廣東省東莞市第七高級中學(xué)2011-2012學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題

廣東省東莞市第七高級中學(xué)2011-2012學(xué)年高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$，則函數(shù)的定義域為（）A.$(-2,2)$B.$(-2,0)\cup(0,2)$C.$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$2.下列各式中，能表示集合$M=\{x|2x^2-3x-2=0\}$的是（）A.$x=2$B.$x^2=\frac{3}{2}$C.$x^2-\frac{3}{2}x-2=0$D.$2x^2-3x-2=0$二、填空題要求：把答案填在橫線上。3.函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x+1}$的值域為______。4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n+1$，則該數(shù)列的前$n$項和$S_n$為______。三、解答題要求：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。5.（1）設(shè)$a$，$b$是方程$x^2-2px+q=0$的兩個實數(shù)根，且$a+b=4$，$ab=4$，求$p$和$q$的值。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n+1$，求該數(shù)列的前$n$項和$S_n$。6.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象開口向上，且頂點坐標(biāo)為$(1,3)$，$f(0)=2$，求函數(shù)$f(x)$的解析式。四、證明題要求：證明下列各題中的結(jié)論。7.證明：若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則對于任意的$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，若$x_1<x_2$，則$f(x_1)<f(x_2)$。8.證明：對于任意的實數(shù)$a$，$b$，$c$，若$a^2+b^2+c^2=1$，則$(a+b+c)^2\leq3$。五、應(yīng)用題要求：解答下列各題。9.（1）某商品原價為$1000$元，現(xiàn)進(jìn)行打折促銷，打$x$折（$x\in(0,1]$）后，售價為$y$元。求函數(shù)$y$關(guān)于$x$的函數(shù)表達(dá)式。（2）若$y$隨$x$的增大而增大，求$x$的取值范圍。10.（1）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$，求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。（2）若$x=3$時，$f'(x)$的值等于多少？六、綜合題要求：解答下列各題。11.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n+2$，求該數(shù)列的前$n$項和$S_n$。12.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}+2$，求函數(shù)$f(x)$的極值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.$(-2,0)\cup(0,2)$解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$要求根號下的表達(dá)式非負(fù)，即$4-x^2\geq0$，解得$x$的取值范圍為$-2\leqx\leq2$，但由于根號內(nèi)不能為零，所以$x$不能等于$0$，因此定義域為$(-2,0)\cup(0,2)$。2.D.$2x^2-3x-2=0$解析：集合$M$由方程$2x^2-3x-2=0$定義，只有當(dāng)$x$滿足這個方程時，$x$屬于集合$M$。二、填空題3.$(0,1)$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x+1}$可以重寫為$f(x)=1-\frac{1}{x+1}$，當(dāng)$x$趨向于無窮大時，$f(x)$趨向于$1$，而當(dāng)$x$趨向于$-1$時，$f(x)$趨向于$0$，因此值域為$(0,1)$。4.$n^2+2n$解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_1$是首項，$a_n$是第$n$項。由題意知$a_1=3$，$a_n=3n+2$，代入公式得$S_n=\frac{n(3+3n+2)}{2}=\frac{n(3n+5)}{2}=n^2+2n$。三、解答題5.（1）$p=2$，$q=4$解析：由根與系數(shù)的關(guān)系知，$a+b=2p$，$ab=q$，代入$a+b=4$和$ab=4$，解得$p=2$，$q=4$。（2）$S_n=n^2+2n$解析：由等差數(shù)列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=3$，$a_n=3n+2$，得$S_n=\frac{n(3+3n+2)}{2}=\frac{n(3n+5)}{2}=n^2+2n$。6.$f(x)=x^2-2x+1$解析：由頂點坐標(biāo)$(1,3)$知，對稱軸為$x=1$，因此頂點公式為$f(1)=a(1)^2+b(1)+c=3$，又因為$f(0)=2$，代入得$c=2$。由開口向上的性質(zhì)知$a>0$，代入頂點公式得$a+b+c=3$，解得$a=1$，$b=-2$，所以$f(x)=x^2-2x+1$。四、證明題7.證明：令$f'(x)=3x^2-3$，因為$x>0$，所以$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。對于任意的$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，若$x_1<x_2$，則$f(x_1)<f(x_2)$。解析：首先求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，因為$x>0$，所以$x^2>1$，從而$3x^2-3>0$，即$f'(x)>0$，這表明$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。由于單調(diào)遞增函數(shù)在任意兩個點之間保持單調(diào)性，所以對于任意的$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$。8.證明：由柯西不等式$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)\geq(a+b+c)^2$，得$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$，因為$a^2+b^2+c^2=1$，所以$(a+b+c)^2\leq3$。解析：使用柯西不等式，即$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)\geq(a+b+c)^2$，代入$a^2+b^2+c^2=1$，得$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$，即$3\geq(a+b+c)^2$，從而得到$(a+b+c)^2\leq3$。五、應(yīng)用題9.（1）$y=1000x(1-x)$解析：打$x$折意味著售價是原價的$x$倍，即$y=1000x$，但由于是打折，所以售價為原價減去折扣，即$y=1000x(1-x)$。（2）$0<x<1$解析：由于$y=1000x(1-x)$是一個開口向下的拋物線，其頂點在$x=\frac{1}{2}$處，因此當(dāng)$0<x<1$時，$y$隨$x$的增大而增大。10.（1）$f'(x)=\frac{2x^2-3x+2}{(x-2)^2}$解析：使用商法則求導(dǎo)，$f'(x)=\frac{(x-2)(2x-3)-(x^2-3x+2)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-3x+2}{(x-2)^2}$。（2）$f'(3)=\frac{10}{1}=10$解析：將$x=3$代入$f'(x)$的表達(dá)式中，得$f'(3)=\frac{2(3)^2-3(3)+2}{(3-2)^2}=\frac{18-9+2}{1}=10$。六、綜合題11.$S_n=\frac{3n^2+4n}{2}$解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，其中$a_1=3$，$a_n=3n+2$，代入公式得$S_n=\frac{n(3+3n+