物理學(xué)簡(jiǎn)明教程1-9章課后習(xí)題答案

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1?1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻/質(zhì)點(diǎn)的位矢為匚速度為。，速率為卯至(，+AZ)時(shí)間內(nèi)的位移為Ar,路程為As,

位矢大小的變化量為Ar(或稱(chēng)AIrI)，平均速度為方,平均速率為下.

(1)根據(jù)上述情況，那么必有()

(A)IArI=A.V=Ar

(B)IArIrAsrA??，當(dāng)Af—>0時(shí)有IdrI=dsdr

(C)IArI#Ar,AJ,當(dāng)A，一>0時(shí)有IdrI=drrds

(D)IArI聲A.vHAr,當(dāng)A/—0時(shí)有IdrI=d/-=dv

(2)根據(jù)上述情況，那么必有0

(A)\V\=V,\V\=V(B)|V\tv.\vI#V

(C)\V\=V,\V\tV(D)\V\/V,\V\=V

分析與解(1)質(zhì)點(diǎn)在，至a+AD時(shí)間內(nèi)沿曲線從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到產(chǎn)點(diǎn)，各量關(guān)系如下圖，其中路程As=PF,

位移大小IAri=PP，而Ar=Irl-lrl表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量，三個(gè)量的物理含義不同，在曲線運(yùn)

動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能).但當(dāng)A/-0時(shí)，點(diǎn)P無(wú)限趨近P點(diǎn),那么有IdrI=

ds,但卻不等于dr.應(yīng)選(B).

(2)由于IArI地義故包工包，即I〉I題.

ArAr

但由于IdrI=由,故生=上，即\y\=V.由此可見(jiàn)，應(yīng)選(C).

drdz

1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,)，)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見(jiàn)，即

“?d，ds

(1)—：(2)——;(3)—：(4)

drd/dr

下述判斷正確的選項(xiàng)是0

(A)只有(1)(2)正確(B)只有(2)正確

(C)只有(2)(3)正確(D)只有(3)(4)正確

分析與解上表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率，在極坐標(biāo)系中叫徑向速率.通常用符號(hào)山表示,

dr

這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量：上表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式。=工

drd/

計(jì)算，在直角坐標(biāo)系中那么可由公式0=J(祟)+(祟)求解.應(yīng)選(D).

1-3一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),那么有0

(A)切向加速度一定改變，法向加速度也改變

(B)切向加速度可能不變，法向加速度一定改變

(C)切向加速度可能不變，法向加速度不變

(D)切向加速度一定改變，法向加速度不變

分析與解加速度的切向分量?jī)?nèi)起改變速度大小的作用,而法向分量所起改變速度方向的作用.質(zhì)點(diǎn)作圓

周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度方向不斷改變，相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變

的.至于小是否改變，那么要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定.質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),m恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變

速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，，八為一不為零的恒量，當(dāng)m改變時(shí)，質(zhì)點(diǎn)那么傳一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng).由此可見(jiàn)，應(yīng)選

（B）.

1-4質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

式中xj的單位為nW的單位為s.

試求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向.

分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分氨再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方

向.

解（1）速度的分量式為

d

當(dāng)/=（）時(shí),加=-10m-s,voy=15m-s」，那么初速度大小為

設(shè)如與x軸的夾角為a,那么

a=123041,

（2）加速度的分量式為

dy/八_d。_

a=--v=60m?s2,a=--=-40ms-2

rdrvdr

那么加速度的大小為

設(shè)。與x軸的夾角為戊那么

.=?33。41＜或326。1第

1-5質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=4/,式中。的單位為m-s〃j的單位為s.如果當(dāng)，=3s時(shí)/=9m,o=2

m?s”，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程.

分析此題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類(lèi)問(wèn)題,即加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程，必須在給定條件卜.用積分方法解決.由

”=型和。=生可得（1。=。（1/和（1￥=。8.如a=a⑺或。=。（。，那么可兩邊直接積分.如果a或〃不是

drdr

時(shí)間f的顯函數(shù),那么應(yīng)經(jīng)過(guò)諸如別離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分.

解由分析知，應(yīng)有

得。=力一；/+%（I）

由Jdr=￡vdt

得x=2〃+卬+%Q)

將f=3s時(shí)x=9m,y=2m-s"代入（1）、（2）得

%=-lm-s。（）=0.75ni

于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

1-6飛機(jī)以100nrs」的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100m時(shí)，駕駛員要把物品空投到前方某一

地面目標(biāo)處,問(wèn)：⑴此時(shí)H標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？（2）投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線和

水平線成何角度？（3）物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？

題1-13圖

分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng).忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知，物品在空中沿水平方向作

勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎宜方向作自由落體運(yùn)動(dòng).到達(dá)地面目標(biāo)時(shí)，西方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的.因此,分別列

出其運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用時(shí)間相等的條件，即可求解.

此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只存在豎直向下的重力加速度.為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向

加速度，只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角a或小由圖可知，在特定時(shí)刻，，物體的切向加速度和

水平線之間的夾角凡可由此時(shí)刻的兩速度分量也、V、求出，這樣，也就可將重力加速度g的切向和法向分量

求得.

解(1)取如下圖的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為

x=vt,y=\/2

飛機(jī)水平飛行速度。=10()ms/，飛機(jī)離地面的高度)，=100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距

離

(2)視線和水平線的夾角為

(3)在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為

取自然坐標(biāo)，物品在拋出2s時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為

1-7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律s=%?—■!■初2運(yùn)動(dòng),如、都是常量.(|)求/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速

2

度；(2)/為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于/??(3)當(dāng)加速度到達(dá)〃時(shí)，質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？

分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開(kāi)始的曲線坐標(biāo).由給定的運(yùn)動(dòng)方程s=s⑺，對(duì)時(shí)間/求一階、

二階導(dǎo)數(shù)，即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量小，而加速度的法向分量為所=6R這樣，總加

速度為。=-商.至于質(zhì)點(diǎn)在川寸間內(nèi)通過(guò)的路程，即為曲線坐標(biāo)的改變量為=與?外因圓周長(zhǎng)為2元乩

質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得.

