中考數(shù)學高頻考點專項練習：銳角三角函數(shù)（一）

中考數(shù)學高頻考點專項練習：專題十八考點41銳角三角函數(shù)

1.將正方體的一種展開圖按如圖方式放置在直角三角形紙片ABC上，則tan5的值等于（）

2.在中，ZB=90°,cosA=—，則sinA=()

3.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到

△AB'C,使點C'落在AB邊上，連結(jié)89,貝hosNB'BC的值為（）

4.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、。都在這些小正方形的頂點上，AB.

CD相交于點0,則cos/AOD=（）

5.如圖，△AC5中，NAC8=90。，AADC=/3,ZB=a,AB=a,則3￡>=()

A

B.---------

tan/?-tanor

-asma

C.acosa------D.acosa-asina-a-tan(3

tanp

6.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與5。相交于點。，ZABD=60°,AE±BD,垂足為

點E,R是0c的中點，連接所，若EF=26，則矩形ABCD的周長是（）

C.473+8D.8V3+8

7.勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀,

是世界公認最巧妙的方法.“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學成就的一個重要標志，千百年來倍

受人們的喜愛.小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG,OG.若正方形ABC。與跳GH的

邊長之比為君：1,則sin/DGE等于（）

A.叵B.—C.—D.-75

105105

8.已知直線〃/“〃小且相鄰的兩條平行直線間的距離均等，將一個含45。的直角三角板按圖

示放置，使其三個頂點分別在三條平行線上，則cosa的值是（）

1

B小廠275

A-C.-----

525

9.“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊

乘積之和.如圖，。。中有圓內(nèi)接四邊形ABCD,已知8。=8,CD=5,AB=6,

ZBDC=6Q°,則AT>=()

C8瘧-7D8后-8

,7-7

10.我國是最早了解勾股定理的國家之一，東漢末年數(shù)學家劉徽在為《九章算術》作注中依據(jù)

割補術而創(chuàng)造了勾股定理的無字證明“青朱出入圖”，移動幾個圖形就直觀地證明了勾股定

理，如圖，若Cfi=9,CG=12則tanNFE7=.

H.定義一種運算；sin(a+/?)=sinacos/?+cos。sin/,sin(c-J3)=sinacos(3-cosasin0.例

如：當。=45。，，=30。時，sin(450+3(T)=乎+后,則sinl5。的值為

12.如圖，過點4(2,0)作直線機：y=#x的垂線，垂足為點A,過點兒作A&Lx軸，垂足

為點4，過點人作&A_L"z,垂足為4，…，這樣依次下去，得到一組線段4A，A4,

&A，…，則線段40224023的長為.

4/m

^0

13.如圖，在△回(?中，分別以AB,AC為斜邊在同側(cè)作兩個等腰直角△ADB與△AEC,若

點。是AAEC的重心，則tanABAC=.

A^-------------

14.如圖，A3是圓。的直徑，PB,PC是圓。的兩條切線，切點分別為3,C,延長A4,PC

相交于點D.

(1)求證：ZCPB=2ZABC.

9

(2)設圓。的半徑為2,sin/PBC=—,求PC的長.

3

15.如圖，在RtZVlBC中，ZACB^9Q°,ZA<ZB.

(1)在AB的延長線上，求作點。，使得△CBDsS(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若AB=5,SAABC=5,求tan/CDB的值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：如圖，先標注頂點，:FHIIBC,

ZEFH=ZB,

FH1

在RtZ\EE?/中，tanZEFH=——=—,

FH2

tanB——.

2

4、

故選：B.

2.答案：A

io

解析：在中，NB=90°,cosA=—,

13

:.^AB=12k,AC=13k,

BC=y/AC2-AB2=,(131)2-(121)2=5k,

,BC5k5

sinAA-----------——,

AC13k13

故選：A.

3.答案：C

解析：在中，

AB=YJAC2+BC2=5,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC'=AC=3,C'B'=CB=4,

C'B=AB-AC'=2,

BB'=slCB'2+C'B2=2也,

rrC'B

cosZBBC=-----------產(chǎn)--------.

BB'2455

故答案為：C.

4.答案:D

解析：如圖，連接BE,AE.則防=正，AB=V10.

???CD,BE,AE都是正方形的對角線，

ZCDE=ZBEF=ZAEG=ZBEG=45°.

:.CD//BE,ZAEB=ZAEG+ZBEG=90°.

:.ZAOD=ZABE,ZVLBE是直角三角形.

:.cosZAOD=cosZABE=—=^=—.

ABV105

故選：D.

5.答案：C

解析：ZACB=90°,ZADC=/3,ZB=a,AB=a,

BC

.■.COsB=eosa=^

ABa

則BC=acosa，

而sin5=sina=皿=任

ABa

故AC=a?sina,

Ar

tanZADC=tanB------

DC

ACa-sina

DC=------=----------,

tan°tan/?

則3。=BC-DC=acose-夕,ma

tanp

故選：C.

6.答案：D

解析：?.?四邊形ABCD是矩形，

OA-OB，

-.?ZABD=60°,

△ABO為等邊三角形，

AE±BD,

.?.點E為08中點，

?.?R是0c的中點，若EF=2百,

BC=2EF=46,

ZABD=60°,

ZCBD=30°,

CD=BC.tan/BCD=4舟昱=4,

3

.?.矩形鉆。。的周長=2（30+0）=2（46+4）=86+8,

故選：D.

