第一部分聯(lián)賽講座基礎(chǔ)第一講數(shù)列問題選講.doc

第一講 數(shù)列問題選講第1課時 化等比求通項符合條件（其中A、B、C、D為已知的常數(shù)且A0，）的遞推數(shù)列的通項公式的求法，也就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化變形為新的“等比”數(shù)列后求通項的方法類型一：遞推關(guān)系形如 的數(shù)列例1、 已知數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的通項公式解析：變形為：，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列類型二：遞推關(guān)系形如 的數(shù)列例2、已知數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的通項公式解析：變形為：，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列， 類型三：遞推關(guān)系形如 的數(shù)列例3、已知數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的通項公式解析：變形為：，就可以轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列例4、已知數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的通項公式解析：變形為：，轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列 類型四：遞推關(guān)系形如 的數(shù)列例5、已知數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的通項公式解析：設(shè)變形后的形式為，展開整理得，由待定系數(shù)法知，所以有 再將代入上面已設(shè)的形式：最終的變式：轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列。小結(jié)：，變形為：，變形為：；，變形為：；，變形為：；，可采用累加法求出數(shù)列的通項公式第2課時 特征根法求數(shù)列通項公式一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進而求得例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項例2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項二、形如的數(shù)列對于數(shù)列，是常數(shù)且）其特征方程為，變形為若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得例3已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項第一講 遞推數(shù)列問題強化練習(xí)1、已知中，（）求2、已知的首項，（）求通項公式。3、已知中，且求數(shù)列通項公式。4、數(shù)列中，求的通項。5、已知：，時，求的通項公式。6、已知中，求。7、已知中，（）求。8、已知中，（）求。9、已知中，其前項和與滿足（）（1）求證：為等差數(shù)列 （2）求的通項公式10、已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足（1）求證：是等差數(shù)列 （2）若，求的前n項和的最小值第一部分 聯(lián)賽講座基礎(chǔ) 第二講 競賽中常用的重要不等式1、柯西不等式：定理1 對任意實數(shù)組恒有不等式“積和方不大于方和積”，即；等式當且僅當時成立。例1、證明均值不等式鏈：調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)均方平均數(shù)。即：設(shè)求證：2、排序不等式：定理設(shè)有兩組實數(shù)，滿足，則(倒序積和)（亂序積和）（順序積和）其中是實數(shù)組一個排列，等式當且僅當或時成立。說明：本不等式稱排序不等式，俗稱：例序積和亂序積和須序積和。例2、利用排序不等式證明柯西不等式：其中等式當且僅當為常數(shù)時成立。例3、利用排序不等式證明正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)。3、契比雪夫不等式：設(shè)(i=1,2，n)(i)若則順序積和的算術(shù)平均數(shù)不小于這兩組數(shù)算術(shù)平均數(shù)之積： ；（）若，則倒序積和的算術(shù)平均數(shù)不大于這兩組數(shù)算術(shù)平均數(shù)之積：例4 、設(shè)，求證第一部分 聯(lián)賽講座基礎(chǔ) 第三講 數(shù)論基礎(chǔ)-同余同余式和不定方程是數(shù)論中古老而富有魅力的內(nèi)容.考慮數(shù)學(xué)競賽的需要,下面介紹有關(guān)的基本內(nèi)容.1.同余式及其應(yīng)用定義:設(shè)a、b、m為整數(shù)（m0），若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余.記為或一切整數(shù)n可以按照某個自然數(shù)m作為除數(shù)的余數(shù)進行分類，即n=pm+r（r=0，1，m-1），恰好m個數(shù)類.于是同余的概念可理解為,若對n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2對模m的同余，即它們用m除所得的余數(shù)相等.利用整數(shù)的剩余類表示,可以證明同余式的下述簡單性質(zhì):(1) 若,則m|(b-a).反過來,若m|(b-a),則;(2) 如果a=km+b(k為整數(shù)),則;(3) 每個整數(shù)恰與0,1,，m-1，這m個整數(shù)中的某一個對模m同余；(4) 同余關(guān)系是一種等價關(guān)系： 反身性 ； 對稱性，則，反之亦然. 傳遞性，則；（5）如果，則；特別地應(yīng)用同余式的上述性質(zhì)，可以解決許多有關(guān)整數(shù)的問題.