解(1)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為

其加速度的切向分量和法向分量分別為

V2_

T-R

故加速度的大小為

具方向與切線之間的夾角為

⑵要使I。I=＞由Li"?從十=4可得

R

⑶從1=0開(kāi)始到/=如分時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為

因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為

1-8一升降機(jī)以加速度1.22ns1上升,當(dāng)上升速度為2.44m-s“時(shí)，有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,

天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m.計(jì)算：⑴螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)

外固定柱子的下降距離.

分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下，一種處理方法是取地面為參考系，分別討論升降機(jī)豎直

向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng)，列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程

》=》(/)和⑺，并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件，問(wèn)題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)

為參考系，這時(shí)，螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng)，但是，此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度.升降機(jī)廂的高度

就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程.

解1(1)以地面為參考系，取如下圖的坐標(biāo)系，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為

當(dāng)螺絲落至底面時(shí)，有》="，即

(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為

解2(1)以升降機(jī)為參考系，此時(shí)期絲相對(duì)它的加速度大小"=g+a,螺絲落至底面時(shí)，有

(2)由于升降機(jī)在f時(shí)間內(nèi)上升的高度為

那么d=〃一〃'=0.716m

題1-8圖

1-9一無(wú)風(fēng)的下雨天，一列火車(chē)以0=20.0m-s”的速度勻速前進(jìn)，在車(chē)內(nèi)的旅客看見(jiàn)玻璃窗外的雨滴和

垂線成75。角下降.求雨滴下落的速度汲.(設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))

題1-19圖

分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.設(shè)雨滴為研究對(duì)象，地面為靜止參考系S,火車(chē)為動(dòng)參考系S，.仍為S，

相對(duì)S的速度M為雨滴相對(duì)S的速度，利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解.解以地面為參考系，火車(chē)相對(duì)

地面運(yùn)動(dòng)的速度為以，雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為s，旅客看到雨滴下落的速度”為相對(duì)速度，它們

之間的關(guān)系為。2=02+%(如下圖)，于是可得

1-10如圖⑶所示，一汽車(chē)在雨中沿史線行駛，其速率為。，下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前，角，速

率為。2’,假設(shè)車(chē)后有一長(zhǎng)方形物體,問(wèn)車(chē)速S為多大時(shí)，此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？

分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的府題.可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象，地面為靜參考系S,汽車(chē)為動(dòng)參考系S，.如圖

(a)所示，要使物體不被淋濕，在車(chē)上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)F汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)速度出的方向)應(yīng)滿足

?>arctan-.再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系M=2-%抑可求出所需車(chē)速5.

h

題1-20圖

解由《-q[圖(b)],有

而要使a>arctan，,那么

h

1-11用水平力網(wǎng)把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止.當(dāng)戶N?逐漸增大時(shí)，物體所受的靜摩

擦力耳的大小0

(A)不為零，但保持不變

(B)隨八成正比地增大

(C)開(kāi)始隨產(chǎn)N增大，到土某一最大俏后.就保持不變

(D)無(wú)法確定

分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是，靜摩擦力可在零與最大值〃尸N范圍內(nèi)取值.當(dāng)尸N增加時(shí)，靜摩擦力可

取的最大值成止比增加,但具體大小那么取決了被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由題意知,物體一直保持靜止?fàn)?/p>

態(tài),故靜摩擦力與重力大小相等，方向相反，并保持不變，應(yīng)選(A).

1-12一段路面水平的公路，轉(zhuǎn)穹處軌道半徑為R,汽車(chē)輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為"，要使汽車(chē)不至于發(fā)

生側(cè)向打滑，汽車(chē)在該處的行駛速率0

(A)不得小于必須等于

(C)不得人于，〃gJ(D)還應(yīng)由汽車(chē)的質(zhì)量機(jī)決定

分析與解由題意知，汽車(chē)應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，為保證汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只

能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供，能夠提供的最大向心力應(yīng)為〃尸N.由此可算得汽車(chē)轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)

為。=〃Hg.因此只要汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值，均能俁證不側(cè)向打滑.應(yīng)選(C).

1-13一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑，在下滑過(guò)程中，那么0

(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心，其速率保持不變

(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加

(C)它受到的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心

(D)它受到的合外力大小不變，其速率不斷增加

分析與解由圖可知，物體在下滑過(guò)程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支

持力尸N作用,其合外力方向并非指向圓心，其大小和方向均與物體所在位置有關(guān).重力的切向分量("gCOS。)

使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷)，那么物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(乂稱(chēng)法向力)將不斷

增大，由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程&—〃gsinJ=m—可判斷，隨。角的不斷增大過(guò)程，軌道支持力

R

隊(duì)也將不斷增大,由此可見(jiàn)應(yīng)選(B).

*1-14圖(a)示系統(tǒng)置于以a=l/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量相同均為孫A所在的桌

面是水平的，繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì)，假設(shè)忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦，并不計(jì)空氣阻力，那么繩中張

力為0

(A)5/8mg(B)1/2mg(C)mg(D)2mg

分析與解此題可考慮對(duì)A、B兩物體加上慣性力后，以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解.此時(shí)A、B兩物

體受力情況如圖(b)所示，圖中〃為A、B兩物體相對(duì)電梯的加速度,“以為慣性力.對(duì)A、B兩物體應(yīng)用牛

申更第二定律，可解得尸T=5/8〃―應(yīng)選(A).

