2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷Ⅰ)(數(shù)學(xué)[文]).doc

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷)數(shù)學(xué)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1cos300()ABC. D.解析：cos300cos(36060)cos60.答案：C2設(shè)全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，則N(UM)()A1,3 B1,5 C3,5 D4,5解析：UM2,3,5，N(UM)3,5答案：C3若變量x，y滿足約束條件則zx2y的最大值為()A4 B3 C2 D1解析：如圖，畫出約束條件表示的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx2y經(jīng)過xy0與xy20的交點(diǎn)A(1，1)時(shí)，取到最大值3.答案：B4已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)例an中，a1a2a35，a7a8a910，則a4a5a6()A5 B7C6 D4解析：(a1a2a3)(a7a8a9)a50，a4a5a6a5.答案：A5(1x)4(1)3的展開式中x2的系數(shù)是()A6 B3C0 D3解析：(1x)4的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x)r(1)rCxr，(1)3的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr1C()r(1)rC x，因此，(1x)4(1)3的展開式的各項(xiàng)為(1)r(1)rCCxr，當(dāng)r2時(shí)有r2，且r0或r1且r2兩種情況，因此展開式中x2的系數(shù)為6(12)6.答案：A6直三棱柱ABCA1B1C1中 ，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：延長(zhǎng)CA至點(diǎn)M，使AMCA，則A1MC1A，MA1B或其補(bǔ)角為異面直線BA1與AC1所成的角，連接BM，易知BMA1為等邊三角形，因此，異面直線BA1與AC1所成的角為60.答案：C7已知函數(shù)f(x)|lgx|，若ab，且f(a)f(b)，則ab的取值范圍是()A(1，) B1，)C(2，) D2，)解析：不妨設(shè)0a1b，由f(a)f(b)得lgalgb，lgalgb0，ab1，因此，aba2.答案：C8已知F1、F2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|()A2 B4C6 D8解析：|PF1|PF2|2，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|8|PF1|PF2|8224答案：B9正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：BB1與平面ACD1所成角等于DD1與平面ACD1所成角，在三棱錐DACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點(diǎn)D在底面ACD1內(nèi)的射影為等邊ACD1的重心即中心H，則DD1H為DD1與平面ACD1所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則cos DD1H.答案：D10設(shè)alog32，bln2，c5，則()Aabc BbcaCcab Dcba解析：alog32ln 2b，又c5，alog32log3，因此cab. 答案：C11已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為()A4 B3C42 D32解析：設(shè)|x，APB，則tan，cos，則x2x21323，當(dāng)且僅當(dāng)x21，即x21時(shí)，取“”，故的最小值為23.答案：D12已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若ABCD2，則四面體ABCD的體積的最大值為()A. B.C2 D.解析：設(shè)球心為O，如圖，過O、C、D三點(diǎn)作球的截面，交AB于點(diǎn)M，由條件知，OAB、OCD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)M到CD的距離為h，A到面MCD的距離為h1，B到面MCD的距離為h2，則VABCDVAMCDVBMCDSMCD(h1h2)CDh(h1h2)，因此，當(dāng)AB面MCD時(shí)，VABCD22(11)最大答案：B第卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填寫在題中的橫線上13不等式0的解集是_解析：由00(x1)(x2)(x2)0，故原不等式的解集為x|2x1，或x2答案：x|2x1，或x214已知為第二象限的角，sin，則tan2_.解析：由sin，且為第二象限的角得cos，得tan，tan2.答案：15某學(xué)校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答)解析：選法可分兩類，A類選修課1門，B類選修課2門，或者A類選修課2門，B類選修課1門，因此，共有CCCC30種選法答案：3016已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D，且2，則C的離心率為_解析：不妨設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，B點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，F(xiàn)(c,0)(c0)為右焦點(diǎn)，則由2，得D點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是B點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離的一半，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)xD，由2 知，F(xiàn)分所成的比為2，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得c，得3c2a2，得e.