專項突破：二元一次方程組-消元思想

專題突破1二元一次方程組①——消元思想

1.用代入消元法解下列方程組.

⑴&之二，

%+3y=1,2x—3y=7,

(3)(3%—y=3;(4){4%+y=0.

2.用加減消元法解下列方程組.

⑴產(chǎn)+廣：，(2膜+3廠二,

'八%—y=l;'八3%—2y=8;

x+y=3

(4)f

⑶O羽，5x-3(x+y)=\,

3.用合適的方法解下列方程組.

「M3m+b=11,0.6%-0.4y=1.1,

(—4m—6=11;1J10.2x-0.4y=2.3;

x+42y-3_2

二把=1

(3)(23乙

3x+2y=10;---1---=7.

23

專題突破2二元一次方程組②?轉(zhuǎn)化思想

類型一利用二元一次方程（組）的定義轉(zhuǎn)化

1.若4xa+2b-4-2y3a~b~2=8是二元一次方程，則a=,b=

類型二利用二元一次方程（組）的解的定義轉(zhuǎn)化

2.如果是方程組的解，求代數(shù)式2m-2n的值

y—L.X,—y_o

類型三利用同類項的定義轉(zhuǎn)化

3+mm

3,若5xy^是同類項，則m2—九的值為

類型四利用平方根、立方根的定義轉(zhuǎn)化

4.已知2a-爭勺平方根是±3,3a+b-l的平方根是±4,求a,b的值

類型五利用非負(fù)性轉(zhuǎn)化

5.已知Ix+5y+9|+（x-2y-5）2=0,則（x+的值為

類型六利用點的坐標(biāo)特征轉(zhuǎn)化

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2m-4n,4m-5n）在第二象限，到y(tǒng)軸和x軸的距離分別為4,1,求m,n的值.

類型七利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化

7.在代數(shù)式ax+by中，當(dāng)x=5,y=2時，它的值是7;當(dāng)x=3,y=l時，它的值是4,則a=,b=.

類型八利用新定義轉(zhuǎn)化

8.對于實數(shù),規(guī)定新運算：x*y=ax+by,其中a,b是常數(shù).已知2*1=7,-1*1=1.

⑴求a,b的值；

(2)求1*5的值.

專題突破3二元一次方程組③-------整體代換思想

【例1】(2024黃岡期末浮習(xí)完“代入消元法”解二元一次方程組后老師在黑板上寫下一個方程組｛2二1

乙X十DV—y.

①②讓同學(xué)們解答，爰動腦筋的小敏想到一種新的方法：

解：將②變形為2(x+2y)+y=9,③

把①代入③，得10+y=9,解得y=-l.

把y=-l代入①，解得x=7.

方程組的解為｛、:二7

y—―-

這種把某個式子看成一個整體，從而使問題得到簡化的方法叫做法.

請你模仿小敏的“整體代換”法解方程組｛之一2或二1①②

—Dy—o.

溫馨提示：本題只能用“整體代換”

法求解,其他方法求解不得分哦！

【變式】(2024福州期末)閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未

知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：

已知實數(shù)x,y滿足5x-y=6①，4x+2y=7②，求x-3y和13x+3y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x,y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算

量比較大.其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形，整體求得代數(shù)式的值，如由

①-②可得x-3y=-l,由①+②x2可得13x+3y=20.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想

解決問題：

⑴已知二元一次方程組｛藍(lán):S二則x-y=_，x+y=_;

乙人rDV-O,

⑵對于實數(shù)x,y,定義新運算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常數(shù)，等式右邊是實數(shù)運算.已知3*5=15,4*7=28,求6

*11的值.

類型一利用加減消元法整體代換

【例2］已知關(guān)于x,y的方程組產(chǎn)/因:叱2’的解滿足x+y=/o,求代數(shù)式m2-2m+1的值.

乙X?Dy—772

【變式1］若關(guān)于X,y的二元一次方程組｛廣二廣14;的解滿足x+y=2,則k的值為一.