討論對(duì)于習(xí)題2-5這種類(lèi)型的物理問(wèn)題，往往從非慣性參考系(此題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明

確，但由于牛頓定律只適用于慣性參考系，故從非慣性參考系求解力學(xué)問(wèn)題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的

慣性力.如以地面為慣性參考系求解，那么兩物體的加速度0A和曲均應(yīng)對(duì)地而言，此題中念和題的大小與

方向均不相同.其中怒應(yīng)斜向上.對(duì)公、利、。和之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解過(guò)程較繁瑣.有興

趣的讀者不妨自己嘗試一下.

1?15在如圖(a)所示的輕滑輪上跨有一輕繩，繩的兩端連接著質(zhì)量分別為1kg和2kg的物體A和B,現(xiàn)

以50N的恒力"向上提滑輪的軸.不計(jì)滑輪質(zhì)量及滑輪與繩間摩擦，求A和B的加速度各為多少？

題1-15圖

分析在上提物體過(guò)程中，由于滑輪可以轉(zhuǎn)動(dòng)，所以A、B兩物體對(duì)地加速度并不相同，故應(yīng)挖A、B和滑

輪分別隔離后，運(yùn)用牛頓定律求解，此題中因滑輪質(zhì)量可以不計(jì)，故兩邊繩子張力相等，且有尸=2斤.

解隔離后，各物體受力如圖(b)所示，有

滑輪尸一24=0

A『，色二叫八

B=，時(shí)期

聯(lián)立三式，得4A=15.2m-s",=2.7ms-2

討論如由式bA=(,7?A求解，所得4是A、B兩物體構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心加速度，

并不是A、B兩物體的加速度.上式叫質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理.

1-16一質(zhì)量為機(jī)的小球最初位于如圖(a)所示的A點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道4QC8下滑.試求小球

到達(dá)點(diǎn)。時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力.

題1-16圖

分析該題可由牛頓第二定律求解.在取自然坐標(biāo)的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度小,與

其相對(duì)應(yīng)的外力乩是重力的切向分量，〃gsina,而與法向加速度小相對(duì)應(yīng)的外力是支持力FN和重力的法向

分量機(jī)gcosa.由此，可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程八=〃Kk.，/df和/由于小球在滑動(dòng)過(guò)程中

加速度不是恒定的，因此，需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便，可轉(zhuǎn)換積分變量.

該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度，方法比擬簡(jiǎn)便.但

它不能直接給出小球與圓弧外表之間的作用力.

解小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到重力尸和圓軌道對(duì)它的支持力尸N.取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得

廣.d。,八

Ft=一"zgsina=m—(1)

F“=斡一mgcosa=(2)

R

由。=5=皿，得d/二心，代入式⑴，并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的始末條件，進(jìn)行積分，有

d/drv

得o=J2，xcos?

那么小球在點(diǎn)C的角速度為

2

由式(2)得Fv=m----4-cosa=3mgcosa

r

由此可得小球?qū)A軌道的作用力為

負(fù)號(hào)表示FN與en反向.

1-17光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦月數(shù)為4，開(kāi)

始時(shí)物體的速率為如，求：(l)t時(shí)刻物體的速率；(2)當(dāng)物體速率從加減少匕)/2時(shí).，物體所經(jīng)歷的時(shí)間及

經(jīng)過(guò)的路程.

題1-17圖

分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的，因而，可先分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.物體在作圓周運(yùn)動(dòng)

的過(guò)程中，促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支掙力尸N和環(huán)與物體之間的摩擦力尸f,而摩

擦力大小與正壓力尸N成正比，且凡v與尸./乂是作用力與反作用力，這樣，就可通過(guò)它們把切向和法向兩個(gè)加

速度聯(lián)系起來(lái)了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程.

解(1)設(shè)物體質(zhì)量為〃，，取圖中所示的自然坐標(biāo)，按牛頓定律，有

由分析中可知，摩擦力的大小H二〃網(wǎng),由上述各式可得

取初始條件，=0時(shí)。=如，并對(duì)上式進(jìn)行積分，有

(2)當(dāng)物體的速率從如減少到％/2時(shí)，由上式可得所需的時(shí)間為

物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程

第二章動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律

2-1對(duì)質(zhì)點(diǎn)系有以下幾種說(shuō)法：

(1)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；

(2)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；

(3)質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守為力無(wú)關(guān).

以下對(duì)上述說(shuō)法判斷正確的選項(xiàng)是0

(A)只有(1)是正確的(B)(1)、(2)是正確的

(C)(1)、(3)是正確的(D)(2)、(3)是正確的

分析與解在質(zhì)點(diǎn)組中內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的,它們是作用力與反作用力.由于一對(duì)內(nèi)力的沖量恒為零，故

內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量.但由于相互有作用力的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移大小以及位移與力的夾角一般不

同，故一對(duì)內(nèi)力所作功之和不一定為零,應(yīng)作具體分析，如一對(duì)彈性內(nèi)力的功的代數(shù)和一般為零，一對(duì)摩擦

內(nèi)力的功代數(shù)和一般不為零，對(duì)于保守內(nèi)力來(lái)說(shuō),所作功能使質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，因此保守內(nèi)力即

使有可能改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能，但也不可能改變質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能.綜上所述(1)(3)說(shuō)法是正確的.應(yīng)選(C).

