勾股定理及證明 (2).doc

181勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)林州市桂林鎮(zhèn)一中 李瑞姣一教材分析（一）教材的地位與作用18.1勾股定理是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）第十八章勾股定理的第一節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值，所以勾股定理是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的定理它展示了直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生將在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).（二）教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能：了解勾股定理的文化背景，體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程數(shù)學(xué)思考：在勾股定理的探索過(guò)程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題：1通過(guò)拼圖活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維；2在探索活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過(guò)程和探究的結(jié)果情感態(tài)度：1通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情；2在探索活動(dòng)中，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神（三）教學(xué)重難點(diǎn)、關(guān)鍵1重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過(guò)程 2難點(diǎn)：用拼圖方法證明勾股定理3關(guān)鍵：正確計(jì)算三個(gè)正方形的面積二學(xué)生和學(xué)法分析（一）學(xué)生分析作為八年級(jí)學(xué)生，已學(xué)過(guò)求直角三角形和正方形面積的方法，具備了學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的知識(shí)基礎(chǔ)，積累了一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，且具備了一定的探究能力根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，就能引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)中生長(zhǎng)新的知識(shí).這一思想與維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”的思想相一致.（二）學(xué)法分析在教師的組織指導(dǎo)下，鼓勵(lì)學(xué)生做好課前準(zhǔn)備活動(dòng)，采用自主探索，合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生積極思考問(wèn)題，獲取知識(shí)，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體三教法分析在教學(xué)中，以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，滲透新的教育理念，遵循教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的原則，結(jié)合學(xué)生的求知心理和已有的認(rèn)知水平開(kāi)展教學(xué)側(cè)重于學(xué)生能力的提高、思維的訓(xùn)練.讓每一個(gè)學(xué)生都能獲得知識(shí)，提高能力. 四教學(xué)過(guò)程教學(xué)流程安排活動(dòng)流程圖活動(dòng)內(nèi)容和目的活動(dòng)1 創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣通過(guò)對(duì)趙爽弦圖的了解，激發(fā)起學(xué)生對(duì)勾股定理的探索興趣.活動(dòng)2 觀察特例發(fā)現(xiàn)新知通過(guò)問(wèn)題激發(fā)學(xué)生好奇、探究和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望.活動(dòng)3 深入探究交流歸納觀察分析方格圖，得出直角三角形的性質(zhì)勾股定理，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題的能力.活動(dòng)4 拼圖驗(yàn)證加深理解通過(guò)剪拼趙爽弦圖證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)探索精神.活動(dòng)5 實(shí)踐應(yīng)用拓展提高初步應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，加深理解.活動(dòng)6 回顧小結(jié)整體感知回顧、反思、交流.活動(dòng)7 布置作業(yè)鞏固加深鞏固、發(fā)展、提高.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖活動(dòng)1 創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)興趣2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案.它象一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，揮舞著手臂，歡迎來(lái)自世界各國(guó)的數(shù)學(xué)家們.（1）你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？（2）你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“勾股定理”嗎？會(huì)徽教師出示照片及圖片.學(xué)生觀察圖片發(fā)表見(jiàn)解.教師作補(bǔ)充說(shuō)明：這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的“趙爽弦圖”加工而來(lái)，展現(xiàn)了我國(guó)古代對(duì)勾股定理的研究成果，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生對(duì)“趙爽弦圖”及勾股定理的歷史是否感興趣；（2）學(xué)生對(duì)勾股定理的了解程度.通過(guò)欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，自然引出本節(jié)課的課題.活動(dòng)2 觀察特例發(fā)現(xiàn)新知畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家.