例1、 求使2n+1能被3整除的一切自然數(shù)n.例2、求2999最后兩位數(shù)碼.例3、求證31980+41981能被5整除.2不定方程不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數(shù)解或解的個數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，采取正確的方法，求出全部整數(shù)解.(1) 不定方程解的判定如果方程的兩端對同一個模m(常數(shù))不同余,顯然,這個方程必?zé)o整數(shù)解.而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩種，因而可以在奇偶性分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無整數(shù)解.例4、證明方程2x2-5y2=7無整數(shù)解.例5、不存在整數(shù)x,y使方程例6、滿足方程x2+y2=x3的正整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是（ ）.（A）0 （B）1（C）2（D）無限個（E）上述結(jié)論都不對(2) 不定方程的解法不定方程沒有統(tǒng)一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數(shù)分析法.對方程進行適當?shù)淖冃?并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路.例6、求方程的整數(shù)解.練習(xí)1. 選擇題(1)方程x2-y2=105的正整數(shù)解有( ).（A） 一組 （B）二組 （C）三組 （D）四組(2)在0,1,2,，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（ ）.（A） 3個 （B）4個 （C）5個 （D）6個2填空題(1) 滿足不等式104A105的整數(shù)A的個數(shù)是x104+1，則x的值_.(2) 已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y3被7除時余數(shù)為_.(3) 求出任何一組滿足方程x2-51y2=1的自然數(shù)解x和y_.3. 求三個正整數(shù)x、y、z滿足.第一部分 聯(lián)賽講座基礎(chǔ) 第四講 復(fù)數(shù)基礎(chǔ)1虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立2與1的關(guān)系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示5復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式6復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)，當且僅當b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、bR)是實數(shù)a；當b0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)05復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC6兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小，也只有當兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小7復(fù)平面、實軸、虛軸：點Z的橫坐標是a，縱坐標是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)。對于虛軸上的點原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實數(shù)故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點這是因為，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法8復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i9復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i10復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z111復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法運算規(guī)則：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)13乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z314除法運算規(guī)則：15*。共軛復(fù)數(shù)：當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)，復(fù)數(shù)z=a+bi和=abi(a、bR)互為共軛復(fù)數(shù)16復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)z1，z2分別對應(yīng)于向量、，那么，以O(shè)P1、OP2為兩邊作平行四邊形OP1SP2，對角線OS表示的向量就是z1+z2的和所對應(yīng)的向量17復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)18復(fù)數(shù)的模：19復(fù)數(shù)的模：20復(fù)數(shù)的輻角及輻角主值：以軸的非負半軸為始邊、以所在射線為終邊的角在內(nèi)的輻角就叫做輻角主值，記為argz當時， 0 ， ，21復(fù)數(shù)的三角形式：其中，；復(fù)數(shù)三角形式的特征：模0；同一個輻角的余弦與正弦；與之間用加號連結(jié)22復(fù)數(shù)的三角形式的乘法：若，則23復(fù)數(shù)的三角形式的乘方(棣美弗定理)：若，則24復(fù)數(shù)的三角形式的除法：若，則25復(fù)數(shù)代數(shù)形式開平方和三角形式開高次方的運算：復(fù)數(shù)開平方，只要令其平方根為，由，解出有兩組解復(fù)數(shù)的方根為： 共有個值例題選講例1實數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z=m+1+(m1)i是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？