2-2有兩個(gè)傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的，有兩個(gè)一樣的物

塊分別從這兩個(gè)斜面的頂點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑下，那么。

(A)物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)量相等

(B)物塊到達(dá)斜面底端時(shí)動(dòng)能相等

(C)物塊和斜面(以及地球)組成的系統(tǒng)，機(jī)械能不守恒

(D)物塊和斜面組成的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒

分析與解對(duì)題述系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，由題意知并無(wú)外力和非保守內(nèi)力作功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒.物體在下滑過(guò)程

中，一方面通過(guò)重力作功將勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，另一方面通過(guò)物體與斜面之間的彈性內(nèi)力作功將一局部能量

轉(zhuǎn)化為斜面的動(dòng)能,其大小取決其中一個(gè)內(nèi)力所作功.由于斜面傾角不同，故物體沿不同傾角斜面滑至底

端時(shí)動(dòng)能大小不等.動(dòng)量自然也就不等(動(dòng)量方向也不同).故(A)(B)(C)三種說(shuō)法均不正確.至于說(shuō)法(D)

正確,是因?yàn)樵撓到y(tǒng)動(dòng)量雖不守恒(下滑前系統(tǒng)動(dòng)量為零，下滑后物體與斜面動(dòng)量的矢量和不可能為零.由

此可知，此時(shí)向上的地面支持力并不等于物體與斜面向下的重力)，但在水平方向上并無(wú)外力，枚系統(tǒng)在水

平方向上分動(dòng)量守恒.

2?3如下圖，質(zhì)量分別為孫和加2的物體A和反置于光滑桌面上4和8之間連有一輕彈簧.另有質(zhì)量為，川和，〃2

的物體C和。分別置于物體A與3之上,且物體A和C、8和。之間的摩擦因數(shù)均不為零.首先用外力沿水平

方向相向推壓A和反使彈簧被壓縮燃后撤掉外力,那么在A和B彈開(kāi)的過(guò)程中，對(duì)兒B、C、D以及彈簧組

成的系統(tǒng)，有0

(A)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒(B)動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒

(C)動(dòng)量不守恒,機(jī)械能不守恒(D)動(dòng)量守恒,機(jī)械能不一定守恒

分析與解由題意知，作用在題述系統(tǒng)上的合外力為零，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，但機(jī)械能未必守恒，這取決于在A、

B彈開(kāi)過(guò)程中C與A或D與B之間有無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，如疔那么必然會(huì)因摩擦內(nèi)力作功，而使一局部機(jī)械能

轉(zhuǎn)化為熱能，應(yīng)選(D).

2-4如下圖，子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出,以地面為參考系，以下說(shuō)法中正確的說(shuō)法

是0

(A)子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能

(B)子彈-木塊系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

(C)子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功

(D)子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過(guò)程中產(chǎn)生的熱

分析與解子彈.木塊系統(tǒng)在子彈射入過(guò)程中，作用于系統(tǒng)的合外力為零，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒,但機(jī)械能并不

守恒.這是因?yàn)樽訌椗c木塊作用的一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和不為零(這是因?yàn)樽訌棇?duì)地位移大于木塊對(duì)

地位移所致)，子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服阻力所作功，子彈減少的動(dòng)能中，一局部通過(guò)其反作用力對(duì)木

塊作正功而轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能，另一局部那么轉(zhuǎn)化為熱能(大小就等于這一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和).綜上

所述，只有說(shuō)法(C)的表述是完全王確的.

2-5質(zhì)量為小的物體,由水平面上點(diǎn)。以初速為次)拋出初與水平面成仰角a.假設(shè)不計(jì)空氣阻九求:⑴物

體從發(fā)射點(diǎn)。到最高點(diǎn)的過(guò)程中.重力的沖量；(2)物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同?水平面的過(guò)程中，重力的沖

量.

分析重力是恒力，因此，求其在一段時(shí)間內(nèi)的沖量時(shí)，只需求出時(shí)間間隔即可.由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，物體

到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間=陋吧，物體從出發(fā)到落回至同?水平面所需的時(shí)間是到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間的兩

g

倍.這樣，按沖量的定義即可求得結(jié)果.

另一種解的方法是根據(jù)過(guò)程的始、末動(dòng)量，由動(dòng)量定理求出.

解1物體從出發(fā)到達(dá)最高點(diǎn)所需的時(shí)間為

那么物體落回地面的時(shí)間為

于是,在相應(yīng)的過(guò)程中重力的沖量分別為

解2根據(jù)動(dòng)量定理.物體由發(fā)射點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A、8的過(guò)程中.重力的沖曷分別為

2-6高空作業(yè)時(shí)系平安帶是非常必要的.假設(shè)一質(zhì)量為51.0kg的人，在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下

來(lái)，由于平安帶的保護(hù)，最終使他被懸掛起來(lái).此時(shí)人離原處的距離為2.0m,平安帶彈性緩沖作用時(shí)間為

0.50s.求平安帶對(duì)人的平均沖力.

分析從人受力的情況來(lái)看，可分兩個(gè)階段：在開(kāi)始下落的過(guò)程中，只受重力作用，人體可看成是作自由落

體運(yùn)動(dòng)；在平安帶保護(hù)的緩沖過(guò)程中，那么人體同時(shí)受重力和平安帶沖力的作用，其合力是一變力,且作用

時(shí)間很短.為求平安帶的沖力，可以從緩沖時(shí)間內(nèi)，人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（動(dòng)量）的改變來(lái)分析，即運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)

討論.事實(shí)上，動(dòng)量定理也可應(yīng)月于整個(gè)過(guò)程.但是，這時(shí)必須分清重力和平安帶沖力作用的時(shí)間是不同

的：而在過(guò)程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零.這樣，運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果.

