二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題（解析版）-2025年中考數(shù)學(xué)押題

二次期數(shù)中平移■翻折■痛轉(zhuǎn)綜合問題

目錄

解窘中考.................................................................................1

題型帶詞提分.............................................................................2

【題型一】二次由數(shù)中的平移嫁合問題...................................................2

【題型二】二次函敷中的制折綜合問題..................................................13

【題型三】二次函數(shù)中的建橋綠合問題..................................................22

解密中考

考情分析:二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，平移為高頻考點(diǎn)，?？冀馕鍪阶兓?；翻折為中頻,涉及對稱軸變換;旋轉(zhuǎn)低頻，多與坐標(biāo)系

結(jié)合。各地差異小，平移占比約30%,翻折20%,旋轉(zhuǎn)10%左右。

2.從題型角度看，平移、翻折多現(xiàn)選擇填空（直接求解析式）或解答題第一問（基礎(chǔ)變換）;旋轉(zhuǎn)常融綜合題

（如與幾何圖形結(jié)合求坐標(biāo)）,壓軸題占比約15%,側(cè)重邏輯推導(dǎo)。

備考策略:在中考數(shù)學(xué)備考中，熟記變換規(guī)律（如平移“左加右減”、翻折符號變化、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式）;分類練基

礎(chǔ)題與綜合題,注意變換后圖形性質(zhì)；壓軸題需結(jié)合函數(shù)與幾何，用方程思想聯(lián)立求解,強(qiáng)化畫圖分析能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】二次函數(shù)中的平移綜合問題

1.（2025?浙江?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y="+kc—3的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-4）.

（1）求二次函數(shù)解析式及其對稱軸；

（2）將函數(shù)圖象向上平移巾個單位長度，圖象與c軸相交于點(diǎn)A,B（A在原點(diǎn)左側(cè)），當(dāng)AO-.BO=1:4時，

求7n的值；

（3）當(dāng)n―1W/43時,二次函數(shù)的最小值為2%,求九的值.

【答案】（1）夕—x2—2x—3,對稱軸為直線①=1

（2）m=^

（3）n——2

【知識點(diǎn)】g=ax1+brr+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y—ax2+bx+c的最值、二次函數(shù)

圖象的平移

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，利用分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

（1）代入點(diǎn)B坐標(biāo)計算，求出b,再根據(jù)土=一三求出對稱軸即可；

2a

（2）設(shè)點(diǎn)4f0）、B（4t,0）,則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線/=1=4（41）,通過對稱軸不變來解出

力，從而得出上移距離m,

（3）先求出拋物線的頂點(diǎn)為（1,—4）,再分/二九一和3＞力=九一兩種情況來討論函數(shù)的最小值即

可，注意求出的口值和z=?i—1V1和3＞力=九一得到的幾范圍一?致才是有解.

【詳解】解）解:將（1,—4）代入函數(shù)表達(dá)式得：-4=1+6—3,則b=—2,

即拋物線的表達(dá)式為：g="—2劣—3,

則拋物線的對稱軸為直線/=1；

（2）解：當(dāng)40:60=1:4時，

設(shè)點(diǎn)A（—1,0）、B（4t,0）,

則平移后拋物線的對稱軸仍然為直線?=1=J⑷一力），則方=2，

則點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為：（一年，。）、（|-,0）,

則新拋物線的表達(dá)式為：+力一套）=62—2/一3+2,

即?72=號；

（3）解：由⑴知,拋物線的頂點(diǎn)為（1,-4）,

當(dāng)力二九一1V1,即打V2時，

拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值，即一4=2n，則n=—2;

當(dāng)3＞力=打一1＞1時，即24幾44時，

則拋物線在力二九一1時取得最小值，即（九一iy—2（n—1）—3=2n,

解得：n=0（舍去）或6（舍去）,

綜上，TI=-2.

________P

Co。國巧

1.用頂點(diǎn)式分析:設(shè)原函數(shù)為y=a{x-h)2+%,平移后頂點(diǎn)為(憶我),則新解析式為y=a(x-h')2+k'.

2.記平移規(guī)律:左右平移變從左加右減)，上下平移變％(上加下減)。如向右移館個單位，得g=a(c-九

—m)2+fco

3.分步平移:先左右再上下,或反之，結(jié)果一致。

4.一般式轉(zhuǎn)換:若為一般式，先配方成頂點(diǎn)式再平移，避免符號錯誤。

2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數(shù)0=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(—1,—5),B(l,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求當(dāng)一5W24—3時，二次函數(shù)0=〃+be+c的最大值.

