微專題6概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

微專題6概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)問題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力.要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.概率與統(tǒng)計(jì)問題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng).考點(diǎn)考點(diǎn)一概率統(tǒng)計(jì)的綜合【典例精講】例1.(2024·廣東省廣州市月考)(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù)，且P(X=k)=C5k32A.極差不變的概率是3132 B.第25百分位數(shù)不變的概率是316

C.平均值變大的概率是12 D.方差變大的概率是732

例2.(2024·浙江省臺(tái)州市模擬)為了解使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機(jī)抽取50名學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)和使用手機(jī)情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示(使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀520學(xué)習(xí)成績(jī)一般總計(jì)3050(1)補(bǔ)充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；

(2)現(xiàn)從如表不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為X，試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考公式：K2=n(ad?bc)2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【方法儲(chǔ)備】概率和統(tǒng)計(jì)綜合問題主要包括：=1\*GB3①概率與統(tǒng)計(jì)中2×2列聯(lián)表的綜合問題；=2\*GB3②概率與統(tǒng)計(jì)中線性回歸方程的綜合問題；=3\*GB3③概率與統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的綜合問題；=4\*GB3④概率與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的綜合問題；=5\*GB3⑤概率與統(tǒng)計(jì)圖的綜合問題等幾種類型.【拓展提升】練11(2023·河南省濮陽(yáng)市月考)某公司為了對(duì)一種新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按亊先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x(

元)

456789銷量V(

件)

908483807568由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為y=?4x+a，若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn),則它在回歸直線右上方的概率為（）A.16 B.13 C.12 D.23

練12(2024·安徽省六安市月考)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率．(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值μ和樣本方差σ2；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在[55,65)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重Y近似服從正態(tài)分布Nμ,σ2.若P(μ?2σ?Y<μ+2σ)>0.9545考點(diǎn)二概率考點(diǎn)二概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的綜合【典例精講】

例3.(2024·重慶市市轄區(qū)模擬)我市開展了“暖冬計(jì)劃”活動(dòng)，為高海拔地區(qū)學(xué)校加裝供暖器.按供暖器的達(dá)標(biāo)規(guī)定：學(xué)校供暖器的噪聲不能超過50分貝、熱效率不能低于70%.某地采購(gòu)了一批符合達(dá)標(biāo)要求的供暖器，經(jīng)抽樣檢測(cè)，這批供暖器的噪聲(單位：分貝)和熱效率的頻率分布直方圖如下圖所示：

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，且以相應(yīng)的頻率作為概率．(1)求a，b的值;

(2)如果供暖器的噪聲與熱效率是獨(dú)立的，從這批供暖器中隨機(jī)抽2件，求恰有1件噪聲不超過25分貝且熱效率不低于90%的概率;(3)當(dāng)x∈[90,100]，設(shè)供暖器的噪聲不超過x?502(分貝)的概率為p1，供暖器的熱效率不低于x%的概率為例4.(2024·安徽省合肥市模擬)心流是由心理學(xué)家米哈里提出的概念，指人們?cè)谶M(jìn)行某項(xiàng)活動(dòng)時(shí)，完全投入并享受其中的狀態(tài).某中學(xué)的學(xué)習(xí)研究小組為設(shè)計(jì)創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，男生與女生的人數(shù)之比為3:2，其中女生有35名自述活動(dòng)過程中體驗(yàn)到心流，男生有15名沒有體驗(yàn)到心流．(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中是否體驗(yàn)到心流與性別有關(guān)?(2)在體驗(yàn)到心流的學(xué)生中，有A,B兩名同學(xué)表示特別喜愛這種創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)，希望參加到進(jìn)一步的學(xué)習(xí)中.在接下來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，研究小組將每次從體驗(yàn)到心流的學(xué)生中不放回的隨機(jī)抽取k(k=4,5,6,7,8)名同學(xué)參加，記抽取兩次后抽中A或B的概率為p(k)，當(dāng)p(k)最大時(shí)k為何值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考公式：χ2=n(ad?bc心流無(wú)心流總計(jì)女生35男生15合計(jì)100參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.0100.005x2.7063.8416.6357.879【方法儲(chǔ)備】概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的交匯問題,本質(zhì)仍是以概率統(tǒng)計(jì)為主導(dǎo)，利用函數(shù)輔助求解，綜合性較強(qiáng).利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，求解概率、均值、方差等的最值，通常以概率為變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)模型，利用單調(diào)性求最值.【拓展提升】練21(2023·福建省福州市模擬)近年來，國(guó)家為了鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺(tái)了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)．某高校畢業(yè)生小李自主創(chuàng)業(yè)從事海鮮的批發(fā)銷售，他每天以每箱300元的價(jià)格購(gòu)入基圍蝦，然后以每箱500元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天購(gòu)入的基圍蝦賣不完，剩余的就作垃圾處理．為了對(duì)自己的經(jīng)營(yíng)狀況有更清晰的把握，他記錄了150天基圍蝦的日銷售量(單位：箱)，制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖．

