)增區(qū)間為-

【解析】

27r

【分析】(1)利用T=臼=兀求得

CD

JTJT

(2)根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得了(九)在區(qū)間-上的單調(diào)區(qū)間?

(3)根據(jù)三角函數(shù)值域的求法，求得了(九)在區(qū)間上的值域.

【小問1詳解】

由函數(shù)/(%)的最小正周期為兀，?>0,所以7=&=無，可得。=2,

CD

【小問2詳解】

由⑴可知/(x)=3sin(2x—W),

7171

當xe,有—工K2x〈工，<2x--<-,

45422363

當一,可得—工上,

26364

兀兀/\71717171

故當xe時，函數(shù)/(九)單調(diào)減區(qū)間為一7二,單調(diào)增區(qū)間為一二,二

4664

【小問3詳解】

當XC0/,有°<2E'-受7171571

666

可得一］1Vsin12元一看卜1,

2

3

有-54/(X)W3，

「冗]「3-

故函數(shù)〃龍)在區(qū)間0,-上的值域為一彳,3.

19.已知函數(shù)/(%)的定義域?！?0,+8),且對任意西,々€。，當藥<%2時，

/(x1)-f(x2)>log2F恒成立，則稱/(%)為。上的T函數(shù).

(1)若定義在(0,+