【變式2］若關(guān)于x,y的二元一次方程組｛"J27=4的解滿足則卜的值為一

【變式3］已知關(guān)于x,y的二元一次方程組｛43"二;;出的解*與互為相反數(shù)，則k的值為

類型二整體代換實際運用

【例3】某校用一筆錢來購買A,B兩種獎品,若購買24個A種獎品和14個B種獎品則差30元，若購買20

個A種獎品和18個B種獎品則余20元,那么用這筆錢購買28個A種獎品和10個B種獎品差_______元.

【變式11（2024江漢）甲、乙、丙三人到超市購零食.甲買薯片3包、餅干2袋、糖果1盒，花費24元；乙買

薯片1包、餅干4袋、糖果2盒，花費23元.那么丙買薯片4包，花費元.

【變式2］（2024漢陽）有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若購買甲4

件、乙10件、丙1件，共35元，現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需元.

【變式3］某商家將藍(lán)牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱搭配為A,B,C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個

藍(lán)牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，1個迷你音箱；B盒中有2藍(lán)牙耳機，4個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱；C盒中有1個

藍(lán)牙耳機,3個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱.經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為200元（每種盲盒的成本為

該盒中藍(lán)牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為元.

專題突破4二元一次方程組④一換元思想

【例】（2024江岸月考）【閱讀與思考】閱讀下列材料，完成后面的任務(wù).

2(7774-2)4-3n

善于思考的李同學(xué)在解方程組時，采用了一種“整體換元”的解法.

7(m+2)+6n

解：把爪+2,71-滑成一個整體，設(shè)巾+2=久,71。=%原方程組可化為:對二:'解得原方程組的解

?J3!X,\OV一乙,

=0,|w+2=0,為fm=—2，

.?c1n=1.

1-?121

'——，n———，

3I33【任務(wù)】

⑴方程組點二號二:9的解是^：4,則方程組｛:mH）,二;9的解是

⑵仿照上述解題方法，用“整體換元”法解方程組26

2alx+3bly=5cl,

⑶已知關(guān)于X,y的二元一次方程組｛：：：；之二::的解為｛；二4求關(guān)于X,y的方程Rx+3b2y=5c2

組

的解.

類型一換元法解二元一次方程組

1.利用換元法解下列方程組.

x+yx-y

---1---二7,

fnf3(x+y)-2(6%-y)=1,3

,〃(%+y)+(6x—y)=7；⑵重x-y

-1

34

%+y.%_y_

2(%+l)+3(y-2)=l,

1；t(x+l)-2(y-2)=4;⑷兀品—瓦…

類型二已知一個方程組的解求另一個方程組的解

2.(2024江夏期末)已知關(guān)于x,y的方程組：然二】'的解為{:Z，則關(guān)于m,n的方程組

a2x十02y—Qy-/)

q-2)+%(〃+3)=q,

a2(in-2)+b2(n+3)=c2的解為.

3.若關(guān)于x,y的二元一次方程組］黑，二吃的解為｛：二2則關(guān)于x,y的二元一次方程組

乙ex人。uy.1.uyj

a{x+1)—b(y—2)=3,

的解為（)

2a(x+1)-3b(y-2)=10

x=3

X=2c.{-^C-3

A.{ky=-1\y=-3

4.關(guān)于x,y的方程組｛然篙;押解為表綱方程組｛案二?）二黑：案的解是（）

a產(chǎn)=4,x=2,X=2,

△ty=2D.2C.{2

)，=3y=-3

［q（x+l）+2bj=q,_

5.（2024湖州期末）若關(guān)于x,y的二元一次方程組］a,（x+1）+2bly=c2的解為｛:Iy求關(guān)于X,y的二元一次方程

y一乙，

｛安二黑片’的解

專題突破5二元一次方程的整數(shù)解

教材母題（七下第90頁第5題改）把一根9m長的鋼管截成1m長和2m長兩種規(guī)格均有的短鋼管且沒有余料,

設(shè)某種截法中1m長的鋼管有a根，貝Ua的值可能有_______種.

【變式1】（2024青山）七年級（6）班有50名學(xué)生參加軍訓(xùn).軍訓(xùn)基地有6人間和4人間兩種客房，若每個房間都

住滿，則安排這個班的學(xué)生入住的方案共有（）種.

