實(shí)變函數(shù)試題庫1及參考答案.doc

實(shí)變函數(shù)試題庫及參考答案（1） 本科一、填空題 1設(shè)為集合，則 （用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）2設(shè)是的子集，則 （用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）3如果中聚點(diǎn)都屬于，則稱是 4有限個(gè)開集的交是 5設(shè)、是可測集，則 （用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫）6設(shè)是可數(shù)集，則 7設(shè)是定義在可測集上的實(shí)函數(shù)，如果，是 ，則稱在上可測8可測函數(shù)列的上極限也是 函數(shù)9設(shè)，則 10設(shè)在上可積，則在上 二、選擇題1下列集合關(guān)系成立的是（ ） 2若是開集，則（ ） 3設(shè)是上一列非負(fù)可測函數(shù)，則（ ） 三、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)以上的正確答案）1設(shè)，則（ ） 是不可數(shù)集 是閉集 中沒有內(nèi)點(diǎn) 2設(shè)是無限集，則（ ） 可以和自身的某個(gè)真子集對等 （為自然數(shù)集的基數(shù)） 3設(shè)是上的可測函數(shù)，則（ ） 函數(shù)在上可測 在的可測子集上可測 是有界的 是簡單函數(shù)的極限4設(shè)是上的有界函數(shù)，且黎曼可積，則（ ） 在上可測 在上可積 在上幾乎處處連續(xù) 在上幾乎處處等于某個(gè)連續(xù)函數(shù)四、判斷題1. 可數(shù)個(gè)閉集的并是閉集. （ ）2. 可數(shù)個(gè)可測集的并是可測集. （ ）3. 相等的集合是對等的. （ ）4. 稱在上幾乎處處相等是指使的全體是可測集. （ ）五、定義題1. 簡述無限集中有基數(shù)最小的集合，但沒有最大的集合.2. 簡述點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系.3. 簡單函數(shù)、可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？4. 上單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？六、計(jì)算題1. 設(shè)，其中為中有理數(shù)集，求.2. 設(shè)為中全體有理數(shù)，求.七、證明題1證明集合等式：2設(shè)是中的無理數(shù)集，則是可測集，且3設(shè)是上的可測函數(shù)，則是可測集4設(shè)是上的可測函數(shù)，則對任何常數(shù)，有5設(shè)是上的可積函數(shù)，是的一列可測子集，且，則實(shí)變函數(shù)試題庫及參考答案（1） 本科一、填空題1.= 2. 3.閉集 4.開集 5. 6.= 7.可測集 8.可測 9. 10.可積二、單選題ABB三、多選題 ACD AB ABD ABC四、判斷題 五、定義題1.答：因?yàn)槿魏螣o限集均含有可數(shù)集，所以可數(shù)集是無限集中基數(shù)最小的，但無限集沒有基數(shù)最大的，這是由于任何集合，的冪集的基數(shù)大于的基數(shù).2.答: 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，邊界點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)，點(diǎn)集的邊界點(diǎn)或?yàn)楣铝Ⅻc(diǎn)或?yàn)榫埸c(diǎn).3.答：連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)一定是可測函數(shù)；簡單函數(shù)可表示成簡單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的極限4.答：單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成兩個(gè)單調(diào)增函數(shù)之差.六、解答題1.解：因?yàn)椋杂?，于是，而在上連續(xù)，從而黎曼可積，故由黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系，因此.2.解：顯然在上可測，另外由定義知，于所以 因此七、證明題1.證明2.證明 設(shè)是中的有理數(shù)集，則是可數(shù)集，從而，因此是可測集，從而可測，又，故是可測集.由于，所以，故3.證明 設(shè)為全體有理數(shù)所成之集，則因?yàn)槭巧系目蓽y函數(shù)，所以，是可測集，于是由可測集性質(zhì)知是可測集4.證明 因?yàn)樵谏峡蓽y，所以在上非負(fù)