山東省濟(jì)寧市高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列求和（含解析）.doc

考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和1、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n項(xiàng)和sn.解sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn2ln 33nln 31；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，sn2、在等比數(shù)列an中，已知a13，公比q1，等差數(shù)列bn滿足b1a1，b4a2，b13a3.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記cn(1)nbnan，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和sn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，等差數(shù)列bn的公差為d.由已知，得a23q，a33q2，b13，b433d，b13312d，故q3或1(舍去)所以d2，所以an3n，bn2n1.(2)由題意，得cn(1)nbnan(1)n(2n1)3n，snc1c2cn(35)(79)(1)n1(2n1)(1)n(2n1)3323n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，snnn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn(n1)(2n1)n.所以sn3若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()a2nn21 b2n1n21c2n1n22 d2nn2解析sn2n12n2.答案c4數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知sn1234(1)n1n，則s17()a9 b8 c17 d16解析s171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案a5已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlog2，snb1b2bn，求使sn2n1470成立的n的最小值解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意，有即由得q23q20，解得q1或q2.當(dāng)q1時(shí)，不合題意，舍去；當(dāng)q2時(shí)，代入得a12，所以an22n12n.故所求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an2n(nn*)(2)bnanlog22nlog22nn.所以sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因?yàn)閟n2n1470，所以2n12nn22n1470，解得n9或n10.因?yàn)閚n*，故使sn2n1470成立的正整數(shù)n的最小值為10.6已知在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a11，a2a416，則|a112|a212|a812|()a224 b225 c226 d256解析由a2a4a16，解得a34，又a11，q24，q2，an2n1，令2n112，解得n的最小值為5.|a112|a212|a812|12a112a212a312a4a512a612a712a812(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)15240225.答案b考點(diǎn)二：裂項(xiàng)相消法求和1、正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足：s(n2n1)sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，證明：對(duì)于任意的nn*，都有tn.解(1)由s(n2n1)sn(n2n)0，得sn(n2n)(sn1)0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以sn0，snn2n.于是a1s12，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)an2n.(2)證明由于an2n，bn，則bn.tn.2、(2013濱州一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是sn，且snan1(nn*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog(1sn1)(nn*)，令tn，求tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1s1，由s1a11，得a1，當(dāng)n2時(shí)，sn1an，sn11an1，則snsn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故ann12n(nn*)(2)因?yàn)?snann.所以bnlog(1sn1)logn1n1，因?yàn)椋詔n.3、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是sn，且snan1(nn*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog(1sn1)(nn*)，令tn，求tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1s1，由s1a11，得a1，當(dāng)n2時(shí)，sn1an，sn11an1，則snsn1(an1an)，即an(an1an)，所以anan1(n2)故數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故ann12n(nn*)(2)因?yàn)?snann.所以bnlog(1sn1)logn1n1，因?yàn)?，所以tn.4.已知函數(shù)f(x)x22bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，則s2 014的值為()a. b. c. d.解析由已知得b，f(n)n2n，s2 01411.答案d5正項(xiàng)數(shù)列an滿足：a(2n1)an2n0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)令bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解(1)由a(2n1)an2n0得(an2n)(an1)0，由于an是正項(xiàng)數(shù)列，則an2n.(2)由(1)知an2n，故bn，tn.6已知函數(shù)f(x)x22x4，數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，若a1f(d1)，a3f(d1)，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)sn為an的前n項(xiàng)和，求證：.(1)解a1f(d1)d24d7，a3f(d1)d23，又由a3a12d，可得d2，所以a13，an2n1.(2)證明snn(n2)，所以，.7設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足4sna4n1，nn*, 且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列(1)證明：a2；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有0，a2.(2)解當(dāng)n2時(shí)，4sn1a4(n1)1，4an4sn4sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an0，an1an2，當(dāng)n2時(shí)，an是公差為2的等差數(shù)列又a2，a5，a14成等比數(shù)列aa2a14，即(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)知a11.又a2a1312，數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列an2n1.(3)證明.考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和1、(2013山東卷)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且s44s2，a2n2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn，且tn(為常數(shù))，令cnb2n(nn*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和rn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.