(3)現(xiàn)將該二次函數(shù)夕=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移卜(k>0)個單位長度得到新的二次函

數(shù)圖象，當(dāng)2&尤&4時，新的二次函數(shù)有最小值，最小值為7,求平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】⑴—2,—8

(2)27

⑶y=x2-16x+55

【知識點(diǎn)】y=a/+be+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象與幾何

變換，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

⑴把點(diǎn)A(—1,—5),B(l,—9)代入9=d+be+c,即可求得6、c的值；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得；

(3)平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為沙=O—l—ky—9,分三種情況討論:①當(dāng)1+%<2,即0<k<1時，2

在對稱軸的右側(cè)，②當(dāng)2<l+kV4,即1<k<3時，③當(dāng)1+k>4,即k>3時，2<c<4在對稱軸

的左側(cè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】⑴解:將點(diǎn)4—1,—5),3(1,-9)代入,

得(―5=1—b+c,解得(6=-2，

寸I—9=l+b+c,[c=-8,

.'.b,c的值分別是一2,—8.

(2)解：：二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2—2x—8=(a;—I)2—9,

/.二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線c=l.

,/1>0,

/.二次函數(shù)圖象的開口向上，當(dāng)立<1時，夕隨c的增大而減小.

*.*—5&x4-3,

：.當(dāng)x=-5時，二次函數(shù)g=/+b/+。有最大值，最大值為y—(―5—I)2—9=36—9=27.

(3)解:平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(力一1—k)2—9,該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線/=1+k.

分三種情況討論：

①當(dāng)l+k&2,即0Vk<l時，2W力44在對稱軸的右側(cè)，

/.二次函數(shù)在力=2取得最小值，

/.(2—1—fc)2—9=7,解得k=5或k=—3,不符合題意.

②當(dāng)2VI+kV4,即IV%V3時，二次函數(shù)在N二l+k取得最小值,此時最小值為一9,不符合題意.

③當(dāng)l+k>4,即k>3時，2&力&4在對稱軸的左側(cè)，

/.二次函數(shù)在1=4時取得最小值，

（4—1—A;）2—9=7,解得k=7或k=—1（舍去），

此時二次函數(shù)的表達(dá)式為y=（力一1—7）2—9=（rr—8）2—9,即9=婷-16a:+55.

綜上所述，平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2—16x+55.

3.（2025?重慶?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx~4：^x軸交于點(diǎn)A、B,與￡軸交于點(diǎn)

。，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，OB=OC=2OA,連接BC.

⑴求拋物線的解析式.

（2）如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A、E關(guān)于沙軸對稱，線段跳;沿著射線平移.平移

后的線段記為MN,當(dāng)△BCP面積最大時，求PM+MN+ND的最小值.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上將拋物線夕=如?+辰—4沿射線AC方向平移2V5個單位長度得新拋物線y',在新

拋物線式上是否存在點(diǎn)Q,使AQPB=乙4co+45°?若存在,請直接出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，若不存在,請說

明理由.

【答案】（1）夕=—4

（2）最小值為+2

（3）存在，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2-或20+yror.

【知識點(diǎn)】線段周長問題（二次函數(shù)綜合）、角度問題（二次函數(shù)綜合）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積問

題（二次函數(shù)綜合）

【分析】（1）對于一^二次方程Q力2+反—4=0,根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，的=-2,/2=4.由根

與系數(shù)關(guān)系可得：力1+電=—~=2,力避2=—―=—8,得到a=4,b=—1,即可得到答案；

aa2

⑵設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（館,4山2一小一4）,從點(diǎn)p向2軸作垂線，及為垂足，PH交于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作EF//

222

BC交y軸于點(diǎn)F.求出=——?7i+2?n—8=—~（?n—2）+10.得到SARCP=—（jn—2）+2020.當(dāng)m

2時，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）,△BCP面積最大.得到PN+7W+ND的最小值為+2;

（3）點(diǎn)Q有兩個位置Qi和,分別在第三象限和第四象限，分情況進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）解：對于沙=。/+64—4,令力=0,g=—4.

/.OC=I-4|=4,05=0（7=4,OA=^-OB=2.

/.根據(jù)圖象可知：點(diǎn)A坐標(biāo)為（一2,0）,點(diǎn)口坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,-4）.