(1)若小李一天購(gòu)進(jìn)12箱基圍蝦．

(i)求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天的銷售量n(單位：箱，n∈N)的函數(shù)解析式；

(ii)以這150天記錄的日銷售量的頻率作為概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)不低于1900元的概率；

(2)以上述樣本數(shù)據(jù)作為決策的依據(jù)，他計(jì)劃今后每天購(gòu)進(jìn)基圍蝦的箱數(shù)相同，并在進(jìn)貨量為11箱，12箱中選擇其一，試幫他確定進(jìn)貨的方案，以使其所獲的日平均利潤(rùn)最大．練22(2023·河北省秦皇島市聯(lián)考)某學(xué)校高一年級(jí)在上學(xué)期依次舉行了“法律、環(huán)保、交通”三次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，要求每位同學(xué)至少參加一次活動(dòng)，高一(1)班學(xué)生50名學(xué)生在上學(xué)期參加該項(xiàng)活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

(1)從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)的次數(shù)不相等的概率；(2)從該班中任意選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差對(duì)的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(3)從該班中任意選兩名學(xué)生，用η表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之和，記“函數(shù)f(x)=x2?ηx?1在區(qū)間(3,5)上只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件考點(diǎn)三概率考點(diǎn)三概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合【典例精講】

例5.(2024·云南省昆明市聯(lián)考)某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)(檢測(cè)分為初試和復(fù)試)，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和70%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，σ≈14.初試成績(jī)不低于(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng).已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為a，第三道題答對(duì)的概率為b.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為18，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為P，求P附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545，例6.(2023·山東省臨汾市模擬)甲流和普通感冒都屬于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最強(qiáng)的一種流感，在醫(yī)學(xué)檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)未接種過流感疫苗者感染該病毒的比例較大.某醫(yī)院選取200個(gè)有感冒癥狀的就診患者作為樣本，統(tǒng)計(jì)了感染甲流病毒的情況，得到下面的列聯(lián)表：接種流感疫苗與否/人數(shù)感染甲流病毒未感染甲流病毒未接種流感疫苗3070接種流感疫苗1090(1)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷感染甲流病毒與接種流感疫苗是否有關(guān)?

(2)以樣本中感染甲流病毒的頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該醫(yī)院所有感冒癥狀就診者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行感染甲流病毒人數(shù)統(tǒng)計(jì)，求至多有1人感染甲流病毒的概率;

(3)該醫(yī)院某病房住有3位甲流密切接觸的病人，醫(yī)院要對(duì)該病房的人員逐一進(jìn)行甲流病毒檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果出現(xiàn)陽(yáng)性，則該病房人員全部隔離.假設(shè)該病房每位病人檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，記該病房至少檢測(cè)了2位病人才確定需要隔離的概率為f(p)，求當(dāng)p為何值時(shí)，f(p)最大?

