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I-DEAS軟件在CAE中的應(yīng)用(文獻(xiàn)翻譯) 34I-DEAS軟件在CAE中的應(yīng)用班級(jí) （學(xué)號(hào)） 姓名1 計(jì)算機(jī)模擬1.1引言在各種工程技術(shù)如建筑、運(yùn)輸、交通等領(lǐng)域里，在先進(jìn)工程系統(tǒng)的模擬和仿真中，有限元發(fā)（FEM）已經(jīng)發(fā)展為當(dāng)前主要的、不可缺少的一門技術(shù)。在建立這些先進(jìn)工程系統(tǒng)時(shí)，工程師和設(shè)計(jì)師經(jīng)過一系列復(fù)雜工序：建模、仿真、可視化、分析、設(shè)計(jì)、制造樣機(jī)、測(cè)試，直到最后加工制造。為確保最后產(chǎn)品的易加工性及較低的造價(jià)，在產(chǎn)品或系統(tǒng)制造之前需要做大量工作，其過程如圖1.1的所示。從本質(zhì)上講，這個(gè)過程通常是一個(gè)重復(fù)的過程，即根據(jù)當(dāng)前階段所獲得的結(jié)果重復(fù)進(jìn)行某些步驟，目的是在建立系統(tǒng)時(shí)，用最低的成本獲得最優(yōu)的性能。因此，一種高速、有效的模擬和仿真技術(shù)越來越顯示其重要的作用，從而導(dǎo)致有限元法的應(yīng)用成倍增加。本文主要討論的是模擬和仿真問題，即圖1.1中下劃線部分。我們將論述這個(gè)問題的計(jì)算方面，也如圖1.1中下劃線的部分，重點(diǎn)是物理、數(shù)學(xué)、和計(jì)算機(jī)建模的技術(shù)，以及計(jì)算機(jī)仿真的許多方面的問題。充分理解這些技術(shù)對(duì)于快速和低成本的建立先進(jìn)工程系統(tǒng)有著很重要的作用。那什么是有限元法呢？有限元法首先應(yīng)用于應(yīng)力分析問題，隨后應(yīng)用于熱分析、流體流動(dòng)分析、壓電分析等許多其他問題。在這些分析中，分析人員的主要目的是決定某些場(chǎng)變量的分布情況，如應(yīng)力分析中的位移，熱分析中的溫度和熱流密度，電分析中的電荷等等。有限元法是一種數(shù)值解法，尋求對(duì)某些很難獲得解析結(jié)果的問題的場(chǎng)變量分布的近似解。具體做法是將問題的整個(gè)區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，如圖1.2和圖1.3所示，這些小單元通常具有簡(jiǎn)單的幾何形狀，然后將已知的物理規(guī)律應(yīng)用于各個(gè)子區(qū)域。圖1.4是一維空間有限元近似的示意圖，未知場(chǎng)變量的連續(xù)函數(shù)在每個(gè)子域用分段線性函數(shù)來近似，這些子域稱為單元，它們是由節(jié)點(diǎn)形成的。這樣一來，未知量就轉(zhuǎn)變成為場(chǎng)變量在節(jié)點(diǎn)上的離散值。然后，按照適當(dāng)?shù)脑斫卧匠蹋詈髮⑦@些單元方程組裝在一起，就可以導(dǎo)出整個(gè)系統(tǒng)的聯(lián)立線性代數(shù)方程組，求解整個(gè)方程組就能很容易地得到所要求解的場(chǎng)變量。本文的目的是用一種簡(jiǎn)明易懂的方式介紹有限元方程中所采用的各種概念、方法和原理。應(yīng)用著名的商業(yè)軟件包ABAQUS，求解和研究了一些算例，并闡述一些有效的建模技術(shù)和方法。1.2工程中的物理問提在一個(gè)特點(diǎn)的工程系統(tǒng)中，存在許多物理問題，正如前面所提到的，盡量有限元法最初是應(yīng)用于應(yīng)力分析，但是很多其他物理問題也能采用有限元法求解。對(duì)工程系統(tǒng)中很多物理現(xiàn)象人們已經(jīng)建立了相應(yīng)的有限元法的數(shù)學(xué)模型。采用標(biāo)準(zhǔn)有限元法萊求解的常見物理問題有：固體和結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題熱傳導(dǎo)聲學(xué)流體力學(xué)其他首先本文著重討論固體和結(jié)構(gòu)的力學(xué)問題中有限元方程的形成，因?yàn)橛邢拊ㄗ畛蹙褪怯糜谇蠼膺@些問題的，然后討論了熱傳導(dǎo)問題有限元法。從概念上理解有限元法的研究方法是最重要的，因?yàn)橛邢拊☉?yīng)用于其他問題時(shí)利用了類似的概念。下節(jié)介紹使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬所包括的主要步驟。1.3使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬一個(gè)系統(tǒng)中某個(gè)現(xiàn)象的行為取決于該系統(tǒng)的幾何形狀或區(qū)域范圍、材料或介質(zhì)的性質(zhì)、邊界、初始條件和加載情況。對(duì)于一個(gè)工程系統(tǒng)，幾何形狀或區(qū)域通常是非常復(fù)雜的，而且邊界和初始條件也很復(fù)雜。因此，一般來說用解析方法求解控制微分方程是很困難的，實(shí)際上許多問題都是實(shí)用數(shù)值的方法來求解，由于有限元法有很強(qiáng)的實(shí)用性和通用性，區(qū)域離散的有限元法在眾多的數(shù)值方法中是最受歡迎的。使用有限元法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬通常由下列四個(gè)步驟所組成：建模劃分網(wǎng)格給定材料性質(zhì)給定邊界條件、初始條件和載荷情況1.3.1幾何形狀的模擬真實(shí)的結(jié)構(gòu)、構(gòu)件或區(qū)域一般都是很復(fù)雜的，所以必須抽象出易于處理的幾何模型。幾何形狀的曲線（面）部分可以使用曲線或曲面模擬，然而，必須注意幾何模型最終要由單元集合所表示，所以，如果使用線性單元，曲線或曲面是用分片的直線或平面來近似。圖1.2顯示了由三角形單元的直邊來表示曲線邊界，對(duì)于曲線部分的表示的精度是由所使用的單元的數(shù)量來控制的，顯然，單元的數(shù)量越多，用直邊表示的曲邊部分就越光滑和越精確。但是，單元越多所需要的計(jì)算時(shí)間就會(huì)越長。由于受到計(jì)算機(jī)硬件和軟件的限制，控制單元數(shù)量是很有必要的。