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巧 用 定 比 分 點(diǎn) 解 代 數(shù) 問(wèn) 題張光榮 廣東省韶關(guān)市第一中學(xué)高中部 美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂思曾經(jīng)說(shuō)過(guò),若一個(gè)特定的問(wèn)題能轉(zhuǎn)換為一個(gè)圖形,那思想就整體地把握了問(wèn)題,而且能創(chuàng)造地思索問(wèn)題的解法.通過(guò)幾何直觀,不但使抽象的數(shù)學(xué)概念有了幾何意義,得到了具體直觀的幾何解釋,使抽象概念變得更利于學(xué)生理解掌握,而且其具體的幾何意義常常給我們解題提供思路和方法.在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中,只要深入挖掘,拓展關(guān)系抓住問(wèn)題的共性,便可以巧建出相似的幾何模型,既使問(wèn)題變得容易解決,又提高了學(xué)生創(chuàng)新的思維能力,實(shí)屬一舉兩得.常見(jiàn)的幾何模型有多邊形、單位圓、長(zhǎng)方體、正方體等具體圖形,也有距離、直線的斜率、線段的定比分點(diǎn)等幾何特征量,距離和斜率應(yīng)用很廣泛,而線段的定比分點(diǎn)往往被忽視.1. 定義設(shè)、是直線上的兩點(diǎn),點(diǎn)是上不同于、的任意一點(diǎn),則存在一個(gè)實(shí)數(shù),使,叫做點(diǎn)分有向線段所成的比.2. 性質(zhì)2.1 坐標(biāo)之間的關(guān)系若點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為(,)、(,)、(,),則有,即(、不重合),又可得.2.2 的取值范圍(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上(點(diǎn)為內(nèi)分點(diǎn))時(shí),;(2)當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),定義無(wú)意義,不予研究;(3)當(dāng)點(diǎn)不在線段上(點(diǎn)為外分點(diǎn))時(shí),且.具體地,若當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),;若當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí),.綜上,且.2.3特例當(dāng)直線就是數(shù)軸時(shí),數(shù)軸上三點(diǎn)、分別對(duì)應(yīng)三個(gè)實(shí)數(shù),結(jié)合實(shí)數(shù)的性質(zhì)和定比分點(diǎn)公式可以解決很多代數(shù)問(wèn)題.3.運(yùn)用3.1用于求函數(shù)的解析式例1 已知的圖像過(guò)點(diǎn)(,),是否存在常數(shù)、,使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立?解:假設(shè)存在。當(dāng),總有,為此我們不妨設(shè)、為數(shù)軸上三點(diǎn),則,很顯然其中,于是由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得,又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(,),代入得,解得.再將代入中得到=.3.2 用于求函數(shù)的值域例2 求函數(shù)的值域.解:令(),則有.不妨設(shè)、為數(shù)軸上三點(diǎn),則,由解得,即函數(shù)的值域是,其幾何意義是點(diǎn)是的外分點(diǎn)或點(diǎn)與重合.3.3用于解不等式例3 解不等式:.解:不妨設(shè)、為數(shù)軸上三點(diǎn),由得,而點(diǎn)是線段的內(nèi)分點(diǎn),則有,解得,即原不等式解集是.3.4用于證明不等式例4證明:已知,求證,而,不妨設(shè)、為數(shù)軸上三點(diǎn),則,顯然有,這說(shuō)明點(diǎn)是線段的內(nèi)分點(diǎn),則,即證.3.5用于處理三角問(wèn)題例5證明:的值不在區(qū)間里.證明:(1)若,則;(2)若,則;(3)若,不妨設(shè)、為數(shù)軸上三點(diǎn),點(diǎn)是分點(diǎn).則有,即是的外分點(diǎn),必有.綜上,的值不在區(qū)間里.3.6用于處理數(shù)列問(wèn)題 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是:,是關(guān)于的一次函數(shù),其圖像為直線,則、三點(diǎn)必共線(m、n、k),可將點(diǎn)看作是的定比分點(diǎn).例6 在3與19之間插入31個(gè)數(shù),使他們成等差數(shù)列,求其通項(xiàng)公式.解:設(shè)通項(xiàng)公式為,由、得、,點(diǎn)分所成的比為,于是,整理得.以上僅僅只是筆者構(gòu)造定比分點(diǎn)解決代數(shù)問(wèn)題的一點(diǎn)嘗試,這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換,是直覺(jué)和邏輯的交匯,能很好地提升思維的靈活性.但正確使用數(shù)形結(jié)合要注意等價(jià)性、雙向性、簡(jiǎn)單性原則,教學(xué)中尤其要把握好數(shù)與形的雙向溝通,讓學(xué)生感到轉(zhuǎn)換過(guò)程自然,否則就嘩眾取寵,流于形式.作者簡(jiǎn)介張光榮(1977 ), 男 ,湖北洪湖人,大學(xué)本科,中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師,中學(xué)奧數(shù)一級(jí)教練員,在省級(jí)、國(guó)家級(jí)等各類雜志上公開(kāi)發(fā)表論文二十余篇
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