附：χP(χ2≥k)0.100.050.010.001k2.7063.8416.63510.828【方法儲(chǔ)備】概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題上，解題的難點(diǎn)是建立函數(shù)模型，如獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、期望方差公式、正態(tài)分布函數(shù)和用分布列建立其他的函數(shù)的模型，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性.【拓展提升】練31(2024·福建省龍巖市模擬)某國(guó)有芯片制造企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期，該款芯片的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為P1(1)①求批次I芯片的次品率PI②第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次I的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為92％，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品的概率．(2)已知某批次芯片的次品率為p(0<p<1)，設(shè)100個(gè)芯片中恰有1個(gè)不合格品的概率為φp，記φp的極大值點(diǎn)為P0，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次J的芯片的次品率PJ=P0.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得I批次與J批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的100名用戶中，安裝I批次有40部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有28人；安裝J批次有60部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有附：χ2α0.0500.0100.0050.001x3.8416.6357.87910.828練32(2023·浙江省杭州市期末)從2019年底開始，非洲東部的肯尼亞等國(guó)家爆發(fā)出了一場(chǎng)嚴(yán)重的蝗蟲災(zāi)情．目前，蝗蟲已抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．平均溫度x21232527293235平均產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325表中zi=lnyixyzi=1i=127.42981.2863.61240.182147.714(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=cedx(其中e=2.718?，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程．(2)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到28°C以上時(shí)蝗蟲會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到28°C以上的概率為p(0<p<1)．①記該地今后n(n?3,n∈N?)年中，恰好需要2次人工防治的概率為f(p)，求f(p)②根據(jù)①中的結(jié)論，當(dāng)f(p)取最大值時(shí)，記該地今后6年中，需要人工防治的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,z1，x2,z2，?，x考點(diǎn)四概率考點(diǎn)四概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合【典例精講】例7.(2024·江蘇省揚(yáng)州市模擬)為貫徹落實(shí)黨的十九大精神，堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某縣積極引導(dǎo)農(nóng)戶種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該縣農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入．2023年年底，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該縣種植這種名貴中藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了100戶，統(tǒng)計(jì)了他們2023年種植中藥材所獲純利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元分組1,33,55,77,9[9,11]頻數(shù)1015452010(1)該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤(rùn)Z(單位：萬(wàn)元)近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數(shù)x(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，σ2近似為樣本方差s2≈(2)為答謝廣大農(nóng)戶的積極參與，該調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：在一個(gè)箱子中放置5個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè)．讓農(nóng)戶從箱子中隨機(jī)取出一個(gè)小球，若取到紅球，則停止取球；若取到黑球，則將黑球放回箱中，繼續(xù)取球，直到取到紅球?yàn)橹?，但取球次?shù)不超過10次．若農(nóng)戶取到紅球，則中獎(jiǎng)，獲得2000元的獎(jiǎng)勵(lì)，若未取到紅球，則沒有中獎(jiǎng)．現(xiàn)張明參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，記他取球的次數(shù)為隨機(jī)變量X．①求張明恰好取球4次的概率；②求X的數(shù)學(xué)期望．(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：0.89≈0.1342，若隨機(jī)變量Z～N(μ,σ2)，則P(μ?σ<Z例8.(2024·湖南省株洲市模擬)足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng)．2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天．

(1)為了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到2×2列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？

(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為Pn，即P1=1．

(i)求P3(直接寫出結(jié)果即可)；

(ii)證明：數(shù)列{α0.1000.0500.0250.0100.001x2.7063.8415.0246.63510.828【方法儲(chǔ)備】概率統(tǒng)計(jì)問題與數(shù)列的交匯問題,要準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解,明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.解答此類問題，一是要根據(jù)題意建立數(shù)列模型；二是熟練的利用已知的求概率的方法進(jìn)行概率計(jì)算.概率與數(shù)列的交匯問題的常見類型有：=1\*GB3①求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或數(shù)學(xué)期望EXn的遞推關(guān)系式,根據(jù)數(shù)列部分由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法，求出概率或期望的通項(xiàng)公式；=2\*GB3②利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),研究單調(diào)性、最值或求極限；=3\*GB3③求和：利用數(shù)列中的倒序求和、錯(cuò)位求和、裂項(xiàng)求和等方法.【拓展提升】練41(2024·江蘇省常州市模擬)2024年世界新能源汽車大會(huì)將在廣東深圳召開，大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.

(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)(2)根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布Nμ,σ2，經(jīng)計(jì)算第(1)問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則P(μ?σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車車向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格(從k到k+1)，若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格(從k到k+2)，直到遙控車移到第49格(勝利大本營(yíng))或第50格(失敗大本營(yíng))時(shí)，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車移到第n格的概率為Pn，試說明P練42(2024·吉林省長(zhǎng)春市模擬)入冬以來，東北成為全國(guó)旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體驗(yàn)東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A和B兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)票平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，顧客可自由選擇A和B兩個(gè)套餐之一，下表是該景區(qū)在購(gòu)票平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況．日期t12345678910銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計(jì)算可得：y?=110i=110yi=2.2，i=110tiyi=118.73，i=110ti2=385．

(1)由于同時(shí)在線人數(shù)過多，購(gòu)票平臺(tái)在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的回歸方程(精確到0.01)，并估計(jì)第10天的正常銷量；

(2)假設(shè)每位顧客選擇A套餐的概率為25，選擇B套餐的概率為35，其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時(shí)刻，該平臺(tái)恰好銷售了n張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為Pn，求Pn；

