四川省眉山市眉山車城中學2024-2025學年高二下學期期中數(shù)學試題（解析版）

四川省眉山車城中學2026屆高二第四學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D2.設是等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則（）A1 B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差中項列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，即，所以，解得，所以.故選：A3.數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察數(shù)列的前5項分析其變化規(guī)律即可求解.【詳解】數(shù)列的前5項依次為，即，，，，，所以的一個通項公式為．故選：C4.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意列舉數(shù)列的前幾項，可得數(shù)列的周期性，可得答案.【詳解】由，，則，，，所以數(shù)列的最小正周期為，由，則.故選：D.5.已知等差數(shù)列的，公差，則數(shù)列的前2025項和為（）A. B. C.505 D.1013【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式求出，再將目標數(shù)列求出，利用并項求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，此時令，而其前項和為，，故D正確.故選：D6.已知函數(shù)的定義域為，且的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，的導函數(shù)為，若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間是 B.的單調(diào)遞增區(qū)間是C.當時，無極值 D.當時，【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)圖象解不等式可得的單調(diào)性，即可判斷選項AB，再根據(jù)極值定義可判斷選項C，根據(jù)不等式結(jié)果可判斷選項D.【詳解】當時，函數(shù)，可得；當時，函數(shù)，可得；當時，函數(shù)可得，且.對于選項A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于選項B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于選項C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在處左右函數(shù)的單調(diào)性不改變，在處無極值，故C正確；對于選項D，當時，函數(shù)可得，即，故D錯誤.故選：C.7.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列，或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列．類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設數(shù)列1，1，2，8，64，……是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第10項是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，為等比數(shù)列，求得，利用累乘法可求得，進而求得答案．【詳解】設數(shù)列為，且為一階等比數(shù)列，設，所以為等比數(shù)列，其中，，公比，，則，，.故選：D.8.已知為R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且對于任意的，均有，則（）A.，B.，C，D.，【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)且可得答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，即.同理，，即.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和能取到最大值，且滿足：對于以下幾個結(jié)論，其中正確的是（）A.數(shù)列是遞減數(shù)列； B.數(shù)列是遞減數(shù)列；C.數(shù)列的最大項是； D.數(shù)列的最小的正數(shù)是.【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合題意，數(shù)列是遞減數(shù)列，且判斷A，，開口向下，數(shù)列先增后減可判斷B，再根據(jù)，得，，故數(shù)列的最大項是判斷C，最后根據(jù)，判斷D.【詳解】等差數(shù)列的前項和能取到最大值，數(shù)列是遞減數(shù)列，且，故A正確；，，數(shù)列先增后減，故B錯誤；由，，得，，數(shù)列的最大項是，故C正確；由，，得數(shù)列的最小的正數(shù)是，故D正確．故選：ACD．A.若數(shù)列為正項等比數(shù)列，為其前項和，則，，，成等比數(shù)列B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C.數(shù)列滿足：，則D.已知為數(shù)列的前項積，若，則【答案】ABD【解析】【分析】分以及，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可判斷A，由等比數(shù)列的定義判斷B，根據(jù)特例判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式判斷D.【詳解】對于A，當時，，顯然，，，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；當時，，，所以，，則，，，成等比數(shù)列，公比為，故A正確；對于B，設等差數(shù)列公差為，則，則是個常數(shù)，所以為等比數(shù)列，故B正確；對于C，依題意，，它不滿足，故C錯誤；對于D，，當時，，即，解得，當時，，于是，即，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，且也滿足，故D正確；故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A.是函數(shù)定義域內(nèi)的極小值點B.的單調(diào)減區(qū)間是C.若有兩個不同的實根，則D.在定義域內(nèi)既無最大值又無最小值【答案】ACD【解析】【分析】先判斷函數(shù)定義域，再求導分析函數(shù)的單調(diào)性與最值作出簡圖，進而可判斷各選項.【詳解】對于A，函數(shù)定義域滿足，解得，由，令可得和，當或時，所以在和上單調(diào)遞減，當時.所以在上單調(diào)遞增，這表明是的極小值點，A正確；對B，的單調(diào)減區(qū)間是，，故B不正確；對D，由A可得當和時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，且，作出簡圖，可得的值域是，故D正確；對C，由圖象可得，與有兩個不同的公共點，則，故C正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則_________.【答案】##0.5【解析】【分析】先求導，再令，即可求解【詳解】由，可得：，令，可得：，所以，故答案為：13.已知數(shù)列的通項公式為（），數(shù)列滿足，將這兩個數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，則__________.【答案】110【解析】【分析】依題意求出的通項，通過分別列舉找到兩者的公共項，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的基本量運算即得.【詳解】由題意有，所以數(shù)列，數(shù)列，可得兩數(shù)列的公共項依次為，構(gòu)成公差為12的等差數(shù)列，所以.故答案為：110.14.數(shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是________________________.【答案】【解析】【分析】變形給定的遞推公式，結(jié)合累加法求出，進而求出，再利用遞減數(shù)列的定義列式并分離參數(shù)求解.【詳解】數(shù)列中，，則，，即，當時，，也滿足上式，因此，，由數(shù)列是遞減數(shù)列，得，，即當時，，整理得，當或時，，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，前7項和（Ⅰ）求的通項公式（Ⅱ）設數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，進而求出通項；（2）先明確=，為等差乘等比型通項故只需用錯位相減法即可求得結(jié)論.解析：（Ⅰ）由，得因為所以（Ⅱ）16.已知函數(shù)在時取得極大值4.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為4，,最小值為0.【解析】【分析】（1）先求導，根據(jù)，解方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點值，再比較得出最大值和最小值.【小問1詳解】，由題意得，解得.此時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，當時，，所以在單調(diào)遞減，當時，，所以在單調(diào)遞增，所以在時取得極大值.所以.【小問2詳解】由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因為，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.17.已知函數(shù)．（1）當時，求在點處的切線方程；（2）若，試討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【解析】【分析】（1）根據(jù)在點處的切線方程為即可求解；（2）由題意有，根據(jù)的范圍分類討論即可.【小問1詳解】當時，，，，，所以切點為，切線方程即．【小問2詳解】的定義域為，，當時，由可得或；由可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，由可得或；由可得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．18.在①；②，；③，.這三個條件中，請選擇一個合適的條件，補充在下題橫線上（只要寫序號），并解答該題.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且對任意正整數(shù)，有__________.（1）求的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）選①，利用與的關系即可求解；選②，由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，可得，根據(jù)與的關系即可求解；選③，由已知可得，當時可得，驗證成立即可求解；（2）由（1）可得，根據(jù)裂項相消法求和，再求解即可【小問1詳解】選①，當時，，解得，當時，，所以，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以；選②，因為，且，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，當時，，當時，，當時，，所以；選③，因為，所以，所以當時，，當時，，所以；【小問2詳解】因為，所以，，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，即得證.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間.（2）若在單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求導分析單調(diào)性，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷單調(diào)性;（2）根據(jù)題意可得，求導，由在上單調(diào)遞增，可得