由s44s2，a2n2an1，得解得a11，d2.因此an2n1，nn*.(2)由題意知tn，所以n2時(shí)，bntntn1.故cnb2n(n1)()n1，nn*，所以rn0()01()12()23()3(n1)()n1，則rn0()11()22()3(n2)()n1(n1)()n，兩式相減得rn()1()2()3()n1(n1)()n(n1)()n()n，整理得rn(4)所以數(shù)列cn的前n項(xiàng)和rn(4)2、在數(shù)列an中，a12，an13an2.(1)記bnan1，求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和sn.(1)證明由an13an2，可得an113(an1)因?yàn)閎nan1，所以bn13bn，又b1a113，所以數(shù)列bn是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知an13n，an3n1，所以nann3nn，所以sn(3232n3n)(12n)，其中12n，記tn3232n3n，3tn32233(n1)3nn3n1，兩式相減得2tn3323nn3n1n3n1，即tn3n1，所以sn.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn2an2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記sna13a2(2n1)an，求sn.解(1)sn2an2，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12an2(2an12)，即an2an2an1，an0，2(n2，nn*)a1s1，a12a12，即a12.數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an2n.(2)sna13a2(2n1)an12322523(2n1)2n，2sn122323(2n3)2n(2n1)2n1，得sn12(22222322n)(2n1)2n1，即sn12(23242n1)(2n1)2n1sn(2n3)2n16.4設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知s37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)令bnnan，n1,2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解(1)由已知，得解得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q.又s37，可知22q7，即2q25q20，解得q2或.由題意得q1，所以q2.則a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n1.(2)由于bnn2n1，n1,2，則tn122322n2n1，所以2tn2222(n1)2n1n2n，兩式相減得tn1222232n1n2n2nn2n1，即tn(n1)2n1.5已知數(shù)列an的首項(xiàng)a14，前n項(xiàng)和為sn，且sn13sn2n40(nn*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)函數(shù)f(x)anxan1x2an2x3a1xn，f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令bnf(1)，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，并研究其單調(diào)性解(1)由sn13sn2n40(nn*)，得sn3sn12n240(n2)，兩式相減得an13an20，可得an113(an1)(n2)，又由已知得a214，所以a213(a11)，即an1是一個(gè)首項(xiàng)為5，公比q3的等比數(shù)列，所以an53n11(nn*)(2)因?yàn)閒(x)an2an1xna1xn1，所以f(1)an2an1na1(53n11)2(53n21)n(5301)5(3n123n233n3n30)，令s3n123n233n3n30，則3s3n23n133n2n31，作差得s，所以f(1)，即bn.而bn1，所以bn1bnn0，所以bn是單調(diào)遞增數(shù)列.求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和問題1、在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|an|.規(guī)范解答 (1)由題意得5a3a1(2a22)2， (2分)即d23d40.故d1或4. (4分)所以ann11，nn*或an4n6，nn* ， (6分)(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.因?yàn)閐0，由(1)得d1，ann11.snn2n，(8分)當(dāng)n11時(shí)，|a1|a2|a3|an|snn2n.(10分)當(dāng)n12時(shí)，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.(12分)綜上所述，|a1|a2|a3|an|2、已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意，得解得或所以由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)由(1)，知當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為sn.當(dāng)n1時(shí)，s1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，s2|a1|a2|5；當(dāng)n3時(shí)，sns2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10.當(dāng)n2時(shí)，滿足此式綜上，sn考點(diǎn)：公式法1在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a4a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q38，所以q2；等比數(shù)列|an|的公比為|q|2，則|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n12在數(shù)列an中，a11，an1(1)n(an1)，記sn為an的前n項(xiàng)和，則s2 013_.解析由a11，an1(1)n(an1)可得a11，a22，a31，a40，該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以s2 013503(a1a2a3a4)a2 013503(2)1 1 005.答案1 0053等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n1，則aaa_.解析當(dāng)n1時(shí)，a1s11，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn12n1(2n11)2n1，又a11適合上式an2n1，a4n1.數(shù)列a是以a1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列aaa(4n1)答案(4n1)4已知函數(shù)f(n)n2cosn，且anf(n)f(n1)，則a1a2a3a100()a100 b0 c100 d10 200解析若n為偶數(shù)，則anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)，為首項(xiàng)為a25，公差為4的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則anf(n)f(n1)n2(n1)22n1，為首項(xiàng)為a13，公差為4的等差數(shù)列所以a1a2a3a100(a1a3a99)(a2a4a100)503450(5)(4)100.答案a倒序相加法1設(shè)f(x)，利用倒序相加法，可求得fff的值為_解析當(dāng)x1x21時(shí)，f(x1)f(x2)1.設(shè)sfff，倒序相加有2sff10，即s5.答案5構(gòu)造法1設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足2snan12n11，nn*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)在2snan12n11中令n1得，2s1a2221，令n2得，2s2a3231，解得，a22a13，a36a113.又2(a25)a1a3，即2(2a18)a16a113，解得a11.(2)由2snan12n11,2sn1an