因此，為了決定所采用的最優(yōu)單位數(shù)量，通常采用折中的方法，人們只在對(duì)于精度要求很高的區(qū)域，才對(duì)幾何形狀的細(xì)節(jié)進(jìn)行精細(xì)模擬。當(dāng)然，分析者在分析計(jì)算結(jié)果時(shí)必須考慮到這些幾何近似所帶來的影響。根據(jù)所采用的軟件，人們可以用很多種方法在計(jì)算機(jī)上生成適當(dāng)?shù)膸缀涡螤畹挠邢拊W(wǎng)格。點(diǎn)可以通過簡(jiǎn)單的鍵入坐標(biāo)的方式生成，連接點(diǎn)或節(jié)點(diǎn)可以生成直線和曲線，連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)生成了的直線或曲線可以生成面，實(shí)體可以通過連接、旋轉(zhuǎn)、平移已經(jīng)存在的面來生成。點(diǎn)、線、面、體都可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、或反射來生成新的點(diǎn)、線、面、體。圖形界面通?？梢杂脕韼椭珊吞幚韼缀螌?duì)象?，F(xiàn)在很多工程設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)輔助軟件（CAD）軟件包可以生成工程設(shè)計(jì)系統(tǒng)所需的幾何模型文件。通常，軟件模擬包可以直接讀入這些文件，這樣在生成模型的幾何形狀時(shí)就可以大大節(jié)省時(shí)間。然后，在很多情況下，從CAD文件中直接讀入的復(fù)雜物體在劃分網(wǎng)格或離散之前可能還需要進(jìn)行一些修改和簡(jiǎn)化，值得提及的是，有些CAD軟件包已將模擬軟件合并在一起。這種CAD軟件包對(duì)于快速制造新產(chǎn)品的樣品有很重要的作用。在模擬系統(tǒng)的幾何形狀時(shí)，知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、和工程判斷力是非常重要的，在很多情況下，一些幾何細(xì)節(jié)特征只是起著美觀的作用，面對(duì)于工程系統(tǒng)的性能影響確是可以忽略不計(jì)的，那么我們就可以刪除、忽略、或簡(jiǎn)化這些細(xì)節(jié)特征，雖然在某些情況下這樣做可能會(huì)導(dǎo)致不正確的結(jié)果，例如對(duì)于有些問題，一些細(xì)微的幾何改變可能得到完全不同的仿真結(jié)果。在對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是重要的。例如，一個(gè)具有三維幾何尺寸的板，在力學(xué)中的板的理論中，板是表示為二維物體（其原因?qū)⒃诘诙略敿?xì)介紹）。因此，力學(xué)板的幾何形狀只是一個(gè)二維平面，對(duì)這個(gè)平面劃分網(wǎng)格可采用板單元，類似情況在殼體中也是存在的。物理上梁是三維的，但在力學(xué)中梁的理論中，梁表示一維物體，因此力學(xué)梁的幾何形狀只是一個(gè)一維直線，對(duì)于這根直線劃分網(wǎng)格時(shí)，必須采用梁?jiǎn)卧?，桁架結(jié)構(gòu)亦是如此。1.3.2網(wǎng)格劃分網(wǎng)格劃分就是將幾何形狀離散成稱之為單元或網(wǎng)格的小塊。為什么要離散呢？我們可以用非常簡(jiǎn)明且合理的方式來解釋其原因。因?yàn)楣こ虇栴}的解是非常復(fù)雜的，并且通常在問題的整個(gè)域中函數(shù)的變化是不可預(yù)知的。如果將問題的區(qū)域用一組節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)格劃分成一些小的單元，則在每個(gè)單元內(nèi)的解就可以用簡(jiǎn)單函數(shù)，如使用多項(xiàng)式來近似。這樣，所有單元的解就構(gòu)成了所求問題的整個(gè)區(qū)域的解。我們應(yīng)該進(jìn)行哪些工作呢？首先，在需要離散的區(qū)域內(nèi)離散控制微分方程時(shí)需要適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)，不同問題所依據(jù)的理論也有所不同，本文對(duì)于各種問題的理論將在后面章節(jié)中詳細(xì)討論。但在這之前，我們必須將所研究問題的區(qū)域生成網(wǎng)格。網(wǎng)格生成在前處理中是一個(gè)非常重要的工作，這可能會(huì)消耗分析者很多的時(shí)間，一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的分析者常常會(huì)更有效地處理復(fù)雜問題并生成更可靠的網(wǎng)格。網(wǎng)格生成的目的在于將問題區(qū)域劃分成合適形狀的單元，如三角形單元和四邊形單元，在劃分網(wǎng)格時(shí)必須形成單元連接信息，作為以后組建有限元方程時(shí)使用。如果能有完全自動(dòng)的網(wǎng)格生成器是最理想的，但是當(dāng)前在市場(chǎng)上還得不到這種網(wǎng)格生成器。在一些商業(yè)應(yīng)用軟件包里可以得到半自動(dòng)的處理器，還有一些專門為劃分網(wǎng)格而設(shè)計(jì)的軟件包，它們能夠生成網(wǎng)格文件，而其他模擬和仿真軟件包能夠讀入這種網(wǎng)格文件。用三角形單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格是最靈活的建立網(wǎng)格的方法，它通常能夠完全自動(dòng)劃分二維平面甚至三維空間，因此，這種劃分方式在大多數(shù)前處理器中通常是可以得到的。三角形單元的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是模擬復(fù)雜幾何形狀及復(fù)雜邊界的靈活性，缺點(diǎn)就是三角形單元模擬結(jié)果的精度通常低于四邊形單元，但四邊形單元更難自動(dòng)生成。圖1.3-1.7給出了一些有限元網(wǎng)格的例子。1.3.3 材料或介質(zhì)性質(zhì)很多工程系統(tǒng)是由不止一種材料構(gòu)成的，材料性質(zhì)可以針對(duì)一組單元來定義，必要時(shí)，也可對(duì)單個(gè)單元來定義。模擬不同的現(xiàn)象，需要定義不同組的材料性質(zhì)。例如，對(duì)于固體和結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力分析，需要定義楊氏模量和剪切彈性模量，而對(duì)于熱分析就需要定義熱傳導(dǎo)系數(shù)，材料性質(zhì)常數(shù)通?？