解1以人為研究對(duì)象，按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論.在自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，人跌落至2m處時(shí)的速度

為

v}=y/2gh（1）

在緩沖過(guò)程中，人受重力和平安帶沖力的作用,根據(jù)動(dòng)量定理，有

（F+P）Ar=mv2-tnv]（2）

由式（1）、（2）可得平安帶對(duì)人的平均沖力大小為

解2從整個(gè)過(guò)程來(lái)討論.根據(jù)動(dòng)量定理有

2?7如下圖，在水平地面上，有一橫截面S=0.20nf的直角彎管,管中有流速為『=3.0的水通過(guò),求彎管

所受力的大小和方向.

題3-12圖

分析對(duì)于彎曲局部AB段內(nèi)的水而言，由于流速一定，在時(shí)間加內(nèi)，從其?端流入的水量等于從另?端流

出的水量.因此，對(duì)這局部水來(lái)說(shuō),在時(shí)間4內(nèi)動(dòng)量的增量也就是流入與流出水的動(dòng)量的增量切=,“〃（即

-PA）;此動(dòng)量的變化是管壁在Af時(shí)間內(nèi)對(duì)其作用沖量/的結(jié)果.依據(jù)動(dòng)量定理可求得該段水受到管壁的沖

力尸；由牛頓第三定律，自然就得到水流對(duì)管壁的作用力尸』步.

解在Af時(shí)間內(nèi)，從管一端流入（或流出）水的質(zhì)量為Am=puSA/,彎曲局部AB的水的動(dòng)量的增量那么為

Ap=A/〃（OB-VA）（CB-VA）

依據(jù)動(dòng)量定理/=Ap,得到管壁對(duì)這局部水的平均沖力

從而可得水流對(duì)管壁作用力的大小為

作用力的方向那么沿直角平分線指向彎管外側(cè).

2?8質(zhì)量為M的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為利的物體，此人用與水平面成。角的速率如向前跳去.當(dāng)他到達(dá)最高

點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為“的水平速率向后拋出.問(wèn)：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？

（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）

分析人跳躍距離的增加是由于他在最高點(diǎn)處向后拋出物體所致.在拋物的過(guò)程中，人與物之間相互作用

力的沖量，使他們各自的動(dòng)量發(fā)生了變化.如果把人與物視為一系統(tǒng)，因水平方向不受外力作用，故外力的

沖量為零，系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒.但在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)、必須注意系統(tǒng)是相對(duì)地面（慣性系）而言的,

因此，在處理人與物的速度時(shí)，要根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系來(lái)確定.至于，人因跳躍而增加的距離，可根據(jù)人在水

平方向速率的增量Au來(lái)計(jì)算.

解取如下圖坐標(biāo).把人與物視為一系統(tǒng)，當(dāng)人跳躍到最高點(diǎn)處，在向左拋物的過(guò)程中,滿足動(dòng)量守恒，故有

式中。為人拋物后相對(duì)地面的水平速率，。-〃為拋出物對(duì)地面的水平速率.得

人的水平速率的增量為

而人從最高點(diǎn)到地面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

所以,人跳躍后增加的距離

2-9一質(zhì)量為0.20kg的球，系在長(zhǎng)為2.00m的細(xì)繩上，細(xì)繩的另一端系在天花板上.把小球移至使細(xì)繩

與豎直方向成30。角的位置，然后從靜止放開(kāi).求：（1）在繩索從30。角到0。角的過(guò)程中，重力和張力所作的

功；（2）物體在最低位置時(shí)的動(dòng)能和速率；（3）在最低位置時(shí)的張力.

題2-9圖

分析（I）在計(jì)算功時(shí)，首先應(yīng)明確是什么力作功.小球擺動(dòng)過(guò)程中同時(shí)受到重力和張力作用.重力是保守

力,根據(jù)小球下落的距離，它的功很易求得;至于張力雖是一變力，但是，它的方向始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,

根據(jù)功的矢量式尸?山,即能得出結(jié)果來(lái).⑵在計(jì)算功的根底上，由動(dòng)能定理直接能求出動(dòng)能和速

率.（3）在求最低點(diǎn)的張力時(shí)，可根據(jù)小球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度由重力和張力提供來(lái)確定.

解（1）如下圖，重力對(duì)小球所作的功只與始末位置有關(guān)，即

在小球擺動(dòng)過(guò)程中,張力rT的方向總是與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以，張力的功

（2）根據(jù)動(dòng)能定理，小球擺動(dòng)過(guò)程中，其動(dòng)能的增量是由于重力龍它作功的結(jié)果.初始時(shí)動(dòng)能為零，因而，在

最低位置時(shí)的動(dòng)能為

小球在最低位置的速率為

（3）當(dāng)小球在最低位置時(shí)，由牛頓定律可得

2-10一質(zhì)量為〃?的質(zhì)點(diǎn)，系在細(xì)繩的一端,繩的另一端固定在平面上.此質(zhì)點(diǎn)在粗糙水平面上作半徑為r

的圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)質(zhì)點(diǎn)的最初速率是的.當(dāng)它運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，其速率為%/2.求：（I）摩擦力作的功；（2）動(dòng)摩

擦因數(shù)；（3）在靜止以前質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了多少圈？

分析質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的減緩,意味著其動(dòng)能減少；而減少的這局部動(dòng)能那么消耗在運(yùn)動(dòng)中克服摩

擦力作功上.由此,可依據(jù)動(dòng)能定理列式解之.

