1.1菱形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)

1.1菱形的性質(zhì)與判定（第3課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課是北師大版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第一章“特殊平行四邊形”第一節(jié)菱形的性質(zhì)與判定第3課時(shí)，內(nèi)容包括：運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理及判定定理解決相關(guān)問(wèn)題，及菱形面積的求法。2.內(nèi)容解析?本節(jié)是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的定義、性質(zhì)和判定方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，主要側(cè)重于菱形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用。菱形是一種特殊的平行四邊形，它既是對(duì)平行四邊形知識(shí)的延續(xù)和深化，又為后續(xù)學(xué)習(xí)正方形等特殊四邊形奠定了重要基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步理解菱形與其他四邊形之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在整個(gè)初中幾何知識(shí)體系中具有承上啟下的關(guān)鍵作用?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：能靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理及判定定理解決一些相關(guān)問(wèn)題,并掌握菱形面積的求法。1.通過(guò)實(shí)際案例研討，運(yùn)用菱形性質(zhì)與判定定理進(jìn)行推理論證，培養(yǎng)從已知條件出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則得出結(jié)論的能力，提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展邏輯推理能力。?2.在運(yùn)用菱形性質(zhì)與判定定理解決計(jì)算問(wèn)題時(shí)，發(fā)展準(zhǔn)確、合理進(jìn)行運(yùn)算的能力，包括對(duì)邊長(zhǎng)、角度、面積等幾何量的計(jì)算。3.觀察菱形與其他圖形的關(guān)聯(lián)，主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從具體圖形和問(wèn)題中提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)特征和規(guī)律，提升抽象思維能力。2.目標(biāo)解析1.能獨(dú)立完成復(fù)雜菱形證明題，從題目給定的邊、角、對(duì)角線等條件出發(fā)，依據(jù)菱形性質(zhì)與判定定理，有條理地寫出完整的推理過(guò)程，且推理步驟嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯連貫。2.在計(jì)算類問(wèn)題中，無(wú)論是求解菱形邊長(zhǎng)、角度，還是計(jì)算面積、周長(zhǎng)等，都能正確選擇并運(yùn)用公式，計(jì)算過(guò)程準(zhǔn)確無(wú)誤，最終得出符合實(shí)際幾何意義的答案，展現(xiàn)出熟練運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行推理與運(yùn)算的能力。?3.可以自主歸納總結(jié)菱形區(qū)別于其他四邊形的本質(zhì)特征，將菱形的性質(zhì)、判定定理等知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能夠從不同角度對(duì)菱形相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行抽象分析，靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題。學(xué)生已初步掌握菱形的定義、基本性質(zhì)以及判定的基本方法，對(duì)平行四邊形與菱形的關(guān)系也有了一定認(rèn)識(shí)。但在綜合運(yùn)用菱形性質(zhì)和判定定理解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，部分學(xué)生仍存在知識(shí)銜接不流暢的情況。例如，對(duì)于需要同時(shí)運(yùn)用菱形對(duì)角線互相垂直平分與勾股定理求解邊長(zhǎng)的問(wèn)題，部分學(xué)生不能快速建立知識(shí)聯(lián)系，容易出現(xiàn)思路卡頓。同時(shí)，學(xué)生對(duì)定理的逆用、變形運(yùn)用還不夠熟練，難以靈活應(yīng)對(duì)變式題目。九年級(jí)學(xué)生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期，具備一定的觀察、分析和歸納能力。在之前的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生積累了一定的邏輯推理經(jīng)驗(yàn)，但在面對(duì)復(fù)雜的幾何圖形和證明過(guò)程時(shí)，邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性仍有待提高。部分學(xué)生在幾何證明中，存在推理步驟跳躍、依據(jù)表述不清的問(wèn)題。在直觀想象能力方面，學(xué)生能夠?qū)o態(tài)的菱形圖形進(jìn)行一定的分析，但對(duì)于動(dòng)態(tài)變化的圖形，以及菱形與其他幾何圖形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，理解和想象能力較為薄弱。1.通過(guò)繪制思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生梳理菱形的定義、性質(zhì)、判定定理之間的邏輯關(guān)系，以及與平行四邊形知識(shí)的聯(lián)系，明確知識(shí)脈絡(luò)，強(qiáng)化知識(shí)銜接。例如，以菱形為中心，向外延伸出“性質(zhì)”“判定”分支，在“性質(zhì)”下細(xì)分邊、角、對(duì)角線性質(zhì)，標(biāo)注與平行四邊形性質(zhì)的異同點(diǎn)，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)框架。2.