梢灾苯虞斎肭疤幚砥髦?，分析者需要做的是鍵入這些材料性質(zhì)數(shù)據(jù)并指定數(shù)據(jù)適用于幾何物體中的哪個(gè)區(qū)域或哪些單元。然而，獲得這些材料性質(zhì)并不是那么容易的事，盡管有些商業(yè)軟件存在可供選擇的材料數(shù)據(jù)庫，但要精確確定系統(tǒng)所使用的材料性質(zhì)通常需要進(jìn)行試驗(yàn)，不過這不屬于本文范圍，在本文中我們認(rèn)為材料性質(zhì)是已知的。1.3.4 邊界、初始條件和加載情況邊界、初始條件和加載情況在求解時(shí)起了決定性的作用。利用商用處理器通常很容易輸入這些條件、且常與圖形界面相連接、用戶既可以對(duì)幾何元素（點(diǎn)、線或曲線、表面和實(shí)體），也可對(duì)單元或節(jié)點(diǎn)給定這些條件。同樣，準(zhǔn)確模擬這些條件在實(shí)際工程系統(tǒng)中需要豐富的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)和正確的工程判斷力。邊界、初始條件和加載情況對(duì)于各種問題是不同的，并將在后續(xù)各章中詳細(xì)介紹。1.4 仿真1.4.1 離散系統(tǒng)方程根據(jù)生產(chǎn)的網(wǎng)格，采用已有的方法可以得到離散系統(tǒng)的聯(lián)立方程組。建立聯(lián)立方程的方法有許多類型：第一種基于能量原理，如哈米爾頓原理、最小勢(shì)能原理等等，常用的有限元法就是根據(jù)這些原理建立的；第二種方法是加權(quán)殘值法，它也常常用于建立各種物理問題的有限元方程，并將在熱傳導(dǎo)問題中給予說明；第三種方法用于泰勒級(jí)數(shù)導(dǎo)出傳統(tǒng)的有限差分方程（FDM）；第四種方法是以控制欲內(nèi)每個(gè)有限元體積（單元）的守恒定律為基礎(chǔ)，有限體積方法（FVM）就是用這種方法建立的；另一種方法是某些無網(wǎng)格方法（Liu,2002）中使用的積分表示方法。工程實(shí)踐表明：對(duì)固體和結(jié)構(gòu)前兩種方法用的最多，而對(duì)流體流動(dòng)模擬常常使用其他兩種方法；而且，對(duì)于流體流動(dòng)和熱傳導(dǎo)問題，也利用有限元法研制商業(yè)軟件，對(duì)固體和結(jié)構(gòu)也能用有限差分法，在這里我們不作詳細(xì)論述，順便指出所有者三種方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是加權(quán)殘值法，在加權(quán)殘值法中，適當(dāng)選擇權(quán)函數(shù)就可以導(dǎo)出有限元發(fā)、有限差分法和有限體積法的方程。本文首先根據(jù)能力原理推導(dǎo)出固體力學(xué)與結(jié)構(gòu)的有限元方程。為了說明怎樣用加權(quán)殘值法推導(dǎo)有限元法的方程，我們使用了加權(quán)殘值法萊推導(dǎo)熱傳導(dǎo)問題的有限元方程，這為用有限元法處理其他物理問題提供了基本方法和關(guān)鍵步驟。1.4.2 方程求解器在生成計(jì)算模型之后，將所建立的線性方程組輸入到求解器中，對(duì)這些聯(lián)立方程組進(jìn)行求解以得到在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的場(chǎng)變量，這種求解運(yùn)算對(duì)計(jì)算機(jī)硬件要求最高。由于所要模擬的物理現(xiàn)象不同，不同的軟件包所用的算法也不相同。求解系統(tǒng)方程選擇算法有兩個(gè)重要的考慮：一是存儲(chǔ)量的需求，另一個(gè)就是CPU(中央處理器)運(yùn)算時(shí)間。求解聯(lián)立方程組的方法有兩個(gè)主要類型：直接發(fā)和迭代法。通常所用的直接法包括高斯消去法和LU分解法，這些方法對(duì)于求解較小的方程組很有效。直接法是對(duì)于整個(gè)組裝系統(tǒng)方程進(jìn)行求解，因而需要較大的存儲(chǔ)空間，也可以用這樣一種方法編輯程序，即只對(duì)包含當(dāng)前階段所求解的方程的單元進(jìn)行組裝，這樣可以大大地減少對(duì)存儲(chǔ)空間的要求。間接法包括高斯-雅克比方法、高斯-賽代爾方法、SOR方法、廣義共軛數(shù)法、線松弛法等等。這些方法能有效的求解較大的系統(tǒng)方程。迭代法常采用這樣一種方法編制程序，即避免了系統(tǒng)矩陣的全部組裝以大大地節(jié)省存儲(chǔ)量。這些方法的收斂性通常取決于所求解的問題，在采用迭代法時(shí)，預(yù)處理對(duì)于加速收斂過程起了很重要的作用。對(duì)于非線性問題，還需要進(jìn)行另一層迭代循環(huán)，在迭代時(shí)，必須將非線性方程適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化為線性方程。對(duì)于與時(shí)間有關(guān)的問題，還需要一層時(shí)間步進(jìn)運(yùn)算，即首先求初始時(shí)刻的解（或者分析者給定），然后使用該結(jié)果向前推進(jìn)求解下一個(gè)時(shí)間的解，如此下去直到得到所要求的時(shí)間的解，有兩種主要的時(shí)間步進(jìn)格式：隱式方法和顯示方法。通常來說，隱式方法比顯式方法的數(shù)值穩(wěn)定性要好，但計(jì)算時(shí)時(shí)間步進(jìn)效率低，此外，采用顯式算法更容易發(fā)展接觸算法，關(guān)于這些情況的討論將在第三章中給出。1.5 可視化求解系統(tǒng)方程后得到的結(jié)果通常是大量的數(shù)據(jù)，因此，這些結(jié)果必須直觀地顯示出來以便進(jìn)行解釋、分析和報(bào)告說明?？梢暬梢酝ㄟ^包含在軟件包里的所謂的后處理器來完成，很多這類處理器允許用戶用彩色的方式在顯示器上顯示出三維物體。這些實(shí)體可以用邊框線、單元組和節(jié)點(diǎn)組的形式顯示在顯示器上。用戶可以對(duì)實(shí)體旋轉(zhuǎn)、平移和縮放。場(chǎng)變量可以用等勢(shì)線、條紋線、邊框線和變形線在物體中畫出。通常，用戶還可以生成變量的等勢(shì)面或變量矢量場(chǎng)，也可以使用增強(qiáng)顯示效果的工具，如劃陰影線、光照和褶皺。對(duì)模擬動(dòng)力學(xué)方面的問題，還可以產(chǎn)生動(dòng)畫和電影。