2023~2024學年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學押題試題二模帶解析

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學押題模擬試題（二模）一、單選題1．集合中元素的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【正確答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求集合A，并列舉出所有元素，即可得答案.【詳解】由題意，共有4個元素.故選：C2．已知，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】對于A：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于B：根據(jù)基本不等式分析判斷；對于C：根據(jù)不等式性質(zhì)分析判斷；對于D：根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，則，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，所以，故B正確；對于選項B：因為，則有：當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：不恒成立，故C錯誤；對于選項D：因為，則，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，但無法確定與1的大小關(guān)系，故無法確定與的大小關(guān)系，故D錯誤；故選：B.3．已知焦點在x軸上的雙曲線，其中一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【正確答案】D【分析】結(jié)合可得答案.【詳解】設(shè)雙曲線實軸為，虛軸為，焦距為.則，又由題可得，則.故選：D4．在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)三點共線的向量關(guān)系式即可求解.【詳解】因為A，B，C三點共線，則，，即，則，解得.故選：C5．下列說法不正確的是（

）A．甲、乙、丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9，則樣本容量為18B．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，.…，的方差為32C．在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，則的值越接近1，可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大D．已知隨機變量，且，則【正確答案】C【分析】根據(jù)比例分層抽樣的性質(zhì)可得樣本容量，故可判斷A的正誤，根據(jù)兩類數(shù)據(jù)之間的關(guān)系結(jié)合方差公式可判斷B的正誤，根據(jù)的意義可判斷C的正誤，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可計算的值，故可判斷D的正誤.【詳解】對于A：設(shè)樣本容量為，則，故，故A正確.對于B：設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值為，則數(shù)據(jù)，，.…，的均值為，故數(shù)據(jù)，，.…，的方差為：，故B正確.對于C：越大，可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大，越小則把握性越小，故C錯誤.對于D：由正態(tài)分布的對稱性可得：，故D正確.故選：C.6．我國歷史文化悠久，“爰”銅方彝是商代后期的一件文物，其蓋似四阿式屋頂，蓋為子口，器為母口，器口成長方形，平沿，器身自口部向下略內(nèi)收，平底、長方形足、器內(nèi)底中部及蓋內(nèi)均鑄一“爰”字.通高24cm，口長13.5cm，口寬12cm，底長12.5cm，底寬10.5cm.現(xiàn)估算其體積，上部分可以看作四棱錐，高約8cm，下部分看作臺體，則該文物的體積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)棱臺與棱錐的體積公式計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：A7．已知，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)，利用得出，表示以為圓心，半徑為的圓，，表示與之間的距離，求的最大值，即求與圓上任意一點的距離最大值.【詳解】設(shè)，則，所以，表示以為圓心，半徑為的圓，則，表示與之間的距離，即與圓上任意一點的距離，因，所以在圓外，所以.故選：D8．已知函數(shù)，，若直線為和的公切線，則b等于（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】分別設(shè)直線為和的切點為，，分別利用函數(shù)導數(shù)求出切點坐標代入直線中，建立關(guān)于的方程組解出即可.【詳解】設(shè)直線與相切于點，與相切于點，由，所以，由，則，即點，代入直線中有：，

