理想流體動力學.ppt

1,第4章,1.先建立理想流體動力學的基本方程歐拉運動微分方程,2.在一種特定的條件下積分可得到拉格朗日積分,3.另一特定的條件下積分可得到伯努利積分。,4.兩個積分的物理意義和實際應用,5.導出動量及動量矩定理，及其應用。,第四章 理想流體動力學,本章內(nèi)容：,課堂提問：支持飛機升空，機翼的升力是怎么產(chǎn)生的？ 為什么在江河、海洋中游泳時不能在靠近船塢等岸邊建筑物附近下水？,2,4-1 歐拉運動微分方程式,歐拉運動微分方程式即理想流體動力學基本 方程，歐拉于1775年由牛頓第二定律導出。,某瞬間在理想流 體中棱邊為dx,dy,dz 的平行六面體，頂點 A(x,y,z)處的,推導如下：,3,由牛頓第二定律： ii (=x，y，z） （4-1）,以方向為例：,表面力沿向的合力：,理想流體，各面上無切應力,加速度在方向的投影：,dvx,4,將以上各式代入（4-1）式中，并取， 得如下第一式。同理可得其余的兩式：,（4-2）,用矢量表示為：,Z,5,該方程適用條件:,理想流體,即無論流動定常與否，可壓縮還是 不可壓縮均適用。,方程（4-2）有三個分量式，再加上連續(xù)方 程式共四個方程組成一方程組，方程封閉，可 求解四個未知函數(shù)x ,y ,z和。,若要使所求的x ,y ,z ,是某個實 際問題的解，還要滿足所提問題的邊界條件， 初始條件。,6,4-2 拉格朗日積分式,歐拉方程是非線性的，很難求得普遍條件下 的精確解，只能求得某些特定條件下的解析解。,拉格朗日積分式有如下假設(shè)條件：,（1）理想不可壓縮流體： const.,（3）運動無旋，則存在速度勢函數(shù)，滿足,所以有：,（2）質(zhì)量力具有勢函數(shù)：,7,因此,代入歐拉運動方程,有,8,上式移項可得下面第一式，同理可得另外兩式,（4-3）,括弧內(nèi)函數(shù)不隨空間坐標(，)變化, 只可能是時間的函數(shù)。,所以,（4 - 4）,若流體的質(zhì)量力只有重力，取軸鉛直向上， 有U，故,gz,（4 - 4）,9,為書寫簡單，引入,將對，求偏導數(shù)，仍為速度的投影,引入后，式（-）可改寫成：,（-5）,10,若流體的質(zhì)量力只有重力，式（4 - 4）可寫成：,(4-7),或,上式為非定常無旋運動的拉格朗日積分式。 對于定常無旋運動，式（43）括弧內(nèi)的函數(shù)不隨空間坐標，和時間t變化，因此它在整個流場為常數(shù)。,11,(通用常數(shù)),對于理想、不可壓縮流體、在重力作用下的 定常無旋運動，因，上式可寫成,(通用常數(shù)),上式為上述條件下(理想，不可壓，只有重力，無旋，定常流動)的拉格朗日積分式，是在整個流場都適用的常數(shù)，因此它在整個流場建立了速度和壓力之間的關(guān)系。,(4-9),12,若能求出了流場的速度分布（理論或?qū)嶒灥?方法），就能用拉格朗日積分式求流場的壓力分 布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可求出流 體與固體之間的相互作用力。吹紙實驗。,應用拉格朗日積分式，可解釋許多重要的物 理現(xiàn)象：如機翼產(chǎn)生升力的原因；兩艘并排行 駛而又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn)生互相吸引 的“船吸現(xiàn)象”；以及在淺水航道行駛的船舶為 什么會產(chǎn)生“吸底現(xiàn)象”等等。,13,討論：begin,1. 如果理想、不可壓縮流體作定常、無旋流 動且只有重力作用時，同一水平面上的兩 點，其速度和壓力的關(guān)系如何？,2. 兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn) 生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”。,3.