(3)記(2)中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列{Pn}(n∈N?)．

①求數(shù)列{Pn}的最值；【答案解析】例1.解：數(shù)X的分布列為

當(dāng)X≤4時(shí)，極差不變，所以極差不變的概率是P(X?4)=1?P(X=5)=1?132=3132，故A正確；

5×25%=1.25，所以原數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為1，

6×25%=1.5，所以當(dāng)X≠0時(shí)，第25百分位數(shù)不變，

所以第25百分位數(shù)不變的概率為P(X≠0)=3132，故B錯(cuò)誤；

原數(shù)據(jù)的平均值為2，當(dāng)X>2時(shí)，平均值變大，所以平均值變大的概率為P(X>2)=12，故C正確;

原數(shù)據(jù)的方差為2，顯然，當(dāng)X=2時(shí)，新數(shù)據(jù)的方差變小，當(dāng)X=0，4，5時(shí)，新數(shù)據(jù)的方差變大，

當(dāng)X=1時(shí)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為136，方差為56×[2+(2?116)2]+1例2.解：(1)完成列聯(lián)表如下：使用手機(jī)不使用手機(jī)總計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀52025學(xué)習(xí)成績(jī)一般151025總計(jì)203050∴K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50(5×10?20×15)220×30×25×25≈8.333<10.828，

∴沒有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；

(2)現(xiàn)從如表不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出9人，

則從學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀中抽取9×2030=6人，從學(xué)習(xí)成績(jī)一般中抽取9×1030=3人，

再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為X，則X的可能取值為0

X

0

1

2

3

P

1

18

45

20數(shù)學(xué)期望E(X)=0×184練11.解：x?=16(4+5+6+7+8+9)=132，y?=16(90+84+83+80+75+68)=80，

∵y=?4x+a過樣本中心點(diǎn)(132,80)，∴a=106，6個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)在直線右上方，即(6,83)，(7,80)，(8,75)．

從這些樣本點(diǎn)中任取1點(diǎn)，共有6種不同的取法，

故這點(diǎn)恰好在回歸直線右上方的概率為P=36=12練12.解：(1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5)×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60；

σ2=[(60?47.5)2+(72.5?60)2]×0.02+[(60?52.5)2+(67.5?60)2]×0.13+[(60?57.5)2+(62.5?60)2]×0.35≈25．

(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，體重在[55,65)的概率為0.7，

隨機(jī)抽取3人，相當(dāng)于3X0123P0.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望E(X)=3×0.7=2.1．

(3)由題意知Y服從正態(tài)分布N(60,25)，則P(μ?2σ≤Y<μ+2σ)=P(50≤Y<70)=0.9600>0.9545，

所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的．

例3.解：(1)由5×(0.01+0.03+a+0.06+a+0.02)=1，解得a=0.04，

由5×(0.008+0.02+b+0.04+0.06+0.04)=1，解得b=0.032;

(2)1件噪聲不超過25分貝且熱效率不低于90%的概率為：0.01×5×0.06+0.04×5=0.025，

隨機(jī)抽2件，恰有1件噪聲不超過25分貝且熱效率不低于90%的概率為：C21·0.025·0.975=0.04875;

(3)當(dāng)x∈90,100，則x?502∈20,25，所以p1=0.01×(x?502?20)=x?90200，

當(dāng)x∈90,95時(shí)，p2=0.0695?x+0.4，當(dāng)x∈95,100例4.解：(1)因?yàn)檎{(diào)查的女生人數(shù)為：22+3×100=40，所以，調(diào)查的男生人數(shù)為100?40=60，

于是可完成心流無(wú)心流總計(jì)女生3554男生45156合計(jì)8020100零假設(shè)為H0:在創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)到心流與否與性別無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，

可得：χ2=100×(35×15?45×5)280×20×40×60=7532<3<3.841=x0.05，

根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，

因此可以認(rèn)為H0成立，即創(chuàng)新性學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)到心流與否與性別無(wú)關(guān);

(2)當(dāng)k=8時(shí)，p(k)的值最大，

p(k)=1?C78練21.解：(1)(i)當(dāng)天的銷售量n≥12時(shí)，利潤(rùn)y=12×(500?300)=2400，

當(dāng)天的銷售量n<12且n∈N時(shí)，利潤(rùn)y=500n?12×300=500n?3600；

所以當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于銷售量n的函數(shù)解析式為y=500n?3600,n<12,2400,n≥12,(n∈N)．