解（1）摩擦力作功為

1,1,3,

W=與一昂=耳

⑵由于摩擦力是一恒力，且立?=〃叫，故有

W=Fuscos1800=-2^ong（2）

由式（1）、（2）可得動(dòng)摩擦因數(shù)為

（3）由于一周中損失的動(dòng)能為3加說(shuō)，那么在靜止前可運(yùn)行的圈數(shù)為

8

穌）4

n=二三圈

3

2-11如圖（a）所示工和8兩塊板用一輕彈簧連接起來(lái)，它們的質(zhì)量分別為〃，和川2.問(wèn)在4板上需加多大的

壓力，方可在力停止作用后,恰能使A在跳起來(lái)時(shí)〃稍被提起.（設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為Q

題2-11圖

分析運(yùn)用守恒定律求解是解決力學(xué)問(wèn)題最簡(jiǎn)捷的途徑之一.因?yàn)樗c過(guò)程的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)，也常常與特定力

的細(xì)節(jié)無(wú)關(guān)."守恒'’那么意味著在條件滿足的前提下，過(guò)程中任何時(shí)刻守恒量不變.在具體應(yīng)用時(shí)，必須

恰當(dāng)?shù)剡x取研究對(duì)象（系統(tǒng)）,注意守恒定律成立的條件.該題可用機(jī)械能守恒定律來(lái)解決.選取兩塊板、

彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，該系統(tǒng)在外界所施壓力撤除后（取作狀態(tài)1）,直到8板剛被提起（取作狀態(tài)2）,在這一過(guò)程

中，系統(tǒng)不受外力作用，而內(nèi)力中乂只有保守力（重力和彈力）作功,支持力不作功，因此，滿足機(jī)械能守恒的

條件.只需取狀態(tài)1和狀態(tài)2,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列出方程，并結(jié)合這兩狀態(tài)下受力的平衡,便可將所需壓

力求出.

解選取如圖（b）所示坐標(biāo),取原點(diǎn)。處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn).作各狀態(tài)下物體的受力圖.對(duì)A板而

言，當(dāng)施以外力加寸，根據(jù)受力平衡有

F1=P1+F（1）

當(dāng)外力撤除后，按分析中所選的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律可得

式中V、”為M、N兩點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)。的位移.因?yàn)榫?@［，尸2="2及上式可寫(xiě)為

Fi-F2=2Pi（2）

由式（1）、（2）可得

尸=多+尸2（3）

當(dāng)A板跳到N點(diǎn)時(shí)J3板剛被提起，此時(shí)彈性力尸2=P?，且&=尸'2.由式（3）可得

F=尸1+尸2=（Wl+"72）g

應(yīng)注意，勢(shì)能的零點(diǎn)位置是可以任意選取的.為計(jì)算方便起見(jiàn)，通常取彈簧原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零點(diǎn)，也同

時(shí)為重力勢(shì)能的零點(diǎn).

2?12如下圖，一質(zhì)量為小的木塊靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為m/2的子彈沿水平方向以速率%射入

木塊一段距離L（此時(shí)木塊滑行距離恰為s）后留在木塊內(nèi)，求：（1）木塊與子彈的共同速度力此過(guò)程中

木塊和子彈的動(dòng)能各變化了多少？（2）子彈與木塊間的摩擦阻力對(duì)木塊和子彈各作了多少功？13）證

明這一對(duì)摩擦阻力的所作功的代數(shù)和就等于其中一個(gè)摩擦阻力沿相對(duì)位移L所作的功.（4）證明這一對(duì)摩

擦阻力所作功的代數(shù)和就等于子彈-木塊系統(tǒng)總機(jī)械能的減少量（亦即轉(zhuǎn)化為熱的那局部能量）.

題2-12圖

分析對(duì)子彈-木塊系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，滿足動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)動(dòng)能并不守恒，這是因?yàn)橐粚?duì)摩擦內(nèi)力所做功的代

數(shù)和并不為零，其中摩擦阻力對(duì)木塊作正功，其反作用力對(duì)子彈作負(fù)功，后者功的數(shù)值大于前者，通過(guò)

這一對(duì)作用力與反作用力所做功，子彈將一局部動(dòng)能轉(zhuǎn)移給木塊，而另一局部卻轉(zhuǎn)化為物體內(nèi)能.此題13）、

（4）兩問(wèn)給出了具有普遍意義的結(jié)論，可幫助讀者以后分析此類(lèi)問(wèn)題.

解（1）子彈-木塊系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒，有

解得共同速度

對(duì)木塊Af=—-0=—

218

對(duì)子彈=:（爭(zhēng)/一；（爭(zhēng)片二—［叫

（2）對(duì)木塊和子彈分別運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，那么

對(duì)木塊%=A&/叫

對(duì)子彈W,=AE=

LKk2L--mvlU

(3)設(shè)摩擦阻力大小為工，在兩者取得共同速度時(shí)，木塊對(duì)地位移為s,那么子彈對(duì)地位移為￡+s,有

對(duì)木塊W]=Ffs

對(duì)子彈W2=-Ff(L+s)

得W=WX+W2=-FiL

式中L即為子彈對(duì)木塊的相對(duì)位移，“-”號(hào)表示這一對(duì)摩擦阻力(非保守力)所作功必定會(huì)使系統(tǒng)機(jī)

械能減少.

2

(4)對(duì)木塊=F{s=^mv

對(duì)子彈區(qū)=一G(￡+s)=：(m>2一：(今)片

兩式相加，得

3

即一尸(=一R〃%；

兩式相加后實(shí)為子彈-木塊系統(tǒng)作為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理表達(dá)式，左邊為一對(duì)內(nèi)力所作功，右邊為系統(tǒng)動(dòng)

能的變化量.

2-13一質(zhì)量為機(jī)的地球衛(wèi)星，沿半徑為3踴的圓軌道運(yùn)動(dòng),碎為地球的半徑.地球的質(zhì)量為mE.求：(1)衛(wèi)

星的動(dòng)能；(2)衛(wèi)星的引力勢(shì)能：(3)衛(wèi)星的機(jī)械能.