表格輸出、文本文件和x-y繪圖等。本節(jié)的所有例題都給出了各種后處理結(jié)果。現(xiàn)在還有一些高級(jí)的視圖工具，如虛擬實(shí)體，這些高級(jí)工具能提供更接近真實(shí)的三維形式顯示物體和結(jié)果。平臺(tái)可以是防護(hù)鏡、倒置的桌子、甚至是在一個(gè)房間里，當(dāng)物體隱沒入一個(gè)房間中時(shí)，分析者可以透過物體，到達(dá)準(zhǔn)確位置觀察結(jié)果。圖1.8和圖1.9顯示了虛擬建筑中的氣流場(chǎng)。概況地說，本章簡(jiǎn)要的介紹了計(jì)算機(jī)模擬與仿真的步驟，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，在有限元法中作為一種工具的計(jì)算機(jī)的使用已經(jīng)變成不可缺少的了。在隨后的章節(jié)中，我們將討論當(dāng)進(jìn)行有限元分析時(shí)在計(jì)算機(jī)中到底進(jìn)行一些什么樣的運(yùn)行。11模擬技術(shù)111引言本章介紹使用有限元法過程中的各種模擬技術(shù)，很多材料取自于NAFEMS(1986)。為了保證有限元結(jié)果的可靠性和精確性，在進(jìn)行有限元分析時(shí)時(shí)需要某些技巧的。隨著計(jì)算機(jī)硬件和軟件的發(fā)展，現(xiàn)在可以很容易地進(jìn)行有限元分析。因此，對(duì)于沒有有限元分析的背景知識(shí)和分析人員來說，在實(shí)際設(shè)計(jì)項(xiàng)目時(shí)使用有限元軟件包就像是操作“黑箱子”。而且，不正確的使用商業(yè)軟件包會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，這些錯(cuò)誤結(jié)果通常隱藏在多彩的應(yīng)力圖和其他后處理結(jié)果中而不為分析者所知。敘述了有限元法的理論和方法以后，讀者應(yīng)該明白在商業(yè)有限元軟件包中所進(jìn)行的運(yùn)算。因此，本章的主要目的是進(jìn)一步幫助讀者了解黑箱子，以使讀者在使用商業(yè)軟件包建立有限元模型時(shí)避免不必要的錯(cuò)誤。學(xué)習(xí)這些模擬技術(shù)的另一個(gè)原因是為了提高有限元結(jié)果的計(jì)算效率及精度，一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的分析者能夠用盡可能少的時(shí)間模擬和盡可能少地使用計(jì)算機(jī)資源的情況下得到精確的結(jié)果，有限元分析的效率是由花費(fèi)與精度的比值來衡量的，如圖11.1所示。例如，使用對(duì)稱模型模擬幾何對(duì)稱問題可以大大的減少模擬和計(jì)算的時(shí)間，同時(shí)甚至?xí)懈_的數(shù)值結(jié)果，因此，對(duì)一個(gè)好的分析者所要求的不僅僅是把問題的區(qū)域劃分成單元網(wǎng)格。為了建立好的有限元模型，需要考慮如下因素：計(jì)算機(jī)資源和人力資源，它們限制了有限元模型的大小對(duì)結(jié)果的要求，它決定了分析的目的和方法問題域的幾何形狀和力學(xué)特性，它們決定所采用的單元類型邊界條件載荷和初始條件112 CPU時(shí)間估計(jì)盡管計(jì)算機(jī)工業(yè)很先進(jìn)，計(jì)算機(jī)資源的大小仍然是建立復(fù)雜有限元模型的一個(gè)決定因素。靜態(tài)分析所需CPU時(shí)間可以使用下面簡(jiǎn)單的關(guān)系粗略估計(jì)（稱為線性代數(shù)系統(tǒng)的復(fù)雜性）：式中ndof是有限元方程組中自由度總數(shù)，是在2.0到3.0范圍內(nèi)的常數(shù)，決定于有限元軟件包中使用的不同求解器和剛度矩陣的結(jié)構(gòu)等。影響的重要因素之一是剛度矩陣的帶寬，如圖11.2所示。帶寬愈小，值愈小，因而計(jì)算愈快。根據(jù)例4.2描述的直接組裝方法，顯然帶寬決定于單元節(jié)點(diǎn)整體的編號(hào)的差，具有最大節(jié)點(diǎn)編號(hào)差值的單元控制了整體剛度矩陣的帶寬，即使對(duì)于同一個(gè)有限元模型，改變節(jié)點(diǎn)整體編號(hào)也可以改變帶寬。因此，提出了通過對(duì)節(jié)點(diǎn)重新編號(hào)使帶寬最小的方法，大多數(shù)有限元包都按照了一個(gè)或多個(gè)這樣的工具。用戶需要做的是對(duì)問題域劃分網(wǎng)格后利用這些工具使帶寬最小，這個(gè)簡(jiǎn)單的操作有時(shí)會(huì)大大的減少CPU時(shí)間。一種使節(jié)點(diǎn)編號(hào)差值最小，從而使帶寬最小的簡(jiǎn)單方法可以在劉（Liu,2002）的書中找到。方程（11.1）清楚表明：用自由度數(shù)很大的精細(xì)網(wǎng)格導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間呈指數(shù)增加，這說明減少自由度是很重要的。在本章中論述的很多技術(shù)都與減少自由度有關(guān)，我們的目標(biāo)是：（1）采用盡可能低維的單元使自由度數(shù)最小來建立有限元模型；（2）必須在不降低結(jié)果精度的前提下盡可能地使用粗網(wǎng)格，只在重要區(qū)域使用精細(xì)網(wǎng)格。11.3幾何模擬實(shí)際的結(jié)構(gòu)通常是很復(fù)雜的，分析者需要決定在哪些可能的地方以及怎樣將一個(gè)復(fù)雜的幾何形狀簡(jiǎn)化成可操作的模型。分析者首要考慮的問題是應(yīng)該采用什么類型的單元：是三維單元？二維（二維實(shí)體，板和殼）單元？還是一維（桁架和梁）單元？這需要充分理解問題的力學(xué)意義。正如在第九章中提到的，三維單元可以用于模擬任意類型的結(jié)構(gòu)，但如果在整個(gè)問題區(qū)域的每個(gè)地方都使用三維單元?jiǎng)t可能代價(jià)太大，因?yàn)楹苊黠@這會(huì)導(dǎo)致龐大的自由度數(shù)。因此，對(duì)于復(fù)雜問題，充分利用問題域的幾何形狀特點(diǎn)，網(wǎng)格常常是不同類型單元的組合。分析者首先應(yīng)該分析問題，仔細(xì)審視問題域的幾何形狀，對(duì)于滿足一維或二維單元假定的結(jié)構(gòu)區(qū)域或部分嘗試使用一維和二維單元。