(ii)記“當(dāng)天的利潤(rùn)不低于1900元”為事件A，

由500n?3600≥1900，解得n≥11，所以事件A等價(jià)于當(dāng)天的銷售量不低于11箱，

所以P(A)=26+30+22+18+10150=5375，即當(dāng)天的利潤(rùn)不低于1900元的概率為5375．

(2)若當(dāng)天的進(jìn)貨量為11箱時(shí)，

日銷售量為8箱的利潤(rùn)為8×500?11×300=700元，

日銷售量為9箱的利潤(rùn)為9×500?11×300=1200元，

日銷售量為10箱的利潤(rùn)為10×500?11×300=1700元，

日銷售量不低于11箱的利潤(rùn)為11×(500?300)=2200元，

則日平均利潤(rùn)為：

y1?=1150[700×10+1200×14+1700×20+2200×(26+30+22+18+10)]=1940(元)，

若當(dāng)天的進(jìn)貨量為12箱時(shí)，

日銷售量為8箱的利潤(rùn)為8×500?12×300=400元，

日銷售量為9箱的利潤(rùn)為9×500?12×300=900元，

日銷售量為10箱的利潤(rùn)為10×500?12×300=1400元，

日銷售量為11箱的利潤(rùn)為11×500?12×300=1900元，

日銷售量不低于12箱的利潤(rùn)為練22.解：(1)從該班任取兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)恰好相等的概率為：P1故參加活動(dòng)次數(shù)不相等的概率為P(2)從該班中任選兩名學(xué)生，用ξ表示這兩名學(xué)生參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，則ξ的可能取值分別為：0，1，2，P(ξ=0)=2049，

P(ξ=1)=C從而ξ的分布列為：ξ012P20254E(ξ)=0×(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2?ηx?1在區(qū)間(3,5)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且2?η?6∴f(x)在區(qū)間(3,5)上為增函數(shù)，即f(3)f(5)<0，即(8?3η)(24?5η)<0，∴8又由于η的取值分別為：2，3，4，5，6，故η=3或4，故所求的概率為：

P(A)=C例5.解：(1)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為x?，

則x?=10×(40×0.01+50×0.02+60×0.03+70×0.024+80×0.012+90×0.004)．

解得x?=62.所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62;

前三組的頻率和為0.1+0.2+0.3=0.6，前四組的頻率和為0.1+0.2+0.3+0.24=0.84，

第四組的頻率為0.24，所以70%分位數(shù)為65+0.7?0.60.24×10=65+5012=4156．

(2)因?yàn)閷W(xué)生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ=62，σ≈14．

所以μ+2σ≈62+2×14=90.所以P(x≥90)=P(x≥μ+2σ)≈12(1?0.9545)=0.02275．

所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為0.02275×8000=182．

(3)由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為18可知：a2b=18．

則P=a2(1?b)+C21a(1?a)b=a2+2ab?例6.解：(1)假設(shè)為H0:感染甲流病毒與接種流感疫苗無(wú)關(guān)，

由列聯(lián)表可知χ2的觀測(cè)值χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(90×30?10×70)2100×100×160×40=12.5>10.828=x0.001，

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為感染甲流病毒與接種流感疫苗有關(guān)．

(2)由題意得，該醫(yī)院所有感冒癥狀中感染甲流病毒的概率為30+10200=15，

設(shè)隨機(jī)抽取的3人中至多有1人感染甲流病毒為事件A，

則P(A)=Cp(0,p(f′(p)+0?f(p)遞增極大值遞減綜上，當(dāng)p=3?33練31.解：(1)①I批次芯片的次品率為PI=1?1?P11?P21?P3=1?3435×3334×3233=335.

②設(shè)批次I的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，

由己知得PA=92100,PAB=1?PI=1?335=3235，

則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)芯片恰為合格品為事件B∣A，

PB∣A=PABPA=3235×10092開機(jī)速度滿意度芯片批次IJ合計(jì)不滿意12315滿意285785合計(jì)4060100根據(jù)列聯(lián)表得χ2=100×(12×57?28×3)240×60×15×85=100×600×60040×60×15×85練32.解：(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=cedx更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度對(duì)y=cedx兩邊取自然對(duì)數(shù)得lny=lnc+dx，

令z=lny，a=ln因?yàn)閎=i=17所以z關(guān)于x的回歸方程為z=0.272x?3.849所以y關(guān)于x的回歸方程為y=(2)①由f(p)=Cn2?p2n?3且n∈N?，當(dāng)0<p<2n