對于一^元二次方程a/+b/-4=0,根據(jù)二次函數(shù)和一^元二次方程的關(guān)系，為=—2,力2=4.

由根與系數(shù)關(guān)系可得：/1+冗2=——=2,XyX^———=—8

aa

：.a--^-,b=-1.

拋物線的解析式為沙=方/2一力―4.

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（館,]力2_小一4）,從點(diǎn)p向2軸作垂線，H為垂足,PH交于點(diǎn)G.

過點(diǎn)E作EF〃B。交y軸于點(diǎn)F.

根據(jù)題意OB=4,OB=。。，AOBC為等腰直角三角形.

故直線相當(dāng)于直線夕=c向下平移了4個單位長度，根據(jù)平移性質(zhì)直線BC的解析式為：沙=2—4.

???點(diǎn)G坐標(biāo)為（771,m—4）.

,**S^CP=S&GCP+S.GBP=fGP.OH+fGP.BH=%GP.OB,OB=4,

m—4^=--^-m2+2m—8

GP=yG-yP=（館—4）-

=-y（m-2）2+10.

SAHCP——（77i—2y+20<20.

當(dāng)m=2時，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）,ABCP面積最大.

2

此時點(diǎn)H與點(diǎn)E重合，點(diǎn)河與點(diǎn)G重合，HP=EP=\yP\=^x2-2-4|=4=OC

當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）時，毋1為和為ABOC的中位線，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0,—2）,點(diǎn)N的軌跡在與射線BC平

行的射線EF上.

作點(diǎn)。關(guān)于直線EF對稱點(diǎn)C,根據(jù)△CNC為等腰直角三角形，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（一2,-2）.

/.CN=C'N.

?：NM=CP=2,NM//CP,

：.四邊形CPAW在2W平移時始終為平行四邊形，「河二印.

/.PM+MN+ND=C'N+MN+ND>CD+MN=CD+2.

對于y二寺"一2一"的=一*=1,如-1-4=-^-.

CD=J（—2—1]+（—2+=雪.

.?.PAl+TW+ND的最小值為考L+2.

故△BCF面積最大時，PAl+MN+ND的最小值為當(dāng)L+2.

（3）根據(jù)題意。4=2,OC=4,則AC=y/AO~+OC2=2/5,故拋物線?/=}"一/一4沿射線人。方向平移

2V5個單位長度得新拋物線y'.相當(dāng)于拋物線g先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度得到y(tǒng)'.

如圖，

根據(jù)平移性質(zhì)可得式=(a;-2)2—(竄一2)—4—4=-^-x2—3x—4.

由(2)知BE=AO=2,PE=CO=4,AC=PB=V22+42=275.

AE=OB=4,OC=EP=4,則AF=BC=V42+42=472.

在/XACB和ABB4中，AC=BP,AB=BA,BC=AP,

：.AACBn/XBPA(SSS).

：.NAPB=ZBCA=NACO+ZBCO=ZACO+45°.

/B4P=45°,49=2,

直線AP相當(dāng)于直線y=-x向左平移了2個長度單位，

直線AP的解析式為y=—(a?+2)=—x—2.

如圖，點(diǎn)。有兩個位置Q和Q2,分別在第三象限和第四象限：

①點(diǎn)Q是AP和新拋物線”的交點(diǎn)，滿足NQFB=AAPB=NACO+45°.

結(jié)合直線4P和新拋物線式的解析式：-j-x2-3x-4=—x—2.

解得c=2—2V2或2+2V2,

由于Q在第三象限，所以Qi的橫坐標(biāo)為2-22.

②作出點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，然后作，工軸，T為垂足，再連接PA'交拋物線右側(cè)于點(diǎn)Q2.

這樣根據(jù)軸對稱的性質(zhì),ZQ2PB=AQ.PB=AAPB=AACO+45°.

設(shè)A4交BP于點(diǎn)R.

?/SAABF=±AB-EP=^-BP-AR,

.?.AR=6x4+(2—)=^^.BR=JAB?—BE2=,

oo

???cos/HAT=cos/BAR,即=羋，

AA'AB

把AT—AO+a;.,=2+x.,,AA'—2AR=,AB=6,AR=代入比例式解得:

55

_38

以,一5-

在Rt/\ATA'中，4T=〃/=VAfA2-AT2=譽(yù).

O

.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為(學(xué)，一卷).