通常，二維單元應(yīng)用于具有像板和殼這樣幾何形狀的區(qū)域或部分，而一維單元應(yīng)用于具有桿和弧形這樣的幾何形狀的區(qū)域或部分，三維單元只應(yīng)用于結(jié)構(gòu)中體積比較大而不能應(yīng)用一維和二維單元的部分，這個(gè)分析過程是很重要的，因?yàn)槭褂靡痪S和二維單元可以大大地減少自由度。如果使用三維固體單元，我們必須對(duì)三維物體創(chuàng)建于結(jié)構(gòu)的幾何形狀相同的三維物體。對(duì)于使用二維單元的區(qū)域或部件，只需創(chuàng)建常常是幾何中面的中性面，對(duì)于使用一維單元的區(qū)域或部件，只需創(chuàng)建常常是幾何中心軸的中性軸。因此，使用二維和一維單元的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是大大地簡(jiǎn)化了所需創(chuàng)建的結(jié)構(gòu)的幾何形狀。在不同類型單元的交接面上需要使用合適的模擬方法來連接，這將在11.9節(jié)作詳細(xì)討論。由于第二章所討論的力學(xué)理論的差別，對(duì)各種不同類型單元節(jié)點(diǎn)自由度的類型是不同的，所以需要不同的連接方法。表11.1列出了一些不同類型單元的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)。在建立問題區(qū)域時(shí)對(duì)結(jié)果的要求是另一個(gè)重要因素，例如，在估計(jì)結(jié)果非常重要的區(qū)域，分析者通過會(huì)對(duì)幾何形狀進(jìn)行精細(xì)模擬。注意到很多結(jié)構(gòu)是使用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）軟件包設(shè)計(jì)的。因此，結(jié)構(gòu)的幾何形狀已經(jīng)用某個(gè)軟件包建立好了，大多數(shù)商業(yè)有限元軟件包的前處理器都可以讀取某些CAD格式文件，利用這些文件能夠減少建立結(jié)構(gòu)幾何模型的時(shí)間，但仍需要花費(fèi)一些時(shí)間來修改CAD幾何形狀使之適合于有限元網(wǎng)格劃分。有些科學(xué)工作者正在研究將三維幾何形狀自動(dòng)地劃分為適合于有限元網(wǎng)格的二維和一維幾何形狀，但目前尚不能得到這樣的商業(yè)軟件包。11.4 劃分網(wǎng)格11.4.1 網(wǎng)格密度為了使自由度數(shù)最少，我們常創(chuàng)建變密度的網(wǎng)格，只有在重要的區(qū)域細(xì)分網(wǎng)格，如我們感興趣的區(qū)域，可能出現(xiàn)應(yīng)力集中的區(qū)域，如凹角，孔，鍵槽，凹口，裂紋等。圖11.4顯示了一個(gè)有限元網(wǎng)格密度變化的例子，在這個(gè)例子的鏈輪-鏈條系統(tǒng)中，分析的重點(diǎn)是鏈輪和鏈條之間的接觸力。因此，在鏈輪的中心區(qū)域不是關(guān)鍵部位，在這個(gè)區(qū)域所用的網(wǎng)格是相當(dāng)粗的。在使用有限元軟件包時(shí)，常常使用所謂的種子網(wǎng)格點(diǎn)來控制網(wǎng)格密度。種子網(wǎng)格點(diǎn)要在幾何模型創(chuàng)建后網(wǎng)格劃分前生成，用戶需要做的是在重要區(qū)域放置較密的種子網(wǎng)格點(diǎn)。11.4.2 單元畸形對(duì)于不規(guī)則幾何形狀，我們不可能使用全是規(guī)則形狀的單元，不規(guī)則或畸形單元在有限元法中是常被采用的，但有限制，平且在網(wǎng)格生成過程中必須控制單元畸形的程度，畸形是相對(duì)于單元基本形狀而量度的，即正方形四邊形單元等邊三角形三角形單元立方體六面體單元等邊四面體四面體單元五種可能的單元畸變形式及其粗略限制如下：(1) 長寬比畸形（單元的伸長度）（圖11.5）(2) 單元角度畸形（圖11.6），單元兩邊夾角接近于0或180（歪斜或斜錐度）(3) 單元曲率畸形（圖11.7），當(dāng)把節(jié)點(diǎn)和幾何點(diǎn)匹配時(shí)單元的直邊扭曲成曲邊(4) 凹入形單元的體積畸形，如第六章所討論的，在計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，為了將物理坐標(biāo)系中不規(guī)則形狀的單元轉(zhuǎn)化成無量綱自然坐標(biāo)系中規(guī)則形狀的單元，使用了映射方法。對(duì)于凹入單元，單元外面的區(qū)域（見圖11.8所示的陰影區(qū)域）將會(huì)變成自然坐標(biāo)系中的內(nèi)部區(qū)域。在自然坐標(biāo)系中對(duì)陰影區(qū)域的單元體積積分將得到負(fù)值。一些不可采用的四邊形單元的形狀如圖11.9所示。(5) 在具有中間節(jié)點(diǎn)的高階單元中中間節(jié)點(diǎn)的畸變，中間節(jié)點(diǎn)應(yīng)該盡可能的靠近單元邊的中點(diǎn)，中間節(jié)點(diǎn)偏離單元邊中點(diǎn)的極限長度是單元邊長的1/4，如圖11.10所示。這是因?yàn)橹虚g節(jié)點(diǎn)的過度偏移會(huì)導(dǎo)致單元應(yīng)力場(chǎng)的奇異性，正如10.2節(jié)所討論的。在很多有限元軟件包中前處理器為生成網(wǎng)格提供分析單元扭曲率的工具，使用者所需要做的是在生成網(wǎng)格后及在分析之前調(diào)用這些工具，這些工具為分析者的測(cè)試報(bào)告所產(chǎn)生的扭曲率。