A.2種B.3種C.4種D.5種

【變式2］（2024江岸）一個兩位數(shù)，若交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，則所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大63,這樣

的兩位數(shù)是____________.

【變式3］商店里甲商品每個5元，乙商品每個8元，丙商品每個1元.某顧客計劃用200元購買這三種商品共

127個，如果資金全部用完，則有（）種購買方案.

A.4B.3C.2D.1

【變式4】現(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚，從中共取出15枚且每種都有，共值7元.則5角硬幣取出了一

____枚.

【變式5】（2024青山）一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團15人準(zhǔn)備同時租用這

三種客房共5間，如果每個房間都住滿，租房方案有（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【變式6］（2024研口）我國古代的《張丘建算經(jīng)》中有著名的“百雞問題”，原文是：“今有雞翁一值錢五，雞母

一值錢三，雞靠三值錢一，凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?”意思是說“公雞每只值五文錢，母雞每只值

三文錢，小雞每三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只?”則

此“百雞問題”共有哪幾種購買方案(每種雞至少購買一只).

專題突破6含參二元一次方程組的解①一構(gòu)建方程組

方法技巧：根據(jù)題意，把已知條件代入式子，求出參數(shù)的值.

【例】已知y=kx+b,當(dāng)x=2時，y=-3;當(dāng)x=-l時，y=3.

⑴求k,b的值；

⑵當(dāng)x取何值時.y的值為-4?

【變式1］在等式y(tǒng)=ax2+bx+1中,當(dāng)x=-l時，y=6;當(dāng)x=2時，y=ll.

(1)求a,b的值；

⑵當(dāng)x=-3時，求y的值

【變式2】已知是二元一次方程組｛曹之：:'的解，求2m-n的算術(shù)平方根.

y-±ILA.-ilLy—±

【變式3】對于實數(shù)a,b,定義關(guān)于“（8T的一種運算：a（gb=2a+b,例如103=2x1+3=5.

（1）求43-3）的值；

⑵若x3-y）=-2,（2y）歐=-1,求x+y的值

專題突破7含參二元一次方程組的解②——遮擋、錯解、同解問題

類型一遮擋問題

方法技巧；將未被遮擋的解代入未被遮擋的方程，求出未知數(shù)的值或另一個解，然后再帶入含有參數(shù)的方程,

求出參數(shù).

【例1】（2024武漢三寄月考）已知哈:卡奧：:是一個被墨水污染的方程組.圓圓說：“這個方程組的解是

3;而我由于看錯了第二個方程中的x的系數(shù)，求出的解是請你根據(jù)以上信息，把方程組復(fù)原出來.

【變式1］（2024福州期末）若方程組｛片卡［：器的解為｛：I:‘小亮求解時不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮

乙又一y—J.uy—iLf

住了m和n兩數(shù)，則這兩數(shù)分別為（）

A.6和4B.10和0C.2和-4D.4和2

J3x-y=3,

【變式2］（2024長沙期末）小剛解出了方程組［2x+，=△的解為｛;二;；因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住

了方程組和解中的兩個數(shù)，則4、口分別為（）

A.17,9B.16,8C.23,15D.15,23

類型二錯解問題

方法技巧：把沒看錯的兩個方程組組合在一起得到一個新的方程組，求出未知數(shù)的值，然后再帶入含有參數(shù)的

方程，求出參數(shù).

［例2］甲、乙兩人解方程組甲正確地解得｛、:二?，乙因為把C看錯，誤認(rèn)為d，解得｛:二，2,

ex_/y_y——乙，y一乙，

求a,b,c,d.

【變式1］已知方程組｛片士①②甲由于看錯了方程①中的a,得到方程組的解為｛：I乙由于看

錯了方程②中的b,得到方程組的解為｛；：::則出斫，b=.

類型三同解問題

方法技巧：將不含參數(shù)的兩個方程進(jìn)行結(jié)合求出未知數(shù)，再代入含參數(shù)的方程，求出參數(shù)值.

【例3】已知關(guān)于x,y的方程組二押（2^；=;3的解相同.

（1）求這個相同的解；⑵求a-b的值

【變式11方程組與有相同的解，求a，b及方程組的解.