（4）對應(yīng)的點Z在第三象限？例2計算（1） （2）例3在復(fù)平面內(nèi)，若所對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是A B C D例4設(shè)zC，求滿足z+R且|z2|=2的復(fù)數(shù)z例5設(shè)z是虛數(shù)，=z+是實數(shù)，且12（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍； （2）設(shè)u=，求證：u為純虛數(shù)例6已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y例7設(shè)復(fù)數(shù)，求：（1） （2） （3） （4）例8復(fù)數(shù)z1=1+2i，z2=2+i，z3=12i，它們在復(fù)平面上的對應(yīng)點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)例9化下列復(fù)數(shù)為三角形式：z=+i ;z=1-i z=-1例10下列復(fù)數(shù)中那些是三角形式？那些不是？為什么？（1） ；（2）；（3）；（4）；（5） ；（6）練習(xí)：1數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于_象限2已知，則在復(fù)平面上與對應(yīng)的點在_象限3復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于復(fù)平面的虛軸上，則實數(shù) 為_4的值等于_5復(fù)數(shù) 所對應(yīng)的點在第二象限則實數(shù)的取值范圍是_6已知是復(fù)數(shù)，以下四個結(jié)論正確的是_若 若，則若 若，則向量7. i2的共軛復(fù)數(shù)是_8.計算(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)(其中i為虛數(shù)單位)的值是_9設(shè)復(fù)數(shù)=+i，則1+等于( )A B。2 C。 D。10設(shè)x、yR，且=，則x+y=_11.復(fù)數(shù)(sin100+icos100)3的三角形式為_12. 設(shè)復(fù)數(shù)2-i和3-i的輻角主值分別為，則等于_13復(fù)數(shù)的三角形式是_15.設(shè)，則|z|的取值范圍是_.16.復(fù)數(shù)z的一個四次方根是2+i, 則z的另三個四次方根分別是_17. 已知zC，且|z|1，則arg(z+2i)的范圍是_18. 已知zC，且arg(z+3)=，arg(z5)=，則z_19. 復(fù)數(shù)z滿足|z|=1, 點Z1對應(yīng)復(fù)數(shù)z1 ， 且有z1=2z+3-4i ,求點Z1的軌跡20.復(fù)平面上的動點Z對應(yīng)復(fù)數(shù)z，如果z1=z+是實數(shù)，求點Z的軌跡方程第一部分 聯(lián)賽講座基礎(chǔ) 第五講 平面幾何四大定理四個重要定理：1、梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。2、塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點）ABC的三邊BC、CA、AB上有點P、Q、R，則AP、BQ、CR共點的充要條件是。3、托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。4、西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。例題：1 設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。2 過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。3 D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。題1圖 題2圖 題3圖4 以ABC各邊為底邊向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點。5 已知ABC中，B=2C。求證：AC2=AB2+ABBC。6ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于P，作PEAB于E，延長ED交AC延長線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。題4圖 題5圖 題6圖第二部分 聯(lián)賽專題講座 專題一 記憶能力與運算能力一 記憶能力記憶是系統(tǒng)化知識,形成方法,思想的先決條件,因而我們對記憶能力應(yīng)引起足夠的重視.下面來試試你的記憶能力:1求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標注了該函數(shù)的定義域了嗎？2函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：3原函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)4判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱這個必要非充分條件了嗎？5.你知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！6.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀.7.