黃昆固體物理習(xí)題解答.doc

1.21.10答案在王矜奉固體物理概念題和習(xí)題指導(dǎo)p10第17題3.10 設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為，可見(jiàn)零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬4.1，根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及?，并說(shuō)明它們的特性說(shuō)明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布說(shuō)明能隙的來(lái)源(假設(shè)=)。解令，簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為 取 帶入上式，其中 V(x)0,從上式得到B= -A,于是=取， = 由教材可知，及均為駐波 在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長(zhǎng)，恰好滿(mǎn)足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。2.1，馬德隆常數(shù)的計(jì)算 解 設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有 前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為當(dāng)X=1時(shí)，有 4.3， 電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能 0 ， 其中d4b，是常數(shù)試畫(huà)出此勢(shì)能曲線，求其平均值及此晶體的第一個(gè)和第二個(gè)禁帶度解(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分這時(shí)，于是 。（3），勢(shì)能在-2b,2b區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有3.3，考慮一雙原子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間力常數(shù)交替為c和10 c令兩種原子質(zhì)量相同，且最近鄰間距為求在和處的大略地畫(huà)出色散關(guān)系此問(wèn)題模擬如這樣的雙原子分子晶體。解 a/2 C 10c ， 將代入上式有 是U，v的線性齊次方程組，存在非零解的條件為 =0，解出當(dāng)K=0時(shí)， 當(dāng)K=時(shí) 與的關(guān)系如下圖所示這是一個(gè)雙原子(例如)晶體2.6，bcc和fcc Ne的結(jié)合能，用林納德瓊斯(LennardJones)勢(shì)計(jì)算Ne在bcc和fcc結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值解 2.7對(duì)于，從氣體的測(cè)量得到LennardJones參數(shù)為計(jì)算fcc結(jié)構(gòu)的的結(jié)合能以KJ/mol單位)，每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來(lái)處理結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJmo1，試與計(jì)算值比較解 以為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按LennardJones勢(shì)相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計(jì)算得到的晶體的結(jié)合能為255KJmol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值0.75lKJmo1對(duì)于的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒(méi)有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因4.8，證明一個(gè)自由簡(jiǎn)單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大2倍(b)對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？(c)(b)的結(jié)果對(duì)于二價(jià)金屬的電導(dǎo)率可能會(huì)產(chǎn)生什么影響7解（a）二維簡(jiǎn)單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢第一布里淵區(qū)如圖所示 0 所以b)簡(jiǎn)單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為第一布里淵區(qū)如圖72所示所以(c)如果二價(jià)金屬具有簡(jiǎn)單立方品格結(jié)構(gòu)，布里淵區(qū)如圖72所示根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為，F(xiàn)erM面應(yīng)為球面由(b)可知，內(nèi)切于4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為 其中二價(jià)金屬每個(gè)原子可以提供2個(gè)自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個(gè)電子，余下的0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)中如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿(mǎn)第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點(diǎn))這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的事實(shí)上，對(duì)于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對(duì)于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電4.12，正方晶格設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)為用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角處的能隙 解以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢(shì)能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似來(lái)處理。當(dāng)時(shí)依次有而其他的，所以在雙項(xiàng)平面波近似下上式中只有 =0，因?yàn)?.1，已知一維單原子鏈，其中第個(gè)格波，在第個(gè)格點(diǎn)引起的位移為，為任意個(gè)相位因子，并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。 解任意一個(gè)原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即 （1）由于數(shù)目非常大為數(shù)量級(jí)，而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以忽略不計(jì)。所以由于是時(shí)間的周期性函數(shù)，其長(zhǎng)時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值為 （2）已知較高溫度下的每個(gè)格波的能量為KT，的動(dòng)能時(shí)間平均值為其中L是原子鏈的長(zhǎng)度，使質(zhì)量密度，為周期。所以 （3）因此將此式代入（2）式有所以每個(gè)原子的平均位移為 3.9,寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用所以因此其中3.11，一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2），相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3），在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4），與相對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)在什么波段。解（1）， （2）（3）（4）3.8，有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則，7.1，InSb電子有效質(zhì)量，介電常數(shù)，晶格常數(shù)。試計(jì)算；(1)施主的電離能；(2)基態(tài)軌道的半徑；(3)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時(shí)摻有的施主濃度應(yīng)該高于多少？解（1）由于施主電離能是氫原子電離能的（2），（3），如果施主的電子與類(lèi)氫基態(tài)軌道發(fā)生重疊，則均勻分布于中施主雜質(zhì)濃度就一定滿(mǎn)足4.7,有一一維單原子鏈。間距為a。總長(zhǎng)度為Na。求（1），用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3），如果每個(gè)原子s