2023~2024學(xué)年上海奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（一模）一、填空題1．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是______．【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義可知，復(fù)數(shù)的虛部是.故2．?dāng)?shù)據(jù)7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位數(shù)為______．【正確答案】7【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大重新排列為1,2,4,5,6,7,8,9，共8個(gè)數(shù)據(jù)，由于，所以第70百分位數(shù)為7.故73．不等式的解集是______．【正確答案】【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為，從而可解不等式.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，所以不等式的解集?故4．二項(xiàng)式展開中，項(xiàng)的系數(shù)為______．【正確答案】【分析】求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而求得展開式中的系數(shù).【詳解】由題意，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為.故答案為.5．已知命題p：任意正數(shù)x，恒有，則命題p的否定為______．【正確答案】存在正數(shù)，使【分析】含有全稱量詞的否定，改成特稱量詞即可.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知：存在正數(shù)，使.故存在正數(shù)，使6．拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則______．【正確答案】2【分析】首先求拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，即可求解.【詳解】的準(zhǔn)線方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長.故27．在平行四邊形中，，．若，則______．【正確答案】/【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求出即可.【詳解】由題意可得，所以，，所以.故8．已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前項(xiàng)積的最大值為______．【正確答案】1【分析】根據(jù)，判斷出是一個(gè)周期數(shù)列，從而求前項(xiàng)積即可.【詳解】,，兩式相除得：，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,由，，得：記數(shù)列的前n項(xiàng)積為,結(jié)合數(shù)列的周期性，，當(dāng)時(shí),，，，所以數(shù)列的前項(xiàng)積的最大值為1.故19．兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一個(gè)截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為______.【正確答案】【分析】根據(jù)球的體積公式，結(jié)合球的性質(zhì)、圓錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻捏w積為，所以有，設(shè)兩個(gè)圓錐的高分別為，于是有且，所以有，設(shè)圓錐的底面半徑為，所以有，因此這兩個(gè)圓錐的體積之和為，故10．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．【正確答案】9【分析】方法一：先根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡得，即，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.故答案為.［方法二］：角平分線性質(zhì)＋向量的數(shù)量積＋基本不等式由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式．因?yàn)椋?，化簡得，即，亦即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．［方法三］：解析法＋基本不等式如圖5，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，．因?yàn)锳，D，C三點(diǎn)共線，則，即，則有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分線定理＋基本不等式在中，，同理．根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質(zhì)得，整理得，當(dāng)時(shí)，可解得．當(dāng)時(shí)，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在與中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如圖6，作，交的延長線于E．易得為正三角形，則．由，得，即，從而．下同方法一．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規(guī)也簡潔，是本題的最優(yōu)解；方法二：利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)建向量的等量關(guān)系，再利用數(shù)量積得到的關(guān)系，最后利用基本不等式求出最值，關(guān)系構(gòu)建過程運(yùn)算量較大；方法三：通過建立直角坐標(biāo)系，由三點(diǎn)共線得等量關(guān)系，由基本不等式求最值；方法四：通過解三角形和角平分線定理構(gòu)建等式關(guān)系，再由基本不等式求最值，計(jì)算量較大；方法五：多次使用正弦定理構(gòu)建等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，中間轉(zhuǎn)換較多；方法六：由平面幾何知識(shí)中的相似得等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，求解較為簡單．11．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為_______________________．【正確答案】【分析】由與互補(bǔ)，得到兩角的余弦值互為相反數(shù)，兩次利用余弦定理得到關(guān)于的方程.【詳解】如圖所示：因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為，所以，則，所以，因?yàn)椋?，解?求圓錐曲線的離心率主要有幾何法和代數(shù)法，本題主要通過兩次利用余弦定理進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，找到關(guān)系求得離心率.12．若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【正確答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故二、單選題13．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.【詳解】根據(jù)最小正周期，可得，解得；又，即是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，解得.又，當(dāng)時(shí)，.故選：C14．從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用頻率分布直方圖可計(jì)算出評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量.【詳解】由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為.故選：D.15．上海入夏的標(biāo)準(zhǔn)為：立夏之后，連續(xù)五天日平均氣溫不低于22℃．立夏之后，測(cè)得連續(xù)五天的平均氣溫?cái)?shù)據(jù)滿足如下條件，其中能斷定上海入夏的是（