你知道判斷對數(shù)符號的快捷方法嗎？8.“實系數(shù)一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“”，你是否注意到必須；當a=0時，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形？9.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎？10.在三角中，你知道1等于什么嗎？（ 這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用11.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次）12.你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？()13.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意義？ 異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是. 直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是 反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是14.分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分）15.解指對不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 對數(shù)的真數(shù)大于零.）16.利用重要不等式 以及變式等求函數(shù)的最值時，你是否注意到a，b（或a ，b非負），且“等號成立”時的條件，積ab或和ab其中之一應(yīng)是定值？17.在解含有參數(shù)的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是18.等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若，則； 等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：若，則19.你是否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論（時，；時，）20.等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設(shè)是數(shù)列的前n項和，為等差數(shù)列的充要條件是 （a, b為常數(shù)）其公差是2a.21.你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前n項的和）22.用求數(shù)列的通項公式時，你注意到了嗎？23.你還記得裂項求和嗎？（如 .）24.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合25.解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法26.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見.27.求點到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、體積法）28.求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補法、等積變換法）29.你知道三垂線定理的關(guān)鍵是什么嗎？（一面、四線、三垂直、立柱即面的垂線是關(guān)鍵）一面四直線，立柱是關(guān)鍵，垂直三處見30.設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）31.定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）32. 對不重合的兩條直線，有； 33.直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0.34.處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式.一般來說，前者更簡捷35.處理圓與圓的位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系.36.在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形.37.還記得圓錐曲線的兩種定義嗎？解有關(guān)題是否會聯(lián)想到這兩個定義？38.還記得圓錐曲線方程中的a,b,c,p,的意義嗎？39.在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？40離心率的大小與曲線的形狀有何關(guān)系？（圓扁程度，張口大?。┑容S雙曲線的離心率是多少？41.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行）.42.橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形（a，b，c）43.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.44.常用的求導(dǎo)公式有哪些? (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12).45.解答選擇題的特殊方法是什么？(順推法，估算法，特例法，特征分析法，直觀選擇法，逆推驗證法等等)46.解答開放型問題時，需要思維廣闊全面，知識縱橫聯(lián)系47.解答信息型問題時，透徹理解問題中的新信息，這是準確解題的前提48.解答多參型問題時，關(guān)鍵在于恰當?shù)匾鰠⒆兞?想方設(shè)法擺脫參變量的困繞這當中，參變量的分離、集中、消去、代換以及反客為主等策略，似乎是解答這類問題的通性通法二 運算能力 每年高考都說要控制運算量,但結(jié)果是每年都控制不了.