2023~2024學年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學押題試題二模帶解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學押題模擬試題(二模)一、單選題1.集合中元素的個數(shù)為(

)A.2個 B.3個 C.4個 D.5個【正確答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求集合A,并列舉出所有元素,即可得答案.【詳解】由題意,共有4個元素.故選:C2.已知,則下列不等式恒成立的是(

)A. B.C. D.【正確答案】B【分析】對于A:根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷;對于B:根據(jù)基本不等式分析判斷;對于C:根據(jù)不等式性質(zhì)分析判斷;對于D:根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A:因為,則,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則,故A錯誤;對于選項B:因為,則,所以,故B正確;對于選項B:因為,則有:當時,則,可得;當時,則,可得;綜上所述:不恒成立,故C錯誤;對于選項D:因為,則,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,但無法確定與1的大小關(guān)系,故無法確定與的大小關(guān)系,故D錯誤;故選:B.3.已知焦點在x軸上的雙曲線,其中一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為(

)A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】結(jié)合可得答案.【詳解】設(shè)雙曲線實軸為,虛軸為,焦距為.則,又由題可得,則.故選:D4.在平面直角坐標系中,向量,,,若A,B,C三點共線,則的值為(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)三點共線的向量關(guān)系式即可求解.【詳解】因為A,B,C三點共線,則,,即,則,解得.故選:C5.下列說法不正確的是(

)A.甲、乙、丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查,若抽取的甲種個體數(shù)為9,則樣本容量為18B.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù),,…,的方差為2,則數(shù)據(jù),,.…,的方差為32C.在一個列聯(lián)表中,計算得到的值,則的值越接近1,可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大D.已知隨機變量,且,則【正確答案】C【分析】根據(jù)比例分層抽樣的性質(zhì)可得樣本容量,故可判斷A的正誤,根據(jù)兩類數(shù)據(jù)之間的關(guān)系結(jié)合方差公式可判斷B的正誤,根據(jù)的意義可判斷C的正誤,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可計算的值,故可判斷D的正誤.【詳解】對于A:設(shè)樣本容量為,則,故,故A正確.對于B:設(shè)樣本數(shù)據(jù),,…,的均值為,則數(shù)據(jù),,.…,的均值為,故數(shù)據(jù),,.…,的方差為:,故B正確.對于C:越大,可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大,越小則把握性越小,故C錯誤.對于D:由正態(tài)分布的對稱性可得:,故D正確.故選:C.6.我國歷史文化悠久,“爰”銅方彝是商代后期的一件文物,其蓋似四阿式屋頂,蓋為子口,器為母口,器口成長方形,平沿,器身自口部向下略內(nèi)收,平底、長方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm,口長13.5cm,口寬12cm,底長12.5cm,底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積,上部分可以看作四棱錐,高約8cm,下部分看作臺體,則該文物的體積約為(

)(參考數(shù)據(jù):,)

A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)棱臺與棱錐的體積公式計算可得.【詳解】因為,,所以.故選:A7.已知,,則的最大值為(

)A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè),利用得出,表示以為圓心,半徑為的圓,,表示與之間的距離,求的最大值,即求與圓上任意一點的距離最大值.【詳解】設(shè),則,所以,表示以為圓心,半徑為的圓,則,表示與之間的距離,即與圓上任意一點的距離,因,所以在圓外,所以.故選:D8.已知函數(shù),,若直線為和的公切線,則b等于(

)A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分別設(shè)直線為和的切點為,,分別利用函數(shù)導數(shù)求出切點坐標代入直線中,建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】設(shè)直線與相切于點,與相切于點,由,所以,由,則,即點,代入直線中有:,

①由,所以,由,,即點,代入直線中有:,

②聯(lián)立①②解得:,所以,故選:B.二、多選題9.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是(

A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于中心對稱C.在上單調(diào)遞減D.把的圖像向右平移個單位長度,得到一個奇函數(shù)的圖象【正確答案】AD【分析】由圖象可得函數(shù)周期,可得,由在處取最大值,可確定.A選項,由圖象可得函數(shù)周期;BC選項,由A分析,可得.由在處取最大值,可確定,后由正弦函數(shù)對稱性,單調(diào)性可判斷選項正誤;D選項,判斷平移后所得函數(shù)的奇偶性即可判斷選項.【詳解】A選項,由圖可得,的半個最小正周期為,則的最小正周期為,故A正確;BC選項,,由在處取最大值,則,.則,取,則.即.將代入,得,則不是對稱中心;,,因在上遞減,在上遞增,則不是的單調(diào)遞減區(qū)間,故BC錯誤;D選項,由BC選項分析可知,,向右平移個單位長度后,得,為奇函數(shù),故D正確.故選:AD10.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列,在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示,在“楊輝三角”中,除每行兩邊的數(shù)都是1外,其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和,例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是(