設(shè)計(jì)由易到難的變式題目，先從基礎(chǔ)的單一知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用題入手，逐步過(guò)渡到綜合運(yùn)用多知識(shí)點(diǎn)的復(fù)雜題目。如先練習(xí)僅用菱形對(duì)角線互相垂直平分性質(zhì)求對(duì)角線長(zhǎng)度，再過(guò)渡到結(jié)合勾股定理求邊長(zhǎng)，最后設(shè)置需要同時(shí)運(yùn)用多種性質(zhì)和判定定理的證明題。針對(duì)不同層次學(xué)生，布置分層作業(yè)，讓基礎(chǔ)薄弱學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，學(xué)有余力學(xué)生挑戰(zhàn)拓展題，提升對(duì)定理逆用、變形運(yùn)用的熟練度。3.在幾何證明教學(xué)中，采用“步步追問(wèn)”法，要求學(xué)生每完成一步推理，都要明確說(shuō)出依據(jù)的定理或性質(zhì)，規(guī)范推理步驟和表述。4.運(yùn)用幾何畫板等動(dòng)態(tài)軟件，展示菱形在不同條件下的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，以及與矩形、正方形等圖形的轉(zhuǎn)化關(guān)系。如通過(guò)改變菱形內(nèi)角大小，讓學(xué)生直觀觀察其如何變?yōu)榫匦?；拖?dòng)頂點(diǎn)，呈現(xiàn)菱形與平行四邊形的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解動(dòng)態(tài)圖形和圖形間的轉(zhuǎn)化規(guī)律，提升直觀想象能力。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用。1.復(fù)習(xí)回顧教師通過(guò)多媒體展示菱形的圖片，提問(wèn)學(xué)生：“同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了菱形，誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)菱形的定義是什么？”引導(dǎo)學(xué)生回答：“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！?繼續(xù)提問(wèn)：“那菱形有哪些獨(dú)特的性質(zhì)呢？”邀請(qǐng)幾位同學(xué)分別回答，總結(jié)出菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。?接著提問(wèn)：“我們又有哪些方法可以判定一個(gè)四邊形是菱形呢？”學(xué)生回答后，教師進(jìn)行歸納：定義法，即有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形。?（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧菱形的定義、性質(zhì)和判定方法，喚起學(xué)生已有的知識(shí)記憶，為后續(xù)學(xué)習(xí)菱形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。）（教學(xué)建議：讓學(xué)生以小組為單位，用思維導(dǎo)圖或表格梳理菱形的性質(zhì)與判定，對(duì)學(xué)生回答進(jìn)行及時(shí)評(píng)價(jià)與補(bǔ)充，確保知識(shí)回顧準(zhǔn)確全面。）2.情景引入教師：利用多媒體展示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題情境：如圖，有一塊菱形的草地ABCD，其對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，已知AC=8m，BD=6m，現(xiàn)在要在這塊草地上種植鮮花，每平方米的種植成本是50元，那么種植這塊草地的鮮花總成本是多少？?學(xué)生：要求總成本，需要先求出草地的面積。而菱形是特殊的平行四邊形，因此可以用底×高計(jì)算。教師：“菱形的底和高容易求出來(lái)嗎？還有其他方法可以求這個(gè)菱形的面積嗎？”（設(shè)計(jì)意圖：以實(shí)際問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生明確本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。）（教學(xué)建議：?jiǎn)栴}提出后，可先讓學(xué)生獨(dú)立思考片刻，然后組織小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的思路和方法。）探究點(diǎn)一菱形的面積問(wèn)題1：菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積嗎?能.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高=BC·AE.問(wèn)題2:如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC把菱形ABCD分成等腰三角形ABC和等腰三角形ADC,試用兩個(gè)等腰三角形的面積和推導(dǎo)菱形的面積.解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AC·BO+12AC=12AC(BO+DO=12AC·BD知識(shí)歸納：菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究菱形面積的不同表示方法，引導(dǎo)學(xué)生將菱形的邊、對(duì)角線等性質(zhì)與面積計(jì)算緊密聯(lián)系起來(lái)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。）（教學(xué)建議：教師可以提供不同條件的菱形圖形（如已知邊長(zhǎng)和高、已知兩條對(duì)角線長(zhǎng)度等），讓學(xué)生嘗試從不同角度推導(dǎo)面積公式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的興趣。）例如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形，其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度；(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形，AC與BD相交于點(diǎn)E，∴∠AED=90°(菱形的對(duì)角線互相垂直),∴DE=12BD=1∴AE=AD2?DE2=∴AC=2AE=2×12=24(cm).(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△ABD的面積=2×△ABD的面積=2×12×BD×=2×12=120(cm2).練一練1.