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2019年6月29日星期六,1,第四節(jié) 無窮小量與無窮大量,第一章,到目前為止，,我們已經闡明了數列與函數的極限,下面我們再來研究一類比較簡單但十分重要的函數，,即所謂的無窮小量,二、無窮大量（Infinitely Large Quantity）,一、無窮小量（Infinitely Small Quantity）,2019年6月29日星期六,2,一、無窮小量,當,定義1 若,時 , 函數,則稱函數,例如 :,函數,當,時為無窮小;,函數,時為無窮小;,為,時的無窮小 .,需要指出的是，,（1）不要認為無窮小量是一個很小很小的數；,（2）除 0 以外任何很小的常數都不是無窮小 ! ；,（3）一個函數是無窮小量，必須指明自變量的變化趨勢,2019年6月29日星期六,3,其中 為,時的無窮小量 .,證:,當,時,有,注：對自變量的其它變化過程類似可證 .,定理 1 ( 無窮小與函數極限的關系 ),例如：,有,其中,2019年6月29日星期六,4,二、無窮大量,定義2 若任給 M 0 ,一切滿足不等式,的 x , 總有,則稱函數,當,時為無窮大,使對,若在定義中將 式改為,則記作,(正數 X ) ,記作,總存在,2019年6月29日星期六,5,注意:,1. 按函數極限定義來說，,無窮大的函數 f (x)的極限是不,存在的.,但為方便起見，,我們也說“函數的極限是無窮大” .,2. 無窮大不是很大的數, 它是描述函數的一種狀態(tài).,3. 函數為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !,例如, 函數,當,但,不是無窮大 !,2019年6月29日星期六,6,證: 任給正數 M ,要使,即,只要取,則對滿足,的一切 x , 有,所以,例1 證明,思考題 證明,（習題14 1（3）,提示：,要使,即,就要,即,只要取,（其中M 3）,2019年6月29日星期六,7,定理2（無窮小與無窮大的關系）,若,為無窮大,為無窮小 ;,若,為無窮小, 且,則,為無窮大.,則,(自學),據此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.,在自變量的同一變化過程中,說明:,2019年6月29日星期六,8,內容小結,1、主要內容:,兩個定義;兩個定理.,2、幾點注意:,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,（1） 無窮小（ 大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄祷煜闶俏ㄒ坏臒o窮小的數；,（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮

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