理由很簡單:有數(shù)學(xué),就有運算.不厭其繁的運算,可以培養(yǎng)我們的耐性,和堅忍不拔的性格.問題1、已知三角形的三個頂點分別是,求角平分線AM所在直線的方程.問題2、已知正四棱錐的各條棱長均為1,E,F分別為VB,VC的中點.(I)求平面PAB與平面PBC所成的角的大小; (II)求點A到平面PBC的距離;(III)求直線AE與平面PBC所成的角的大小; (IV)求異面直線AE與BF所成的角的大小;問題3、某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上)問題4、設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點，又與雙曲線x2y2=1相交于C、D兩點,C、D三等分線段AB. 求直線的方程.第二部分 聯(lián)賽專題講座 專題二 集合 函數(shù) 不等式 導(dǎo)數(shù)一 能力培養(yǎng)1,函數(shù)與方程思想; 2,數(shù)形結(jié)合思想; 3,分類討論思想;4,運算能力; 5,轉(zhuǎn)化能力.二 問題探討問題1 已知,分別就下面條件求的取值范圍: (I);(II).問題2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并給予證明.問題3已知. (I)若在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍; (II)若在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,求的值; (III)設(shè)在(II)的條件下,求證的圖象恒在圖象的下方.問題4設(shè). (I)試判斷的單調(diào)性; (II)若的反函數(shù)為,證明只有一個解; (III)解關(guān)于的不等式.三 習(xí)題探討1已知函數(shù),則的單調(diào)減區(qū)間是A, B, C, D,2已知集合M=,N=,下列法則不能構(gòu)成M到N的映射的是A, B, C, D,3已知函數(shù)，奇函數(shù)在處有定義，且時,，則方程的解的個數(shù)有A,4個 B,2個 C,1個 D,0個 4如果偶函數(shù)在上的圖象如右圖,則在上,=A, B, C, D,5設(shè)函數(shù),已知,則的取值范圍為A, B, C, D,6對于函數(shù),有下列命題:是增函數(shù),無極值;是減函數(shù),無極值;的增區(qū)間是,的減區(qū)間是(0,2);是極大值,是極小值.其中正確的命題有 A,一個 B,二個 C,三個 D,四個7函數(shù)的定義域是 .8已知,則 .9函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是 .10若不等式對滿足的恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 .11在點M(1,0)處的切線方程是 .12函數(shù)的定義域為集合A,函數(shù)的定義域 集合B,當時,求實數(shù)的取值范圍.13已知定點A(0,1),B(2,3),若拋物線與線段AB有兩個不同的 交點,求的取值范圍.14已知定義在R上的函數(shù),滿足:,且時, . (I)求證:是奇函數(shù); (II)求在上的最大值和最小值.15通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,心理學(xué)家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間,講座開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段不太長的時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,分析結(jié)果和實驗表明,用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越強),表示提出和講授概念的時間(單位:分),可有以下公式: (I)開講后多少分鐘,學(xué)生的接受能力最強?能維持多少時間? (II)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較,學(xué)生的接受接受能力何時強一些? (III)一個數(shù)學(xué)難題,需要55的接受能力以及13分鐘時間,老師能否及時在學(xué)生一直 達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題?16已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;(II)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的最大值.第二部分 聯(lián)賽專題講座 專題三 函數(shù) 不等式 數(shù)列 極限 數(shù)學(xué)歸納法一 能力培養(yǎng)1,歸納猜想證明 2,轉(zhuǎn)化能力 3,運算能力 4,反思能力二 問題探討問題1：數(shù)列滿足,().(I)求的通項公式; (II)求的最小值; (III)設(shè)函數(shù)是與的最大者,求的最小值.問題2已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件:, (=2,3,4,),=(=2,3,4,),其中為常數(shù),為非零常數(shù).(I)令(),證明數(shù)列是等比數(shù)列;(II)求數(shù)列的通項公式; (III)當時,求.問題3已知兩點M,N,且點P使,成公差小于零的等差數(shù)列.(I)點P的軌跡是什么曲線? (II)若點P坐標為,記為與的夾角,求.