設(shè)直線AP，的解析式為：V=ka;+b,代入點(diǎn)P和點(diǎn)A'的坐標(biāo)得：

f—4=2fc+b[fc=-v

{-等=和+“解得“=v

直線AP的解析式為：9:一]7一平.

結(jié)合拋物線K可得：■|"314=—齊一,，解得/2°+嚴(yán)或2。一嚴(yán).

由于點(diǎn)Q在第四象限，所以Q2的橫坐標(biāo)為：2。+^^.

綜合①②可得，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2—或20+yi^.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直

角三角形、勾股定理、函數(shù)的平移和對稱等知識，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?海南?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a￥0)與①軸交于A(—4,0),

8(1,0)兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)C(0,—2),連接AC,BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線上位于直線4。下方一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作9軸的平行線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E

是y軸上的一個動點(diǎn)，連接BE,PE.當(dāng)線段PD長度取得最大值時，求PE—BE的最大值,及此時點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線y=a/+近+c(a￥0),先向右平移1個單位長度，再像上平移2個單位長度,得到

新拋物線伏,點(diǎn)N是新拋物線上一點(diǎn)，連接CN,當(dāng)ZACN=ACBA-ACAB時,請求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴y"+年①―2

(2)PE—BE的最大值為32，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,—1)

(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(二巫,3—47)或(一5/所,3+47).

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、線段周長問題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次

函數(shù)圖象的平移

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確作出輔助線

并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

(1)拋物線y—ax2+bx+c(a7t0)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)。(0,—2)，待定系數(shù)法求

解析式，即可求解；

⑵先求得直線AC的解析式為y———2.設(shè)P(?TZ，0?7Z2+等Tn—2)，則。(viz,―2),得出PD的關(guān)

系式，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)P,B,E三點(diǎn)在一條直線上時，PE—BE取得最大值為PB,延長PO,交①軸于點(diǎn)F,得

出△PBF,△QBE為等腰直角三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1);

(3)根據(jù)平移得出新拋物線納的解析式，設(shè)直線C7V與2軸交于點(diǎn)Q,證明△AOC?△COB,/XQOC-

/\COA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線CN的解析式為y=-2x-2,聯(lián)立拋物線解析

式%=緊一1,即可求解.

【詳解】(1)解：:拋物線y=ax2+bx+C(QWO)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)C(0,—2),

(16a—4b+c=0Q=2

<a+b+c=Ofe=-1-,

[c=-2

c=-2

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為g=+9力一2;

(2)設(shè)直線4。的解析式為y=kx+n,

.J—4fc+n=0.1-

2"1=—2'

???直線4。的解析式為?力一2.

+2^,貝ID^m,--2),

??,點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方一動點(diǎn)，

PD—(―-2)—+2^)=--ym2—2m=--^-(m+2)2+2,

V-y<0,

當(dāng)m=-2時，PD取得最大值為2,此時點(diǎn)P(-2,-3).

，,點(diǎn)、E是y軸上的一個動點(diǎn),

:.PE-BE&PB,

???當(dāng)點(diǎn)P,B,石三點(diǎn)在一條直線上時，PE一跳?取得最大值為PB,

延長P。，交力軸于點(diǎn)F,如圖，

則PF_L力軸，

：.PF=3,OF=2,

：.BF=OF+OB=3,

：.PB=y/PF2-^OF2=3V2,

?；PF_LBF,BF=PF=3,

???AFBF為等腰直角三角形，

??.ZFBF=45°,

???跳;為等腰直角三角形，

：.OE=OB=\,

￡/(0,-1).

?,?當(dāng)線段PD長度取得最大值時，PE—BE的最大值為3/2,此時點(diǎn)石的坐標(biāo)為(0,-1);

2

/oV.-12.391/,3\25

???將拋物線"二32+坂；+°((1#0),先向右平移1個單位長度,再像上平移2個單位長度,得到新拋物線％的;

解析式為幼=4(6+4■—1)一等"+2=4/2+\_力_1.!

zv27o2i2?

設(shè)直線CN與2軸交于點(diǎn)Q,如圖，:

……____—_4

vA(-4,0),B(l,0),C(0,-2),

:.OA=4,OC=2,OB=1,

.OAOCn

,,云=市=2,

???乙40。="OB=90°,

???AAOC-ACOB,

??.AACO^ZCBO,

???ZACN=ACBA-ACAB,

：.4ACN=/ACO-ACAB,

???乙4CN=/ACO-AQCO,

???4QCO=/CAB.