英文原文COMPUTATIONAL MODELLING1.1 INTRODUCTIONThe Finite Element Method (FEM) has developed into a key, indispensable technology in the modelling and simulation of advanced engineering systems in various fields like housing, transportation, communications, and so on. In building such advanced engineering systems, engineers and designers go through a sophisticated process of modelling, simulation, visualization, analysis, designing, prototyping, testing, and lastly, fabrication. Note that much work is involved before the fabrication of the final product or system. This is to ensure the workability of the finished product, as well as for cost effectiveness. The process is illustrated as a flowchart in Figure 1.1. This process is often iterative in nature, meaning that some of the procedures are repeated based on the results obtained at a current stage, so as to achieve an optimal performance at the lowest cost for the system to be built. Therefore, techniques related to modelling and simulation in a rapid and effective way play an increasingly important role, resulting in the application of the FEM being multiplied numerous times because of this.This book deals with topics related mainly to modelling and simulation, which are underlined in Figure 1.1. Under these topics, we shall address the computational aspects, which are also underlined in Figure 1.1. The focus will be on the techniques of physical, mathematical and computational modelling, and various aspects of computational simulation. A good understanding of these techniques plays an important role in building an advanced engineering system in a rapid and cost effective way.So what is the FEM? The FEM was first used to solve problems of stress analysis, and has since been applied to many other problems like thermal analysis, fluid flow analysis, piezoelectric analysis, and many others. Basically, the analyst seeks to determine the distribution of some field variable like the displacement in stress analysis, the temperature or heat flux in thermal analysis, the electrical charge in electrical analysis, and so on. The FEM is a numerical method seeking an approximated solution of the distribution of field variables in the problem domain that is difficult to obtain analytically. It is done by dividing the problem domain into several elements, as shown in Figures 1.2 and 1.3. Known physical laws are then applied to each small element, each of which usually has a very simple geometry. Figure 1.4 shows the finite element approximation for a one-dimensional case schematically. A continuous function of an unknown field variable is approximated using piecewise linear functions in each sub-domain, called an element formed by nodes. The unknowns are then the discrete values of the field variable at the nodes. Next, proper principles are followed to establish equations for the elements, after which the elements are tied to one another. This process leads to a set of linear algebraic simultaneous equations for the entire system that can be solved easily to yield the required field variable. This book aims to bring across the various concepts, methods and principles used in the formulation of FE equations in a simple to understand manner. Worked examples and case studies using the well known commercial software package ABAQUS