數(shù)學(xué)建模模糊數(shù)學(xué)方法.ppt

數(shù)學(xué)建模 模糊數(shù)學(xué)方法,主講人：張先君,模糊數(shù)學(xué)方法,模糊集的基本概念 模糊綜合評判 模糊聚類分析,模糊集的基本概念,模糊子集與隸屬函數(shù) 隸屬函數(shù)的確定 模糊矩陣及運算與性質(zhì),模糊子集與隸屬函數(shù),設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U0,1 確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性. 當(dāng)映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 設(shè)論域,，,例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,還可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1),模糊集的運算,相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)B(x)； 并：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 交：AB的隸屬函數(shù)為 (AB)(x)=A(x)B(x)； 余：Ac的隸屬函數(shù)為 Ac (x) = 1- A(x).,例 設(shè)論域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定義兩個模糊集： A =“商品質(zhì)量好” B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè),A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞”.,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可見Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .,隸屬函數(shù)的確定,1.模糊統(tǒng)計方法,與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”.,2. 指派方法,一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。,3. 借用已有的“客觀”尺度,模糊矩陣,設(shè)R = (rij)mn，若0rij1，則稱R為模糊矩陣. 當(dāng)rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當(dāng)模糊方陣R = (rij)nn的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.,模糊矩陣及運算與性質(zhì),模糊矩陣間的關(guān)系及并、交、余運算,設(shè)A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩陣，定義 相等：A = B aij = bij； 包含：AB aijbij； 并：AB = (aijbij)mn； 交：AB = (aijbij)mn； 余：Ac = (1- aij)mn.,設(shè)A = (aik)ms，B = (bkj)sn，稱模糊矩陣 A B = (cij)mn， 為A 與B 的合成，其中cij = (aikbkj) | 1ks .,模糊矩陣的合成,模糊方陣的冪 定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.,模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,定義 設(shè)A = (aij)mn, 稱AT = (aijT )nm為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中aijT = aji.,轉(zhuǎn)置運算的性質(zhì)：,性質(zhì)1：( AT )T = A； 性質(zhì)2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT； 性質(zhì)3：( A B )T = BT AT；( An )T =( AT )n ； 性質(zhì)4：( Ac )T = ( AT )c ； 性質(zhì)5：AB AT BT .,模糊矩陣的截矩陣,設(shè)A = (aij)mn,對任意的0, 1，稱 A= (aij()mn,為模糊矩陣A的 - 截矩陣, 其中 當(dāng)aij 時，aij() =1； 當(dāng)aij 時，aij() =0. 顯然，A的 - 截矩陣為布爾矩陣.,模糊綜合評價模型,對方案、人才、成果的評價，人們的考慮的因素很多，而且有些描述很難給出確切的表達(dá)，這時可采用模糊評價方法。它可對人、事、物進(jìn)行比較全面而又定量化的評價，是提高領(lǐng)導(dǎo)決策能力和管理水平的一種有效方法。,模糊綜合評價的基本步驟：,（1） 首先要求出模糊評價矩陣P，其中P表示方案X在第i個目標(biāo)處于第j級評語的隸屬度，當(dāng)對多個目標(biāo)進(jìn)行綜合評價時，還要對各個目標(biāo)分別加權(quán)，設(shè)第i個目標(biāo)權(quán)系數(shù)為W，則可得權(quán)系數(shù)向量： A（W1，W2，W）,（2）綜合評判 利用矩陣的模糊乘法得到綜合模糊評價向量B BAP（其中為模糊乘法），根據(jù)運算的不同定義，可得到不同的模型,模型1 M（，V）主因素決定型,模型2 M（，）主因素突出型,模型3 M（，+）加權(quán)平均型,例1：對某品牌電視機(jī)進(jìn)行綜合模糊評價,設(shè)評價指標(biāo)集合： U圖像，聲音，價格； 評語集合： V很好，較好，一般，不好；,首先對圖像進(jìn)行評價： 假設(shè)有30%的人認(rèn)為很好，50%的人認(rèn)為較好，20%的人認(rèn)為一般，沒有人認(rèn)為不好，這樣得到圖像的評價結(jié)果為 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同樣對聲音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 對價格為： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊評價矩陣：,設(shè)三個指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量： A 圖像評價，聲音評價，價格評價 （0.5, 0.3, 0.2) 應(yīng)用模型1，bj=max(airij)有綜合評價結(jié)果為： BAP （0.3, 0.5, 0.2, 0.2) 歸一化處理： B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17) 所以綜合而言，電視機(jī)還是比較好的比重大。,例2：對科技成果項目的綜合評價,有甲、乙、丙三項科研成果，現(xiàn)要從中評選出優(yōu)秀項目。,三個科研成果的有關(guān)情況表,設(shè)評價指標(biāo)集合： U科技水平，實現(xiàn)可能性，經(jīng)濟(jì)效益 評語集合： V高，中，低 評價指標(biāo)權(quán)系數(shù)向量： A（0.2，0.3，0.5）,專家評價結(jié)果表,由上表，可得甲、乙、丙三個項目各自的評價矩陣P、Q、R：,求得：,歸一化后得：,所以項目乙可推薦為優(yōu)秀項目,因素集： U=政治表現(xiàn)及工作態(tài)度，教學(xué)水平，科研水平，外語水平； 評判集： V=好，較好，一般，較差，差；,例3：“晉升”的數(shù)學(xué)模型，以高校教師晉升教授為例,（1）建立模糊綜合評判矩陣,當(dāng)學(xué)科評審組的每個成員對評判的對象進(jìn)行評價，假定學(xué)科評審組由7人組成，用打分或投票的方法表明各自的評價,例如對王，學(xué)科評審組中有4人認(rèn)為政治表現(xiàn)及工作態(tài)度好，2人認(rèn)為較好，1人認(rèn)為一般，對其他因素作類似評價。,（2）綜合評判,以教學(xué)為主的教師，權(quán)重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2) 以科研為主的教師，權(quán)重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2),B1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14) B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14),歸一化（即將每分量初一分量總和），得 B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12),若規(guī)定評價“好”“較好”要占50%以上才可晉升，則此教師晉升為教學(xué)型教授，不可晉升為科研型教授,例4： 利用模糊綜合評判對20加制藥廠經(jīng)濟(jì)效益的好壞進(jìn)行排序 因素集： U=u1,u2,u3,u4為反映企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的主要指標(biāo) 其中u1：總產(chǎn)值/消耗；u2：凈產(chǎn)值；u3：盈利/資金占有；u4：銷售收入/成本， 評判集： V=v1,v2,v20為20家制藥廠,（1）建立模糊綜合評判矩陣,即rij表示第j個制藥廠的第i個因素的值在20家制藥廠的同意因素值的總和中所占的比例，得到模糊綜合評判矩陣R=(rij)420,（2）綜合評判,按從小到大的次序排序，這2