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文檔簡介
2.13三次函數(shù)與四次函數(shù)一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 三次函數(shù)已經(jīng)成為中學(xué)階段一個(gè)重要的函數(shù),在高考和一些重大考試中頻繁出現(xiàn)有關(guān)它的單獨(dú)命題。近年高考中,在江蘇卷、浙江卷、天津卷、重慶卷、湖北卷中都出現(xiàn)了這個(gè)函數(shù)的單獨(dú)命題,不僅僅如此,通過深化對(duì)三次函數(shù)的學(xué)習(xí),可以解決四次函數(shù)問題。近年高考有多個(gè)省份出現(xiàn)了四次函數(shù)高考題,更應(yīng)該引起我們的重視。單調(diào)性和對(duì)稱性最能反映這個(gè)函數(shù)的特性。下面我們就來探討一下它的單調(diào)性、對(duì)稱性以及圖象變化規(guī)律。二、知識(shí)要點(diǎn):第一部分:三次函數(shù)的圖象特征、以及與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(根的個(gè)數(shù))、極值情況三 次 函 數(shù) 圖 象說 明a對(duì)圖象的影響可以根據(jù)極限的思想去分析當(dāng)a0時(shí),在+右向上 伸展,-左向下伸展。當(dāng)a0時(shí),在+右向下伸展,-左向上伸展。與x軸有三個(gè)交點(diǎn)若,且,既兩個(gè)極值異號(hào);圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)與x軸有二個(gè)交點(diǎn) 若,且,既有一個(gè)極值為0,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)1。存在極值時(shí)即,且,既兩個(gè)極值同號(hào),圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。2。不存在極值,函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)圖象也與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。1.根的個(gè)數(shù)三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):,二次函數(shù)的判別式化簡為:=_,(1) 若_,則恰有一個(gè)實(shí)根;(2) 若,且_,則恰有一個(gè)實(shí)根;(3) 若,且_,則有兩個(gè)不相等的實(shí)根;(4) 若,且_,則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與X軸只相交一次,即在R上為單調(diào)函數(shù)(或兩極值同號(hào)),所以(或,且).(3)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn),所以,且.(4)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有三個(gè)公共點(diǎn),即有一個(gè)極大值,一個(gè)極小值,且兩極值異號(hào).所以且. 2.極值情況:三次函數(shù)(a0),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),二次函數(shù)的判別式化簡為:=,(1) 若_,則在上為增函數(shù);(2) 若_,則在和上為增函數(shù),在上為減函數(shù),其中.三次函數(shù),(1) 若,則在R上無極值;(2) 若,則在R上有兩個(gè)極值;且在處取得極大值,在處取得極小值.由此三次函數(shù)的極值要么一個(gè)也沒有,要么有兩個(gè)。三、課前檢測:1.(09安徽理)設(shè)b,函數(shù)的圖像可能是 ( 2(09江西文)若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切,則= .3(09重慶文)把函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度,再向下平移個(gè)單位長度后得到圖像若對(duì)任意的,曲線與至多只有一個(gè)交點(diǎn),則的最小值為 .4(09江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在曲線上,且在第二象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .5.(09福建卷理)若曲線存在垂直于軸的切線,則實(shí)數(shù)取值范圍是_.四典型例題;例1.討論關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù).例2:設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù)()求的極值;()當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)例3. 已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)。求; 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍。第二部分:在四次函數(shù)中的應(yīng)用由于四次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為三次函數(shù),所以四次函數(shù)的問題往往轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問題例4: 已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。(I)證明:;(II)若存在實(shí)數(shù)c,使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求的取值范圍??偨Y(jié):四次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是三次函數(shù),有三個(gè)極值點(diǎn)說明三次函數(shù)有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根??梢詺w結(jié)為三次函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)問題,可以利用第一部分很好的解決例5:已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍只要我們掌握了三次函數(shù)的這些性質(zhì),在高考中無論是主觀題還是客觀題,都能找到明確的解題思路,解題過程也簡明扼要。四次函數(shù)問題,應(yīng)該先求導(dǎo),轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)問題,一般通過極值等手段解決,這些對(duì)大家來講都是很容易的。五當(dāng)堂檢測1(09北京文)(本小題共14分)設(shè)函數(shù).()若曲線在點(diǎn)處與直線相切,求的值;()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).2(09江西文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) (1)對(duì)于任意實(shí)數(shù),恒成立,求的最大值;(2)若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍3.(09全國理)本小題滿分12分。(注意:在試題卷上作答無效)設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn),且(I)求滿足的約束條件,并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi),畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域;(II)證明:4.(09浙江理)(本題滿分14分)已知函數(shù),
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