7.答案：A

解析：過點。作ND_LGE交GE的延長線于點N,

由題意可得，兩個正方形之間是4個相等的三角形，

設AASG的長直角邊為a,短直角邊為6,大正方形的邊長為氐，小正方形的邊長為x,

即ED-BG=HC=AF=b,AG-BH=CE=DF=a,EG=-Jib,

由題意得，卜'”（A）,解得ja=2x,

a-b=x[b=x

在△GDE中，EG=41GH=yflb,則NE=7VD==也6=也%,

222

EG=41GH=A/2（?-Z＞）=y/2x,

A/2

ND—X1

則tanZDGE2

GN2^2x+y/2x3

sinZDGE=典,

10

故選：A.

8.答案：A

解析：如圖:過點A作A。，"于。，過點3作于E，

AD_LZ3,BEJ./3,

ZA￡>C=ZBEC=90°,

vZCAD+ZACD=90°,ZBCE+ZACD=90°,

NCAD=NBCE,

在等腰直角△ABC中，AC=BC,

在△ACD和△CBE中，

ZADC=ZBEC

<ZCAD=NBCE,

AC=BC

AACD^ACBE(AAS),

CE=AD=2,

在Rt^BCE中，BC=VBE2+CE2=A/12+22=75,

sina=^1_V5

BC

故選：A.

9.答案:B

解析：過點3作BE,CD,垂足為E,過點3作BG,AC,垂足為G,

A

D

?.?ZBDC=60°,

：.ZBDC^ABAC=60°,

在RtABOE中，BD=8,

DE=BD-cos60°=8x—=4,

2

BE=5Dsin60°=8x—=473,

2

-,-CD=5,

：.CE=CD-DE=5-4=1,

在R35CE中，BC=yjBE2+CE2=7（4A/3）2+12=7,

在Rtz^ABG中，AG=ABcos60°=6x-=3,

2

5G=ABsin60°=6x—=3^,

2

在RtABCG中，CG=yjBC2~BG2=772-（3^）2=722,

:.AC=AG+CG=3+y/?2,

?.?四邊形ABC。是0。的內(nèi)接四邊形，

：.ADBC+ABCD=ACBD,

.-.7AD+6x5=8（3+V22）,

解得：A￡>=8^22-6

7

故選：B.

10.答案：-/0.75

4

解析：???四邊形5H/E,ECGB均為正方形，

:.CE=CG=12,ZBEI=ZBCE=90°,

ZBEC+ZCEI=ZFEI+ZCEI=90°,

ZBEC=/FEI,

tanZFEI=tanZBEC=-----=一=—

CE124

故答案為：

V6-V2

IL答案:

4

解析：sinl50=sin(45°-30o)

=sin45°cos30°-cos45°sin30°

0百亞1

-------X------------------X-

2222

_V2

-4T

4

A/6—A/2

故答案為:

4

解析：?.?點A(2,0),

OAQ=2,

???>=『，

tan,

3

幺。4=30°,N&44=30°,N444=30°,ZA444=30°,

4A=04?sin30°=1,

44=44-cos30°

4A3=44?cos30°=

A3A4=4A3,cos30°=

二可推導一般性結(jié)論：4AM=由

-A2022A2023—?,

\/

（反產(chǎn)

故答案為：當.

13.答案:1

解析：連接ED并延長交AC于M,過。作ONJ_AE,

?.?點。是△AEC的重心，

:.ED=2DM,AM=CM,

^DM=x,則田=2￡>M=2x,

分別以AB,AC為斜邊在同側(cè)作兩個等腰直角△ADfi與AAEC,

:.Z\AME>△￡)%￡是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=450-ZDAC,

；.AM=CM=EM=3x,AE=372%,EN=DN=^DE=?x,

2

:.AN=AE-EN=2y[2x,

..tanN8AC=tanZDAE=里==L

AN2y/2x2

故答案為：

2

14.答案：（1）見解析

(2)PC=1^

解析：(1)證明：如圖1,連接0C,

D

PB,PC是圓。的兩條切線，

:.PC=PB,/PCO=/PBO=9Q0,

ZCPB+ZBOC=18Q°,

ZDOC+ZBOC=180°,ZCPB=ZCOD,

?：OB=OC,:.NCOD=2ZABC,ZCPB=2ZABC.

圖2

由切線長定理可得Pfi=PC,NCPO=NBPO,

又：PE=PE,:.APEC咨APEB,

NPEC=NPEB=90。,

ZPBO=90°,ZPOB=ZPBE.

2

?/OB=2,sinZPBC=-,

3

4

:.BE=OBsinZPOB=-,

3

OE=y/OB2-BE-=-s/5,cosZPOB=—,

3OB3

.PB=BE=-^5,:.PC=-45.

cosZPBC55

15.答案：(1)見解析

(2)2

4

解析:(1)利用尺規(guī)作圖

如圖,點D為所求.

?;ZBDC=/CDA,

:.Z\CBD^Z\ACD；

(2)法一：

如圖，過點C作。0LAB于點過點3作BNLCD于點N.

:.-ABCM=5,

2

:.CM=2.

\-ZBCM^900-ZCBA,ZA=900-ZCBA,

:.ZBCM=ZA,

/n-4BMCM

.,.tanZ.BCM-tanA,H即n---=----,

CMAM

BM2

"2一5—BM，

解得5河=1,（BM=5舍去）.

設BD=x,CD=y,

VZBCD=ZA,ZCDB=ZADC,

:.Z\CBD^Z\ACD,

CDBD

'^