）A．總體均值為25℃，中位數(shù)為23℃B．總體均值為25℃，總體方差大于0℃C．總體中位數(shù)為23℃，眾數(shù)為25℃D．總體均值為25℃，總體方差為1℃【正確答案】D【分析】對(duì)于AB，取連續(xù)五天的平均氣溫為可判斷；對(duì)于C，取連續(xù)五天的平均氣溫為可判斷；對(duì)于D，用反證法可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，如連續(xù)五天的平均氣溫為，滿足總體均值為，中位數(shù)為，故A不正確；對(duì)于B，如連續(xù)五天的平均氣溫為，滿足總體均值為25℃，總體方差大于0℃，故B不正確；對(duì)于C，如連續(xù)五天的平均氣溫為，滿足總體中位數(shù)為23℃，眾數(shù)為25℃，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)總體均值為，總體方差為，若存在有一天氣溫低于，不妨令，根據(jù)方差公式，可得，因?yàn)榉讲顬?，所以不可能存在有一天氣溫低于，故D正確.故選：D16．記函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)任意的，總有成立，則稱函數(shù)包裹函數(shù).判斷如下兩個(gè)命題真假：①函數(shù)包裹函數(shù)的充要條件是；②若對(duì)于任意對(duì)任意都成立，則函數(shù)包裹函數(shù).則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．①真②假 B．①假②真 C．①②全假 D．①②全真【正確答案】D【分析】①根據(jù)包裹函數(shù)的定義可以得到，由，可得，即①正確；②利用反證法證明可得，即，則函數(shù)包裹函數(shù)，即②正確.【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)包裹函數(shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)包裹函數(shù)的充要條件是，故①正確；②假設(shè)，令，則當(dāng)時(shí)，，與題意中矛盾，故假設(shè)不成立.所以，即，所以函數(shù)包裹函數(shù)，故②正確.故選：D.三、解答題17．如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長1，側(cè)棱長4，AA1中點(diǎn)為E，CC1中點(diǎn)為F．(1)求證：平面BDE∥平面B1D1F；(2)連結(jié)B1D，求直線B1D與平面BDE所成的角的大小．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖利用向量法證DE∥FB1，進(jìn)而平面，同理平面，可證平面BDE∥平面B1D1F；（2）利用向量法可求直線B1D與平面BDE所成的角的大?。驹斀狻浚?）以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，2），B1（1，0，4），D1（0，1，4），F(xiàn)（1，1，2），∵，∴DE∥FB1，平面，平面，平面，同理平面，∵平面，平面，平面，∴平面平面．（2）同（1）建系，設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，得，不妨取z＝1，則，又，設(shè)直線B1D與平面BDE所成的角為θ，故，直線B1D與平面BDE所成的角為．18．已知數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且滿足（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求的表達(dá)式．【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）時(shí)，由,得，然后利用，可得到，進(jìn)而得到從而可以證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由（1）可以得到的通項(xiàng)公式，代入可得到的表達(dá)式，進(jìn)而利用分組求和即可求出的表達(dá)式．【詳解】（1）時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，由,得，則，即，所以又，故就是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，則即.（2）將代入得,所以

=.分組求和與并項(xiàng)求和法：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)或者多項(xiàng)，或者把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，或者把整個(gè)數(shù)列分成兩部分等等，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或者等比數(shù)列等可求和的數(shù)列分別進(jìn)行求和，例如對(duì)通項(xiàng)公式為的數(shù)列求和．19．我國風(fēng)云系列衛(wèi)星可以監(jiān)測(cè)氣象和國土資源情況．某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測(cè)雨量x（單位：dm）與遙測(cè)雨量y（單位：dm）的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如表：樣本號(hào)i12345678910人工測(cè)雨量5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遙測(cè)雨量5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計(jì)算得，，，，，，(1)求該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量y與人工測(cè)雨量x的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)規(guī)定：數(shù)組滿足為“Ⅰ類誤差”；滿足為“Ⅱ類誤差”；滿足為“Ⅲ類誤差”．為進(jìn)一步研究，該地區(qū)水文研究人員從“Ⅰ類誤差”、“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“Ⅲ類誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．附：相關(guān)系數(shù)，【正確答案】(1)，正相關(guān)性，相關(guān)性很強(qiáng)；(2)分布列見解析；期望【分析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)，代入求相關(guān)系數(shù)，即可判斷相關(guān)性強(qiáng)或弱；（2）根據(jù)條件可知，，再根據(jù)超幾何分別求分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)椋捎跇颖鞠嚓P(guān)系數(shù)非常接近于1，可以推斷該地區(qū)汛期遙測(cè)雨量與人工測(cè)雨量，兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng).（2）10組數(shù)據(jù)中，“Ⅰ類誤差”有5組，“Ⅱ類誤差”有3組，“Ⅲ類誤差”有2組，從“Ⅰ類誤差”，“Ⅱ類誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)，記抽到“Ⅰ類誤差”的數(shù)據(jù)組數(shù)為，則的可取值為0，1，2，3，由題意可得，，，，，則的分布列為0123所以20．如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為，長軸長為．橢圓上有兩點(diǎn)、，連接、，記它們的斜率為、，且滿足．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：為一定值，并求出這個(gè)定值；(3)設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線和分別與直線交于點(diǎn)、，若和的面積相等，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【正確答案】(1)(2)證明見解析，(3)點(diǎn)橫坐標(biāo)為【分析】（1）利用橢圓的長軸長以及焦點(diǎn)坐標(biāo)，求解、，然后求解，得到橢圓方程；（2）設(shè)、，通過．結(jié)合得到坐標(biāo)滿足方程，轉(zhuǎn)化求解為一定值即可．（3）通過，推出，轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．【詳解】（1）由已知條件，設(shè)橢圓，則，解得，橢圓．（2）證明：設(shè)、，則，整理得，由，∴，∵，解得，將其代入，為定值.（3）設(shè)、，由橢圓的對(duì)稱性可知，，∵，∴，∴，∴或者，或者．∵，∴或者（舍），解得：，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．已知函數(shù)．(1)若是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)、是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【正確答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在其定義域恒成立，再參變分離，利用基本不等式求得最值，進(jìn)而求解即可；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用含參函數(shù)單調(diào)性的討論中首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)問題討論，將分為零正負(fù)，又通過判別根式對(duì)導(dǎo)函數(shù)是否有根進(jìn)行分類求解即可；（3）由題意要證，只要證，涉及到轉(zhuǎn)化的思想，令，，求的最小值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，.

若是定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，即a的取值范圍為；（2）由（1）知.

①當(dāng)時(shí)，在上，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以不符合題設(shè).

②當(dāng)時(shí)，令，得，解得，，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以不符合題設(shè).③當(dāng)時(shí)，判別式，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所