江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

萍鄉(xiāng)市2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)?姓名?考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷?答題卡一并收回.第Ⅰ卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若滿足，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知某扇形的圓心角為，其所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（）A B. C.1 D.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.25 C. D.204.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度5.在中，若，則的面積等于（）A. B. C. D.6.在矩形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.7.下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法，不正確的是（）A.最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.點(diǎn)為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.定義域?yàn)?.已知在等腰中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值的差為（）A.4 B.2 C. D.二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則滿足不等式成立的的集合有（）A. B. C. D.10.已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其面積為，若，則下列說(shuō)法正確的有（）A若，則有兩組解B.若，則有一組解C.若，則邊的中線長(zhǎng)為D.若，則邊中線長(zhǎng)為311.在三角形中有如下結(jié)論：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，則.根據(jù)上述結(jié)論，下列說(shuō)法正確的有（）A.若是的重心，則B.若是的內(nèi)心，則C.若，則D.若是的外心，且，則第II卷注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共2頁(yè)，須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量.則__________；在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.13.萍鄉(xiāng)是秋收起義策源地，1927年毛澤東在安源主持召開(kāi)秋收起義軍事會(huì)議，并于9月9日親自發(fā)動(dòng)和領(lǐng)導(dǎo)了秋收起義，第一次高舉起工農(nóng)革命軍的旗幟.如圖，兩點(diǎn)相距36米，與秋收起義紀(jì)念碑（底部不可到達(dá)）的底部在同一水平直線上，利用高為0.3米的測(cè)角儀器，在兩點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑的頂點(diǎn)的仰角分別為和，則該紀(jì)念碑的高度__________米.14.若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，向量與共線，求的值.17.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸和與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且的圖像過(guò)點(diǎn).（1）若是奇函數(shù)，求的最小值；（2）令，記在區(qū)間上的零點(diǎn)從小到大依次為，求的值.18.如圖，游客從萍鄉(xiāng)武功山旅游景區(qū)的金頂處下至處有兩種路徑：一種是先從沿索道乘纜車(chē)到，再?gòu)难刂本€步行到；另一種是從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從金頂處下山，甲沿勻速步行，速度為：在甲出發(fā)后，乙從乘纜車(chē)到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，，，.（1）乙在到達(dá)之前，乘纜車(chē)出發(fā)多少分鐘時(shí)，與甲的距離最短？（2）若，為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19.設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量的夾角為，定義運(yùn)算“”：.（1）若向量滿足，求值；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，若，用表示，并化簡(jiǎn)：若點(diǎn)，求的值；（3）若向量，求的最小值.

萍鄉(xiāng)市2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)?姓名?考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷?答題卡一并收回.第Ⅰ卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若滿足，則的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號(hào)判斷即可得答案.【詳解】由可知的終邊在第三象限或第四象限或y軸負(fù)半軸上，由，可知的終邊在第一象限或在第三象限，則的終邊在第三象限，故選：C.2.已知某扇形的圓心角為，其所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依題意先求出扇形半徑，再求扇形面積即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，依題意，，解得，則該扇形的面積為.故選：B.3.已知向量，，若，則（）A.5 B.25 C. D.20【答案】A【解析】【分析】先由求得參數(shù)的值，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)計(jì)算公式即得.【詳解】由可得，解得，則，于是，則.故選：A.4.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)圖象平移規(guī)律“左加右減”即可解決.【詳解】因，所以只需將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象.故選：C5.在中，若，則的面積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式求解.【詳解】在中，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的面積為.故選：D6.在矩形中，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形利用向量的加減數(shù)乘運(yùn)算將所求向量用基底表示即可.【詳解】如圖，.故選：C.7.下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法，不正確的是（）A.最小正周期B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.點(diǎn)為其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.定義域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)的內(nèi)容逐一判斷即可.【詳解】對(duì)函數(shù)：由，，，所以函數(shù)定義域?yàn)椋海挥?，所以函?shù)的最小正周期為；由，，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為；因?yàn)?，所以點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心.綜上可知：D是錯(cuò)誤的.故選：D8.已知在等腰中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值的差為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立函數(shù)關(guān)系，進(jìn)出求出最值即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，在等腰中，，則，令，則，，，當(dāng)時(shí)分別取得最大值和最小值，所以的最大值與最小值的差為.