理論力學(xué)第二章習(xí)題課.doc

第2章 習(xí)題解答(2.1,2.3,2.5,2.16,2.19)2.1 求均勻扇形薄片的質(zhì)心，此扇形的半徑為,所對(duì)的圓心角為2，并證半圓片的質(zhì)心離圓心的距離為。2.1 解 均勻扇形薄片，取對(duì)稱軸為軸，由對(duì)稱性可知質(zhì)心一定在軸上。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有2.3 重為的人，手里拿著一個(gè)重為的物體。此人用與地平線成角的速度向前跳去，當(dāng)他到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，將物體以相對(duì)速度u水平向后拋出，跳的距離增加了多少？2.3 解 建立如題2.3.1圖所示的直角坐標(biāo)，原來(lái)與共同作一個(gè)斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水平拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。由此可知，兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)兩次運(yùn)動(dòng)的水平距離是一致的（因?yàn)閮纱芜\(yùn)動(dòng)水平方向上均以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同）。所以我們只要比較人把物拋出后水平距離的變化即可。第一次運(yùn)動(dòng)：從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到落地，水平距離 第二次運(yùn)動(dòng):在最高點(diǎn)人拋出物體，水平方向上不受外力，水平方向上動(dòng)量守恒，有可知道 水平距離跳的距離增加了=2.5 半徑為，質(zhì)量為的薄圓片，繞垂直于圓片并通過(guò)圓心的豎直軸以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，求繞此軸的動(dòng)量矩。解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)對(duì)一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的求和變?yōu)榉e分。如圖2.5.1圖所示薄圓盤，任取一微質(zhì)量元， 所以圓盤繞此軸的動(dòng)量矩=2.16 雨滴落下時(shí)，其質(zhì)量的增加率與雨滴的表面積成正比例，求雨滴速度與時(shí)間的關(guān)系。2.16解 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。雨滴是本題。導(dǎo)致雨滴變化的微元的速度。所以我們用書(shū)上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的質(zhì)量變化是一類比較特殊的變質(zhì)量問(wèn)題。我們知道處理這類問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。對(duì)于雨滴我們?？闯汕蛐?，設(shè)其半徑為，則雨滴質(zhì)量是與半徑的三次方成正比（密度看成一致不變的）。有題目可知質(zhì)量增加率與表面積成正比。即為常數(shù)。我們對(duì)式兩邊求導(dǎo)由于=，所以對(duì)式兩邊積分以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)式分析 （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以2.19試以行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)為例，驗(yàn)證維里定理。計(jì)算時(shí)可利用1.9中所有的關(guān)系和公式，即認(rèn)為太陽(yáng)是固定不動(dòng)的。2.19證 假設(shè)