???ZQOC=ZCOA=90°,

???AQOC-ACOA,

.OQ=PC

,,OC-OA'

.OQ=2

??24，

OQ=1,

Q(—1,0).

設(shè)直線CN的解析式為g=d/+e,

—d+e=Od=-2

e=-2e=-2

???直線CN的解析式為g=—2力一2.

y——2cx—2e7_-5-V17

劣2—2

夕=鼻2+鼻??（"=3—后，鼠=3+后

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5或『3—47）或（十巫,3+47）

5.（2025?湖南衡陽?一模）拋物線Lry=-yrr2+bx+c^x軸交于A（—4,0）,B（l,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

。，點(diǎn)P是拋物線心上的一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（—4＜?。?）.

⑴求拋物線〃的表達(dá)式.

（2）如圖1,連接AP,并延長4P交y軸于點(diǎn)。，連接BP,交y軸于點(diǎn)E.點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，OO+

4OE的值是否為定值，若是,請求出定值；若不是，請說明理由.

⑶將該拋物線的向左平移4個單位,再向上平移2個單位,得到如圖2所示的拋物線L2剛好經(jīng)過點(diǎn)P,

點(diǎn)及為拋物線L2對稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N,使以點(diǎn)A,P,河，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【答案】（1%+2

（2）00+4OE的值為定值10,理由見詳解

（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（一■1,2+呼）,（一■1,2—

【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、特殊四邊形（二次函數(shù)綜合）、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線和菱形的綜合等

知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的判定和性質(zhì).

⑴利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）過點(diǎn)P作PF_Lc軸于點(diǎn)F,得出△4PF?△ADO,ABOE?ABFP，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列

出關(guān)于小的代數(shù)式，化簡代數(shù)式即可得出結(jié)論；

⑶根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)分類討論，根據(jù)題意畫出圖形，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對邊平行且相等列出方程,解

方程即可得出坐標(biāo).

【詳解】（1）解:將A（—4,0）,B（l,0）兩點(diǎn)代入y=—++c得，

0=—8—4b+c

0=—j+6+c

b=

解得~l

c=2

拋物線J的表達(dá)式為y—―—+2；

⑵解：OD+4OE的值為定值10,理由如下，

如圖，過點(diǎn)P作PF_L/軸于點(diǎn)F,則AAPF?△ADO,i\BOE?ABFP,

.OPOAOE=PF

"PF-AF5OB-BF5

OA-PFPF-OB

即OD=^AF^^OE=^F~

假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,—；7722_1_館+2),則點(diǎn)尸坐標(biāo)為(771,0),

1Q

AFF=-ym2-ym+2,AF=m+4,OA=4,BF=l-m,OB=1,

--1-m2--|-m+2)—ym2--|-m+2

：.OD=,OE=

m+41—m

m2—1-m2--1-m

OO+4OE=rl

m+41—m

整理得，OD+4OE=-：。(館+4)(--1)=w

(m+4)(1—m)

???OD+4OE的值為定值10;

⑶解:平移后拋物線，的表達(dá)式為9=g3+4)2—曰0+4)+2+2,

整理得y=--^-x2—~^~x—10,

y=—^x2—^x—10

聯(lián)立＜

y=--^2?—|■力+2

/力=-3

解得

U/=2'

.?.點(diǎn)P坐標(biāo)為(-3,2),

根據(jù)勾股定理得，AP=V(-3+4)2+(2-0)2=V5

拋物線乙2的對稱軸為直線2=--------卜=-9,

2x(F)

①當(dāng)以點(diǎn)P為圓心AP長為半徑畫圓時，此圓與直線必=一］無交點(diǎn)，因為點(diǎn)P到直線2=—今的距離為

-3-(一號)=5；

②當(dāng)以點(diǎn)A為圓心AP長為半徑畫圓時,如下圖所示，

AM2=(-3+^-)2+(0-y)2=(V5)2

解得y=或y=-^y-,

即聞一？,吟)，峪(一？,一吟)，

假設(shè)2(如6),瓦。也)，

???NiMi//PAN%=PA,N2M2〃PA,N2M2=PA

Oi+/=-3+4,bi—=2;a2+=-3+4,b2+=2;

解得ax=--苧,8=2+；的=—~苧,b2=2—；

所以此時NK一■1,2+呼)，洶一Q—吟)；

③當(dāng)AP為菱形的對角線時，作R4的垂直平分線,交對稱軸于點(diǎn)略，如下圖所示,

圖2

假設(shè)略(一,

2

：.M3P^M3^

即(-3+?)+(2-%)2=(-乎+4)+yl

解得2/3=2

假設(shè)M(a3,b3),根據(jù)PM〃峪4,2以=喝人得，：

___________________________________.

劭+3=-4+—,2—劣=2,

解得口3=-1,&=0,

所以此時M（一日,0）

綜上可得N點(diǎn)坐標(biāo)為（—告,2+平2—乎）或（-y,0）.