淺水航道行駛的船舶為什么會產(chǎn)生“吸底現(xiàn)象”,14,4-3 伯努利積分式及其應用,伯努利積分是歐拉方程在定常運動沿流線的積分,假設(shè)條件：,（）理想不可壓縮，質(zhì)量力有勢；,（）定常運動；,（）沿流線積分。,由（1），（2）有,15,則歐拉方程可寫成,定常運動流線與軌跡重合，在軌跡上下式成立,（4）,16,式(1),(2),(3)的兩邊分別乘以式(4),(5),(6),以第一式為:,17,將(),(),(）三式相加，考慮到速度的模2x2y2z2，有:,括弧內(nèi)沿流線上的全微分等于零，則沿流線一定是常數(shù):,（11）,18,在重力場中，則沿流線:,或為,（12）,拉氏積分和伯氏積分雖在形式上相同，但不同之點有二：,l 稱為流線常數(shù),19,() 應用條件不同。拉格朗日積分只能用于無 旋運動，伯努利積分既可用于無旋運動，又 可用于有旋運動。,（）常數(shù)性質(zhì)不同。拉格朗日積分中的常數(shù) 在整個流場中不變，故稱為普遍常數(shù)，伯努利積 分常數(shù)l 只在同一條流線上不變，不同流線取 值不同，稱為流線常數(shù)或者說拉氏積分在整個空 間成立，而伯氏積分只在同一條流線上成立。,20,為了工程上的應用，現(xiàn)將伯氏方程推廣到有限大的流束。,漸變流動:流線近似平行，而且流線的曲率很小 的流動，否則稱為急變流動。,漸變流動特點： 項在整個過水（過流） 斷面上為常數(shù)。,為簡單計，約定 取過水斷面形心處的 數(shù)值。流線上任意一點的速度近似地用過 流斷面上的平均流速U來代替即用 近似代替,21,適用于有限大流束的伯努利方成為：,（13）,（）理想流體，定常流動； （）只有重力的作用； （）流體是不可壓縮的； （4）.截面處流動須是漸變流。但1.2兩斷面間不必要求為漸變流動。,方程適用條件：,22,討論：end,1.關(guān)于漸變流動（緩變流動）過流斷面上 的壓力分布，是否與靜止流體的壓力分布 相同？,2.為什么在急變流動的過流斷面上， (Z+P/) 項不保持常數(shù)？,23,4-4 伯努利方程的意義,一、幾何意義,z ：長度量綱，流體質(zhì)點或空間點在基準面 以上的幾何高度，又稱位置水頭。 單位重量流體具有的勢能。,p/ ：長度量綱，測壓管中液面上升的高度， 稱為壓力高度、或測管高度，或稱壓 力水頭、測管水頭，記為Hp 單位重量流體具有的勢能。,V2/(2g)：具有長度的量綱，稱為流速高度或 速度水頭?？捎闷ね泄芎蜏y壓管中液 面高度差來表示，記為HV 單位重量流體具有的動能。,24,一、幾何意義圖,25,結(jié)論：對于理想流體，定常運動，質(zhì)量力只 有重力作用時，沿流線有：幾何高度、壓 力高度和流速高度之和為一常數(shù)。,Z+Hp+Hv=H,三個高度（水頭）之和稱為總水頭。,其端點的連線總水頭線為一條水平線 。如 下圖所示。,26,27,二、能量意義(物理意義),伯努利方程表明單位重量流體的總機械量沿 流線守恒。,：代表單位重量流體的位能，記為,：單位重量流體的壓力能，記為,：單位重量流體的動能，記為,單位重量流體的總機械能：,28,伯努利方程也表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強勢能可互相轉(zhuǎn)化，但總機械能保持不變。 對于體積為V的均勻流體，有,Z為體積為V的形心Z坐標,29,對于理想、不可壓縮流體，定常運動，只有 重力作用時，單位重量流體的位能，壓力能和動 能之和在流線上為一常數(shù)。因為在定常運動中流 線與軌跡重合，而理想流體同一流體微團在運動過程中單位重量的/單位體積的位能、壓力能和動能之和保持不變。,在流體力學中,稱為靜壓,稱為動壓,30,伯努利方程的應用,實例一：小孔口出流（如水桶壁上破一洞）,圖示容器裝有液體，在重力作 用下從小孔流出。求流量。,設(shè)小孔面積比容器中液面 面積小很多，液面高度近似 認為不變（近似為定常流），,不計流體粘性，此時流體的質(zhì)量力只有重 力。滿足伯氏方程來求解的前提。,31,取小孔軸線為基準，整個容器看成一個大流管,取容器液面為截面 ，出流流束截面收縮 到最小處為截面，該 處流動滿足漸變流的條 件。