故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則滿足不等式成立的的集合有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先解給出的不等式，再根據(jù)集合之間的關(guān)系進(jìn)行選擇.【詳解】因?yàn)?，所?由或或，所以所給不等式的解集為.所給的4個(gè)選項(xiàng)中，只有AD兩個(gè)集合是的子集，所以只有AD能使不等式成立.故選：AD10.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其面積為，若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則有兩組解B.若，則有一組解C.若，則邊的中線長(zhǎng)為D.若，則邊的中線長(zhǎng)為3【答案】BC【解析】【分析】用余弦定理解三角形，求邊的長(zhǎng)度，可判斷AB的真假；用向量表示邊的中線，利用余弦定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求中線的長(zhǎng)，判斷CD的真假.【詳解】因?yàn)?，根?jù)三角形的面積公式，可得.由正弦定理得：，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，，所以.當(dāng)，由余弦定理：得：，所以，又，所以，即只有一組解，可知A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?由余弦定理：.設(shè)中點(diǎn)為，如下圖所示：則.所以，所以，即邊的中線長(zhǎng)為，可知C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC11.在三角形中有如下結(jié)論：已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，則.根據(jù)上述結(jié)論，下列說(shuō)法正確的有（）A.若是的重心，則B.若是的內(nèi)心，則C.若，則D.若是的外心，且，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可判斷A的真假；結(jié)合三角形內(nèi)心與三角形面積之間的關(guān)系，可判斷B的真假；確定點(diǎn)位置，可判斷C的真假；結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)與三角形的面積公式可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：若為的重心，則，結(jié)合，所以，故A正確；對(duì)B：若為的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：因?yàn)?，所以，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則,因三點(diǎn)共線，所以.設(shè)，則，，,所以，故C正確；對(duì)D：如圖：因?yàn)闉榈耐庑?，且，設(shè)外接圓半徑為，則，，，，所以，同理，，結(jié)合，可得.又，所以，故D正確.故選：ACD第II卷注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷共2頁(yè)，須用0.5毫米的黑色墨水簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量.則__________；在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】①.##②.【解析】【分析】由條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的關(guān)系由條件求，再由投影向量的定義求在在的投影向量的坐標(biāo).【詳解】由.又.所以在上的投影向量的坐標(biāo)為：.故答案為：；13.萍鄉(xiāng)是秋收起義策源地，1927年毛澤東在安源主持召開(kāi)秋收起義軍事會(huì)議，并于9月9日親自發(fā)動(dòng)和領(lǐng)導(dǎo)了秋收起義，第一次高舉起工農(nóng)革命軍的旗幟.如圖，兩點(diǎn)相距36米，與秋收起義紀(jì)念碑（底部不可到達(dá)）的底部在同一水平直線上，利用高為0.3米的測(cè)角儀器，在兩點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑的頂點(diǎn)的仰角分別為和，則該紀(jì)念碑的高度__________米.【答案】【解析】【分析】根據(jù)仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可確定長(zhǎng).【詳解】如圖，依題意，，，故，則，在中，，故米.故答案為：.14.若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先由余弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在上的交點(diǎn)問(wèn)題，借助于余弦函數(shù)的圖象列出不等式求解即得.【詳解】由，可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，依題意，要使函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，需使函數(shù)與函數(shù)在上有5個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，可得，即得，即的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理.（2）整體配湊角即可求解【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?【小問(wèn)2詳解】由.所以.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，向量與共線，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由代入向量坐標(biāo)計(jì)算得到，結(jié)合角的范圍求出的值；（2）由向量與共線列方程，推出，結(jié)合角的范圍求得，利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)后代值計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】由可得，因，則，故，則得，故.【小問(wèn)2詳解】由題意，，因向量與共線，故，即，兩邊取平方，，因，解得，則17.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸和與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且的圖像過(guò)點(diǎn).（1）若是奇函數(shù)，求的最小值；（2）令，記在區(qū)間上的零點(diǎn)從小到大依次為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意依次求得，，推得，根據(jù)是奇函數(shù)，得到，即可求得的最小值；（2）根據(jù)函數(shù)與方程的思想，將在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)作出余弦函數(shù)的圖象，確定的值，利用圖象對(duì)稱性得到，將代入整理即可求得.【小問(wèn)1詳解】依題意，函數(shù)的最小正周期滿足，即，解得，把點(diǎn)代入中，可得，因，則，故函數(shù)解析式為.因是奇函數(shù)，故，則有，解得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.【小問(wèn)2詳解】由，可得，設(shè)，由可得，則在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出其圖象如下：由圖知，兩者共有6個(gè)交點(diǎn)，即，這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，根據(jù)圖象的對(duì)稱性，可知，則，因，代入可得：，解得，即.18.如圖，游客從萍鄉(xiāng)武功山旅游景區(qū)的金頂處下至處有兩種路徑：一種是先從沿索道乘纜車(chē)到，再?gòu)难刂本€步行到；另一種是從沿直線步行到.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從金頂處下山，甲沿勻速步行，速度為：在甲出發(fā)后，乙從乘纜車(chē)到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械?假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，，，.（1）乙在到達(dá)之前，乘纜車(chē)出發(fā)多少分鐘時(shí)，與甲的距離最短？（2）若，為使兩位游客在處互相等