如圖，已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm和8cm，則這個(gè)菱形的高DE為（B）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cm探究點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用做一做：如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分ABCD是菱形嗎？為什么？分析：易知四邊形ABCD是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.由題意可知BC邊上的高和CD邊上的高相等，然后通過(guò)證△ABE≌△ADF，即得AB=AD.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)手制作菱形模型、構(gòu)造菱形圖形等任務(wù)，學(xué)生能直觀感知菱形特征，將抽象概念與實(shí)際操作結(jié)合，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用能力；同時(shí)，在自主探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，培養(yǎng)實(shí)踐與探究能力）（教學(xué)建議：以啟發(fā)性問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，建立理論與實(shí)踐的聯(lián)系；可以設(shè)置拓展任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題，從而全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與綜合能力）練一練2.如圖，兩張寬均為3cm的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形ABCD.若測(cè)得AB＝5cm，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20cm.典例分析例1如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長(zhǎng)是8cm．求：（1）兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形ABCD的面積．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，∴∠ABC=13∴∠ABO=12×∠ABC=30°，△ABC∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是8cm．∴AB=2cm，∴OA=12AB=1cm，AC=ABOB=AB2?OA∴BD=2OB=23cm；（2）S菱形ABCD=12AC?BD=12×2×23=23（cm例2如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直)，OB=OD=12BD=1在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA=AB2?OB2=∴AC=2OA=63（菱形的對(duì)角線相互平分）.（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用判定定理解決實(shí)際問(wèn)題的方法，提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)定理的理解與運(yùn)用。）（教學(xué)建議：先讓學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解題；教師巡視了解學(xué)生思路，適時(shí)引導(dǎo)；講解時(shí)注重分析解題思路和方法，強(qiáng)調(diào)規(guī)范答題格式。）1.如圖,在菱形ABCD中,AB＝5,對(duì)角線AC＝6.若過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,則AE的長(zhǎng)為()A.4B.2.4C.4.8D.5（1題）（2題）2.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F(xiàn)分別是BC和CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A.B.C.D.3.3.已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，則菱形ABCD的面積為（）A.160 B.80 C.40 D.96（3題）（4題）4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A.（3，4） B.（4，3）C.（2，3） D.（2，4）5.如圖，在給定的一張平行四邊形紙片ABCD上作一個(gè)菱形，甲、乙兩人的作法如下：甲：連接AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD，AC，BC于點(diǎn)M，O，N，連接AN，CM，則四邊形ANCM是菱形.乙：分別作∠A，∠B的平分線AE，BF，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則四邊形ABEF是菱形.根據(jù)兩人的作法可判斷()A.甲正確，乙錯(cuò)誤B.甲錯(cuò)誤，乙正確C.甲、乙均正確D.甲、乙均錯(cuò)誤6.如圖，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若從三個(gè)條件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，選擇一個(gè)作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是（填序號(hào)）.（6題）（7題）7.如圖，兩張寬度均為2cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為30°，則重疊部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為cm.8.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連接CF.(1)求證：四邊形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．參考答案1.C2.B3.D3.4.A4.A5.C6.②7.168.(1)證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形.(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為23，∴菱形的面積為4×23=83.（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反