A.在第10行中第5個數(shù)最大B.C.第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為D.在楊輝三角中,第行的所有數(shù)字之和為【正確答案】BC【分析】利用二項式定理,結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷,即可求解.【詳解】對于A:第行是二項式的展開式的系數(shù),所以第行中第個數(shù)最大,故A錯誤;對于B:,故B正確;對于C:第行是二項式的展開式的系數(shù),又展開式的通項為,所以第個數(shù)為,第個數(shù)為,所以第個數(shù)與第個數(shù)之比為,故C正確;對于D:第行是二項式的展開式的系數(shù),故第行的所有數(shù)字之和為,故D錯誤;故選:BC11.已知平面內(nèi)動點滿足到定點的距離和到定直線的距離相等,動點的軌跡為曲線,則下列說法正確的有(

)A.曲線的方程為B.兩條直線和分別交曲線不同于原點的兩點,若直線過點,則C.過點的直線與曲線交于不同的兩點,直線與直線交于點,則直線平行于軸D.點為曲線上定點,其關(guān)于軸對稱點為點,則對于曲線上異于的任一點,都有直線與直線的斜率之差為定值【正確答案】ACD【分析】A選項,根據(jù)題意列出滿足的方程,化簡整理即可;B選項,聯(lián)立兩條直線,求出兩點坐標,根據(jù)直線解方程即可;C選項,設(shè)出直線,和拋物線聯(lián)立,利用的坐標表示的坐標,證明橫坐標一樣即可;D選項,直接根據(jù)斜率公式進行計算驗證.【詳解】A選項,依題意,,平方后整理可得,,A選項正確;B選項,,解得非原點的交點,,解得非原點的交點,于是直線為,又直線經(jīng)過,故,解得,B選項錯誤;C選項,顯然直線斜率存在,設(shè)方程為,聯(lián)立,得,設(shè),于是直線方程為:,令,解得,即,根據(jù)韋達定理,,于是也有,由兩點得橫坐標相等且不是,可得平行于y軸,C選項正確;D選項,由題意,,,設(shè),則,注意到,于是,是定點,即為定值,即為定值,D選項正確.故選:ACD12.定義在的函數(shù)滿足,且,都有,若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列,則下列說法中正確的是(

)A.B.若數(shù)列為等差數(shù)列,則公差為6C.若,則D.若,則【正確答案】ABD【分析】對于A:根據(jù)題意結(jié)合周期性運算求解;對于B:根據(jù)題意結(jié)合圖象分析判斷;對于B:整理可得,結(jié)合圖象分析判斷;對于D:根據(jù)圖象結(jié)合對稱性分析可得數(shù)列是以首項為7,公差為12的等差數(shù)列,進而利用等差數(shù)列知識運算求解.【詳解】因為都有,即令,則,即,可知在內(nèi)的圖象關(guān)于點對稱,根據(jù)題意作出在內(nèi)的圖象,如圖所示:

對于選項A:因為定義在的函數(shù)滿足,則,故A正確;對于選項B:由圖象可知:若數(shù)列為等差數(shù)列,則,此時與在內(nèi)有且僅有一個交點,因為,則,所以公差為6,故B正確;對于選項C:若,則,可得,則,即與在內(nèi)有且僅有2個交點,結(jié)合圖象可得,故C錯誤;對于選項D:若,則與在內(nèi)有且僅有3個交點,且,因為,則,所以數(shù)列是以首項為7,公差為12的等差數(shù)列,可得,所以,故D正確;故選:ABD.方法點睛:應用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解;(2)分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解.三、填空題13.已知為鈍角,,則的值為______.【正確答案】/【分析】利用二倍角公式可得,再由可得答案.【詳解】因為,所以,因為為鈍角,所以,所以,又,所以,可得,因為為鈍角,所以.故答案為.14.已知函數(shù)的導函數(shù)為,則______.【正確答案】4046【分析】計算、求和,求出計算與的差可得答案.【詳解】,,所以,因為,所以,,,所以.故4046.15.如圖,平行六面體中,,,,,則線段的長為______.