三 習(xí)題探討1數(shù)列的通項公式,若此數(shù)列滿足(),則的取值范圍是A, B, C, D,2等差數(shù)列,的前項和分別為,若,則=A, B, C, D,3已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列,它們的公比為,則的取值范圍是A, B, C, D,4在等差數(shù)列中,第10項開始比1大,記,則的取值范圍是A, B, C, D,5設(shè)A,B,C是橢圓)上三個點,F為焦點,若成等差數(shù)列,則有A, B, C, D,6在中,是以為第三項,4為第七項的等差數(shù)列的公差,是以為第三項,9為第六項的等比數(shù)列的公比,則這個三角形是A,鈍角三角形 B,銳角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不對7等差數(shù)列前()項和,且前6項和為36,后6項和為180,則 .8,則 .9在等比數(shù)列中,則的取值范圍是 .10一個數(shù)列,當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,.則這個數(shù)列的前項之和 .11等差數(shù)列中,是它的前項和且,則此數(shù)列的公差,是各項中最大的一項,一定是中的最大項,其中正確的是 .12已知,且組成等差數(shù)列(為正偶數(shù)).又,(I)求數(shù)列的通項;(II)試比較與3的大小,并說明理由.13已知函數(shù)是偶函數(shù),是奇函數(shù),正數(shù)數(shù)列滿足,.(I)若前項的和為,求;(II)若,求中的項的最大值和最小值.14. 已知等比數(shù)列的各項不為1的正數(shù),數(shù)列滿足(且),設(shè),.(I)求數(shù)列的前多少項和最大,最大值是多少?(II)設(shè),求的值.(III)試判斷,是否存在自然數(shù)M,使當時恒成立,若存在求出相應(yīng)的M;若不存在,請說明理由.15設(shè)函數(shù)的定義域為全體實數(shù),對于任意不相等的實數(shù),都有,且存在,使得,數(shù)列中,求證:對于任意的自然數(shù),有: (I); (II).第二部分 聯(lián)賽專題講座 專題四 專題四 三角 平面向量 復(fù)數(shù)一 能力培養(yǎng)1,數(shù)形結(jié)合思想 2,換元法 3,配方法 4,運算能力 5,反思能力二 問題探討問題1設(shè)向量,求證:.問題2設(shè),其中向量,(I)若且,求; (II)若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象,求實數(shù)的值.問題3(1)當,函數(shù)的最大值是 ,最小值是 . (2)函數(shù)的最大值是 . (3)當函數(shù)取得最小值時,的集合是 . (4)函數(shù)的值域是 .問題4已知中,分別是角的對邊,且,=,求角A.三 習(xí)題探討1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為,復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為,那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A,1 B, C, D,2已知是第二象限角,其終邊上一點P(),且,則=A, B, C, D,3函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是A, B, C, D,4已知向量,向量,向量,則向量與向量的夾角的取值范圍是A, B, C, D,5已知,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是A, B, C, D,6若是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù)的值域是A, B, C, D,7已知,則= .8復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第 象限9若,則= .10與向量和的夾角相等,且長度為的向量 .11在復(fù)數(shù)集C內(nèi),方程的解為 .12若,求函數(shù)的最小值,并求相應(yīng)的的值.13設(shè)函數(shù),若當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.14設(shè),且,復(fù)數(shù)滿足,求的最大值與最小值勤.15已知向量,且(I)求及; (II)求函數(shù)的最小值.16設(shè)平面向量,.若存在實數(shù)和角,使向量,且.(I)求函數(shù)的關(guān)系式; (II)令,求函數(shù)的極值.第二部分 聯(lián)賽專題講座 專題五 直線 圓錐曲線 平面向量一 能力培養(yǎng)1,函數(shù)與方程思想 2,數(shù)形結(jié)合思想 3,分類討論思想 4,轉(zhuǎn)化能力 5,運算能力二 問題探討問題1設(shè)坐標原點為O,拋物線與過焦點的直線交于A,B兩點,求的值.問題2已知直線L與橢圓交于P,Q不同兩點,記OP,OQ的斜率分別為,如果,求PQ連線的中點M的軌跡方程.問題3給定拋物線C:,F是C的焦點,過點F的直線與C相交于A,B兩點.(I)設(shè)的斜率為1,求與夾角的大小;(II)設(shè),若,求在軸上截距的變化范圍.問題4求同時滿足下列三個條件的曲線C的方程:是橢圓或雙曲線; 原點O和直線分別為焦點及相應(yīng)準線;被直線垂直平分的弦AB的長為.三 習(xí)題探究1已知橢圓的離心率,則實數(shù)的值為A,3 B,3或 C, D,或2一動圓與兩圓和都外切,則動圓圓心的軌跡為A,圓 B,橢圓 C,雙曲線的一支 D,拋物線3已知雙曲線的頂點為與(2,5),它的一條漸近線與直線平行,則雙曲線的準線方程是A, B, C, D,4拋物線上的點P到直線有最短的距離,則P的坐標是A,(0,0) B, C, D,5已知點F,直線:,點B是上的動點.若過B垂直于軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是A,雙曲線 B,橢圓 C,圓 D,拋物線6橢圓上的一點到左焦點的最大距離為8,到右準線的最小距離為,則此橢圓的方程為 .7與方程的圖形關(guān)于對稱的圖形的方程是 .8設(shè)P是拋物線上的動點,點A的坐標為,點M在直線PA上,且分所成的比為2:1,則點M的軌跡方程是 .9設(shè)橢圓與雙曲線有共同的焦點,且橢圓長軸是雙曲線實軸的2倍, 則橢圓與雙曲線的交點軌跡是 .10已知點H,點P在軸上,點Q在軸的正半軸上,點M在直線PQ上,且滿足,.(I)當點P在軸上移動時,求點M的軌跡C;(II)過點T作直線