【變式2］已知方程組｛：：+MZ—%口方程組培:匯1勒勺解相同，則（（2a+b）2=_.

ax—uy——4ox十cty——o

專題突破1二元一次方程組①——消元思想

1.用代入消元法解下列方程組.

y=3x—1,

｛

(1)2x+3y=8;⑵Qi荏屋

解：｛%=ly=2；20解：

x=—

3.

y=-

’11

%+3y=1,2x—3y=7,

(3)(3%—y=3;(4)(4%+y=0.

X=1產(chǎn)=0.5

解：0=0解：V=一2

2.用加減消元法解下列方程組.

2x+y=&⑵C+3廠天

'八%—y=l;'八3%—2y=8;

解：｛%=3y=2；解：｛x=2y=—1；

4x-3y=ll,

^5x-3(x+y)1-

12x+y=13;1.

解：14

解：｛%=5y=3；

3.用合適的方法解下列方程組.

3m+b=11,0.6%-0.4y=1.1,

(1)(—4m—b=11;1K0.2X-0.4y=2.3;

解.嚴(yán)=—22.解：｛二;北

用牛?ib=77'

x+42y-3

x_y+1_[二2,

（4）小5

+”=7.

23

x=3

.I

y=-產(chǎn)=5

解：解：ty=4

專題突破2二元一次方程組②——轉(zhuǎn)化思想

類型一利用二元一次方程（組）的定義轉(zhuǎn)化

1.若4比a+2b-4-2y3a-b-2=8是二元一次方程，貝！Ja=y,b=y.

類型二利用二元一次方程(組)的解的定義轉(zhuǎn)化

2.如果｛:二:是方程組《二21二：'的解，求代數(shù)式2m-2n的值.

y一,I乙K—y_o

解：由題可得｛魯一2n=：

2m—n=6

類型三利用同類項的定義轉(zhuǎn)化

3,若嚴(yán)與4/+用勺2九-2是同類項，則m2—九的值為2.

解：由題可得戶+瓶=；+普+1,解得(m=1.-.m2-n=22-2=2.

類型四利用平方根、立方根的定義轉(zhuǎn)化

4.已知2a-2的平方根是±3,3a+b-l的平方根是±4,求a,b的值.

解：由題可得｛2a-49，解得：J

類型五利用非負(fù)性轉(zhuǎn)化

5.已知|%+5y+9|+(%-2y-5)2=0,則(%+的值為」

類型六利用點的坐標(biāo)特征轉(zhuǎn)化

6.在平面直角坐標(biāo)系中，點A(2m-4n,4m-5n)在第二象限，到y(tǒng)軸和x軸的距離分別為4,1,求m,n的值.

\2m-4n=-4

解：由題可得'4m-5〃=1解得嚴(yán)=：

H=3

類型七利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化

7.在代數(shù)式ax+by中，當(dāng)x=5,y=2時，它的值是7;當(dāng)x=3,y=l時，它的值是4,則a=1.b=1

類型八利用新定義轉(zhuǎn)化

8.對于實數(shù),規(guī)定新運算：x*y=ax+by,其中a,b是常數(shù).已知2*1=7,-1*1=1.

(1)求a,b的值；

(2)求1*5的值

解：⑴由題可得嚴(yán)解得｛；=

—a+b=1b=3

(2)l*5=a+5b=2+5x3=17.

專題突破3二元一次方程組③--------整體代換思想

【例1】(2024黃岡期末)學(xué)習(xí)完“代入消元法”解二元一次方程組后老師在黑板上寫下一個方程組｛工三飛,二1

①②讓同學(xué)們解答，爰動腦筋的小敏想到一種新的方法：

解：將②變形為2(x+2y)+y=9,③

把①代入③，得10+y=9,解得y=-L

把y=-l代入①，解得x=7.

..?方程組的解為儲:17

這種把某個式子看成一個整體，從而使問題得到簡化的方法叫做______________法.

請你模仿小敏的“整體代換”法解方程組｛1一R二七①②

解：整體代換：C二二需①

溫馨提示：本題只能用“整體代換”

法求解，其他方法求解不律分哦！

由②得：3(x-2y)+y=8③，

把①代入③得：9+y=8,解得y=-l,

把y=-l代入①得：x=l,.?.方程組的解為｛1111.