相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系.（1）同學(xué)們，請(qǐng)你也來(lái)觀察下圖中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？ 地面 圖18.1-1（2）你能找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系?教師展示圖片，提出問(wèn)題.學(xué)生獨(dú)立觀察圖形，分析思考其中隱藏的規(guī)律.學(xué)生通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將正方形A、B中小等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形得到：正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積.教師引導(dǎo)學(xué)生，由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.通過(guò)講傳說(shuō)故事來(lái)進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在不知不覺(jué)中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài). “問(wèn)題是思維的起點(diǎn)”，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知.活動(dòng)3 深入探究交流歸納（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？ 圖18.1-2如圖18.1-2，每個(gè)小方格的面積均為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，有一個(gè)直角邊分別是2、3的直角三角形.仿照上一活動(dòng)，我們以這個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正方形.教師出示圖表.學(xué)生獨(dú)立觀察并計(jì)算各圖中正方形A、B、C的面積并完成填表.教師參與小組活動(dòng)，指導(dǎo)、傾聽(tīng)學(xué)生交流.針對(duì)不同認(rèn)識(shí)水平的學(xué)生，引導(dǎo)其用不同的方法得出大正方形的面積.學(xué)生分組交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補(bǔ)出四個(gè)全等的直角三角形而得到一個(gè)大正方形，通過(guò)圖形面積的和差，得到正方形C的面積.或者，將正方形C分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，求得正方形C面積.滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，發(fā)揮學(xué)生的主體作用；培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問(wèn)題的能力，使學(xué)生在相互欣賞、爭(zhēng)辯、互助中得到提高.（2）想一想，怎樣利用小方格計(jì)算正方形A、B、C面積？學(xué)生利用表格有條理地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，歸納得到：正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積.（3）正方形A、B、C面積之間的關(guān)系是什么？（4）直角三角形三邊之間的關(guān)系用命題形式怎樣表述？在上一活動(dòng)“探究等腰直角三角形三邊關(guān)系” 的基礎(chǔ)上，學(xué)生類比遷移，得到：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 師生共同討論、交流、逐步完善，得到命題1:如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c ，那么a+ b=c.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否主動(dòng)參與探究活動(dòng)，在討論中發(fā)表自己的見(jiàn)解，傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)，對(duì)不同的觀點(diǎn)進(jìn)行質(zhì)疑，從中獲益.活動(dòng)4 拼圖驗(yàn)證加深理解（弦圖驗(yàn)證）（1）觀察趙爽弦圖，思考：如何利用此圖的面積表示式驗(yàn)證命題1 ？BabcCAb-a趙爽弦圖教師展示圖片，提出問(wèn)題.學(xué)生觀察圖形可得：大正方形面積=四個(gè)全等直角三角形面積+中間小正方形面積. 再由代數(shù)恒等變形能得到a+ b c，即驗(yàn)證了命題1.讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過(guò)程, 親身體驗(yàn)勾股定理的探索與驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力. 由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒?yàn)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變.（拼圖驗(yàn)證）（2）仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將邊長(zhǎng)為a、b的兩個(gè)連體正方形，拼成一個(gè)新的正方形？bbaab-acMNP圖18.1-3（1）圖18.1-3（2）圖18.1-3（3）讓學(xué)生自己思考、總結(jié)、更正，在不斷的摸索中找到解決問(wèn)題的正確方法.引導(dǎo)學(xué)生拼圖的關(guān)鍵是：構(gòu)造以a、b為直角邊的直角三角形.結(jié)合紙片，即在線段MN上確定一點(diǎn)P，使分得的新線段與已有邊長(zhǎng)a、b構(gòu)成需要的直角三角形.鼓勵(lì)學(xué)生代表作示范演示，展示分割、拼接的過(guò)程.（3）怎樣根據(jù)拼圖活動(dòng)的結(jié)果證明勾股定理呢？（定理命名）結(jié)合本節(jié)內(nèi)容給出定理的概念.向?qū)W生對(duì)比介紹古今中外對(duì)勾股定理的研究成果，指出我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一，據(jù)周髀算經(jīng)記載：公元前1100年人們已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”. 把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的稱為股，斜邊稱為弦. 將此定理命名為勾股定理.學(xué)生容易想到：未剪之前，圖形面積是a+ b，在拼圖過(guò)程中，構(gòu)造了以a、b為直角邊的直角三角形，得到斜邊為c.拼接之后新的正方形邊長(zhǎng)是c ，面積為c.