答案：三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)S312，且2a1，a2，a31成等比數(shù)列，求Sn.解：設(shè)數(shù)列an的公差為d.依題意有即解得a11，d3，或a18，d4.因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)18(本小題滿分12分)已知ABC的內(nèi)角A，B及其對(duì)邊a，b滿足abacotAbcotB，求內(nèi)角C.解：由abacotAbcotB及正弦定理得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB，從而sinAcoscosAsincosBsin sinBcos，sin(A)sin(B)又0AB，故AB，AB，所以C.19(本小題滿分12分)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過兩位初審專用的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為0.3.各專家獨(dú)立評(píng)審(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2)求投到該雜志的4篇稿件中，至少有2篇被錄用的概率解：(1)記A表示事件：稿件恰能通過兩位初審專家的評(píng)審；B表示事件：稿件能通過一位初審專家的評(píng)審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評(píng)審；D表示事件：稿件被錄用則DABC，P(A)0.50.50.25，P(B)20.50.50.5，P(C)0.3，P(D)P(ABC)P(A)P(BC)P(A)P(B)P(C)0.250.50.30.40.(2)記A0表示事件：4篇稿件中沒有1篇被錄用；A1表示事件：4篇稿件中恰有1篇被錄用；A2表示事件：4篇稿件中至少有2篇被錄用2A0A1.P(A0)(10.4)40.129 6，P(A1)C0.4(10.4)30.345 6，P(2)P(A0A1)P(A0)P(A1)0.129 60.345 60.475 2，P(A2)1P(2)10.475 20.524 8.20(本小題滿分12分)如圖，四棱錐SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC.(1)證明：SE2EB；(2)求二面角ADEC的大小解：法一：(1)證明：連結(jié)BD，取DC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，由此知DGGCBG1，即DBC為直角三角形，故BCBD.又SD平面ABCD，故BCSD.所以，BC平面BDS，BCDE.作BKEC，K為垂足因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE.DE與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線BK、BC都垂直DE平面SBC，DEEC，DESB.SB，DE，EB，SESBEB，所以，SE2EB.(2)由SA，AB1，SE2EB，ABSA，知AE1，又AD1.故ADE為等腰三角形取ED中點(diǎn)F，連結(jié)AF，則AFDE，AF.連結(jié)FG，則FGEC，F(xiàn)GDE.所以，AFG是二面角ADEC的平面角連結(jié)AG，AG，F(xiàn)G，cosAFG，所以，二面角ADEC的大小為120.法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)A(1,0,0)，則B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)(1) (0,2，2)，(1,1,0)設(shè)平面SBC的法向量為n(a，b，c)，由n，n得n0，n0.故2b2c0，ab0.令a1，則b1，c1，n(1,1,1)又設(shè) (0)，則E(，)(，)，(0,2,0)設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量m(x，y，z)，由m，m，得m0，m0.故0,2y0.令x2，則m(2,0，)由平面DEC平面SBC得mn，mn0,20，2.故SE2EB.(2)由(1)知E(，)，取DE中點(diǎn)F，則F(，)，(，)，故0，由此得FADE.又(，)，故0，由此得ECDE，向量與的夾角等于二面角ADEC的平面角于是cos，所以，二面角ADEC的大小為120.21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍解：(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)當(dāng)a時(shí)，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)減，在(2，)內(nèi)單調(diào)增，在x2時(shí)，f(x)有極小值所以f(2)12是f(x)的極小值(2)在(1,1)上，f(x)單調(diào)增加，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10，()當(dāng)a0時(shí)恒成立；()當(dāng)a0時(shí)成立，當(dāng)且僅當(dāng)3a123a110.解得0a.()當(dāng)a0時(shí)成立，即3a(x)210成立，當(dāng)且僅當(dāng)10.解得a0.綜上，a的取值范圍是，22(本小題滿分12分)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)K(1,0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.(1)證明：點(diǎn)F在直線BD上；(2)設(shè)，求BDK的內(nèi)切圓M的方程解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程為xmy1(m0)(1)證明：將xmy1代入y24x并整理得y24my40，從而y1y24m，y1y24.直線BD的方程為yy2(xx2)，即yy2(x)令y0，得x1.所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x