三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識點及例題講解.doc

三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數(shù)y=cosx x0,2p的圖像中，五個關(guān)鍵點是：(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當時，；當 時，當時， ；當時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸例作下列函數(shù)的簡圖(1)y=|sinx|，x0，2， (2)y=-cosx，x0，2例利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足下列條件的x的集合： 3、周期函數(shù)定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。注意： 周期T往往是多值的（如 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）, 的最小正周期為2p （一般稱為周期） 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)：。正切函數(shù)：例求下列三角函數(shù)的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+) 4 y=tan3x 例求下列函數(shù)的定義域和值域：（1） （2） （3）例5求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例不求值，比較大小(1)sin()、sin()； (2)cos()、cos()解：(1) (2)cos()coscos且函數(shù)ysinx，x，是增函數(shù) cos()coscossin()sin() 0即sin()sin()0 且函數(shù)ycosx，x0，是減函數(shù)coscos即coscos0cos()cos()04、函數(shù)的圖像：（1）函數(shù)的有關(guān)概念：振幅：； 周期：； 頻率：； 相位：； 初相：(2) 振幅變換y=Asinx，xR(A0且A1)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點的縱坐標伸長(A1)或縮短(0A1)到原來的A倍得到的它的值域-A, A 最大值是A, 最小值是-A若A0且1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(1)或伸長(01)到原來的倍（縱坐標不變）若0則可用誘導公式將符號“提出”再作圖決定了函數(shù)的周期，這一變換稱為周期變換(4) 相位變換一般地，函數(shù)ysin(x)，xR(其中0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當0時)或向右(當0時平行移動個單位長度而得到 (用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)ysin(x)與ysinx的圖象只是在平面直角坐標系中的相對位置不一樣，這一變換稱為相位變換5、小結(jié)平移法過程（步驟）作y=sinx（長度為2p的某閉區(qū)間）得y=sin(x+)得y=sinx得y=sin(x+)得y=sin(x+)得y=Asin(x+)的圖象，先在一個周期閉區(qū)間上再擴充到R上。沿x軸平 移|個單位橫坐標 伸長或縮短橫坐標伸 長或縮短沿x軸平 移|個單位縱坐標伸 長或縮短縱坐標伸 長或縮短圖e6、函數(shù)，當時，取得最小值為 ；當時，取得最大值為，則，例 如圖e，是f（x）Asin（x），A0，的一段圖象，則f（x）的表達式為 例 如圖b是函數(shù)yAsin(x）2的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )AA3，BA1，CA1，DA1，例 畫出函數(shù)y3sin(2x)，xR的簡圖解：(五點法)由T，得T 列表：x2x+023sin(2x+)03030例求函數(shù)的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性解：由得，所求定義域為 值域為R，周期，是非奇非偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)例 已知函數(shù)y=sin2x+cos2x-2 (1)用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象 (2)求這個函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間 (3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程 (4)說明圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的 解：y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2(1)列表 x02-20-2-4-2其圖象如圖示 (2)= 由-+2k2x+2k，知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 -+k,+k,kZ 由+2k2x+2k，知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 +k,+k,kZ (3)由2x+=+k得x=+ 函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+,(kZ) (4)把函數(shù)y1=sinx的圖象上所有點向左平移個單位，得到函數(shù)y2=sin(x+)的圖象； 再把y2圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)3=sin (2x+)的圖