【變式】(2024福州期末)閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未

知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：

已知實數(shù)x,y滿足5x-y=6①，4x+2y=7②，求x-3y和13x+3y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x,y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算

量比較大.其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形，整體求得代數(shù)式的值，如由

①一②可得x-3y=-l,由①+②x2可得13x+3y=20.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想

解決問題：

⑴已知二元一次方程組｛非:”則x-y=，，x+y=工

(2)對于實數(shù)x,y,定義新運算:x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常數(shù)，等式右邊是實數(shù)運算.已知3*5=15,4*7=28,求6

*11的值.

解：(1)①-②得x-y=-l,①+②得5x+5y=15,，x+y=3.

3〃+58+c=15③

(2)Vx*y=ax+by+c,3*5=15,4*7=28,則T“+7/，+c=28④

由3x④-2x③可得：3x(4a+7b+c)-2(3a+5b+c)=3x28-2xl5,

即6a+llb+c=54,；.6*ll=6a+llb+c=54.

類型一利用加減消元法整體代換

【例2］已知關(guān)于x,y的方程組產(chǎn)在醫(yī)：？：2’的解滿足*+丫=_10,求代數(shù)式7n2一2a+1的值

乙X?3V—Til

解：｛言*2①，①X2-②X3得：y=4-m,把y=4-m代入②得：x=2m-6.

代入x+y=-10得：4-m+2m-6=10,解得:m=-8,則原式=(―8)2—2X(—8)+1=81.

【變式1］若關(guān)于X,y的二元一次方程組*的解滿足x+y=2,則k的值為二.

【變式2］若關(guān)于x,y的二元一次方程組產(chǎn):4,的解滿足*_丫=1,則k的值為,

【變式3］已知關(guān)于x,y的二元一次方程組&產(chǎn)二丁’1的解x與y互為相反數(shù)，則k的值為-3.

DX—L.y—L,K.—J.

類型二整體代換實際運用

［例3］某校用一筆錢來購買A,B兩種獎品，若購買24個A種獎品和14個B種獎品則差30元，若購買20

個A種獎品和18個B種獎品則余20元，那么用這筆錢購買28個A種獎品和10個B種獎品差80元.

解：設(shè)A種獎品的單價為a元，B種獎品的單價為b元，學(xué)校拿來購買獎品的錢數(shù)為c元，

依題意得：｛譽t=C+tn①②，①x2-②將：28a+10b=c+80.

用這筆錢購買28個A種獎品和10個B種獎品差80元.

【變式1］(2024江漢)甲、乙、丙三人到超市購零食.甲買薯片3包、餅干2袋、糖果1盒，花費24元；乙買

薯片1包、餅干4袋、糖果2盒，花費23元.那么丙買薯片4包，花費20元.

解：由題意，設(shè)薯片1包x元、餅干1袋y元、糖果1盒z元，則可得方程組｛:匕二黃①

x十仕y十zz一乙s

，①x2-②得，5x=25,x=5,/.4x=20,??.丙買薯片4包，花費20元.

【變式2］(2024漢陽)有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若購買甲4

件、乙10件、丙1件，共35元，現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需20元.

3x4-7y+z=30

4x+lOy+z=35

①x3-②x2得，x+y+z=20,即現(xiàn)在購買甲、乙、丙各1件，共需20元.

【變式3］某商家將藍(lán)牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱搭配為A,B,C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個

藍(lán)牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，1個迷你音箱；B盒中有2藍(lán)牙耳機，4個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱；C盒中有1個

藍(lán)牙耳機，3個多接口優(yōu)盤，2個迷你音箱.經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為200元（每種盲盒的成本為

該盒中藍(lán)牙耳機、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和）,則C法的成本為155元.

解：設(shè)1個藍(lán)牙耳機的價值為x元，1個多接口優(yōu)盤的價值為y元，

1個迷你音箱的價值為z元，依題意得｛孑：祗：嗯①

-

乙xII乙z—乙uu^2^?