從而得到直角三角形三邊的關(guān)系：a+ b c.再次驗(yàn)證命題1.教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生能否進(jìn)行合理的分割，對(duì)不同層次的學(xué)生有針對(duì)性地給予分析、幫助；（2）學(xué)生能否用語(yǔ)言準(zhǔn)確地表達(dá)自己的觀點(diǎn).對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感.活動(dòng)5 實(shí)踐應(yīng)用拓展提高1.求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.AB815CB10CA6 練習(xí)1是求直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度，提示學(xué)生分清直角邊和斜邊，再將值代入a+ b=c求解. 歸納出：已知直角三角形任意兩邊，能求第三邊. 補(bǔ)充課堂練習(xí)，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行最基本的運(yùn)用，為下節(jié)課勾股定理的應(yīng)用做好鋪墊.2. 試一試：剪四個(gè)與圖1完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖2所示的圖形.大正方形的面積可以表示為_(kāi),又可以表示為_(kāi). 對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論.練習(xí)2 與前面的弦圖驗(yàn)證相呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，了解勾股定理證法的多樣性.3.如圖所示，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根24米處.大樹(shù)在折斷之前高多少？練習(xí)3是在練習(xí)1的基礎(chǔ)上運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.活動(dòng)6回顧小結(jié)整體感知1.勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.2.勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b平方和，等于斜邊c平方3.勾股定理的應(yīng)用：在直角三角形中,已知任意兩邊求第三邊的長(zhǎng)學(xué)生談體會(huì).教師進(jìn)行補(bǔ)充.教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能從不同方面談感受.學(xué)生通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的小結(jié)，領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法；通過(guò)梳理所學(xué)內(nèi)容，形成完整知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)歸納概括能力.活動(dòng)7布置作業(yè)鞏固加深1.（必做題）：課本，習(xí)題18.1 第1, 7題.2.（選做題）課本“閱讀與思考”了解勾股定理的多種證法.針對(duì)學(xué)生認(rèn)知的差異設(shè)計(jì)了有層次的作業(yè)題，既使學(xué)生鞏固知識(shí)，形成技能，又使學(xué)有余力的學(xué)生獲得最佳發(fā)展.板書(shū)設(shè)計(jì)： 18.1勾股定理（一）一.了解歷史 ：趙爽弦圖 四.反饋練習(xí)二.圖形探究猜想證明 1.三.勾股定理： 2. 如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng) 3. 分別是a,b,斜邊是c,那么 五.小結(jié)： a+ b=c 六.作業(yè)：勾勒出教學(xué)的主線，呈現(xiàn)完整知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.并用彩色增加信息的強(qiáng)度，突出重點(diǎn).五教學(xué)評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)的目的是全面考察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，同時(shí)也是教師反思和改進(jìn)教學(xué)的有力手段為此這節(jié)課我作了如下的評(píng)價(jià)：1、評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程在本節(jié)課上，注意觀察學(xué)生是否樂(lè)于與他人合作，愿意與同伴交流自己的想法？哪些問(wèn)題是大多數(shù)學(xué)生獨(dú)立思考能達(dá)到，哪些問(wèn)題是學(xué)生通過(guò)合作交流才能完成；學(xué)生思考的是否有條理？學(xué)生表達(dá)是否較以前有所發(fā)展？及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的點(diǎn)滴進(jìn)步并給予鼓勵(lì)2、評(píng)價(jià)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力本節(jié)課上，讓學(xué)生在不斷解決問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中學(xué)習(xí)如活動(dòng)15等問(wèn)題的解決，使他們知識(shí)得到掌握，能力得到訓(xùn)練，情感得到體驗(yàn)，各方面都能取得全面和諧的發(fā)展總之，本課力求達(dá)到：“凡是能由學(xué)生提出的問(wèn)題不要由教師給出；凡是能由學(xué)生解的例題不要由教師解答；凡是能由學(xué)生完成的表述就不要由教師寫(xiě).”六教學(xué)設(shè)計(jì)本節(jié)課首先創(chuàng)設(shè)情境，通過(guò)欣賞圖片，了解歷史，介紹與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，自然引出本節(jié)課的課題活動(dòng)2通過(guò)傳說(shuō)故事，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情學(xué)生觀察圖形，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)，發(fā)現(xiàn)新知，得到等腰直角三角形的三邊關(guān)系，即：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方活動(dòng)3滲透了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的類比遷移能力及探索問(wèn)題的能力師生共同討論、交流、逐步完善，得到命題在驗(yàn)證命題1時(shí)，設(shè)計(jì)了弦圖驗(yàn)證和拼圖驗(yàn)證，讓學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的