在此兩截面上，各 物理量分別為：,截面：1 10 1,截面：2 20 2,32,截面列伯氏方程：,這樣就可解出小孔理想出流的速度公式：,（15）,實際上因為粘性對阻力的影響，出流速度 小于此值，一般用一個流速系數(shù)來修正，則,實際 （16）,由實驗確定， = 0.96,流量Q = 平均流速c,33,收縮斷面：出流中，流體從四面八方向到孔口處 匯集時，因慣性的作用，流線不可能突然轉(zhuǎn)到水 平方向，射出的流注因之必然出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象。,令 為流量系數(shù),稱為收縮系數(shù),由實驗測定，如圓形孔口，值為0.610.63。,34,實例二文德利管,實例二 文德利管（一種流量計）,應用伯努利方程的原 理可制成各種測量流速或 流量的儀器。文德利管就 是其中的一種。,和處的壓力差由測壓管讀出來，為已知量。,令1和2分別為和截面上的平均流速,35,取管軸為基準列伯努利方程:,連續(xù)性方程:,聯(lián)立得：,解出,流量,36,形管（內(nèi)裝水銀）：,或,注意：這里沒考慮流體粘性的影響，實際應用時按上式算得的還應乘上修正流量的系數(shù)，它的值約為0.98。,因此,p1+hI= p2+hII+ 汞h,37,實例三汽化器,實例三 汽化器,汽化器原理如圖,空氣由活塞的抽吸作用從自由大氣中吸入,細管將汽油自油箱引來。,求:汽化器的真空度,解：取主管軸為基準，整 個汽化器作一個流管.,取入口遠前方為截面 最小截面處為截面,38,截面：，0，,截面：，待求，,列立伯氏方程：,汽化器的真空度為：,由連續(xù)性方程得:,39,實例四皮托管,流線上，管（測壓管）的口部 平行于流線，可測點的靜壓， 90彎管 迎向水流，使其口部垂直于流線。,設(shè)流線近似為一組平行直 線，則鉛直方向上動水壓力 按靜水壓力分布，即 A,點: B（）,40,管測得壓力稱靜壓力A,管測的壓力稱總壓B ，又稱總壓管皮托管。,在流線上列立伯氏方程，考慮到 點 A UAU B點 B UB,因此,測出總壓B和靜壓A之差，可算出流速。,41,在上述問題中,BA（）,因此 （425）,讀出皮托管與測壓管的液 面高度差h，可算出流速。,42,實際應用上，常將測壓管和皮托管結(jié)合在一起，形成“聯(lián)合測管”，或稱普朗特管,這時 UAU， UB,處感受到靜壓 處感受到總壓,公式（-）仍能用。,43,若測量空氣或其它液體的流速， 用形管連接管、，仍用公式（-）即：,BA ：總壓與靜壓之差,PBA1 形管中液面高度差。,PBAU 2/2,44,實例五 虹吸管,求虹吸管出口流速和最高點S處的壓力,列0-1兩截面的伯努利方程,v1,45,列0-S兩截面的伯努利方程,46,虹吸管,=150，1=3.32=1.5，z=6.8， 不計能量損失，求虹吸管中通過的流量及管道 最高點處的真空值。,解：取-為 基準，列斷面- 和-的伯氏方程：,例題,47,解得：,水流量,-和- 斷面列方程：,處真空度,48,4-5 動量定理及動量矩定理,一、動量定理,工程中常常需要求運動流體和物體之間的相互作用力的合力或合力矩。這時應用動量定理較為合適與方便。,理論力學中，動量定理是按拉格朗日觀點對 質(zhì)點系導出的，即質(zhì)系動量的變化率等于作用在 該質(zhì)系上的合外力，即,49,為應用方便，需將動量定理轉(zhuǎn)換成適合于控 制體的形式（歐拉法）。,控制體：相對于所選坐標系，在流場中形狀、大小任意，固定不動的空間。,控制面：控制體的邊界（可以是流體，固體）。 流體經(jīng)過控制面流入、流出。通過 控制面一般有流體質(zhì)量、動量、能量交 換，控制體內(nèi)與控制體外的流體或固體 存在作用力與反作用力。,50,適合于控制體形式動量方程推導如下：,對于定常流動，同一位置的所有參數(shù)不隨時間改變，質(zhì)量為常數(shù)。,取控制體積V，其質(zhì)量為,51,為了計算方便，控制面通常這樣來選?。?