will be discussed, and effective techniques and procedures will be highlighted.1.2 PHYSICAL PROBLEMS IN ENGINEERINGThere are numerous physical engineering problems in a particular system. As mentioned earlier, although the FEM was initially used for stress analysis, many other physical problems can be solved using the FEM. Mathematical models of the FEM have been formulated for the many physical phenomena in engineering systems. Common physical problems solved using the standard FEM include: Mechanics for solids and structures. Heat transfer. Acoustics. Fluid mechanics. Others.This book first focuses on the formulation of finite element equations for the mechanics of solids and structures, since that is what the FEM was initially designed for. FEM formulations for heat transfer problems are then described. The conceptual understanding of the methodology of the FEM is the most important, as the application of the FEM to all other physical problems utilizes similar concepts. Computer modelling using the FEM consists of the major steps discussed in the next section.1.3 COMPUTATIONAL MODELLING USING THE FEMThe behaviour of a phenomenon in a system depends upon the geometry or domain of the system, the property of the material or medium, and the boundary, initial and loading conditions. For an engineering system, the geometry or domain can be very complex. Further, the boundary and initial conditions can also be complicated. It is therefore, in general, very difficult to solve the governing differential equation via analytical means. In practice, most of the problems are solved using numerical methods. Among these, the methods of domain discretization championed by the FEM are the most popular, due to its practicality and versatility.The procedure of computational modelling using the FEM broadly consists of four steps: Modelling of the geometry. Meshing (discretization). Specification of material property. Specification of boundary, initial and loading conditions.1.3.1 Modelling of the GeometryReal structures, components or domains are in general very complex, and have to be reduced to a manageable geometry. Curved parts of the geometry and its boundary can be modeled using curves and curved surfaces. However, it should be noted that the geometry is eventually represented by a collection of elements, and the curves and curved surfaces are approximated by piecewise straight lines or flat surfaces, if linear elements are used. Figure 1.2 shows an example of a curved boundary represented by the straight lines of the edges of triangular elements. The accuracy of representation of the curved parts is controlled by the number of elements used. It is obvious that with more elements, the representation of the curved parts by straight edges would be smoother and more accurate. Unfortunately, the more elements, the longer the computational time that is required. Hence, due