拋物線知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)及經(jīng)典例題.ppt

2 4 1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 3 實(shí)際生活中如探照燈的軸截面 橋梁的拱形 噴泉的縱截面都是拋物線 我們?cè)谀男┑胤揭娺^或研究過拋物線 1 初中時(shí)我們學(xué)過二次函數(shù) 它的圖象是拋物線 2 物理中研究的平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡是拋物線或拋物線的一部分 如投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡 知識(shí)回顧 趙州橋 美麗的噴泉 復(fù)習(xí)回顧 我們知道 橢圓 雙曲線的有共同的幾何特征 都可以看作是 在平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡 2 當(dāng)e 1時(shí) 是雙曲線 1 當(dāng)0 e 1時(shí) 是橢圓 其中定點(diǎn)不在定直線上 那么 當(dāng)e 1時(shí) 它又是什么曲線 電腦演示 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l l不經(jīng)過點(diǎn)F 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線 定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn) 定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線 定義 求標(biāo)準(zhǔn)方程 如何建立直角坐標(biāo)系 想一想 設(shè) KF p 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 x y 由定義可知 K 過F做直線FK垂直于直線l 垂足為K 以直線KF為x軸 線段KF的垂直平分線為y軸 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy 方程y2 2px p 0 叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 其中p為正常數(shù) 它的幾何意義是 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 對(duì) 標(biāo)準(zhǔn) 的理解 一般地 我們把頂點(diǎn)在原點(diǎn) 焦點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上的拋物線的方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 但是 一條拋物線 由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同 方程也不同 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式 y K F M N o x F M l N y2 2px p 0 填表 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種不同形式 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 例1 1 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 2 已知拋物線的方程是 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 3 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F 0 2 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 例題講解 解 1 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上 p 3 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是 準(zhǔn)線方程是 2 因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在y軸的正半軸上 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是 準(zhǔn)線方程是是 3 因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上 并且 p 4 所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 練習(xí)1求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程 練習(xí)2根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 焦點(diǎn)是F 0 2 2 準(zhǔn)線方程是 3 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2 求拋物線的焦點(diǎn)時(shí)一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式 本題小結(jié) 先定位 后定量 2 拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是 a 如圖 M點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn) F是拋物線的焦點(diǎn) 以Fx為始邊 FM為終邊的角 求 練習(xí)3 4 例3 點(diǎn)M與點(diǎn)F 4 0 的距離比它到直線l x 5 0的距離小1 求點(diǎn)M的軌跡方程 2 4 2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 一 拋物線的幾何性質(zhì) 拋物線在y軸的右側(cè) 當(dāng)x的值增大時(shí) y 也增大 這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸 1 范圍 由拋物線y2 2px p 0 所以拋物線的范圍為 2 對(duì)稱性 定義 拋物線和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn) 由y2 2px p 0 當(dāng)y 0時(shí) x 0 因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn) 0 0 注 這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn) 雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同 頂點(diǎn) 4 離心率 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比 叫做拋物線的離心率 由拋物線的定義 可知e 1 特點(diǎn) 1 拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi) 雖然它可以無限延伸 但它沒有漸近線 2 拋物線只有一條對(duì)稱軸 沒有對(duì)稱中心 3 拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn) 一個(gè)焦點(diǎn) 一條準(zhǔn)線 4 拋物線的離心率是確定的 為1 思考 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響 F A B y2 2px 2p 過焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB 稱為拋物線的通徑 利用拋物線的頂點(diǎn) 通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖 AB 2p 2p越大 拋物線張口越大 二 歸納 拋物線的幾何性質(zhì) y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x軸 y軸 1 例 已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱 它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 并且經(jīng)過點(diǎn)M 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程 變式 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 并且經(jīng)過點(diǎn)M 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 已知拋物線的方程為y2 4x 直線l經(jīng)過點(diǎn)P 2 1 斜率為k 當(dāng)k為何值時(shí) 直線與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn) 有兩個(gè)公共點(diǎn) 沒有公共點(diǎn) 練1 已知直線過點(diǎn) 0 2 且與x2 2y恰有一個(gè)公共點(diǎn) 求直線方程 判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序 一 把直線方程代入拋物線方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直線與拋物線的對(duì)稱軸平行 重合 相交 一個(gè)交點(diǎn) 計(jì)算判別式 例3 斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2 4x的焦點(diǎn) 且與拋物線相交于A B兩點(diǎn) 求線段AB的長(zhǎng) 1 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 3 1 若P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn) F是拋物線的焦點(diǎn) 則 PA PF 的最小值為 A 3 B 4 C 5 D 6 例4 已知過點(diǎn)Q 4 1 作拋物線y2 8x的弦AB 恰被Q平分 求弦AB所在的直線方程 例6 求拋物線y2 64x上的點(diǎn)到直線4x 3y 46 0的距離的最小值 并求取得最小值時(shí)的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo) 例5 已知拋物線上兩點(diǎn)A x1 y1 B x2 y2 關(guān)于直線y x m對(duì)稱 若x1x2 1 2 則m的值為 1 已知過拋物線y2 9x的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12 則弦所在直線的傾斜角是 例7 過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A B兩點(diǎn) 通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D 求證 直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸 x y O F A B D 例8 已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn) 1 是否為定值 呢 2 是否為定值 這一結(jié)論非常奇妙 變中有不變 動(dòng)中有不動(dòng) 由此可得 y1 y2 即線段AB關(guān)于x軸對(duì)稱 因?yàn)閤軸垂直于AB 且 例9 正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn) 另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上 求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng) 解 如圖 設(shè)正三角形OAB的頂點(diǎn)A B在拋物線上 且坐標(biāo)分別為A x1 y1 B x2 y2 則 又 OA OB 所以x12 y12 x22 y22 即x12 x22 2px1 2p