（）邊界面或流面。這些面上沒有動量進出， 因而動量的通量等于零； （）速度及壓力分布已知的面。,寫成分量形式,52,實例六,實例一 流體對彎管管壁的壓力,水平放置的一段彎管。 平均流速 流入， 流出。,設(shè)流體對管壁的作用力為 ,管壁對流體的作用為,圖413,取管壁和截面1、2組成的封閉面為控制面 對此控制面內(nèi)流體應用動量定理,53,因此：,即,如重力比其他各項小許多，則 略而不計。,54,55,二、動量矩定理,理想流體作定常運動時的動量矩定理：,即繞某一點或某一軸的動量矩變化率等于外力 對同一點或軸的力矩之和：,x,y,z,vy,vx,56,實例七,實例二 射流對傾斜平板的沖擊力,圖4-14俯視,厚為o的二元流束以向平板AB沖擊，流速與平板的夾角為，求流體對平板的作用力。,沿平板切向和法向取坐標。整個射流暴露大氣中，故流體中壓力處處為大氣壓力忽略重力的影響，由流線伯氏方程可知： V1=V=V,解：,57,單位時間內(nèi)，流出與流入控制面的動量之差等于作用于控制面內(nèi)流體之外力。平板給流體的反力 是外力之一。,圖4-14俯視,目的是求流體作用于平板 上的力 ，首先求出 再由作用力與反作用力的 關(guān)系得,重力在xy平面內(nèi)無分量，整個控制面上大氣壓 力的合力為零。平板給流體的反力 的法向 分量 ，而切向分量（理想流體）,58,列立方向和方向的動量方程，有：,由連續(xù)性方程有,(4-38),聯(lián)立有:,b0b1+b2,(c),59,可以看出,當為銳角時12，因在拐彎曲 率小的那邊，流體能順地流過去，故有更多的流 體擁向這邊，使得曲率小的這邊流束厚。,式中：,為流體對平板作用的切向分力(為零)。,總沖擊力n沿平板法向。,1、2:流束沖擊平板后分為兩股流束的厚度,60,對O點應用動量矩定理來求n,作用點離開O點的距離。規(guī)定反時針為正,反之為負。,O處進流通過O點，動量 矩為零。,1處出流對O點的動量矩為,2處出流對O點的動量矩為,n對O點之力矩為,列出動量矩方程式,(,)-0=,61,將式（4-38）和式(c)的結(jié)果代入上式，并加以 整理，可得,式中的負號表示n作用點位于軸的負向上。 如圖中Rn所示。,62,實例八,實例三 氣墊船基本原理,頂部進氣從底部向周圍噴出。噴出寬度為0 速度0與底部水平線成的夾角，然后轉(zhuǎn)為水 平向兩側(cè)噴出。船自重，底面積。,試求:底部間隙和艇重 量之間的關(guān)系。,圖415,設(shè)艇底壓力為，以右邊噴柱(單位厚度)為討 論對象，取控制體如圖，沿水平方向列動量方程:,解：,63,艇自重全部由氣墊所承擔，即,x方向流出動量為,流進動量為,x方向受氣墊壓力為ph(相對壓力),則:,（a）,圖415,64,將代入式（a）得:,(4-40),或?qū)懗?(4-41),式中：,為噴出的流體動量，由風扇的功率所決定。W 越大則間隙越小,增大則增大。故艇 的形狀較扁平以增大S.,65,實例九,實例四 滑行艇的基本原理,設(shè)滑行艇與水平面夾角為，水速0 從右向左流動。水原來深度為0，流經(jīng)滑行艇 后分為兩部分：,一部分寬度為，以速度 2沿艇首噴出，,試求:作用在滑行艇上的力。,另一部分水深為，以速 度1向艇尾流去。,圖4-16,66,自由表面上處處為大氣壓力0（艇底除外） 由流線伯努利方程，可得：120,艇體反力在方向分量為sin,由連續(xù)方程知： 0,尾部向后流出動量為,首部向前在方向流出的動量為,首部由前方流進動量(沿x負向),水平方向動量方程：,67,: 艇對流體的作用力。負值為其方向與圖 中方向相反。圖示的正好就是流體對滑行艇 的作用力。,所以,或?qū)懗?68,例4.1,例4.1 灑水器如圖417，噴嘴，的流 量均為2.810-43s，噴嘴的截面積均 為1cm2，略去損失，試確定灑水器的轉(zhuǎn)速。,解： 從噴嘴噴出的水流速為,轉(zhuǎn)動起來后，兩噴嘴出 口水的絕對速度為：,(m/s),69,沒有外力作用于該系統(tǒng)，故進水管通過轉(zhuǎn)軸