【題型二】二次函數(shù)中的翻折綜合問題

6.（2025?湖南?二模）已知拋物線y=ax2-2ax-4（a>0）.

（1）如圖1,將拋物線y=ax2-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變,得

到一個新的函數(shù)圖象“W”.翻折后，拋物線頂點(diǎn)入的對應(yīng)點(diǎn)A恰好在2軸上，求拋物線夕=a〃—2ac

—4的對稱軸及a的值；

（2）如圖2,拋物線y=a/—2arc—4（a>0）的圖象記為“G"，與"軸交于點(diǎn)過點(diǎn)8的直線與⑴中的

圖象“W”（x>l）交于P,。兩點(diǎn)，與圖象“G”交于點(diǎn)D

①當(dāng)a=”時，求有的值；

②當(dāng)Q04時,請用合適的式子表示篇■（用含a的式子表示）.

【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線力=1;a=4

⑵①1;②

4+a

【知識點(diǎn)】相似三角形問題（二次函數(shù)綜合）、y=ax2+fcc+c的圖象與性質(zhì)、全等三角形綜合問題、其他問題

（二次函數(shù)綜合）

【分析】本題考查二次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)題意，分別求出拋物線的對稱軸和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即可求解；

（2）①證明△CFW空/\DCN，即可求解；

②當(dāng)a>0且aW4和a>4時，證明△CFQ?ADPT,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

【詳解】（1）解:拋物線的對稱軸為直線：,=—，即為①=1.

2a

當(dāng)/=1時

根據(jù)翻折可知點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為一8,即點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,一8）.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a—2a—4=—8,

解得：a=4,

即拋物線的對稱軸為直線力=1；a=4

⑵解：:a=4,

4x2-8x-4（力40或%>2）

圖象“W”的解析式為：g=

-4x2-i-8x—4（0<x<4）

①當(dāng)a=4時，圖象“G”的解析式為：9=.婷—白-4,

OOO

設(shè)直線的解析式為g=k/一4,

當(dāng)kx—4=4x2—8?-4時,

解得:力=0或力=2+牛；

.,?點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2+寺,

當(dāng)左力一4=—4x2+8T—4,

解得：c=0或1=2—;

.?.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2-與；

4

當(dāng)kr—4=曰力2—_—4時，

oo

解得：力=0或%=2+

4

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2+gk;

4

如圖，作PM〃比軸，過點(diǎn)。作CAIJ_力軸交PAf于點(diǎn)河,

圖1

作CN〃x軸，過點(diǎn)、D作DN_LCN爻CN于,&N,

由各點(diǎn)橫坐標(biāo)可得:PM=2+與-（2-4）=寺，

41472

的=2+告%—（2+4）=/，

??.PM=CN,

???P7W7/N軸，CW7//軸，

:.PM//CN,

??.ADCN=/CPM,

?：DN_LCN,CM_LPM,

：.ACMP=乙DNC=90°,

???/XCPM^dDCN（ASA）,

___________________________________G

：.PC=DC,

?也=1.

一CD，

②當(dāng)a>0且QW4時，圖象"G”是解析式為：y=ax2—2ax—4,

由①可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2—4，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2+亨，

當(dāng)左力一4=ax2—2ax—4,

解得：c=也及，

a

.?.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為：2a+fc;

a

當(dāng)0VQV4時，如圖，作PQ〃/軸，過點(diǎn)。作。Q_LN軸，交PQ于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作軸交PQ于點(diǎn)T;

由各點(diǎn)橫坐標(biāo)可得:PQ=2+專一（2—牛）=?，

prp-2a+?_①一旦）—4k+成

a14J4a

?.?CQ±PQ,DT_LPT,

J.CQ//DT,

：.叢CPQ?4DPT,

.PC=PQ=如=2a.