②+2得：x+2y+z=100③，②-①得：y+z=55④，③+④得：x+3y+2z=155,即C盒的成本為155元.

專題突破4二元一次方程組④一換元思想

【例】（2024江岸月考）【閱讀與思考】閱讀下列材料，完成后面的任務(wù).

2

2(〃7+2)+3n=1,

善于思考的李同學(xué)在解方程組時,采用了一種“整體換元”的解法.

2

7(//?4-2)+6n=2

2,71-1看成一個整體，設(shè)m+2=x,n-|=y.原方程組可化為｛”:：輸?shù)迷匠探M的解為嚴(yán)=；2

33/X~roy一乙,TL=1.

x=0,加+2=0,【任務(wù)】

121

77----——,⑴方程組點二舞；的解是｛二；則方程組｛；（器］））工的解

339m;

a=-7

Sr2

13(x+^)-4(x-^)=4,

b=——v

2

山+口=1;

⑵仿照上述解題方法，用“整體換元”法解方程組26

⑶已知關(guān)于x,y的二元一次方程組｛詈;々二：1'的解為｛:二&求關(guān)于*，丫的方程組｛豕;需秘

a2%?y—y?Jf乙a2九?>3^2y—

的解.

3(%+y)—4(%—y)=4

解：（2）對于x+y.x-y1」令m=x+y,n=x-y,

---1---=1

26

2828

m=一x+y=一

1515

22'17

,3m—4n=4〃=-x-v=-x=—

則原方程組可化為｛2+巴=1,解得5解得｛::

26y=R

23

--x+b±--y=q

(3)｛2的X+3瓦y=5c12a2x+3b2y=5c2，整理得｛：|

a2--x+b2--y=c2

???關(guān)于X,y的二元一次方程組｛：［:?的解為｛:二/

a2x十02y—Qy—J

2x_.

=

｛3J,解得｛：Z故方程組的解為｛:；嗯.

—=-3?）

5

類型一換元法解二元一次方程組

1.利用換元法解下列方程組.

x+y,x—y

3(x+y)-2(6x-y)=1,------1-----=77,

mf23

I乂(%+y)+(6%—y)=7；(2)

~0+y[I

.34

解：解：｛%=9y=—3；

x+y.x-y0

2(x+l)+3(y-2)=l,(4)(三+虧=7

⑼

I(%+1)-2(y-2)=4;2(%+y)—3%+3y=26.

解：｛浮;解：｛箕;6

類型二已知一個方程組的解求另一個方程組的解

2.（2024江夏期末）已知關(guān)于x,y的方程組｛2：：對二的解為｛：二，則關(guān)于m,n的方程組的解為嚴(yán)=f

\a(加-2)+4(〃+3)=G,

x｛2二二黑二吃的解為則關(guān)于x,y的二元一次方程組

3.若關(guān)于xj%-2)+&(〃+3)=C2y的二兀一次方程組

4ci■人ouy~~J.uyJ-j

a(x+1)—b(y-2)=3,

^2a(x+1)-3/7(y-2)=10的解為（B）

B《二：C.｛x^\

1y=—1y=-3y=—3

則方程組｛案二？）二北二北的解是（B）

4.關(guān)于x,y的方程組｛靠I、的解為｛；：2：

mx+ny=a>TIL1%A.j53CL

x=2,x=2,

a產(chǎn)=4,

U=2C.[Lv=2----D.2

J3y=3

q(x+l)+2&y=C[,

5.（2024湖州期末）若關(guān)于x,y的二元一次方程組&（x+1）+2打，=j的解為｛：:Z求關(guān)于x,y的二元一次方程組

y-

二的解?

a2x02y—c2

解：令m=x+l,n=-2y,

fq（x+1）+26[y=q

?.?關(guān)于x,y的二元一次方程組外（x+l）+2b%Q的解為｛j=駟｛:[x+）=：,

???關(guān)于m,n的二元一次方程組｛黑：設(shè)；*勺解為｛二二

???關(guān)于x,y的二元一次方程組熊]：*勺解為｛:1

專題突破5二元一次方程的整數(shù)解

教材母題（七下第90頁第5題改）把一根9m長的鋼管截成1m長和2m長兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料，設(shè)

某種截法中1m長的鋼管有a根，則a的值可能有4種.