【正確答案】1【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算律求解即可.【詳解】由題可得,,,所以,且,因為,所以,所以,故答案為:1.16.已知數(shù)列滿足,,,定義表示實數(shù)x,y中的較大的數(shù),若,則實數(shù)______,記數(shù)列的前n項和為,則的值為______.【正確答案】2600【分析】分別就和時計算數(shù)列的前幾項,直到找到其周期,則問題可求.【詳解】當時,,因為,所以,所以,,,,,…,依此類推有,即數(shù)列是以5為周期的數(shù)列,則,與矛盾;當時,,,,所以,,,,,…,依此類推有,即數(shù)列是以5為周期的數(shù)列,則,所以此時,則.故2;600四、解答題17.已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若,求滿足條件的最大整數(shù)n.【正確答案】(1)證明見解析(2)99【分析】(1)由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案;(2)由(1)求出,再由等比數(shù)列的求和公式可得,令,根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】(1),,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列;(2)由(1):,,,令,因為在單調(diào)遞增,所以在單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,,可得,所以滿足條件的最大整數(shù)為.18.在長方體中,,點P為棱上任意一點.

(1)求證:平面⊥平面;(2)若點E為棱上靠近點C的三等分點,求點P在棱上什么位置時,平面與平面夾角的余弦值為.【正確答案】(1)證明見解析(2)點P為棱上靠近點的第一個六等分點【分析】(1)可證面,結(jié)合面面垂直的判定定理可得相應證明;(2)建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),求出平面與平面的法向量后結(jié)合夾角的余弦值可求,故可判斷的位置.【詳解】(1)在長方體中,,故四邊形為正方形,,又面ABCD,面ABCD,.,,且AC,面,面,面,平面平面.(2)

以D為原點,分別以DA,DC,為x,y,z軸建立空間直角坐標系.設(shè),,,,.設(shè)點,,則,,設(shè)面一個法向量為,則即,令,,,.設(shè)面的一個法向量為,則即,取,,,.,,或,,,點P為棱上靠近點的第一個六等分點時,面與面夾角的余弦值為.19.在中,角的對邊分別為,已知.(1)求的值;(2)求的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)通過余弦定理、正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化為角即可求出結(jié)果;(2)由利用正切的兩角和公式展開,結(jié)合(1)所得結(jié)論化簡只含的函數(shù),利用已知條件分析的范圍,再利用基本不等式即可求出的最大值.【詳解】(1)因為,由余弦定理:,即,即由正弦定理:,即化簡得:.(2)因為,由(1)知,,,即B為銳角,,,當且僅當時,等號成立.所以的最大值為.20.有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起,已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個零件,計算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,計算它是第1臺車床所加工的概率(結(jié)果用分數(shù)表示);(3)參照第(2)問給出判斷,求第1,2,3臺車床操作員對加工次品分別應承擔的份額.【正確答案】(1)0.0525(2)(3)第1,2臺車床操作員應承擔,第3臺車床操作員應承擔.【分析】(1)設(shè)“任取一零件為次品”,“零件為第i臺車床加工”,則,且,,兩兩互斥,求出、、,以及、、,由全概率公式得;(2)“求次品為第1臺車床所加工的概率”,就是計算在B發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率由條件概率公式計算可得答案;(3)由條件概率公式計算可得答案;【詳解】(1)設(shè)“任取一零件為次品”,“零件為第i臺車床加工”,則,且,,兩兩互斥,根據(jù)題意得,,,,,,,由全概率公式,得;(2)“求次品為第1臺車床所加工的概率”,就是計算在B發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的概率,;(3)根據(jù)(2),,故第1,2臺車床操作員應承擔,第3臺車床操作員應承擔.21.已知橢圓C:的左右焦點分別為、,離心率,、分別為橢圓C的左、右頂點,且.(1)求橢圓C的方程;(2)若O為坐標原點,過的直線l與橢圓C交于A、B兩點,求面積的最大值;(3)若橢圓上另有一點M,使得直線與斜率、滿足,請分析直線BM是否恒過定點.【正確答案】(1)(2)1(3)直線MB恒過定點【分析】(1)根據(jù)離心率,長軸長為4,求得,即可求出橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程,得到韋達定理,利用弦長公式求得AB,并求得AB邊上的高,表示出三角形面積,由基本不等關(guān)系求得最大值即可.(3)設(shè)直線MB的方程為,聯(lián)立與橢圓方程,結(jié)合韋達定理,設(shè)、,得到,結(jié)合,然后,代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得:,解得:,,則,則有C:;(2)由于直線l不能與y軸垂直,故設(shè),,代入可得恒成立,設(shè),,則有,點O到直線l的距離為所以當且僅當:時取最大值;

(3)設(shè)直線MB的方程為,代入可得,可設(shè)、則有,,因為,所以,因為在橢圓上,所以,所以,代入,且,可得,即,即即由于,化簡得,即直線MB恒過定點.

方法點睛:定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少,或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題,證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似,在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果,因此求解時應設(shè)參數(shù),運用推理,到最后必定參數(shù)統(tǒng)消,定點、定值顯現(xiàn).22.已知關(guān)于x方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個解.(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)如果函數(shù),求證:在上存在極值點和零點;(3)對于(2)中的和,證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證

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