分析根據(jù)勢(shì)能和動(dòng)能的定義，只需知道衛(wèi)星的所在位置和繞地球運(yùn)動(dòng)的速率，其勢(shì)能和動(dòng)能即可算

出.由于衛(wèi)星在地球引力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，由此可算得衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的速率和動(dòng)能.由于衛(wèi)星的引力

勢(shì)能是屬于系統(tǒng)(衛(wèi)星和地球)的，要確定特定位置的勢(shì)能時(shí)，必須規(guī)定勢(shì)能的零點(diǎn)，通常取衛(wèi)星與地球相距

無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的勢(shì)能為零.這樣，衛(wèi)星在特定位置的勢(shì)能也就能確定了.至于衛(wèi)星的機(jī)械能那么是動(dòng)能和勢(shì)能

的總和.

解(1)衛(wèi)星與地球之間的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓定律可得

那么紇」而出吆

26七

(2)取衛(wèi)星與地球相距無(wú)限遠(yuǎn)(/->00)時(shí)的勢(shì)能為零，那么處在軌道上的衛(wèi)星所具有的勢(shì)能為

(3)衛(wèi)星的機(jī)械能為

2-14如圖(a)所示，天文觀測(cè)臺(tái)有一半徑為R的半球形屋面，有一冰塊從光滑屋面的最高點(diǎn)由靜止沿屋面

滑下，假設(shè)摩擦力略去不計(jì).求比冰塊離開(kāi)屋面的位置以及在該位置的速度.

題2-14圖

分析取冰塊、屋面和地球?yàn)橄到y(tǒng)，由于屋面對(duì)冰塊的支持力斥始終與冰塊運(yùn)動(dòng)的方向垂直，故支持力不

作功；而重力?又是保守內(nèi)力，所以，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.但是，僅有一個(gè)機(jī)械能守恒方程不能解出速度和

位置兩個(gè)物理量；因此，還需設(shè)法根據(jù)冰塊在脫離屋面時(shí)支持力為零這一條件，由牛頓定律列出冰塊沿徑

向的動(dòng)力學(xué)方程.求解上述兩方程即可■得出結(jié)果.

解由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有

mgR=gmv2+mgRcos。(1)

根據(jù)牛頓定律，冰塊沿徑向的動(dòng)力學(xué)方程為

2

血gRcosO-&=彳-(2)

冰塊脫離球面時(shí)，支持力尸N=0,由式(1)、(2)可得冰塊的角位置

冰塊此時(shí)的速率為

。的方向與重力尸方向的夾角為

6(=90°-<9=41.8°

2?15如下圖，把質(zhì)量，〃=0.20kg的小球放在位置A時(shí)，彈簧被壓縮A/=7.5xl0-2m.然后在彈簧彈性力的

作用下，小球從位置A由靜止被釋放，小球沿軌道48CD運(yùn)動(dòng).小球與軌道間的摩擦不計(jì).8C7)是半徑r=

0.15m的半圓弧相距為2r.求彈簧勁度系數(shù)的最小值.

題2-15圖

分析假設(shè)取小球、彈簧和地球?yàn)橄到y(tǒng)，小球在被釋放后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,只有重力和彈力這兩個(gè)保守內(nèi)力作

功，軌道對(duì)球的支持力不作功，因比，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.運(yùn)用守恒定律解題時(shí)，關(guān)鍵在于選

好系統(tǒng)的初態(tài)和終態(tài).為獲取此題所求的結(jié)果，初態(tài)選在壓縮彈簧剛被釋放時(shí)刻，這樣，可使彈簧的勁度系

數(shù)與初態(tài)相聯(lián)系；而終態(tài)那么取在小球剛好能通過(guò)半圓弧時(shí)的最高點(diǎn)。處,因?yàn)檫@時(shí)小球的速率正處丁

種臨界狀態(tài)，假設(shè)大于、等于此速率時(shí)，小球定能沿軌道繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)；小于此速率時(shí)，小球?qū)⒄f(shuō)離軌道拋

出.該速率那么可根據(jù)重力提供圓弧運(yùn)動(dòng)中所需的向心力，由牛頓定律求出.這樣,再由系統(tǒng)的機(jī)械能守

恒定律即可解出該彈簧勁度系數(shù)的最小值.

解小球要?jiǎng)偤猛ㄟ^(guò)最高點(diǎn)。時(shí).軌道對(duì)小球支持力尸N=0,因此，有

fnv;

mg=-J(1)

r

取小球開(kāi)始時(shí)所在位置A為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，有

權(quán)(加)2=，叫(3r)+34⑵

由式(I)、(2)可得

2?16如下圖，質(zhì)量為加、速度為y的鋼球，射向質(zhì)量為“的靶.靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為人的彈簧，此靶

最初處于靜止?fàn)顟B(tài)，但可在水平面上作無(wú)摩擦滑動(dòng).求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離.

題2-16圖

分析這也是一種碰撞問(wèn)題.碰撞的全過(guò)程是指小球剛與彈簧接觸直至彈簧被壓縮到最大,小球與靶剛好

到達(dá)共同速度為止，在這過(guò)程中，小球和靶組成的系統(tǒng)在水平方句不受外力作用，外力的沖量為零，因此，在

此方向動(dòng)量守恒.但是，僅靠動(dòng)量守恒定律還不能求出結(jié)果來(lái).乂考慮到無(wú)外力對(duì)系統(tǒng)作功，系統(tǒng)無(wú)非保

守內(nèi)力作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒.應(yīng)用上述兩個(gè)守恒定律,并考慮到球與靶具有相同速度時(shí)，彈簧被壓

縮量最大這一條件，即可求解.應(yīng)用守恒定律求解，可免除碰撞口的許多細(xì)節(jié)問(wèn)題.