''~PD~'PT~^k-ak~4+a：

4a

當(dāng)a>4時，如圖，作PQ〃2軸，過點(diǎn)。作CQ_L2軸，交PQ于點(diǎn)Q,過點(diǎn)。作。T_Lrr軸交PQ于點(diǎn)T,

由各點(diǎn)橫坐標(biāo)可得:PQ=2+]—（2-1）=4,

prp_2a+k_（2——\—4k+欣

a14J4a

-CQ±PQ,DT_LPT,

：.CQ//DT,

??.△CPQ?ADPT,

則且=型="二工.

PDPT*成4+Q'

4a

綜上所述，用含a的式子表示第為

CD4+a

1.明確對稱軸：

①軸翻折:頂點(diǎn)（九,七）變仇,—k）,開口反向（a變一a）,解析式為夕=—aQ—無尸一品

y軸翻折:頂點(diǎn)變（―九,A；）,開口不變,解析式為y=a（x+Kf+ko

2.一般式處理:先配方成頂點(diǎn)式再翻折，避免符號錯誤。

3.利用對稱點(diǎn):任一點(diǎn)Q,5關(guān)于軸翻折后坐標(biāo)代入原函數(shù)，直接推導(dǎo)新解析式（如關(guān)于2軸翻折，

用“一一夕替換）。

7.（2025?山東濟(jì)南?一榭如圖1,拋物線G經(jīng)過點(diǎn)A（—3,0）、。（0,3）,對稱軸為直線c=—1,直線班;與t軸

所夾銳角為45°,與y軸交于點(diǎn)E.

⑴求拋物線G和直線BE的表達(dá)式；

（2）將拋物線G沿二、四象限的角平分線平移，使得平移后的拋物線與直線班;恰好只有一個交點(diǎn)，求拋

物線平移的距離；

⑶如圖2,將拋物線G沿直線BE翻折,得到新曲線G,G與0軸交于M、N兩點(diǎn),請直接寫出"點(diǎn)坐

標(biāo).

［答案］⑴y=—x2—2x+3^y=x—l

（2）若拋物線G向右下方平移^-72單位

O

（3）M（0,-2+V5）

【知識點(diǎn)】其他問題（二次函數(shù)綜合）、求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵；，

⑴根據(jù)題意，可得拋物線G對稱軸為直線c=一1,再將4（一3,0）,B（l,0）,C（0,3）代入表達(dá)式，根據(jù)題意,再

求解一次函數(shù)解析式，即可求解；

（2）根據(jù)題意，分情況若拋物線G向左上方平移，若拋物線G向右下方平移分別討論，即可求解；

___________________________________畝

⑶根據(jù)題意，設(shè)M(O,Q),進(jìn)而求解W的坐標(biāo)，將(1+Q,—1)代入g=—/—2/+3,求解即可

【詳解】⑴解：??,拋物線G對稱軸為直線力=一1,經(jīng)過點(diǎn)4(一3,0),

??.拋物線G經(jīng)過點(diǎn)石(1,0),

設(shè)拋物線G表達(dá)式為y=ax2-\-bx-\-c,

將/(一3,0),6(1,0),C(0,3)代入表達(dá)式,

(9Q—3b+c=0

<a-\-b+c=0,

[c=3

/.拋物線G為g=—x2—2力+3,

???直線BE與/軸所夾銳角為45°,

:.OE=OB=1,

E(0,—1),

設(shè)直線BE表達(dá)式為y=kx+b,把石(1,0),￡;(0,-1)代入，

得(O=k+b

\—l=b'

解得仁

直線BE:y=x—l,

：.拋物線G和直線BE的表達(dá)式分別為：g=—/—26+3和g=—1;

(2)解:①若拋物線G向左上方平移，則拋物線與直線BE始終有兩個交點(diǎn)，不合題意;

②若拋物線G向右下方平移，

二四象限角平分線表達(dá)式：y——X,

.,?拋物線向右平移m單位的同時向下平移m單位,

原拋物線G為y=—x2—2x+3=—(￡c+l)2+4,

???其頂點(diǎn)為(-1,4),

平移后頂點(diǎn)為(―14-772,4—772),

/.平移后拋物線表達(dá)式為y=—(0+1—771)2+4-m,

令—(x+l—mf+4—m=—1,

若平移后拋物線與直線8石只有一個交點(diǎn)，

則2\=—8力+25=0,

_25

m~8'