①由，所以，由，，即點，代入直線中有：，

②聯(lián)立①②解得：，所以，故選：B.二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于中心對稱C．在上單調(diào)遞減D．把的圖像向右平移個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖象【正確答案】AD【分析】由圖象可得函數(shù)周期，可得，由在處取最大值，可確定.A選項，由圖象可得函數(shù)周期；BC選項，由A分析，可得.由在處取最大值，可確定，后由正弦函數(shù)對稱性，單調(diào)性可判斷選項正誤；D選項，判斷平移后所得函數(shù)的奇偶性即可判斷選項.【詳解】A選項，由圖可得，的半個最小正周期為，則的最小正周期為，故A正確；BC選項，，由在處取最大值，則，.則，取，則.即.將代入，得，則不是對稱中心；，，因在上遞減，在上遞增，則不是的單調(diào)遞減區(qū)間，故BC錯誤；D選項，由BC選項分析可知，，向右平移個單位長度后，得，為奇函數(shù)，故D正確.故選：AD10．“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．在第10行中第5個數(shù)最大B．C．第8行中第4個數(shù)與第5個數(shù)之比為D．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為【正確答案】BC【分析】利用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷，即可求解．【詳解】對于A：第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以第行中第個數(shù)最大，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：第行是二項式的展開式的系數(shù)，又展開式的通項為，所以第個數(shù)為，第個數(shù)為，所以第個數(shù)與第個數(shù)之比為，故C正確；對于D：第行是二項式的展開式的系數(shù)，故第行的所有數(shù)字之和為，故D錯誤；故選：BC11．已知平面內(nèi)動點滿足到定點的距離和到定直線的距離相等，動點的軌跡為曲線，則下列說法正確的有（

）A．曲線的方程為B．兩條直線和分別交曲線不同于原點的兩點，若直線過點，則C．過點的直線與曲線交于不同的兩點，直線與直線交于點，則直線平行于軸D．點為曲線上定點，其關(guān)于軸對稱點為點，則對于曲線上異于的任一點，都有直線與直線的斜率之差為定值【正確答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)題意列出滿足的方程，化簡整理即可；B選項，聯(lián)立兩條直線，求出兩點坐標，根據(jù)直線解方程即可；C選項，設(shè)出直線，和拋物線聯(lián)立，利用的坐標表示的坐標，證明橫坐標一樣即可；D選項，直接根據(jù)斜率公式進行計算驗證.【詳解】A選項，依題意，，平方后整理可得，，A選項正確；B選項，，解得非原點的交點，，解得非原點的交點，于是直線為，又直線經(jīng)過，故，解得，B選項錯誤；C選項，顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，于是直線方程為：，令，解得，即，根據(jù)韋達定理，，于是也有，由兩點得橫坐標相等且不是，可得平行于y軸，C選項正確；D選項，由題意，，，設(shè)，則，注意到，于是，是定點，即為定值，即為定值，D選項正確.故選：ACD12．定義在的函數(shù)滿足，且，都有，若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是（

）A．B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6C．若，則D．若，則【正確答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合周期性運算求解；對于B：根據(jù)題意結(jié)合圖象分析判斷；對于B：整理可得，結(jié)合圖象分析判斷；對于D：根據(jù)圖象結(jié)合對稱性分析可得數(shù)列是以首項為7，公差為12的等差數(shù)列，進而利用等差數(shù)列知識運算求解.【詳解】因為都有，即令，則，即，可知在內(nèi)的圖象關(guān)于點對稱，根據(jù)題意作出在內(nèi)的圖象，如圖所示：

對于選項A：因為定義在的函數(shù)滿足，則，故A正確；對于選項B：由圖象可知：若數(shù)列為等差數(shù)列，則，此時與在內(nèi)有且僅有一個交點，因為，則，所以公差為6，故B正確；對于選項C：若，則，可得，則，即與在內(nèi)有且僅有2個交點，結(jié)合圖象可得，故C錯誤；對于選項D：若，則與在內(nèi)有且僅有3個交點，且，因為，則，所以數(shù)列是以首項為7，公差為12的等差數(shù)列，可得，所以，故D正確；故選：ABD.方法點睛：應用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法（1）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；（2）分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．三、填空題13．已知為鈍角，，則的值為______.【正確答案】/【分析】利用二倍角公式可得，再由可得答案.【詳解】因為，所以，因為為鈍角，所以，所以，又，所以，可得，因為為鈍角，所以.故答案為.14．已知函數(shù)的導函數(shù)為，則______.【正確答案】4046【分析】計算、求和，求出計算與的差可得答案.【詳解】，，所以，因為，所以，，，所以.故4046.15．如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為______.