解設(shè)彈簧的最大壓縮量為刈.小球與靶共同運(yùn)動(dòng)的速度為6.由動(dòng)量守恒定律，有

mv=(m+加)V]⑴

又由機(jī)械能守恒定律，有

-〃病=-(m+/A4⑵

由式(I)、⑵可得

2-17質(zhì)量為〃曲彈丸A,穿過(guò)如下圖的擺錘B后,速率由〃減少到心.擺錘的質(zhì)量為立擺線長(zhǎng)度為/,如果擺

錘能在垂直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，彈丸速度。的最小值應(yīng)為多少？

題2-17圖

分析該題可分兩個(gè)過(guò)程分析.首先是彈丸穿越擺錘的過(guò)程.就彈丸與擺錘所組成的系統(tǒng)而言，由于穿越

過(guò)程的時(shí)間很短，重力和的張力在水平方向的沖量遠(yuǎn)小于沖擊力的沖量，因此，可認(rèn)為系統(tǒng)在水平方向不受

外力的沖量作用，系統(tǒng)在該方向上滿足動(dòng)量守恒.擺錘在碰撞中獲得了一定的速度，因而具有一定的動(dòng)能,

為使擺錘能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，必須使擺錘在最高點(diǎn)處有確定的速率,該速率可由其本身的重力提

供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力來(lái)確定；與此同時(shí)，擺錘在作圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，擺錘與地球組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械

能守恒定律，根據(jù)兩守恒定律即可解出結(jié)果.

解由水平方向的動(dòng)量守恒定律，有

v..

mv=m—+mv(1)

2

為使擺錘恰好能在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，擺線中的張力八=0,那么

-Q)

式中仇為擺錘在圓周最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速率.

又?jǐn)[錘在垂直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滿足機(jī)械能守恒定律，故有

11

r7

—mr>=2m'gl+-tnvf~(3)

22

解上述三個(gè)方程，可得彈丸所需速率的最小值為

2?18如下圖，一質(zhì)量為4的物塊放置在斜面的最底端A處,斜面的傾角為火高度為人物塊與斜面的動(dòng)摩擦因

數(shù)為〃，今有?質(zhì)量為/〃的子彈以速度如沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動(dòng).求物

塊滑出頂端時(shí)的速度大小.

題2-18圖

分析該題可分兩個(gè)階段來(lái)討論，首先是子彈和物塊的撞擊過(guò)程，然后是物塊(包含子彈)沿斜面向上的滑

動(dòng)過(guò)程.在撞擊過(guò)程中，對(duì)物塊和子彈組成的系統(tǒng)而言，由于撞擊前后的總動(dòng)量明顯是不同的，因此，撞擊過(guò)

程中動(dòng)量

不守恒.應(yīng)該注意，不是任何碰撞過(guò)程中動(dòng)量都是守恒的.但是，假設(shè)取沿斜面的方向，因撞擊力(屬于內(nèi)力)

遠(yuǎn)大于子彈的重力Pi和物塊的重力P2在斜面的方向上的分力以及物塊所受的摩擦力F「，在該方向上動(dòng)量

守恒,由此可得到物塊被撞擊后的速度.在物塊沿斜面上滑的過(guò)程中，為解題方便，可重新選擇系統(tǒng)(即取子

彈、物塊和地球?yàn)橄到y(tǒng))，此系統(tǒng)不受外力作用，而非保守內(nèi)力中僅摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的功能原理，可解

得最終的結(jié)果.

解在子彈與物塊的撞擊過(guò)程中，在沿斜面的方向上，根據(jù)動(dòng)量守恒有

/nvcos?=（in+in）v

0i⑴

在物塊上滑的過(guò)程中，假設(shè)令物塊剛滑出斜面頂端時(shí)的速度為5,并取A點(diǎn)的重力勢(shì)能為零.由系統(tǒng)的功

能原理可得

=g(m+加)r；+(〃z+mr)gh-g(加+加)u：(2)

由式（1）、（2）可得

2/9如下圖.一個(gè)質(zhì)量為用的小球,從內(nèi)壁為半球形的容器切緣點(diǎn)A滑下.設(shè)容器質(zhì)量?為〃乂半徑為R.內(nèi)壁光

滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上.開(kāi)始時(shí)小球和容器都處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)小球沿內(nèi)壁滑到容器底

部的點(diǎn)8時(shí),受到向上的支持力為多大？

題3-30圖

分析由于桌面無(wú)摩擦,容器可以在水平桌面上滑動(dòng)，當(dāng)小球沿容器內(nèi)壁下滑時(shí)，容器在桌面上也要發(fā)生移

動(dòng).將小球與容器視為系統(tǒng)，該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中沿水平桌面方向不受外力作用，系統(tǒng)在該方向上的動(dòng)量

守恒；假設(shè)將小球、容器與地球視為系統(tǒng)，因系統(tǒng)無(wú)外力作用，而內(nèi)力中重力是保守力，而支持力不作功,

系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.由兩個(gè)守恒定律可解得小球和容器在慣性系中的速度.由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的存在，小球相

對(duì)容器運(yùn)動(dòng)的軌跡是圓，而相對(duì)桌面運(yùn)動(dòng)的軌跡就不再是圓了，因此，在運(yùn)用曲線運(yùn)動(dòng)中的法向動(dòng)力學(xué)方程

求解小球受力時(shí)泌須注意參考系的選擇.假設(shè)取容器為參考系俳慣性系），小球在此參考系中的軌跡仍是

容器圓弧，其法向加速度可由此刻的速度（相對(duì)于容器速度）求得.在分析小球受力時(shí),除重力和支持力外