.?.平移的距離為孕血；

O

⑶解:設(shè)河(0,Q),

則點(diǎn)Af(0,a)關(guān)于g=u-1的對稱點(diǎn)為Af'Qy),

BM—1+a,

則的橫坐標(biāo)為：1+a,

則上AT的解析式為：g=—/+a,

因為該點(diǎn)在直線g=—x+a上，

則y=—l;

將(1+a,—1)代入g——力2—2/+3,

可得：-1=—(1+Q)2—2(1+a)+3,

解得：a——2+y/b或a=-2—(舍去);

點(diǎn)河坐標(biāo)為：河(0,-2+右)

8.（2025?廣西南寧?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線4=12+法+。經(jīng)過點(diǎn)（0,-3）,（-1,0）.

（1）求出該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)一1<小時，求"的最小值；

（3）把拋物線y=x2+bx+c的圖象在T軸下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原拋物線位

于力軸下方的部分組合的圖象記作圖象Q,若直線工="與圖象Q的上下部分分別交于4B兩點(diǎn)，當(dāng)線

段48=4時，求n的值.

【答案】（1）夕=x2—i2x—3

（2）當(dāng)m<1時，函數(shù)最小值為rm?—2m—3;當(dāng)1時，函數(shù)最小值為一4

（3）1+72

【知識點(diǎn)】夕=ax2+brr+c的最值、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y—ax2+be+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖象的翻折、待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

（1）由題意得：［二［：八，即可求解；

（2）根據(jù)題意分EV1和nz>1兩種情況分別求解即可；

（3）由函數(shù)的對稱性知，AB=4,則yB=-2，即可求解.

【詳解】⑴解：由題意得：「，

［1—匕+c=。

解得:f=一

lc=—3

則拋物線的表達(dá)式為：g=d—2力—3；

（2）解：由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線力=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）,

當(dāng)mVl時，當(dāng)/=時，函數(shù)取得最小值，即g=m2—2m—3;

當(dāng)力>1時,拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值，即y=—4,

綜上，當(dāng)m<1時，函數(shù)最小值為m2—2m—3;當(dāng)1時，函數(shù)最小值為一4;

（3）解：由函數(shù)的對稱性知，AB=4,則yB=-2,

x2—2x—3=-2,

解得：力二1±V2=n.

9.（2025?上海靜安?一模）已知拋物線g=ac2+bc+c（aW0）上，其g與力部分對應(yīng)值如下表：

X-3-1032

y-80202

⑴求此拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P將此拋物線沿著平行于力軸的直線Z翻折,翻折后得新拋物線.

……____——畝

①設(shè)此拋物線與2軸的交點(diǎn)為46（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,且AABP的重心G恰好落在直線I上,求此時

新拋物線的表達(dá)式；

②如果新拋物線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，求新拋物線在直線I上所截得的線段長.

【答案】（1切=—2+.,+2

⑵①夕=4（1）2-1②標(biāo)

oy

【知識點(diǎn)】y=<M；2+法+C的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、重心的有關(guān)性質(zhì)、折疊問題

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖

象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意，運(yùn)用兩點(diǎn)式，設(shè)？/=<1（>+1）3—3）,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；

（2）①將拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,專），如圖所示，過點(diǎn)P作垂直力軸于點(diǎn)X,根

據(jù)G是△ABP的重心，得到GH=/PH=看，則新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一看），根據(jù)題意可知，這兩條拋

物線的形狀不變，開口方向相反，由此即可求解;②設(shè)直線/與沙軸的交點(diǎn)為（0,?。?，則P。,關(guān)于直線Z的

對稱點(diǎn)為（1,2m-,由此得至1新拋物線的表達(dá)式為y=（力—1）2+2m—■］，根據(jù)它經(jīng)過原點(diǎn)，得到解得

m=1,所以令g=1,代入"=—（a;-1）2+,由此即可求解.

【詳解】（1）解：當(dāng)x=—l時，g=0,當(dāng)力=3時，g=0,

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-hl）（x—3）,

把a(bǔ):=0,g=2代入，2=a（0+l）（0—3）,

解得a=―,

O

此拋物線的表達(dá)式為y――!"/+-^-x+2.

oJ

⑵解:①,=—|~劣2+今比+2=一,（X—1）2+-1-,

OOOO

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,日），

???G是△ABP的重心，

；.GH=WPH*,

?G在直線/上，且新拋物線與原拋物線的圖像關(guān)于直線，對稱,

.?.新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—》），