【正確答案】1【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算律求解即可.【詳解】由題可得,，,所以,且,因為,所以，所以，故答案為:1.16．已知數(shù)列滿足，，，定義表示實數(shù)x，y中的較大的數(shù)，若，則實數(shù)______，記數(shù)列的前n項和為，則的值為______.【正確答案】2600【分析】分別就和時計算數(shù)列的前幾項，直到找到其周期，則問題可求.【詳解】當時，，因為，所以，所以，，，，，…，依此類推有，即數(shù)列是以5為周期的數(shù)列，則，與矛盾；當時，，，，所以，，，，，…，依此類推有，即數(shù)列是以5為周期的數(shù)列，則，所以此時，則.故2；600四、解答題17．已知數(shù)列滿足，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【正確答案】(1)證明見解析(2)99【分析】（1）由已知得再由等比數(shù)列的定義可得答案；（2）由（1）求出，再由等比數(shù)列的求和公式可得，令，根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）：，，，令，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，，可得，所以滿足條件的最大整數(shù)為.18．在長方體中，，點P為棱上任意一點.

(1)求證：平面⊥平面；(2)若點E為棱上靠近點C的三等分點，求點P在棱上什么位置時，平面與平面夾角的余弦值為.【正確答案】(1)證明見解析(2)點P為棱上靠近點的第一個六等分點【分析】（1）可證面，結(jié)合面面垂直的判定定理可得相應證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，求出平面與平面的法向量后結(jié)合夾角的余弦值可求，故可判斷的位置.【詳解】（1）在長方體中，，故四邊形為正方形，，又面ABCD，面ABCD，.，，且AC，面，面，面，平面平面.（2）

以D為原點，分別以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標系.設(shè)，，，，.設(shè)點，，則，，設(shè)面一個法向量為，則即，令，，，.設(shè)面的一個法向量為，則即，取，，，.，，或，，，點P為棱上靠近點的第一個六等分點時，面與面夾角的余弦值為.19．在中，角的對邊分別為，已知.(1)求的值；(2)求的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）通過余弦定理、正弦定理將條件中的邊轉(zhuǎn)化為角即可求出結(jié)果；（2）由利用正切的兩角和公式展開，結(jié)合（1）所得結(jié)論化簡只含的函數(shù)，利用已知條件分析的范圍，再利用基本不等式即可求出的最大值.【詳解】（1）因為，由余弦定理：，即，即由正弦定理：，即化簡得：.（2）因為，由（1）知，，，即B為銳角，，，當且僅當時，等號成立.所以的最大值為.20．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計算它是第1臺車床所加工的概率（結(jié)果用分數(shù)表示）；(3)參照第（2）問給出判斷，求第1，2，3臺車床操作員對加工次品分別應承擔的份額.【正確答案】(1)0.0525(2)(3)第1，2臺車床操作員應承擔，第3臺車床操作員應承擔.【分析】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率由條件概率公式計算可得答案；（3）由條件概率公式計算可得答案；【詳解】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得，，，，，，，由全概率公式，得；（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，；（3）根據(jù)（2），，故第1，2臺車床操作員應承擔，第3臺車床操作員應承擔.21．已知橢圓C：的左右焦點分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標原點，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點M，使得直線與斜率、滿足，請分析直線BM是否恒過定點.【正確答案】(1)(2)1(3)直線MB恒過定點【分析】（1）根據(jù)離心率，長軸長為4，求得，即可求出橢圓方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，利用弦長公式求得AB，并求得AB邊上的高，表示出三角形面積，由基本不等關(guān)系求得最大值即可.（3）設(shè)直線MB的方程為，聯(lián)立與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，設(shè)、，得到，結(jié)合，然后，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得：，解得：，，則，則有C：；（2）由于直線l不能與y軸垂直，故設(shè)，，代入可得恒成立，設(shè)，，則有，點O到直線l的距離為所以當且僅當：時取最大值；

（3）設(shè)直線MB的方程為，代入可得，可設(shè)、則有，，因為，所以，因為在橢圓上，所以，所以，代入，且，可得，即，即即由于，化簡得，即直線MB恒過定點.

方法點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).22．已知關(guān)于x方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個解.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)如果函數(shù)，求證：在上存在極值點和零點；(3)對于（2）中的和，證明.【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證