to the constraints on computational hardware and software, it is always necessary to limit the number of elements. As such, compromises are usually made in order to decide on an optimum number of elements used. As a result, fine details of the geometry need to be modelled only if very accurate results are required for those regions. The analysts have to interpret the results of the simulation with these geometric approximations in mind.Depending on the software used, there are many ways to create a proper geometry in the computer for the FE mesh. Points can be created simply by keying in the coordinates. Lines and curves can be created by connecting the points or nodes. Surfaces can be created by connecting, rotating or translating the existing lines or curves; and solids can be created by connecting, rotating or translating the existing surfaces. Points, lines and curves, surfaces and solids can be translated, rotated or reflected to form new ones.Graphic interfaces are often used to help in the creation and manipulation of the geometrical objects. There are numerous Computer Aided Design (CAD) software packages used for engineering design which can produce files containing the geometry of the designed engineering system. These files can usually be read in by modelling software packages, which can significantly save time when creating the geometry of the models. However, in many cases, complex objects read directly from a CAD file may need to be modified and simplified before performing meshing or discretization. It may be worth mentioning that there are CAD packages which incorporate modelling and simulation packages, and these are useful for the rapid prototyping of new products.Knowledge, experience and engineering judgment are very important in modelling the geometry of a system. In many cases, finely detailed geometrical features play only an aesthetic role, and have negligible effects on the performance of the engineering system. These features can be deleted, ignored or simplified, though this may not be true in some cases, where a fine geometrical change can give rise to a significant difference in the simulation results.An example of having sufficient knowledge and engineering judgment is in the simplification required by the mathematical modelling. For example, a plate has three dimensions geometrically. The plate in the plate theory of mechanics is represented mathematically only in two dimensions (the reason for this will be elaborated in Chapter 2). Therefore, the geometry of a mechanics plate is a two-dimensional flat surface. Plate elements will be used in meshing these surfaces. A similar situation can be found in shells. A physical beam has also three dimensions. The beam in the beam theory of mechanics is represented mathematically only in one dimension, therefore the geometry of a mechanics beam is a one-dimensional straight