解：設(shè)某種截法中1m長的鋼管有a根，2m長的鋼管有b根，依題意，得：a+2b=9,.\a=9-2b.

a,b均為正整數(shù)，.,.當(dāng)b=l時,a=7;當(dāng)b=2時,a=5;當(dāng)b=3時，a=3;當(dāng)b=4時，a=l.

；.a的值可能有4種.

【變式11（2024青山）七年級⑹班有50名學(xué)生參加軍訓(xùn).軍訓(xùn)基地有6人間和4人間兩種客房，若每個房間都

住滿，則安排這個班的學(xué)生入住的方案共有（C）種.

A.2種B.3種C.4種D.5種

【變式2]（2024江岸）一個兩位數(shù)，若交換其個位數(shù)與十位數(shù)的位置，則所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大63,這樣的

兩位數(shù)是29或18.

【變式3]商店里甲商品每個5元，乙商品每個8元，丙商品每個1元.某顧客計劃用200元購買這三種商品共

127個，如果資金全部用完，則有（C）種購買方案.

A.4B.3C.2D.1

解：設(shè)購買甲商品x件，乙商品y件,則丙商品（127-x-y）件，

由題意得5x+8y+l-（127-x-y）=200,/.y=73-7x.

,?'x,y為非負(fù)整數(shù)，；.x=13時,y=3,x=6時，y=7,...有2種購買方案.

【變式4】現(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚，從中共取出15枚且每種都有，共值7元.則5角硬幣取出了—

1_枚.

解：設(shè)取出1角x枚，5角y枚，則1元（15-x-y）枚,

由題意得0.1%4-0.5y+1-（15—x—y）=7,^y=80=16—^x.

???x,y為正整數(shù)x=5時，y=7,二5角硬幣取出了7枚.

【變式5】（2024青山）一賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團15人準(zhǔn)備同時租用這

三種客房共5間，如果每個房間都住滿，租房方案有（C）

A.4種B.3種C.2種D.1種

解：設(shè)租二人間x間，三人間y間，則四人間（5-x-y）間,

由題意得2x+3y+4（5-x-y）=15,.".y=5-2x.

■x,y為正整數(shù)，x=l時，y=3,x=2時，y=l,共2種方案.

【變式6】（2024研口）我國古代的《張丘建算經(jīng)》中有著名的“百雞問題”，原文是：“今有雞翁一值錢五，雞母

一值錢三，雞靠三值錢一，凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何?”意思是說“公雞每只值五文錢，母雞每只值

三文錢，小雞每三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只?”則

此“百雞問題”共有哪幾種購買方案海種雞至少購買一只）.

解：設(shè)公雞買了x只，母雞買了y只，則小雞買了（100-x-y）只，

依題意，得：5x+3y+-（100—x—y）=100,.1.y=25--x.

34

??,x,y均為正整數(shù)，;z;或｛；二《或｛；；：，???一共有3種購買方案.

專題突破6含參二元一次方程組的解①一構(gòu)建方程組

方法技巧：根據(jù)題意，把已知條件代入式子，求出參數(shù)的值.

【例】已知y=kx+b,當(dāng)x=2時,y=-3;當(dāng)x=-l時，y=3.

⑴求k,b的值；

⑵當(dāng)x取何值時，y的值為-4?

解：⑴由題意可得+可得一；二:

【變式1】在等式y(tǒng)=ax2+bX+1中，當(dāng)x=-l時，y=6;當(dāng)x=2時，y=l1.

⑴求a,b的值;

(2)當(dāng)x=-3時，求y的值.

6

解：⑴根據(jù)題意，得｛M①②，①義2+②，得6a+3=23,解得a=當(dāng)把a=當(dāng)弋入①，得三一6

+1=6,解得b=-|.

(2)y=y%2-|x+1,當(dāng)x=-3時，y=yx(-3)2-|x(-3)+1=36.

【變式2］已知｛jZ彳是二元一次方程組｛管+3］，的解，求2m-n的算術(shù)平方根.

y-J.ILA,-liLy—X